Luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Pada artikel ini, Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun yang dibatasi oleh garis menggunakan perhitungan integral. Untuk pertama kalinya, kita menemukan rumusan masalah seperti itu di sekolah menengah, ketika studi integral tertentu baru saja selesai dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometris dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.

Jadi, apa yang diperlukan untuk berhasil menyelesaikan masalah menemukan luas bangun menggunakan integral:

Kemampuan menggambar dengan benar;
Kemampuan untuk memecahkan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. untuk memahami bagaimana dalam kasus ini atau itu akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
Nah, di mana tanpa perhitungan yang benar?) Ini termasuk pemahaman bagaimana menyelesaikan jenis integral lain dan perhitungan numerik yang benar.

Algoritma untuk memecahkan masalah menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis:

1. Kami membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas di dalam sangkar, dalam skala besar. Kami menandatangani dengan pensil di atas setiap grafik nama fungsi ini. Tanda tangan grafik dilakukan semata-mata untuk kenyamanan perhitungan lebih lanjut. Setelah menerima grafik dari gambar yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, kebetulan nilai batasnya pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.

2. Jika batas integrasi tidak ditetapkan secara eksplisit, maka kami menemukan titik perpotongan grafik satu sama lain, dan melihat apakah solusi grafis kami bertepatan dengan solusi analitik.

3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambar. Bergantung pada bagaimana grafik fungsi berada, ada berbagai pendekatan untuk menemukan luas gambar. Perhatikan berbagai contoh mencari luas bangun menggunakan integral.

3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (y=0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari sebuah sebelum b. Pada saat yang sama, angka ini non-negatif dan terletak tidak lebih rendah dari sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu yang dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Contoh 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Garis apa yang mendefinisikan gambar? Kami memiliki parabola y = x2 - 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, tidak negatif, karena semua titik parabola ini positif. Selanjutnya, diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang berjalan sejajar dengan sumbu OU, adalah garis pembatas dari gambar di kiri dan kanan. Sehat y = 0, dia adalah sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Angka yang dihasilkan diarsir, seperti yang terlihat pada gambar di sebelah kiri. PADA kasus ini, Anda dapat segera mulai memecahkan masalah. Di depan kita adalah contoh sederhana dari trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kasus dianalisis ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali bahwa fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Bagaimana mengatasi masalah seperti itu, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut.

Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Dalam contoh ini, kita memiliki parabola y=x2+6x+2, yang berasal dari bawah sumbu OH, lurus x=-4, x=-1, y=0. Di Sini y = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 dan x = -1 ini adalah batas-batas di mana integral tertentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah menemukan luas gambar hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan semuanya juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa artinya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, gambar yang terletak di dalam x yang diberikan memiliki koordinat "negatif" eksklusif, yang perlu kita lihat dan ingat saat memecahkan masalah. Kami mencari luas gambar menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.

Artikel belum selesai.

Kami mulai mempertimbangkan proses aktual menghitung integral ganda dan berkenalan dengan makna geometrisnya.

Integral ganda secara numerik sama dengan luas sosok datar(domain integrasi). Ini adalah bentuk integral ganda yang paling sederhana, ketika fungsi dua variabel sama dengan satu: .

Mari kita pertimbangkan masalah secara umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya itu! Mari kita hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Untuk kepastian, kita asumsikan bahwa pada interval . Luas gambar ini secara numerik sama dengan:

Mari kita gambarkan area dalam gambar:

Mari kita pilih cara pertama untuk melewati area:

Lewat sini:

Dan segera trik teknis yang penting: integral berulang dapat dipertimbangkan secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Metode ini sangat dianjurkan untuk pemula dalam topik teko.

