2.2.3. Varijabilna kamatna stopa

Treba napomenuti da osnovna formula složenih kamata uključuje trajna kamatna stopa tijekom cijelog kamatnog razdoblja. Međutim, kada daju dugoročni zajam, često koriste vremenski promjenjive, ali unaprijed fiksne stope za svako razdoblje. zajednički interes. U slučaju korištenja varijable kamatne stope, formula obračuna je sljedeća:

gdje ik– uzastopne vrijednosti kamatnih stopa u vremenu;

nk– trajanje razdoblja tijekom kojih se koriste odgovarajuće stope.

Primjer. Tvrtka je dobila kredit od banke u iznosu od 100.000$ na rok od 5 godina.Kamatna stopa na kredit je 10% za 1. godinu, za 2. godinu se naplaćuje doplata na kamatnu stopu od 1,5%, za sljedeće godine 1% Odredite iznos duga na kraju roka kredita.

Odluka:

Koristimo formulu za promjenjive kamatne stope:

FV=PV (1 + i 1)n 1 (1 + i 2)n 2 … (1 + ik)nk =

100"000 (1 + 0,1) (1 + 0,115) (1 + 0,125) 3 =

174" 632,51 USD

Dakle, iznos koji dospijeva na kraju roka zajma bit će 174.632,51 USD, od čega je 100.000 USD izravno dugovano, a 74.632,51 USD je kamata na dug.

2.2.4. Kontinuirani obračun kamata

Sve situacije koje smo do sada razmatrali su diskretne kamate, budući da se računaju na fiksna vremenska razdoblja (godina, tromjesečje, mjesec, dan, sat). Međutim, u praksi se često javljaju slučajevi kada kamate kontinuirano akumuliraju, za proizvoljno kratko vrijeme. Kada bi se kamate obračunavale dnevno, tada bi godišnji koeficijent (multiplikator) akumulacije izgledao ovako:

kn = (1 + j / m)m = (1 + j / 365) 365

Ali budući da se kamata kontinuirano akumulira, onda m teži beskonačnosti, a koeficijent akumulacije (multiplikator) teži ka ej:

gdje e≈ 2,718281 naziva se Eulerov broj i jedna je od najvažnijih konstanti u matematičkoj analizi.

Odavde možemo napisati formulu za akumulirani iznos za n godine:

FV = PV e j n = P e δ n

Kontinuirana kamatna stopa se zove sila interesa i simbolizirani su δ , za razliku od diskretne kamatne stope ( j).

Primjer. Dobit je zajam u iznosu od 100 tisuća dolara na period od 3 godine uz 8% godišnje. Odredite iznos koji treba vratiti na kraju roka zajma, ako će nastati kamata:

a) jednom godišnje;

b) dnevno;

c) kontinuirano.

Odluka:

Koristimo formule za diskretne i kontinuirane postotke:

obračunavanje jednom godišnje

FV\u003d 100 "000 (1 + 0,08) 3 \u003d 125" 971,2 dolara;

dnevni obračun kamata

FV= 100 "000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127" 121,6 USD

kontinuirano zanimanje

FV\u003d 100 "000 e 0,08 3 \u003d 127" 124,9 dolara.

Grafički, promjena obračunanog iznosa ovisno o učestalosti obračuna ima sljedeći oblik:

Kod diskretnog obračuna, svaki "korak" karakterizira povećanje iznosa glavnice duga kao rezultat sljedećeg obračuna kamata. Napominjemo da se visina "koraka" cijelo vrijeme povećava.

Unutar jedne godine jedan "korak" na lijevom grafikonu odgovara dvama "koraka" na srednjem grafikonu manje veličine, ali ukupno premašuju visinu "koraka" jednog obračuna. Akumulacija je još brža uz kontinuirani obračun kamata, kao što pokazuje grafikon s desne strane.

Dakle, ovisno o učestalosti obračuna kamate, akumulacija početnog iznosa se provodi po različitim stopama, a maksimalna moguća akumulacija se provodi uz beskonačno dijeljenje godišnjeg intervala.

