Rozwiązanie ograniczenia funkcji online. Znajdź wartość graniczną funkcji lub ciągu funkcjonalnego w punkcie, oblicz ostateczny wartość funkcji w nieskończoności. określenie zbieżności szeregu liczbowego i wiele więcej można zrobić dzięki naszemu serwisowi online -. Umożliwiamy szybkie i dokładne znalezienie ograniczeń funkcji online. Sam wprowadzasz zmienną funkcji i granicę do której ona dąży, a nasz serwis wykonuje za Ciebie wszystkie obliczenia dając dokładną i prostą odpowiedź. I dla znalezienie limitu w Internecie można wprowadzać zarówno szeregi liczbowe, jak i funkcje analityczne zawierające stałe w wyrażeniu dosłownym. W tym przypadku znaleziony limit funkcji będzie zawierał te stałe jako stałe argumenty w wyrażeniu. Nasz serwis rozwiązuje wszelkie złożone problemy związane ze znalezieniem limity w Internecie, wystarczy wskazać funkcję i punkt, w którym należy wykonać obliczenia wartość graniczna funkcji. Obliczenie limity w Internecie, możesz zastosować różne metody i zasady ich rozwiązywania, sprawdzając uzyskany wynik rozwiązywanie limitów online na stronie www., co doprowadzi do pomyślnego wykonania zadania - unikniesz własnych błędów i błędów pisarskich. Możesz też całkowicie nam zaufać i wykorzystać nasz wynik w swojej pracy, nie poświęcając dodatkowego wysiłku i czasu na samodzielne obliczanie granicy funkcji. Umożliwiamy wprowadzenie wartości granicznych takich jak nieskończoność. Konieczne jest wprowadzenie wspólnego elementu ciągu liczbowego i www.strona obliczy wartość ogranicz w Internecie do plus lub minus nieskończoności.

Jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej jest granica funkcji I limit sekwencji w punkcie i w nieskończoności ważne jest, aby móc poprawnie rozwiązać limity. Z naszym serwisem nie będzie to trudne. Podejmowana jest decyzja limity w Internecie w ciągu kilku sekund odpowiedź jest dokładna i kompletna. Nauka analizy matematycznej rozpoczyna się od przejście do limitu, limity są używane w prawie wszystkich obszarach wyższej matematyki, dlatego warto mieć pod ręką serwer rozwiązania limitowe online, czyli ta witryna.

Granica funkcji- numer A będzie granicą jakiejś zmiennej wielkości, jeśli w procesie jej zmiany ta zmienna wielkość będzie się zbliżać w nieskończoność A.

Inaczej mówiąc, liczba A jest granicą funkcji y = f(x) w tym punkcie x 0, jeśli dla dowolnego ciągu punktów z dziedziny definicji funkcji , nie jest równy x 0, i który jest zbieżny do punktu x 0 (lim x n = x0), sekwencja odpowiednich wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Wykres funkcji, której granica, przy danym argumencie dążącym do nieskończoności, jest równa L:

Oznaczający A Jest granica (wartość graniczna) funkcji k(x) w tym punkcie x 0 w przypadku dowolnego ciągu punktów , co zbiega się do x 0, ale który nie zawiera x 0 jako jeden z jego elementów (tj. w okolicy przebicia x 0), sekwencja wartości funkcji zbiega się do A.

Granica funkcji według Cauchy’ego.

Oznaczający A będzie granica funkcji k(x) w tym punkcie x 0 jeśli dla dowolnej liczby nieujemnej pobranej z góry ε zostanie znaleziona odpowiednia liczba nieujemna δ = δ(ε) tak, że dla każdego argumentu X, spełniający warunek 0 < | x - x0 | < δ , nierówność zostanie spełniona | f(x)A |< ε .

Będzie to bardzo proste, jeśli zrozumiesz istotę granicy i podstawowe zasady jej znajdowania. Jaka jest granica funkcji F (X) Na X dążenie do A równa się A, jest napisane w ten sposób:

Ponadto wartość, do której dąży zmienna X, może być nie tylko liczbą, ale także nieskończonością (∞), czasami +∞ lub -∞, lub może w ogóle nie być limitu.

Aby zrozumieć jak znaleźć granice funkcji, najlepiej przyjrzeć się przykładom rozwiązań.