1) Hitung integral internal, sedangkan integrasi dilakukan atas variabel "y":

Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian digunakan rumus dangkal Newton-Leibniz, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integral bukanlah bilangan, tetapi fungsi. Pertama, kita substitusikan batas atas ke "y" (fungsi antiturunan), lalu batas bawahnya

2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke dalam integral luar:

Notasi yang lebih ringkas untuk seluruh solusi terlihat seperti ini:

Rumus yang dihasilkan - ini persis rumus kerja untuk menghitung luas bangun datar menggunakan integral pasti "biasa"! Lihat pelajaran Perhitungan luas menggunakan integral tertentu , itu dia di setiap kesempatan!

Itu adalah, masalah menghitung luas menggunakan integral ganda sedikit berbeda dari masalah mencari luas menggunakan integral tertentu! Faktanya, mereka adalah satu dan sama!

Dengan demikian, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan mempertimbangkan banyak contoh, karena Anda, pada kenyataannya, telah berulang kali mengalami masalah ini.

Contoh 9

Larutan: Mari kita gambarkan area dalam gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Di sini dan di bawah, saya tidak akan membahas cara melintasi suatu area karena paragraf pertama sangat detail.

Lewat sini:

Seperti yang sudah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral berulang secara terpisah, saya akan mengikuti metode yang sama:

1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita berurusan dengan integral internal:

2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke integral luar:

Poin 2 sebenarnya adalah mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu.

Menjawab:

Inilah tugas yang bodoh dan naif.

Contoh aneh untuk solusi independen:

Contoh 10

Menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,

Contoh solusi akhir di akhir pelajaran.

Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan cara pertama untuk melewati area tersebut, pembaca yang penasaran, dapat mengubah urutan pintasan dan menghitung area dengan cara kedua. Jika Anda tidak melakukan kesalahan, maka, secara alami, nilai area yang sama diperoleh.

Tetapi dalam beberapa kasus, cara kedua untuk memotong area lebih efektif, dan sebagai kesimpulan dari perjalanan seorang kutu buku muda, kami akan mempertimbangkan beberapa contoh lagi tentang topik ini:

Contoh 11

Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis.

Larutan: kami menantikan dua parabola dengan angin sepoi-sepoi yang terletak di sisi mereka. Tak perlu tersenyum, hal serupa pada integral berganda sering kita jumpai.

Apa cara termudah untuk membuat gambar?

Mari kita nyatakan parabola sebagai dua fungsi:
- cabang atas dan - cabang bawah.

Demikian pula, bayangkan parabola sebagai bagian atas dan bawah ranting.

Selanjutnya, drive plot poin demi poin, menghasilkan sosok yang begitu aneh:

Luas gambar dihitung menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:

Apa jadinya jika kita memilih jalan pertama untuk melewati area tersebut? Pertama, area ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran menyedihkan ini: . Integral, tentu saja, bukan dari tingkat yang super kompleks, tetapi ... ada pepatah matematika kuno: siapa yang bersahabat dengan akar, dia tidak membutuhkan set-off.

Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi, kami menyatakan fungsi invers:

Fungsi terbalik dalam contoh ini, mereka memiliki keuntungan bahwa mereka segera mengatur seluruh parabola tanpa daun, biji, cabang, dan akar.

Menurut metode kedua, area traversal akan menjadi sebagai berikut:

Lewat sini:

Seperti yang mereka katakan, rasakan perbedaannya.

1) Kami berurusan dengan integral internal:

Kami mengganti hasilnya ke integral luar:

Integrasi atas variabel "y" seharusnya tidak memalukan, jika ada huruf "zyu" - akan lebih bagus untuk mengintegrasikannya. Meskipun siapa yang membaca paragraf kedua dari pelajaran Bagaimana cara menghitung volume benda revolusi, dia tidak lagi mengalami rasa malu sedikit pun dengan integrasi atas "y".

Perhatikan juga langkah pertama: integran genap, dan segmen integrasi simetris terhadap nol. Oleh karena itu, segmennya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa dua kali lipat. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran. Metode yang Efektif perhitungan integral tertentu.