Kontinuirani obračun kamata koristi se u analizi složenih financijskih problema, kao što su obrazloženje i odabir investicijskih odluka. Pri ocjeni rada financijske institucije u kojoj se uplate za određeno razdoblje više puta primaju, preporučljivo je pretpostaviti da se obračunani iznos kontinuirano mijenja tijekom vremena i primjenjivati ​​kontinuirani obračun kamata.

2.2.5. Određivanje roka kredita i kamatne stope

Baš kao i za jednostavne kamate, za složene kamate potrebno je imati formule koje vam omogućuju da odredite nedostajuće parametre financijske transakcije:

rok zajma:

n = / = / ;

složena kamatna stopa:

Dakle, trostruko povećanje depozita tijekom tri godine ekvivalentno je godišnjoj kamatnoj stopi od 44,3%, pa će stavljanje novca na 46% godišnje biti isplativije.

2.3. Ekvivalencija stopa i zamjena plaćanja

2.3.1. Ekvivalencija kamatnih stopa

Nerijetko se u praksi javlja situacija kada je potrebno usporediti uvjete raznih financijskih transakcija i komercijalnih transakcija u smislu isplativosti. Uvjeti financijskih i trgovačkih transakcija mogu biti vrlo raznoliki i izravno neusporedivi. Za usporedbu alternativnih opcija, stope korištene u uvjetima ugovora dovedene su do jedinstvene stope.

Ekvivalent kamatna stopa - ovo je stopa koja će za predmetnu financijsku transakciju dati potpuno isti novčani rezultat (akumulirani iznos) kao stopa korištena u ovoj transakciji.

Klasični primjer ekvivalencije je nominalni i efektivna stopa postotak:

i = (1 + j / m)m - 1.

j = m[(1 + i) 1 / m - 1].

Efektivna stopa mjeri relativni prihod koji se može ostvariti tijekom cijele godine, tj. potpuno je svejedno treba li primijeniti stopu j prilikom obračuna kamata m jednom godišnje ili godišnjom stopom i, – obje stope su financijski ekvivalentne.

Stoga uopće nije važno koja je od navedenih stopa naznačena u financijskim uvjetima, jer njihovo korištenje daje isti obračunati iznos. U SAD-u se u praktičnim izračunima koristi nominalna stopa, dok u europskim zemljama preferiraju efektivnu kamatnu stopu.

Ako dva nominalne stope određuju istu efektivnu kamatnu stopu, nazivaju se ekvivalentnim.

Primjer. Kolike bi bile ekvivalentne nominalne kamatne stope s polugodišnjom i mjesečnom kamatom ako bi odgovarajuća efektivna stopa trebala biti jednaka 25%?

Odluka:

Za obračun polugodišnjih kamata nalazimo nominalnu stopu:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 2[(1 + 0,25) 1/2 - 1] = 0,23607.

Nalazimo nominalnu stopu za mjesečni obračun kamata:

j = m[(1 + i) 1 / m - 1] = 4[(1 + 0,25) 1/12 - 1] = 0,22523.

Dakle, nominalne stope od 23,61% s polugodišnjom kamatom i 22,52% s mjesečnom kamatom su ekvivalentne.

Prilikom izvođenja jednakosti koje povezuju ekvivalentne stope, množitelji akumulacije se međusobno izjednačavaju, što omogućuje korištenje formula za ekvivalentnost jednostavnih i složenih stopa:

jednostavna kamatna stopa:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n;

složena kamatna stopa:

Primjer. Kapital bi trebao plasirati na 4 godine ili po složenoj kamatnoj stopi od 20% godišnje s polugodišnjom kamatom ili po jednostavnoj kamatnoj stopi od 26% godišnje. Pronađite najbolju opciju.

Odluka:

Pronađite ekvivalentnu jednostavnu stopu za složenu kamatnu stopu:

i = [(1 + j / m)m n - 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) 2 4 - 1] / 4 = 0,2859.

Dakle, prosta kamatna stopa ekvivalentna složenoj stopi prema prvoj opciji iznosi 28,59% godišnje, što je više od predložene proste kamatne stope od 26% godišnje prema drugoj opciji, stoga je isplativije staviti kapital pod prva opcija, tj. uz 20% godišnje uz polugodišnju kamatu.