Trzeba znaleźć granice funkcji F (x) = 1/X Na:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Znajdźmy rozwiązanie pierwszego ograniczenia. Aby to zrobić, możesz po prostu zastąpić X liczba, do której zmierza, tj. 2, otrzymujemy:

Znajdźmy drugą granicę funkcji. Zamiast tego zamień czyste 0 X jest to niemożliwe, ponieważ Nie można dzielić przez 0. Ale możemy przyjąć wartości bliskie zeru, na przykład 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tak dalej, oraz wartość funkcji F (X) wzrośnie: 100; 1000; 10000; 100 000 i tak dalej. Można zatem zrozumieć, że kiedy X→ 0 wartość funkcji znajdująca się pod znakiem ograniczenia będzie rosła bez ograniczeń, tj. dążyć do nieskończoności. Co znaczy:

Jeśli chodzi o trzecią granicę. Ta sama sytuacja, co w poprzednim przypadku, jest niemożliwa do zastąpienia ∞ w najczystszej postaci. Musimy rozważyć przypadek nieograniczonego wzrostu X. Podstawiamy 1000 jeden po drugim; 10000; 100000 i tak dalej, mamy wartość funkcji F (x) = 1/X zmniejszy się: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tak dalej, dążąc do zera. Dlatego:

Konieczne jest obliczenie granicy funkcji

Rozpoczynając rozwiązywanie drugiego przykładu widzimy niepewność. Stąd znajdujemy najwyższy stopień licznika i mianownika - to jest x 3, usuwamy go z nawiasów w liczniku i mianowniku, a następnie zmniejszamy przez:

Odpowiedź

Pierwszy krok znalezienie tej granicy zamiast tego zamień wartość 1 X, powodując niepewność. Aby to rozwiązać, rozłóżmy licznik na czynniki i zróbmy to metodą znajdowania pierwiastków równania kwadratowego x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Zatem licznik będzie wynosił:

Odpowiedź

Jest to określenie jej konkretnej wartości lub pewnego obszaru, w którym funkcja spada, który jest ograniczony granicą.

Aby rozwiązać limity, postępuj zgodnie z zasadami:

Po zrozumieniu istoty i istoty zasady rozwiązywania granicy, uzyskasz podstawową wiedzę o tym, jak je rozwiązać.

Granica funkcji w punkcie i w

Granica funkcji jest głównym narzędziem analizy matematycznej. Za jego pomocą następnie wyznacza się ciągłość funkcji, pochodną, ​​całkę i sumę szeregu.

Niech funkcja y=F(X)zdefiniowany w pewnym sąsiedztwie punktu , może z wyjątkiem samego punktu .

Sformułujmy dwie równoważne definicje granicy funkcji w punkcie.

Definicja 1 (w „języku sekwencji”, czyli według Heinego). Numer B zwany granica funkcji y=F(X) w tym punkcie (albo kiedy
), jeśli dla dowolnej sekwencji prawidłowych wartości argumentów

zbiegający się do (te.
), sekwencja odpowiednich wartości funkcji
zbiega się do liczby B(te.
).

W tym przypadku piszą
Lub
Na
. Geometryczne znaczenie granicy funkcji:
oznacza to dla wszystkich punktów X, wystarczająco blisko celu , odpowiednie wartości funkcji różnią się od liczby w wymaganym stopniu B.

Definicja 2 (w „języku"lub według Cauchy'ego). Numer B zwany granica funkcji y=F(X) w tym punkcie (albo kiedy
), jeśli dla dowolnej liczby dodatniej  istnieje liczba dodatnia  taka, że ​​dla wszystkich
spełniając nierówność
, nierówność zachodzi
.

Zanotować
.

Definicję tę można w skrócie zapisać w następujący sposób:

Zauważ, że
można napisać w ten sposób
.

G geometryczne znaczenie granicy funkcji:
, jeśli dla dowolnego sąsiedztwa punktu B istnieje takie sąsiedztwo punktu to dla wszystkich
z tego sąsiedztwa odpowiednie wartości funkcji F (X) leżą w  otoczeniu punktu B. Innymi słowy, punkty na wykresie funkcji y = F (X) leżą wewnątrz paska o szerokości 2 ograniczonego liniami prostymi Na = B + , Na = B  (Rysunek 17). Oczywiście wartość  zależy od wyboru , więc piszą  = ().

Przykład Udowodnij to

Rozwiązanie . Weźmy dowolne   0 i znajdźmy  = ()  0 takie, że dla wszystkich X
, nierówność zachodzi
. Ponieważ od

te.
, następnie biorąc , widzimy to u każdego X, spełniając nierówność
, nierówność zachodzi
. Stąd,

Przykład Udowodnij, że jeśli F (X) = Z, To
.

Rozwiązanie . Dla
możesz to wziąć
. Następnie o godz

mamy . Stąd,
.