Apa yang harus ditambahkan…. Semuanya!

Menjawab:

Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung . Jawabannya harus sama persis.

Contoh 12

Menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis

Ini adalah contoh do-it-yourself. Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan cara pertama untuk melewati area tersebut, maka sosok itu tidak akan lagi dibagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan, karenanya, kami mendapatkan tiga pasang integral berulang. Kadang-kadang itu terjadi.

Kelas master telah berakhir, dan saatnya untuk beralih ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral rangkap? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu maniak di artikel kedua =)

Semoga tercapai!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:Larutan: Gambarlah sebuah daerah pada gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Lewat sini:
Mari kita beralih ke fungsi invers:

Lewat sini:
Menjawab:

Contoh 4:Larutan: Mari kita beralih ke fungsi langsung:

Mari kita jalankan gambarnya:

Mari kita ubah urutan traversal area:

Menjawab:

Faktanya, untuk menemukan luas bangun, Anda tidak perlu banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Tugas "menghitung luas menggunakan integral tertentu" selalu melibatkan konstruksi gambar, masih banyak lagi masalah topikal akan menjadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan grafik fungsi dasar utama, dan, setidaknya, dapat membangun garis lurus, dan hiperbola.

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada segmen yang tidak berubah tanda pada interval ini. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang absis:

Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik.

Dalam geometri, integral tertentu adalah luas.

Itu adalah, integral tertentu (jika ada) sesuai secara geometris dengan luas beberapa gambar. Sebagai contoh, pertimbangkan integral tertentu . Integral mendefinisikan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Pertama dan momen penting solusi - membuat gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BAIK.

Saat membuat cetak biru, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik untuk membangun semua garis (jika ada) dan hanya setelah- parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Grafik fungsi lebih menguntungkan untuk dibangun titik.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):

Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, makanya:

Menjawab:

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, sepertinya itu benar. Cukup jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesalahan dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak benar.

Contoh 3

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis dan sumbu koordinat.

Larutan: Mari kita membuat gambar:

Jika trapesium lengkung terletak di bawah as(atau setidaknya tidak lebih tinggi diberikan sumbu), maka luasnya dapat ditemukan dengan rumus:

Pada kasus ini:

Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.

2) Jika Anda diminta untuk mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari masalah sekolah yang paling sederhana, kami beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Larutan: Pertama, Anda harus menyelesaikan gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Oleh karena itu, batas bawah integrasi , batas atas integrasi .

Cara terbaik adalah untuk tidak menggunakan metode ini jika memungkinkan..

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk membangun garis lurus terlebih dahulu dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar:

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika ada beberapa fungsi kontinu pada interval lebih besar dari atau sama beberapa fungsi kontinu, maka luas gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi dan garis lurus ini, dapat ditemukan dengan rumus:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, itu penting bagan mana yang DI ATAS(relatif terhadap grafik lain), dan yang BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu untuk mengurangi dari

Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Contoh 4

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Larutan: Mari kita membuat gambar terlebih dahulu:

Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru.(perhatikan baik-baik kondisinya - bagaimana angkanya terbatas!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, "kesalahan" sering terjadi, sehingga Anda perlu menemukan area gambar yang diarsir dengan warna hijau!

Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu.

Betulkah:

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Jadi, apa yang diperlukan untuk berhasil menyelesaikan masalah menemukan luas bangun menggunakan integral:

Kemampuan menggambar dengan benar;
Kemampuan untuk memecahkan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. untuk memahami bagaimana dalam kasus ini atau itu akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
Nah, di mana tanpa perhitungan yang benar?) Ini termasuk pemahaman bagaimana menyelesaikan jenis integral lain dan perhitungan numerik yang benar.

Algoritma untuk memecahkan masalah menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis:

2. Jika batas integrasi tidak ditetapkan secara eksplisit, maka kami menemukan titik perpotongan grafik satu sama lain, dan melihat apakah solusi grafis kami bertepatan dengan solusi analitik.

