Każdy punkt A płaszczyzny jest scharakteryzowany przez swoje współrzędne (x, y). Zbiegają się one ze współrzędnymi wektora 0А wychodzącego z punktu 0 - początku.

Niech A i B będą dowolnymi punktami płaszczyzny o współrzędnych odpowiednio (x 1 y 1) i (x 2, y 2).

Wtedy wektor AB ma oczywiście współrzędne (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Wiadomo, że kwadrat długości wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych. Zatem odległość d między punktami A i B, czyli długość wektora AB, wyznaczana jest z warunku

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Otrzymany wzór pozwala obliczyć odległość pomiędzy dowolnymi dwoma punktami na płaszczyźnie, jeśli znane są tylko współrzędne tych punktów

Za każdym razem mówiąc o współrzędnych jednego lub drugiego punktu płaszczyzny, mamy na myśli dobrze zdefiniowany układ współrzędnych x0y. Ogólnie układ współrzędnych na płaszczyźnie można wybrać na różne sposoby. Tak więc, zamiast układu współrzędnych x0y, możemy rozważyć układ współrzędnych xִy’, który uzyskuje się obracając stare osie współrzędnych wokół punktu początkowego 0 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara strzałki na rogu α .

Jeśli jakiś punkt płaszczyzny w układzie współrzędnych x0y miał współrzędne (x,y), to w nowym układzie współrzędnych x-y’ będzie miał inne współrzędne (x’,y’).

Jako przykład rozważmy punkt M znajdujący się na osi 0x' i oddalony od punktu 0 w odległości równej 1.

Oczywiście w układzie współrzędnych x0y punkt ten ma współrzędne (cos α grzech α ), a w układzie współrzędnych хִу’ współrzędne wynoszą (1,0).

Współrzędne dowolnych dwóch punktów płaszczyzny A i B zależą od ustawienia układu współrzędnych na tej płaszczyźnie. Ale odległość między tymi punktami nie zależy od tego, jak określono układ współrzędnych .

Inne materiały

PYTANIA TEORETYCZNE

GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŃSTWIE

1. Metoda współrzędnych: linia liczbowa, współrzędne na linii; prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie; współrzędne biegunowe.

Spójrzmy na linię prostą. Wybierzmy na nim kierunek (wtedy stanie się osią) i jakiś punkt 0 (początek). Linia prosta z wybranym kierunkiem i początkiem nazywa się linia współrzędnych(w tym przypadku zakładamy, że wybrana jest jednostka skali).

Wynajmować M jest dowolnym punktem na linii współrzędnych. Postawmy zgodnie z punktem M prawdziwy numer x, równa wartości OM człon : x=OM. Numer x zwany współrzędną punktu M.

Tak więc każdy punkt linii współrzędnych odpowiada pewnej liczbie rzeczywistej - jego współrzędnej. Prawdą jest też odwrotność, każda liczba rzeczywista x odpowiada pewnemu punktowi na linii współrzędnych, czyli takiemu punktowi M, którego współrzędna to x. Ta korespondencja nazywa się wzajemnie jednoznaczne.

Tak więc liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez punkty linii współrzędnych, tj. linia współrzędnych służy jako obraz zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. Dlatego zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nazywa się Numer linii, a dowolna liczba jest punktem tej linii. W pobliżu punktu na osi liczbowej często wskazywana jest liczba - jej współrzędna.

Prostokątny (lub kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie.

Dwie wzajemnie prostopadłe osie O x oraz O tobie mający wspólny początek O i ta sama jednostka skali, formularz prostokątny (lub kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie.

Oś OH zwana osią x, osią OY- oś Y. Kropka O przecięcie osi nazywa się początkiem. Płaszczyzna, w której znajdują się osie OH oraz OY, nazywana jest płaszczyzną współrzędnych i jest oznaczona Och xy.