Przy określaniu granicy funkcji
Uważa się, że X dąży do w jakikolwiek sposób: pozostałe mniej niż (na lewo od ), Lepszy niż (na prawo od ) lub oscyluje wokół punktu .

Zdarzają się przypadki, gdy metoda aproksymacji argumentu X Do znacząco wpływa na wartość granicy funkcji. W związku z tym wprowadzono pojęcia granic jednostronnych.

Definicja. Numer zwany granica funkcji y=F(X) lewy w tym punkcie , jeśli dla dowolnej liczby   0 istnieje liczba  = ()  0 taka, że ​​dla
, nierówność zachodzi
.

Granica po lewej stronie jest zapisana w następujący sposób
lub krótko
(notacja Dirichleta) (Rysunek 18).

Zdefiniowane podobnie granica funkcji po prawej stronie , napiszmy to za pomocą symboli:

W skrócie, granica po prawej stronie jest oznaczona
.

P Nazywa się granice funkcji po lewej i prawej stronie limity jednokierunkowe . Oczywiście, jeśli istnieje
, to istnieją obie jednostronne granice, i
.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli istnieją obie granice
I
i są równe, to istnieje granica
I .

Jeśli
, To
nie istnieje.

Definicja. Niech funkcja y=F(X) jest zdefiniowany w przedziale
. Numer B zwany granica funkcji y=F(X) Na X , jeśli dla dowolnej liczby   0 istnieje taka liczba M = M()  0, co dla wszystkich X, spełniając nierówność
nierówność zachodzi
. W skrócie definicję tę można zapisać w następujący sposób:

mi Jeśli X +, potem piszą
, Jeśli X , potem piszą
, Jeśli
=
, wówczas zwykle wskazuje się ich ogólne znaczenie
.

Geometryczne znaczenie tej definicji jest następujące: dla
, że o godz
I
odpowiadające wartości funkcji y=F(X) wchodzą w sąsiedztwo punktu B, tj. punkty wykresu leżą na pasku o szerokości 2, ograniczonym liniami prostymi
I
(Rysunek 19).

Funkcjonować y = f (X) jest prawem (regułą), zgodnie z którym każdy element x zbioru X jest powiązany z jednym i tylko jednym elementem y zbioru Y.

Element x ∈X zwany argument funkcji Lub zmienna niezależna.
Element y ∈ Y zwany wartość funkcji Lub zmienna zależna.

Zbiór X nazywa się dziedzina funkcji.
Zbiór elementów y ∈ Y, które mają preobrazy w zbiorze X, nazywa się obszar lub zbiór wartości funkcji.

Wywoływana jest rzeczywista funkcja ograniczone od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba M taka, że ​​nierówność zachodzi dla wszystkich:
.
Wywoływana jest funkcja liczbowa ograniczony, jeśli istnieje liczba M taka, że ​​dla wszystkich:
.

Górna krawędź Lub dokładna górna granica Funkcja rzeczywista nazywana jest najmniejszą liczbą, która ogranicza jej zakres wartości z góry. Oznacza to, że jest to liczba s, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji przekracza s′: .
Górną granicę funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Odpowiednio dolna krawędź Lub dokładny dolny limit Funkcja rzeczywista nazywana jest największą liczbą, która ogranicza jej zakres wartości od dołu. Oznacza to, że jest to liczba i, dla której dla każdego i dla dowolnego istnieje argument, którego wartość funkcji jest mniejsza niż i′: .
Dolną część funkcji można oznaczyć w następujący sposób:
.

Wyznaczanie granicy funkcji

Wyznaczanie granicy funkcji według Cauchy'ego

Skończone granice funkcji w punktach końcowych

Niech funkcja będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu końcowego, z możliwym wyjątkiem samego punktu. w punkcie, jeśli dla dowolnego istnieje coś takiego, w zależności od , że dla wszystkich x dla których , zachodzi nierówność
.
Granicę funkcji oznacza się następująco:
.
Lub o godz.

Używając logicznych symboli istnienia i powszechności, definicję granicy funkcji można zapisać w następujący sposób:
.

Granice jednostronne.
Lewy limit w punkcie (lewy limit):
.
Granica prawa w punkcie (granica prawa):
.
Granice lewą i prawą są często oznaczane w następujący sposób:
; .

Granice skończone funkcji w punktach w nieskończoności

W podobny sposób wyznacza się granice w punktach w nieskończoności.
.
.
.
Często określa się je jako:
; ; .