Contoh 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Garis apa yang mendefinisikan gambar? Kami memiliki parabola y = x2 - 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, tidak negatif, karena semua titik parabola ini positif. Selanjutnya, diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang berjalan sejajar dengan sumbu OU, adalah garis pembatas dari gambar di kiri dan kanan. Sehat y = 0, dia adalah sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Angka yang dihasilkan diarsir, seperti yang terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di depan kita adalah contoh sederhana dari trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Artikel belum selesai.

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

Penerapan integral untuk memecahkan masalah yang diterapkan

Perhitungan luas

Integral tentu dari fungsi tak-negatif kontinu f(x) secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y \u003d f (x), sumbu O x dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. Dengan demikian, rumus luas ditulis sebagai berikut:

Perhatikan beberapa contoh penghitungan luas bangun datar.

Tugas nomor 1. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Larutan. Mari kita buat sebuah gambar, luas yang harus kita hitung.

y \u003d x 2 + 1 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan parabola digeser ke atas satu unit relatif terhadap sumbu O y (Gambar 1).

Gambar 1. Grafik fungsi y = x 2 + 1

Tugas nomor 2. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dalam kisaran dari 0 hingga 1.

Larutan. Grafik fungsi ini adalah parabola cabang, yang mengarah ke atas, dan parabola digeser ke bawah satu unit relatif terhadap sumbu Oy (Gambar 2).

Gambar 2. Grafik fungsi y \u003d x 2 - 1

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

y = 8 + 2x - x 2 dan y = 2x - 4.

Larutan. Garis pertama dari dua garis ini adalah parabola dengan cabang-cabang mengarah ke bawah, karena koefisien pada x 2 adalah negatif, dan garis kedua adalah garis lurus yang melintasi kedua sumbu koordinat.

Untuk membuat parabola, cari koordinat titik puncaknya: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – simpul absis; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 adalah ordinatnya, N(1;9) adalah verteksnya.

Sekarang kita menemukan titik potong parabola dan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Menyamakan ruas kanan persamaan yang ruas kirinya sama.

Kami mendapatkan 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 atau x 2 - 12 \u003d 0, dari mana .

Jadi, titik-titik tersebut adalah titik potong parabola dan garis lurus (Gambar 1).

Gambar 3 Grafik fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4

Mari kita buat garis lurus y = 2x - 4. Melalui titik (0;-4), (2; 0) pada sumbu koordinat.

Untuk membuat parabola, Anda juga dapat memiliki titik potongnya dengan sumbu 0x, yaitu akar dari persamaan 8 + 2x - x 2 = 0 atau x 2 - 2x - 8 = 0. Berdasarkan teorema Vieta, adalah mudah untuk menemukan akarnya: x 1 = 2, x 2 = empat.

Gambar 3 menunjukkan gambar (segmen parabola M 1 N M 2) dibatasi oleh garis-garis ini.

Bagian kedua dari masalah adalah menemukan luas dari gambar ini. Luasnya dapat dicari dengan integral tentu dengan menggunakan rumus .

Berkenaan dengan kondisi ini, kami memperoleh integral:

2 Perhitungan volume benda revolusi

Volume tubuh yang diperoleh dari rotasi kurva y \u003d f (x) di sekitar sumbu O x dihitung dengan rumus:

Saat berputar di sekitar sumbu O y, rumusnya terlihat seperti:

Tugas nomor 4. Tentukan volume benda yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x \u003d 0 x \u003d 3 dan kurva y \u003d di sekitar sumbu O x.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gambar 4).

Gambar 4. Grafik fungsi y =

Volume yang diinginkan sama dengan

Tugas nomor 5. Hitung volume tubuh yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi sumbu O y .

Larutan. Kita punya:

Tinjau pertanyaan

Portal Wanita Flero

Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis

ARTIKEL TERKAIT