Tak więc prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie ustanawia zależność jeden do jednego między zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny a zbiorem par liczb, co umożliwia zastosowanie metod algebraicznych przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na 4 części, nazywane są mieszkanie, kwadrat lub kąty współrzędnych.

Współrzędne biegunowe.

Biegunowy układ współrzędnych składa się z pewnego punktu O nazywa Polak i promień z niego emanujący OE nazywa oś biegunowa. Dodatkowo ustawiana jest jednostka wagi do pomiaru długości segmentów. Niech zostanie podany biegunowy układ współrzędnych i niech M jest dowolnym punktem płaszczyzny. Oznacz przez R– odległość punktowa M Z punktu O i przez φ - kąt, o jaki wiązka jest obracana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do osi biegunowej, aby pokrywała się z wiązką OM.

współrzędne biegunowe zwrotnica M zadzwoń pod numery R oraz φ . Numer R uważana za pierwszą współrzędną i nazywana promień biegunowy, numer φ - druga współrzędna to kąt biegunowy.

Kropka M ze współrzędnymi biegunowymi R oraz φ są oznaczone w następujący sposób: М( ;φ). Ustalmy połączenie między współrzędnymi biegunowymi punktu a jego współrzędnymi prostokątnymi.
W tym przypadku przyjmiemy, że początek prostokątnego układu współrzędnych znajduje się na biegunie, a dodatnia półoś odciętej pokrywa się z osią biegunową.

Niech punkt M ma współrzędne prostokątne X oraz Y i współrzędne biegunowe R oraz φ .

(1)

Dowód.

Upuść z kropek M 1 oraz M 2 prostopadłe M 1 V oraz M 1 A,. dlatego (x 2 ; y 2). Teoretycznie, jeśli M 1 (x 1) oraz M2 (x 2) są dowolnymi dwoma punktami, a α jest odległością między nimi, to α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Odległość od punktu do punktu to długość odcinka łączącego te punkty w danej skali. Tak więc, kiedy rozmawiamy pomiar odległości, musisz znać skalę (jednostkę długości), w której będą dokonywane pomiary. Dlatego problem znajdowania odległości od punktu do punktu jest zwykle rozpatrywany na linii współrzędnych lub w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Innymi słowy, najczęściej musisz obliczyć odległość między punktami na podstawie ich współrzędnych.

W tym artykule najpierw przypomnimy sobie, jak określa się odległość od punktu do punktu na linii współrzędnych. Następnie otrzymujemy wzory na obliczanie odległości między dwoma punktami płaszczyzny lub przestrzeni według podanych współrzędnych. Na koniec przyjrzyjmy się bliżej rozwiązaniom charakterystyczne przykłady i zadania.

Nawigacja po stronach.

Odległość między dwoma punktami na linii współrzędnych.

Najpierw zdefiniujmy notację. Odległość od punktu A do punktu B będzie oznaczona jako .

Z tego możemy wywnioskować, że odległość od punktu A o współrzędnej do punktu B o współrzędnej jest równa modułowi różnicy współrzędnych, to znaczy, dla dowolnego rozmieszczenia punktów na linii współrzędnych.

Odległość od punktu do punktu na płaszczyźnie, wzór.

Zdobądźmy wzór na obliczanie odległości między punktami i podaną w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

W zależności od położenia punktów A i B możliwe są następujące opcje.

Jeśli punkty A i B pokrywają się, to odległość między nimi wynosi zero.

Jeżeli punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi x, to punkty i pokrywają się, a odległość jest równa odległości. W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, że odległość między dwoma punktami na linii współrzędnych jest równa modułowi różnicy między ich współrzędnymi, dlatego . W konsekwencji, .

Podobnie, jeśli punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi y, to odległość od punktu A do punktu B jest równa .

W tym przypadku trójkąt ABC ma budowę prostokątną i oraz . Za pomocą twierdzenie Pitagorasa możemy napisać równość , skąd .

Podsumujmy wszystkie wyniki: odległość od punktu do punktu na płaszczyźnie znajduje się poprzez współrzędne punktów według wzoru .