Wykorzystanie pojęcia sąsiedztwa punktu

Jeśli wprowadzimy koncepcję przebitego sąsiedztwa punktu, wówczas możemy podać ujednoliconą definicję skończonej granicy funkcji w skończonych i nieskończenie odległych punktach:
.
Tutaj dla punktów końcowych
; ;
.
Przebijane jest dowolne sąsiedztwo punktów w nieskończoności:
; ; .

Nieskończone granice funkcji

Definicja
Niech funkcja będzie zdefiniowana w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu (skończonym lub w nieskończoności). Granica funkcji f (X) jako x → x 0 równa się nieskończoności, jeśli dla dowolnej dowolnie dużej liczby M > 0 , istnieje liczba δ M > 0 , w zależności od M, że dla wszystkich x należących do przebitego δ M - sąsiedztwa punktu: , zachodzi nierówność:
.
Nieskończoną granicę oznacza się następująco:
.
Lub o godz.

Używając logicznych symboli istnienia i powszechności, definicję nieskończonej granicy funkcji można zapisać w następujący sposób:
.

Można też wprowadzić definicje nieskończonych granic pewnych znaków równych i :
.
.

Uniwersalna definicja granicy funkcji

Korzystając z koncepcji sąsiedztwa punktu, można podać uniwersalną definicję skończonej i nieskończonej granicy funkcji, mającą zastosowanie zarówno dla punktów skończonych (dwustronnych i jednostronnych), jak i nieskończenie odległych:
.

Wyznaczanie granicy funkcji według Heinego

Niech funkcja będzie zdefiniowana na pewnym zbiorze X: .
Liczbę a nazywa się granicą funkcji W punkcie:
,
jeśli dla dowolnego ciągu zbieżnego do x 0 :
,
których elementy należą do zbioru X: ,
.

Zapiszmy tę definicję posługując się logicznymi symbolami istnienia i uniwersalności:
.

Jeżeli lewostronne sąsiedztwo punktu x przyjmiemy jako zbiór X 0 , wówczas otrzymujemy definicję lewej granicy. Jeśli jest prawostronny, wówczas otrzymujemy definicję granicy właściwej. Jeżeli otoczenie punktu w nieskończoności przyjmiemy jako zbiór X, otrzymamy definicję granicy funkcji w nieskończoności.

Twierdzenie
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji są równoważne.
Dowód

Własności i twierdzenia granicy funkcji

Dalej zakładamy, że rozważane funkcje są zdefiniowane w odpowiednim sąsiedztwie punktu, którym jest liczba skończona lub jeden z symboli: . Może to być także jednostronny punkt graniczny, czyli mieć postać lub . Sąsiedztwo jest dwustronne w przypadku granicy dwustronnej i jednostronne w przypadku granicy jednostronnej.

Podstawowe właściwości

Jeśli wartości funkcji f (X) zmienić (lub uczynić niezdefiniowanym) skończoną liczbę punktów x 1, x 2, x 3, ... x n, to zmiana ta nie będzie miała wpływu na istnienie i wartość granicy funkcji w dowolnym punkcie x 0 .

Jeśli istnieje skończona granica, to istnieje przebite sąsiedztwo punktu x 0 , na którym funkcja f (X) ograniczony:
.

Niech funkcja będzie miała punkt x 0 skończona niezerowa granica:
.
Wtedy dla dowolnej liczby c z przedziału istnieje takie przebite sąsiedztwo punktu x 0 po co,
, Jeśli ;
, Jeśli .

Jeżeli w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , jest stałą, to .

Jeśli istnieją skończone granice i oraz w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu x 0
,
To .

Jeśli , i w pewnym sąsiedztwie punktu
,
To .
W szczególności, jeśli znajduje się w jakimś sąsiedztwie punktu
,
to jeśli , to i ;
jeśli , to i .

Jeśli w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu x 0 :
,
i istnieją skończone (lub nieskończone pewnego znaku) równe granice:
, To
.

Dowody głównych właściwości podano na stronie
„Podstawowe własności granic funkcji.”

Własności arytmetyczne granicy funkcji

Niech funkcje i będą określone w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu . I niech istnieją skończone granice:
I .
I niech C będzie stałą, czyli daną liczbą. Następnie
;
;
;
, Jeśli .

Jeśli następnie.

Dowody własności arytmetycznych podano na stronie
„Właściwości arytmetyczne granic funkcji”.

Kryterium Cauchy'ego na istnienie granicy funkcji

Twierdzenie
Aby funkcja zdefiniowana była na pewnym przebitym sąsiedztwie skończonego lub nieskończenie odległego punktu x 0 , miał w tym momencie skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby dla dowolnego ε > 0 było takie przebite sąsiedztwo punktu x 0 , że dla dowolnych punktów i z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność:
.