Diskretna kamatna stopa je stopa po kojoj se kamata naplaćuje za unaprijed određena ili određena razdoblja. Ako smanjite razdoblje obračuna kamata na beskonačno malu vrijednost (razdoblje za koje će se vršiti obračuni teži nuli, a broj obračuna kamata teži beskonačnosti), tada će se kamate kontinuirano akumulirati. U tom slučaju se naziva kamatna stopa kontinuirana stopa ili sila rasta .

U teorijskim studijama iu praksi, kada se plaćanja vrše u više navrata, prikladno je koristiti kontinuiranu metodu obračuna kamata. Prijelaz na granicu može se izvesti na isti način kao što je to učinjeno u stavku 2.2 pri izvođenju formule (2.12) ili na sljedeći način.

Kontinuirana stopa može biti fiksna ili promjenjiva. Razmotrimo slučaj kada je kontinuirana kamatna stopa različita u različito vrijeme.

Neka je a(t) funkcija koja opisuje ovisnost kontinuirane brzine (sile rasta) o vremenu t. Prirast kapitala S(t) u trenutku t za vremenski interval Δt jednak je:

S(t + Δt) – S(t) = a(t) Δt S(t)

Zatim, imamo:

Kada je Δt →0 dobivamo da je stopa promjene kapitala proporcionalna kapitalu. Tada iznos plaćanja (kapital) S(t) zadovoljava linearnu homogenu diferencijalnu jednadžbu prvog reda:

, (2.28)

– stopa promjene plaćanja (stopa promjene kapitala);

S(t) - iznos plaćanja (kapital);

a(t) - postotak kontinuiranog prirasta ili sila rasta.

U drugom obliku, jednadžba će biti napisana:

dS = a(t) S dt, (2.29)

tj. prirast plaćanja je proporcionalan samom plaćanju S i vremenskom prirastu dt. Koeficijent proporcionalnosti a(t) je sila rasta ili postotak prirasta.

Postoji još jedan način za pisanje diferencijalne jednadžbe:

, (2.30)

tj. relativni prirast iznosa plaćanja dS/S proporcionalan je prirastu vremena dt. Štoviše, kao i prije, a(t) je određen postotkom akrula i, u općem slučaju, može ovisiti o vremenu. Sve tri kapitalne jednadžbe (2.28), (2.29), (2.30) su ekvivalentne.

Razmotrimo neka od najjednostavnijih svojstava kapitala, opisana diferencijalnom jednadžbom (2.28)-(2.30). Ako je funkcija a(t)>0 pozitivna, tada je s pozitivnim kapitalom S>0 pozitivna i derivacija kapitala dS/dt >0 i, posljedično, kapital S(t) raste. U ovom slučaju se zove a(t). kontinuirano zanimanje prirast ili sila rasta .

Inače, ako funkcija a(t)<0 отрицательна, то при положительном капитале S>0 kapitalni derivat dS/dt<0 отрицательна и, следовательно, капитал S(t) убывает. В этом случае абсолютная величина |a(t)| называется kontinuirani popust .

Rješenje linearne diferencijalne jednadžbe je dobro poznato. Doista, jednadžba (2.30) je jednadžba s odvojivim varijablama i može se integrirati:

Računajući integral, dobivamo:

,

gdje - neodređeni integral od na),

C 1 je proizvoljna konstanta.

Dakle, imamo:

Konačno, opće rješenje diferencijalne jednadžbe može se zapisati kao:

, (2.31)

gdje je nova proizvoljna konstanta.

Za definiranje proizvoljne konstante S morate znati glavni grad barem u jednom trenutku. Ako je poznato da je u trenutku t=t 0 kapital jednak S = S 0 (tj. S(t 0)=S 0), tada proizvoljna konstanta S lako se određuje iz (2.31):

,

Zamjenom dobivenog rezultata u (2.31) imamo:

.

Koristeći klasičnu formulu za vezu određenog i neodređenog integrala (Newton-Leibnizova formula):

,

dobivamo rješenje diferencijalne jednadžbe s početnim uvjetima S(t 0)=S 0 u obliku:

Često se vrijeme može mjeriti od početnog trenutka, tada je t 0 =0 i rješenje linearne diferencijalne jednadžbe zapisuje se kao:

, (2.32)

S(0) je početni iznos u trenutku 0;

S(t) je iznos plaćanja u trenutku t.