Otrzymany wzór na znalezienie odległości między punktami można wykorzystać, gdy punkty A i B pokrywają się lub leżą na linii prostej prostopadłej do jednej z osi współrzędnych. Rzeczywiście, jeśli A i B są takie same, to . Jeżeli punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi Wół, to . Jeśli A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi Oy, to .

Odległość między punktami w przestrzeni, wzór.

Wprowadźmy w przestrzeni prostokątny układ współrzędnych Оxyz. Uzyskaj wzór na znalezienie odległości od punktu do momentu .

Ogólnie punkty A i B nie leżą na płaszczyźnie równoległej do jednej z płaszczyzn współrzędnych. Narysujmy punkty A i B w płaszczyźnie prostopadłej do osi współrzędnych Ox, Oy i Oz. Punkty przecięcia tych płaszczyzn z osiami współrzędnych dadzą nam rzuty punktów A i B na te osie. Oznacz projekcje .

Pożądana odległość między punktami A i B to przekątna równoległościanu prostokątnego pokazanego na rysunku. Z konstrukcji wymiary tego równoległościanu są oraz . W trakcie geometrii Liceum udowodniono, że kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów, a więc . Na podstawie informacji zawartych w pierwszej części tego artykułu możemy napisać następujące równości, a zatem:

skąd się bierzemy wzór na znalezienie odległości między punktami w przestrzeni .

Ten wzór jest również ważny, jeśli punkty A i B

• mecz;
• należą do jednej z osi współrzędnych lub linii prostej równoległej do jednej z osi współrzędnych;
• należą do jednej z płaszczyzn współrzędnych lub płaszczyzny równoległej do jednej z płaszczyzn współrzędnych.

Znajdowanie odległości od punktu do punktu, przykłady i rozwiązania.

Tak więc otrzymaliśmy wzory na znalezienie odległości między dwoma punktami linii współrzędnych, płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową. Czas zastanowić się nad rozwiązaniami typowych przykładów.

Liczba zadań, w których ostatnim krokiem jest znalezienie odległości między dwoma punktami według ich współrzędnych, jest naprawdę ogromna. Pełna recenzja takie przykłady wykraczają poza zakres tego artykułu. Tutaj ograniczamy się do przykładów, w których znane są współrzędne dwóch punktów i wymagane jest obliczenie odległości między nimi.

Niech zostanie podany prostokątny układ współrzędnych.

Twierdzenie 1.1. Dla dowolnych dwóch punktów M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) płaszczyzny odległość d między nimi wyraża się wzorem

Dowód. Spuśćmy z punktów M 1 i M 2 odpowiednio prostopadłe M 1 B i M 2 A

na osiach Oy i Ox i przez K oznaczmy punkt przecięcia linii M 1 B i M 2 A (rys. 1.4). Możliwe są następujące przypadki:

1) Punkty M 1, M 2 i K są różne. Oczywiście punkt K ma współrzędne (x 2; y 1). Łatwo zauważyć, że M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Dlatego ∆M 1 KM 2 jest prostokątem, a następnie twierdzeniem Pitagorasa d = M 1 M 2 = = .

2) Punkt K pokrywa się z punktem M 2, ale różni się od punktu M 1 (rys. 1.5). W tym przypadku y 2 = y 1

i d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Punkt K pokrywa się z punktem M 1, ale różni się od punktu M 2. W tym przypadku x 2 = x 1 i d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Punkt M 2 pokrywa się z punktem M 1. Następnie x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 i

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Podział segmentu pod tym względem.

Niech dowolny odcinek M 1 M 2 będzie dany na płaszczyźnie i niech M będzie dowolnym punktem tego

odcinek inny niż punkt M 2 (rys. 1.6). Liczba l określona przez równość l = , jest nazywany nastawienie, w którym punkt M dzieli odcinek M 1 M 2.