Granica funkcji zespolonej

Twierdzenie o granicy funkcji zespolonej
Niech funkcja ma granicę i odwzorowuje przebite sąsiedztwo punktu na przebite sąsiedztwo punktu. Niech funkcja będzie zdefiniowana w tym sąsiedztwie i będzie na niej ograniczona.
Oto punkty końcowe, czyli nieskończenie odległe: . Okolice i odpowiadające im granice mogą być dwustronne lub jednostronne.
Wtedy istnieje granica funkcji zespolonej i jest ona równa:
.

Twierdzenie graniczne funkcji zespolonej stosuje się, gdy funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie lub ma wartość różną od granicy. Aby zastosować to twierdzenie, musi istnieć przebite sąsiedztwo punktu, w którym zbiór wartości funkcji nie zawiera punktu:
.

Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie , to znak graniczny można zastosować do argumentu funkcji ciągłej:
.
Poniżej znajduje się twierdzenie odpowiadające temu przypadkowi.

Twierdzenie o granicy funkcji ciągłej
Niech będzie granica funkcji g (T) jako t → t 0 i jest równe x 0 :
.
Oto punkt t 0 może być skończony lub nieskończenie odległy: .
I niech funkcja f (X) jest ciągła w punkcie x 0 .
Wtedy istnieje granica funkcji zespolonej f (g(t)) i jest równe f (x0):
.

Dowody twierdzeń podano na stronie
„Granica i ciągłość funkcji złożonej”.

Funkcje nieskończenie małe i nieskończenie duże

Funkcje nieskończenie małe

Definicja
Mówi się, że funkcja jest nieskończenie mała, jeśli
.

Suma, różnica i iloczyn skończonej liczby nieskończenie małych funkcji w jest nieskończenie małą funkcją w .

Iloczyn funkcji ograniczonej w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , do nieskończenie małego at jest nieskończenie małą funkcją w .

Aby funkcja miała skończoną granicę, jest to konieczne i wystarczające
,
gdzie jest nieskończenie małą funkcją w .

„Właściwości funkcji nieskończenie małych”.

Nieskończenie duże funkcje

Definicja
Mówi się, że funkcja jest nieskończenie duża, jeśli
.

Suma lub różnica funkcji ograniczonej w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu i nieskończenie dużej funkcji w jest nieskończenie dużą funkcją w .

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża dla , a funkcja jest ograniczona w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu , to
.

Jeżeli funkcja , w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu, spełnia nierówność:
,
a funkcja jest nieskończenie mała w:
, i (w pewnym przebitym sąsiedztwie punktu), a następnie
.

Dowody właściwości przedstawiono w sekcji
„Właściwości nieskończenie dużych funkcji”.

Zależność pomiędzy funkcjami nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi

Z dwóch poprzednich właściwości wynika związek między nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi funkcjami.

Jeśli funkcja jest nieskończenie duża w , to jest nieskończenie mała w .

Jeśli funkcja jest nieskończenie mała dla , i , to funkcja jest nieskończenie duża dla .

Związek między nieskończenie małą i nieskończenie dużą funkcją można wyrazić symbolicznie:
, .

Jeśli nieskończenie mała funkcja ma pewien znak w , to znaczy jest dodatnia (lub ujemna) w jakimś przebitym sąsiedztwie punktu , to fakt ten można wyrazić w następujący sposób:
.
W ten sam sposób, jeśli nieskończenie duża funkcja ma pewien znak w , to piszą:
.

Wówczas symboliczne powiązanie pomiędzy nieskończenie małymi i nieskończenie dużymi funkcjami można uzupełnić następującymi relacjami:
, ,
, .

Dodatkowe wzory dotyczące symboli nieskończoności można znaleźć na stronie
„Punkty w nieskończoności i ich właściwości”.

Granice funkcji monotonicznych

Definicja
Wywołuje się funkcję zdefiniowaną na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych X ściśle rosnący, jeśli dla wszystkich takich, że zachodzi nierówność:
.
Odpowiednio dla ściśle malejące funkcji zachodzi nierówność:
.
Dla nie malejący:
.
Dla nierosnący:
.

Wynika z tego, że funkcja ściśle rosnąca jest również niemalejąca. Funkcja ściśle malejąca jest również nierosnąca.

Funkcja nazywa się monotonny, jeśli nie maleje lub nie rośnie.

Twierdzenie
Niech funkcja nie maleje na przedziale, gdzie .
Jeśli jest ograniczone powyżej przez liczbę M: to istnieje skończona granica. Jeśli nie jest to ograniczone z góry, to .
Jeśli jest ograniczone od dołu przez liczbę m: to istnieje granica skończona. Jeśli nie jest ograniczony od dołu, to .

Jeśli punkty a i b znajdują się w nieskończoności, to w wyrażeniach znaki graniczne oznaczają, że .
Twierdzenie to można sformułować bardziej zwięźle.

Niech funkcja nie maleje na przedziale, gdzie . Następnie istnieją jednostronne granice w punktach a i b:
;
.

Podobne twierdzenie dla funkcji nierosnącej.

Niech funkcja nie rośnie w przedziale gdzie . Następnie istnieją granice jednostronne:
;
.

Dowód twierdzenia przedstawiono na stronie
„Granice funkcji monotonicznych”.

Bibliografia:
L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.
CM. Nikolski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.

Stała liczba A zwany limit sekwencje(x n ), jeśli dla dowolnej dowolnie małej liczby dodatniejε > 0 istnieje liczba N, która ma wszystkie wartości x rz, dla którego n>N, spełniają nierówność

|x n - a|< ε. (6.1)

Zapisz to w następujący sposób: lub x n → A.

Nierówność (6.1) jest równoważna nierówności podwójnej

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

co oznacza, że ​​punkty x rz, zaczynając od pewnej liczby n>N, leżą wewnątrz przedziału (a-ε, a+ ε ), tj. wpaść w jakikolwiek małyε -sąsiedztwo punktu A.

Nazywa się ciąg mający granicę zbieżny, W przeciwnym razie - rozbieżny.

Pojęcie granicy funkcji jest uogólnieniem koncepcji granicy ciągu, ponieważ granicę ciągu można uznać za granicę funkcji x n = f(n) argumentu będącego liczbą całkowitą N.

Niech będzie podana funkcja f(x) i niech A - punkt graniczny dziedzina definicji tej funkcji D(f), tj. taki punkt, którego dowolne sąsiedztwo zawiera punkty ze zbioru D(f) inne niż A. Kropka A mogą, ale nie muszą, należeć do zbioru D(f).

Definicja 1.Nazywa się stałą liczbę A limit Funkcje k(x) Na x →a, jeśli dla dowolnej sekwencji (x n) wartości argumentów zmierzają do A, odpowiednie ciągi (f(x n)) mają tę samą granicę A.

Ta definicja nazywa się poprzez określenie granicy funkcji według Heinego, Lub " w języku sekwencyjnym”.

Definicja 2. Nazywa się stałą liczbę A limit Funkcje k(x) Na x →a, jeśli, podając dowolną, dowolnie małą liczbę dodatnią ε, można znaleźć takie δ>0 (w zależności od ε), czyli dla każdego X, leżeć wε-okolice liczby A, tj. Dla X, spełniając nierówność
0 < x-a< ε , będą znajdować się wartości funkcji f(x).ε-sąsiedztwo liczby A, tj.|f(x)-A|< ε.

Ta definicja nazywa się poprzez określenie granicy funkcji według Cauchy'ego, Lub „w języku ε - δ “.

Definicje 1 i 2 są równoważne. Jeśli funkcja f(x) jako x →ma limit równy A, jest to zapisane w postaci

. (6.3)

W przypadku, gdy ciąg (f(x n)) rośnie (lub maleje) bez ograniczeń dla dowolnej metody aproksymacji X do swojego limitu A, to powiemy, że funkcja f(x) ma nieskończona granica, i zapisz to w postaci:

Wywoływana jest zmienna (tj. ciąg lub funkcja), której granica wynosi zero nieskończenie mały.

Nazywa się zmienną, której granica jest nieskończona nieskończenie duży.

Aby znaleźć granicę w praktyce, stosuje się następujące twierdzenia.

Twierdzenie 1 . Jeśli istnieje każda granica

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentarz. Wyrażenia takie jak 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - są niepewne, na przykład stosunek dwóch nieskończenie małych lub nieskończenie dużych wielkości, a znalezienie tego rodzaju granicy nazywa się „odkrywaniem niepewności”.

Twierdzenie 2. (6.7)

te. można dojść do granicy u podstawy potęgi o stałym wykładniku, w szczególności ;

(6.8)

(6.9)

Twierdzenie 3.

(6.10)

(6.11)

Gdzie mi » 2,7 - podstawa logarytmu naturalnego. Formuły (6.10) i (6.11) nazywane są pierwszymi cudowna granica i druga niezwykła granica.

W praktyce stosowane są także konsekwencje wzoru (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

w szczególności limit,

Jeśli x → a i jednocześnie x > a, następnie napisz x→a + 0. Jeżeli w szczególności a = 0, to zamiast symbolu 0+0 wpisz +0. Podobnie jeśli x →a i jednocześnie x a-0. Liczby i są odpowiednio nazywane prawy limit I lewy limit Funkcje k(x) w tym punkcie A. Aby istniała granica funkcji f(x) jako x →a jest konieczne i wystarczające, aby . Wywołuje się funkcję f(x). ciągły w tym punkcie x 0, jeśli limit

. (6.15)

Warunek (6.15) można przepisać jako:

,

czyli przejście do granicy pod znakiem funkcji jest możliwe, jeżeli w danym punkcie jest ona ciągła.

Jeśli naruszona zostanie równość (6.15), mówimy to Na x = xo funkcjonować k(x) To ma luka Rozważmy funkcję y = 1/x. Dziedziną definicji tej funkcji jest zbiór R, z wyjątkiem x = 0. Punkt x = 0 jest punktem granicznym zbioru D(f), gdyż w dowolnym jego sąsiedztwie, tj. w dowolnym otwartym przedziale zawierającym punkt 0 znajdują się punkty z D(f), ale on sam nie należy do tego zbioru. Wartość f(x o)= f(0) jest nieokreślona, ​​więc w punkcie x o = 0 funkcja ma nieciągłość.

Wywołuje się funkcję f(x). ciągły po prawej stronie w tym punkcie x o jeśli limit

,

I ciągły po lewej stronie w punkcie x o, jeśli limit

.

Ciągłość funkcji w punkcie x o jest równoważne jego ciągłości w tym punkcie zarówno po prawej, jak i po lewej stronie.

Aby funkcja była ciągła w punkcie x o na przykład po prawej stronie konieczne jest, aby po pierwsze istniała skończona granica, a po drugie, aby ta granica była równa f(x o). Dlatego też, jeśli przynajmniej jeden z tych dwóch warunków nie jest spełniony, wówczas funkcja będzie miała nieciągłość.

1. Jeśli granica istnieje i nie jest równa f(x o), to tak mówią funkcjonować k(x) w tym punkcie xo ma pęknięcie pierwszego rodzaju, Lub skok.

2. Jeśli limit jest+∞ lub -∞ lub nie istnieje, wtedy mówią, że w punkt x o funkcja ma nieciągłość drugi rodzaj.

Na przykład funkcja y = łóżko x przy x→ +0 ma granicę równą +∞, co oznacza, że ​​w punkcie x=0 ma nieciągłość drugiego rodzaju. Funkcja y = E(x) (część całkowita X) w punktach z całymi odciętymi ma nieciągłości pierwszego rodzaju, czyli skoki.

Nazywa się funkcję ciągłą w każdym punkcie przedziału ciągły V. Funkcja ciągła jest reprezentowana przez krzywą ciągłą.

Wiele problemów związanych z ciągłym wzrostem pewnej wielkości prowadzi do drugiej niezwykłej granicy. Do takich zadań zalicza się np.: wzrost złóż zgodnie z prawem procentu składanego, wzrost liczby ludności kraju, rozkład substancji radioaktywnych, namnażanie się bakterii itp.

Rozważmy przykład Ya. I. Perelmana, podając interpretację liczby mi w problemie odsetek składanych. Numer mi istnieje granica . W kasach oszczędnościowych corocznie doliczane są odsetki do kapitału stałego. Jeśli przystąpienie następuje częściej, wówczas kapitał rośnie szybciej, ponieważ w tworzeniu odsetek bierze udział większa kwota. Weźmy przykład czysto teoretyczny, bardzo uproszczony. Niech 100 denarów zostanie zdeponowanych w banku. jednostki w oparciu o 100% rocznie. Jeżeli odsetki zostaną dodane do kapitału stałego dopiero po roku, to w tym okresie 100 den. jednostki zamieni się na 200 jednostek pieniężnych. Zobaczmy teraz, w co zamieni się 100 denize. jednostek, jeżeli co sześć miesięcy do kapitału trwałego dodawane są odsetki. Po sześciu miesiącach 100 den. jednostki wzrośnie do 100× 1,5 = 150, a po kolejnych sześciu miesiącach - na 150× 1,5 = 225 (jednostki den.). Jeżeli przystąpienie następuje co 1/3 roku, to po roku 100 den. jednostki zmieni się w 100× (1 +1/3) 3 " 237 (jednostki den.). Zwiększymy warunki dodawania odsetek do 0,1 roku, do 0,01 roku, do 0,001 roku itd. Następnie ze 100 den. jednostki za rok będzie:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (jednostki den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (jednostki den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (jednostki den.).