Očito, gornje formule za a(t)>0 odgovaraju izračunu posudbe, a za a(t)<0 – расчету дисконтирования.

Ako je sila rasta konstantna tijekom cijelog razmatranog vremenskog intervala, tj. a(t)= r, tada za konačno plaćanje u trenutku t imamo:

. (2.33)

Očito se ova formula podudara s formulom (2.12) dobivenom prijelaskom na granicu.

Razmotrimo nekoliko primjera korištenja ovih formula.

Primjer 28.

Zajam od 200 tisuća rubalja. daje se na 2,5 godine po stopi od 20% godišnje s tromjesečnim obračunom. Pronađite iznos konačne uplate. Izračun se vrši na diskretnim i kontinuiranim postocima.

Odluka.

Iznos konačne uplate zadovoljava diferencijalnu jednadžbu , gdje je r=20%=0,2 u skladu s postotkom godišnjeg obračuna, a vrijeme t se mjeri u godinama. Rješenje linearne jednadžbe je poznato:

.

Tada je konačna uplata:

Tisuću trljati.

Proračun za diskretni slučaj po formulama (2.11) daje:

Tisuću trljati.

Vidi se da su kod višestrukih obračuna malih kamata rezultati izračuna iznosa konačne uplate bliski.

Razmotrimo sada primjer izračunavanja diskontiranja u kontinuiranom slučaju.

Primjer 29.

Zadužnica na 3 milijuna rubalja. s godišnjom diskontnom stopom od 10% i diskontiranom dva puta godišnje na 2 godine. Pronađite izvorni iznos koji treba posuditi uz ovaj račun. Izračun se vrši na diskretnim i kontinuiranim postocima.

Odluka.

Iznos plaćanja posuđen po mjenici zadovoljava linearnu diferencijalnu jednadžbu čije je rješenje poznato:

.

Izračun iznosa posuđenog na račun pomoću diskretnih formula (2.24) daje slične rezultate:

milijuna rub.

Dakle, teorijski i praktični izračuni primjenom kontinuiranih formula daju rezultate bliske rezultatima računanja pomoću diskretnih formula, ako je broj obračuna velik, a postotak razgraničenja mali.

U praktično financijsko-kreditnom poslovanju kontinuirano se povećava, t.j. nakupljanje tijekom beskonačno malih vremenskih razdoblja koristi se iznimno rijetko. Kontinuirana akumulacija od mnogo je veće važnosti u analizi složenih financijskih problema, na primjer, u utemeljenju i odabiru investicijskih odluka, u financijskom dizajnu.

Uz kontinuirano povećanje kamata koristi se posebna vrsta kamatne stope – sila rasta.

Snaga rasta karakterizira relativno povećanje akumulirane količine tijekom beskonačno malog vremenskog razdoblja. Može biti konstantan ili se mijenjati tijekom vremena.

Kako bismo razlikovali kontinuiranu stopu od diskretne stope, označavamo stopu rasta kao δ . Tada će akumulirani iznos po kontinuiranoj stopi biti:

Diskretne i kontinuirane obračunske stope su funkcionalno ovisne. Iz jednakosti množitelja povećanja

slijedi: ,

.

Primjer: Iznos na koji se naplaćuje kontinuirana kamata je 2 milijuna rubalja, stopa rasta je 10%, rok je 5 godina. Odredite akumulirani iznos.

Kontinuirano povećanje po stopi = 10% jednako je povećanju u istom razdoblju diskretne složene kamate po godišnjoj stopi:

Kao rezultat, dobivamo:

Formula za popust:

.

Faktor popusta je .

Primjer: Odredite trenutnu vrijednost plaćanja ako je obračunata vrijednost 5.000 tisuća rubalja. podliježe diskontiranju silom rasta od 12%. Rok plaćanja je 5 godina.

Kada se koristi diskretna nominalna stopa, akumulirani iznos određuje se formulom:

Prilikom prelaska na kontinuirane postotke dobivamo:

Obračunski multiplikator za kontinuiranu kapitalizaciju kamata.