Twierdzenie 1.2. Jeżeli punkt M (x; y) dzieli odcinek M 1 M 2 w stosunku do l, to współrzędne tego są określone wzorami

x = , y = , (4)

gdzie (x 1; y 1) to współrzędne punktu M 1, (x 2; y 2) to współrzędne punktu M 2.

Dowód. Udowodnijmy pierwszy ze wzorów (4). Podobnie udowodniono drugą formułę. Możliwe są dwa przypadki.

x = x 1 = = = .

2) Linia prosta M 1 M 2 nie jest prostopadła do osi Ox (rys. 1.6). Spuśćmy prostopadłe z punktów M 1 , M, M 2 na oś Ox i oznaczmy punkty ich przecięcia z osią Ox odpowiednio P 1 , P , P 2 . Zgodnie z twierdzeniem o segmentach proporcjonalnych =l.

Dlatego P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô oraz liczby (x - x 1) i (x 2 - x) mają ten sam znak (dla x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 są ujemne), to

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Następstwo 1.2.1. Jeżeli M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2) to dwa dowolne punkty, a punkt M (x; y) jest środkiem odcinka M 1 M 2, to

x = , y = (5)

Dowód. Ponieważ M 1 M = M 2 M, to l = 1 i ze wzorów (4) otrzymujemy wzory (5).

Obszar trójkąta.

Twierdzenie 1.3. Dla dowolnych punktów A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) i C (x 3; y 3), które nie leżą na tym samym

prostej, pole S trójkąta ABC wyraża się wzorem

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dowód. Obszar ∆ ABC pokazany na ryc. 1.7, obliczamy w następujący sposób

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Oblicz obszar trapezu:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Teraz mamy

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - - x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Dla innej lokalizacji ∆ ABC wzór (6) jest podobny, ale można go otrzymać ze znakiem „-”. Dlatego we wzorze (6) wpisz znak modułu.

Wykład 2

Równanie prostej na płaszczyźnie: równanie prostej z głównym współczynnikiem, ogólne równanie prostej, równanie prostej w odcinkach, równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Kąt między liniami, warunki równoległości i prostopadłości linii na płaszczyźnie.

2.1. Niech na płaszczyźnie będzie dany prostokątny układ współrzędnych i pewna linia L.

Definicja 2.1. Równanie postaci F(x;y) = 0 odnoszące się do zmiennych x i y nazywa się równanie linii L(w danym układzie współrzędnych), jeśli równanie to spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na prostej L, a nie współrzędne dowolnego punktu nie leżącego na tej prostej.

Przykłady równań prostych na płaszczyźnie.

1) Rozważ linię prostą równoległą do osi Oy prostokątnego układu współrzędnych (ryc. 2.1). Oznaczmy literą A punkt przecięcia tej prostej z osią Ox, (a; o) ─ jej lub-

dinaty. Równanie x = a jest równaniem danej linii. Rzeczywiście, równanie to spełniają współrzędne dowolnego punktu M(a;y) tej prostej, a nie współrzędne żadnego punktu, który nie leży na prostej. Jeśli a = 0, to linia pokrywa się z osią Oy, która ma równanie x = 0.

2) Równanie x - y \u003d 0 określa zbiór punktów na płaszczyźnie, które tworzą dwusieczne kątów współrzędnych I i III.

3) Równanie x 2 - y 2 \u003d 0 jest równaniem dwóch dwusiecznych kątów współrzędnych.

4) Równanie x 2 + y 2 = 0 definiuje pojedynczy punkt O(0;0) na płaszczyźnie.

5) Równanie x 2 + y 2 \u003d 25 jest równaniem okręgu o promieniu 5 wyśrodkowanym na początku.