Przy nieograniczonym zmniejszeniu warunków doliczania odsetek zgromadzony kapitał nie rośnie w nieskończoność, ale zbliża się do pewnej granicy równej w przybliżeniu 271. Kapitał zdeponowany w wysokości 100% w skali roku nie może wzrosnąć więcej niż 2,71-krotność, nawet jeśli naliczone odsetki co sekundę doliczano do kapitału ze względu na limit

Przykład 3.1.Korzystając z definicji granicy ciągu liczbowego, udowodnij, że ciąg x n =(n-1)/n ma granicę równą 1.

Rozwiązanie.Musimy to udowodnić bez względu na wszystkoε > 0, niezależnie od tego, co weźmiemy, istnieje liczba naturalna N taka, że ​​dla wszystkich n N zachodzi nierówność|x n -1|< ε.

Weźmy dowolne e > 0. Ponieważ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, to aby znaleźć N wystarczy rozwiązać nierówność 1/n< mi. Stąd n>1/e i dlatego N można przyjąć jako część całkowitą 1/ mi, N = E(1/ e ). W ten sposób udowodniliśmy, że granica .

Przykład 3.2 . Znajdź granicę ciągu podanego przez wspólny wyraz .

Rozwiązanie.Zastosujmy granicę twierdzenia o sumie i znajdźmy granicę każdego wyrazu. Kiedy n→ ∞ licznik i mianownik każdego wyrazu dążą do nieskończoności i nie możemy bezpośrednio zastosować twierdzenia o ilorazu granicznym. Dlatego najpierw dokonujemy transformacji x rz, dzieląc licznik i mianownik pierwszego wyrazu przez nr 2, a drugi dalej N. Następnie, stosując granicę ilorazu i granicę twierdzenia o sumie, znajdujemy:

.

Przykład 3.3. . Znajdować .

Rozwiązanie. .

Tutaj użyliśmy twierdzenia o granicy stopnia: granica stopnia jest równa stopniowi granicy podstawy.

Przykład 3.4 . Znajdować ( ).

Rozwiązanie.Nie da się zastosować twierdzenia o granicy różnicy, gdyż mamy niepewność formy ∞-∞ . Przekształćmy ogólny wzór terminowy:

.

Przykład 3.5 . Podana jest funkcja f(x)=2 1/x. Udowodnij, że nie ma ograniczeń.

Rozwiązanie.Skorzystajmy z definicji 1 granicy funkcji poprzez ciąg. Weźmy ciąg ( x n ) zbieżny do 0, tj. Pokażmy, że wartość f(x n)= zachowuje się różnie dla różnych ciągów. Niech xn = 1/n. Oczywiście wtedy granica Wybierzmy teraz jako x rz ciąg o wspólnym członie x n = -1/n, również dążący do zera. Dlatego nie ma limitu.

Przykład 3.6 . Udowodnij, że nie ma ograniczeń.

Rozwiązanie.Niech x 1 , x 2 ,..., x n ,... będzie ciągiem dla którego
. Jak zachowuje się ciąg (f(x n)) = (sin x n) dla różnych x n → ∞

Jeśli x n = p n, to grzech x n = grzech p n = 0 dla wszystkich N i granica Jeśli
xn =2 p n+ p /2, następnie grzech x n = grzech(2 p n+ p /2) = grzech p /2 = 1 dla wszystkich N i dlatego granica. Więc to nie istnieje.

Widget do obliczania limitów on-line

W górnym oknie zamiast sin(x)/x wpisz funkcję, której granicę chcesz znaleźć. W dolnym oknie wprowadź liczbę, do której dąży x i kliknij przycisk Oblicz, uzyskaj żądany limit. A jeśli w oknie wyników klikniesz Pokaż kroki w prawym górnym rogu, otrzymasz szczegółowe rozwiązanie.

Zasady wprowadzania funkcji: sqrt(x) - pierwiastek kwadratowy, cbrt(x) - pierwiastek sześcienny, exp(x) - wykładnik, ln(x) - logarytm naturalny, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan(x) - tangens, cot(x) - cotangens, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arcuscosinus, arctan(x) - arcustangens. Znaki: * mnożenie, / dzielenie, ^ potęgowanie nieskończoność Nieskończoność. Przykład: funkcję wprowadzono jako sqrt(tan(x/2)).