Označavajući silu rasta kroz, dobivamo:

jer diskretne i kontinuirane stope su funkcionalno povezane jedna s drugom, tada možemo napisati jednakost množitelja akumulacije

Za početnu kapital 500 tisuća rubalja. obračunate složene kamate - 8% godišnje na 4 godine. Odredite akumulirani iznos ako se kamate kontinuirano akumuliraju.

Diskontiranje na temelju kontinuiranih kamatnih stopa

U formuli (4.21) može se odrediti suvremena vrijednost

Kontinuirana kamatna stopa koja se koristi u diskontiranju naziva se diskontna snaga. Jednaka je snazi ​​rasta, t.j. koji se koriste za diskontiranje sile diskonta ili sile rasta dovode do istog rezultata.

Definirati sadašnju vrijednost plaćanja, uz pretpostavku da se diskontiranje vrši po stopi rasta od 12% i po diskretnoj složenoj diskontnoj stopi iste veličine.

Varijabilna snaga rasta

Pomoću ove karakteristike modeliraju se procesi povećanja novčanih iznosa s promjenom kamatne stope. Ako je sila rasta opisana nekom kontinuiranom funkcijom vremena, tada su formule valjane.

Za akumulirani iznos:

Moderna vrijednost:

1) Neka se sila rasta diskretno mijenja i uzima sljedeće vrijednosti: u vremenskim intervalima, tada na kraju roka zajma, akumulirani iznos će biti:

Ako je razdoblje akumulacije n, a prosječna vrijednost rasta je: , tada

Odredite množitelj obračuna za kontinuirano obračunavanje kamata za 5 godina. Ako se snaga rasta mijenja diskretno i odgovara: 1 godina - 7%, 2 i 3 - 8%, posljednje 2 godine - 10%.

2) Sila rasta se kontinuirano mijenja u vremenu i opisuje se jednadžbom:

gdje je početna sila rasta (at)

a - godišnji porast ili smanjenje.

Izračunajte stupanj množitelja povećanja:

Početna vrijednost sila rasta od 8%, kamatna stopa je kontinuirana i linearna.

Rast za godinu -2%, razdoblje akumulacije - 5 godina. Pronađite faktor rasta.

3) Snaga rasta se, dakle, eksponencijalno mijenja

U praktičnom financijsko-kreditnom poslovanju kontinuirano povećanje, t.j. nakupljanje tijekom beskonačno malih vremenskih razdoblja koristi se iznimno rijetko. Od puno veće važnosti je kontinuirano gomilanje u analizi složenih financijskih problema, na primjer, u opravdanosti i odabiru investicijskih odluka.

Obračunati iznos po diskretnoj kamati određuje se formulom

S=P(1+j/m) mn ,

gdje j je nominalna kamatna stopa, i m je broj kamatnih razdoblja godišnje.

Više m, kraći su vremenski intervali između trenutaka obračuna kamata. Povećanje učestalosti obračuna kamata ( m) uz fiksnu vrijednost nominalne kamatne stope j dovodi do povećanja obračunskog multiplikatora, koji uz kontinuirani obračun kamata ( m) dosegne svoju graničnu vrijednost

Poznato je da

gdje e je baza prirodnih logaritama.

Koristeći ovu granicu u izrazu (2.5), konačno dobivamo taj akumulirani iznos po stopi j jednako je

S=Pe jn .

Kontinuirana kamatna stopa naziva se sila rasta i označava se simbolom  . Zatim

S=Pe  n . (2.6)

Snaga rasta je nominalna kamatna stopa na m.

Zakon obračuna za kontinuirani obračun kamata (2.6) po obliku se podudara s (2.2) s tom razlikom što se u (2.2) vrijeme mijenja diskretno s korakom 1/ m, a u (2.6) je kontinuiran.

Lako je pokazati da su diskretne i kontinuirane obračunske stope u funkcionalnom odnosu. Iz jednakosti obračunskih množitelja možemo dobiti formulu za ekvivalentni prijelaz s jedne stope na drugu:

(1+i) n =e  n ,

odakle slijedi:

=ln(1+ i), i=e  -1.