W tym artykule rozważymy sposoby wyznaczania odległości od punktu do punktu teoretycznie i na przykładzie konkretnych zadań. Zacznijmy od kilku definicji.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Odległość między punktami- jest to długość łączącego je odcinka, w istniejącej skali. Konieczne jest ustawienie skali, aby mieć jednostkę długości do pomiaru. Dlatego w zasadzie problem znajdowania odległości między punktami jest rozwiązywany za pomocą ich współrzędnych na linii współrzędnych, w płaszczyźnie współrzędnych lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Dane początkowe: linia współrzędnych O x i leżący na niej dowolny punkt A. Jedna liczba rzeczywista jest nieodłączna w każdym punkcie linii: niech to będzie pewna liczba dla punktu A xA, jest to współrzędna punktu A.

Ogólnie można powiedzieć, że oszacowanie długości pewnego odcinka następuje w porównaniu z odcinkiem przyjmowanym jako jednostka długości w danej skali.

Jeżeli punktowi A odpowiada liczba całkowita rzeczywista, to odkładając kolejno od punktu O do punktu wzdłuż linii prostej O A odcinki - jednostki długości, możemy określić długość odcinka O A przez całkowitą liczbę oczekujących pojedynczych odcinków.

Np. punkt A odpowiada liczbie 3 - aby dostać się do niego z punktu O, trzeba będzie odłożyć trzy segmenty jednostkowe. Jeśli punkt A ma współrzędną -4, pojedyncze odcinki wykreślane są w podobny sposób, ale w innym, ujemnym kierunku. Zatem w pierwszym przypadku odległość O A wynosi 3; w drugim przypadku O A \u003d 4.

Jeżeli punkt A ma jako współrzędną liczbę wymierną, to od początku (punkt O) odkładamy całkowitą liczbę odcinków jednostkowych, a następnie jej niezbędną część. Ale geometrycznie nie zawsze jest możliwe dokonanie pomiaru. Na przykład trudno jest odłożyć współrzędną bezpośrednią ułamek 4 111 .

W powyższy sposób odłożenie liczby niewymiernej na linii prostej jest całkowicie niemożliwe. Na przykład, gdy współrzędna punktu A wynosi 11 . W takim przypadku można przejść do abstrakcji: jeśli dana współrzędna punktu A jest większa od zera, to O A \u003d x A (liczba jest traktowana jako odległość); jeśli współrzędna jest mniejsza od zera, to O A = - x A . Ogólnie rzecz biorąc, te stwierdzenia są prawdziwe dla dowolnej liczby rzeczywistej x A .

Podsumowując: odległość od początku do punktu, która odpowiada liczbie rzeczywistej na linii współrzędnych, jest równa:

• 0 jeśli punkt jest taki sam jak początek;

• x A jeśli x A > 0 ;

• - x A jeśli x A< 0 .

W tym przypadku oczywiste jest, że długość samego odcinka nie może być ujemna, dlatego za pomocą znaku modułu zapisujemy odległość od punktu O do punktu A o współrzędnej x A: O A = x A

Prawidłowe stwierdzenie to: odległość od jednego punktu do drugiego będzie równa modułowi różnicy współrzędnych. Tych. dla punktów A i B leżących na tej samej linii współrzędnych w dowolnym miejscu i mających odpowiednio współrzędne x A oraz x B: A B = x B - x A .

Dane wyjściowe: punkty A i B leżące na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych O x y o podanych współrzędnych: A (x A , y A) i B (x B , y B) .

Narysujmy prostopadłe do osi współrzędnych O x i O y przez punkty A i B i otrzymajmy punkty rzutu jako wynik: A x , A y , B x , By . W oparciu o położenie punktów A i B możliwe są dalsze opcje:

Jeżeli punkty A i B pokrywają się, to odległość między nimi wynosi zero;

Jeżeli punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi O x (oś odciętej), to punkty i pokrywają się, a | A B | = | A r B r | . Ponieważ odległość między punktami jest równa modułowi różnicy między ich współrzędnymi, to A y B y = y B - y A , a zatem A B = A y B y = y B - y A .