Primjer 20 . Iznos na koji se obračunava kontinuirana kamata 5 godina je 2000 den. jedinica, sila rasta 10%. Akumulirani iznos će biti S=2000 e 0,1 5 \u003d 2000 1,6487 \u003d 3297,44 den. jedinice

Kontinuirano povećanje po stopi od 10% jednako je povećanju složene diskretne kamate po godišnjoj stopi tijekom istog razdoblja i. Pronašli smo:

i=e 0,1 -1=1,10517-1=0,10517.

Kao rezultat, dobivamo S\u003d 2000 (1 + 0,10517) 5 \u003d 3297,44 den. jedinice

Diskontiranje na temelju jačine rasta provodi se prema formuli

P=Se -  n

Primjer 21. Odredimo sadašnju vrijednost plaćanja iz primjera 17, uz uvjet da se diskontiranje temelji na stopi rasta od 15%.

Odluka. Iznos primljen za dug (moderna vrijednost) jednak je

P=5000 e-0,15 5 \u003d 5000 0,472366 \u003d 2361,83 den. jedinice

Primjenom diskretne kompleksne diskontne stope iste veličine dobili smo vrijednost (vidi primjer 17) P=2218,53 den. jedinice

2.5. Izračun roka kredita i kamatnih stopa

U nizu praktičnih zadataka ugovorom su precizirani početni (P) i konačni (S) iznos, a potrebno je odrediti ili rok plaćanja ili kamatnu stopu, što u ovom slučaju može poslužiti kao mjera za usporedbu. s tržišnim pokazateljima i obilježjem isplativosti poslovanja za zajmodavca. Ove je vrijednosti lako pronaći iz izvornih formula za obračunavanje i popust (za jednostavne kamate, ovi problemi su razmotreni u paragrafu 1.8.).

Rok zajma. Razmotrimo računski problem n za različite uvjete obračunavanja kamata i diskonta.

i iz izvorne formule rasta (2.1) slijedi da

,

gdje se logaritam može uzeti u bilo kojoj osnovi, budući da je prisutan i u brojniku i u nazivniku.

j m

.

d f m

;

.

S povećanjem konstantne sile rasta, na temelju formule (2.6), dobivamo:

.

Primjer 22. Za koji period u godinama iznos je jednak 75 tisuća den. jedinica, dostići će 200 tisuća den. jedinice pri obračunavanju kamata po složenoj stopi od 12% jednom godišnje i tromjesečno?

Odluka. Prema formulama za izračun termina kada se obračunava po složenim obračunskim stopama, dobivamo:

n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 godina;

n=(log(200/75)/(4 log(1+0,12/4))=3,429 godina;

Izračun kamatnih stopa. Iz istih početnih formula kao gore, dobivamo formule za izračun stopa pod različitim uvjetima za obračunavanje kamata i diskontiranja.

Kada se obračunava po složenoj godišnjoj stopi i iz izvorne formule rasta (2.1) slijedi da

i=(S/P) 1/ n –1=
.

Kada se obračunava po nominalnoj kamatnoj stopi m jednom godišnje iz formule (2.2) dobivamo:

j=m((S/P) 1/ mn –1)=
.

Kada se diskontira po složenoj godišnjoj diskontnoj stopi d i to po nominalnoj diskontnoj stopi f m jednom godišnje iz formula (2.3) i (2.4) dobivamo:

d =1– (P/S) 1/ n =
;

f = m(1– (P/S) 1/ mn =
.

Povećanjem konstantne sile rasta, na temelju formule (2.6), dobivamo:

.

Primjer 23. Potvrda o štednji kupljena za 100 tisuća den. jedinica, njegov otkupni iznos je 160 tisuća den. jedinice, rok 2,5 godine. Koja je stopa povrata na ulaganje u obliku godišnje složene kamatne stope?

Odluka. Koristeći rezultirajuću formulu za godišnju stopu i, dobivamo: i=(160/100) 1/2,5 –1=1,2068–1=0,20684, tj. 20,684%.

Primjer 24. Dospijeće mjenice je 2 godine. Popust u njegovom računovodstvu iznosio je 30%. Kojoj složenoj godišnjoj diskontnoj stopi odgovara ovaj popust?

Odluka. Prema zadatku P/S=0,7. Zatim d=1–
=0,16334, tj. 16,334%.