Jeżeli punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi O y (oś y) - analogicznie do poprzedniego akapitu: A B = A x B x = x B - x A

Jeżeli punkty A i B nie leżą na linii prostej prostopadłej do jednej z osi współrzędnych, odległość między nimi obliczamy wyprowadzając wzór obliczeniowy:

Widzimy, że trójkąt A, B, C jest z założenia prostokątny. W tym przypadku A C = A x B x i B C = A y B y . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, składamy równość: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y By 2 , a następnie przekształcamy: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Wyciągnijmy wniosek z uzyskanego wyniku: odległość od punktu A do punktu B na płaszczyźnie określa się na podstawie obliczeń ze wzoru wykorzystującego współrzędne tych punktów

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Otrzymany wzór potwierdza również sformułowane wcześniej stwierdzenia dla przypadków zbieżności punktów lub sytuacji, gdy punkty leżą na prostych prostopadłych do osi. Tak więc w przypadku zbieżności punktów A i B równość będzie prawdziwa: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Dla sytuacji, gdy punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

W przypadku, gdy punkty A i B leżą na linii prostej prostopadłej do osi y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Dane wyjściowe: prostokątny układ współrzędnych O x y z z leżącymi na nim dowolnymi punktami o danych współrzędnych A (x A , y A , z A) i B (x B , y B , z B) . Konieczne jest określenie odległości między tymi punktami.

Rozważmy ogólny przypadek, gdy punkty A i B nie leżą na płaszczyźnie równoległej do jednej z płaszczyzn współrzędnych. Narysuj przez punkty A i B płaszczyzny prostopadłe do osi współrzędnych i uzyskaj odpowiednie punkty rzutu: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Odległość między punktami A i B jest przekątną powstałego pudełka. Zgodnie z konstrukcją miary tego pudełka: A x B x , A y By y i A z B z

Z przebiegu geometrii wiadomo, że kwadrat przekątnej równoległościanu jest równy sumie kwadratów jego wymiarów. Na podstawie tego stwierdzenia uzyskujemy równość: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Korzystając z uzyskanych wcześniej wniosków piszemy:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Przekształćmy wyrażenie:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finał wzór na określenie odległości między punktami w przestrzeni będzie wyglądać tak:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Otrzymany wzór obowiązuje również w przypadkach, gdy:

Kropki pasują;

Leżą na tej samej osi współrzędnych lub na linii prostej równoległej do jednej z osi współrzędnych.

Przykłady rozwiązywania problemów dotyczących znajdowania odległości między punktami

Przykład 1

Dane wyjściowe: podano współrzędną i leżące na niej punkty o podanych współrzędnych A (1 - 2) i B (11 + 2). Konieczne jest wyznaczenie odległości od punktu odniesienia O do punktu A oraz pomiędzy punktami A i B.

Rozwiązanie

1. Odległość od punktu odniesienia do punktu jest równa odpowiednio modułowi współrzędnej tego punktu O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Odległość między punktami A i B definiuje się jako moduł różnicy między współrzędnymi tych punktów: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpowiedź: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Przykład 2

Dane początkowe: podano prostokątny układ współrzędnych i dwa leżące na nim punkty A (1 , - 1) i B (λ + 1 , 3) ​​​​. λ to pewna liczba rzeczywista. Konieczne jest znalezienie wszystkich wartości tej liczby, dla których odległość A B będzie równa 5.

Rozwiązanie

Aby znaleźć odległość między punktami A i B, musisz użyć wzoru A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Zastępowanie prawdziwe wartości współrzędne, otrzymujemy: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A także używamy istniejącego warunku, że A B = 5 i wtedy równość będzie prawdziwa:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpowiedź: A B \u003d 5, jeśli λ \u003d ± 3.

Przykład 3

Dane wyjściowe: podano trójwymiarową przestrzeń w prostokątnym układzie współrzędnych O x y z oraz leżące w niej punkty A (1 , 2 , 3) ​​i B - 7 , - 2 , 4 .

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, używamy wzoru A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Zastępując wartości rzeczywiste, otrzymujemy: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpowiedź: | A B | = 9

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter