Chaque point A du plan est caractérisé par ses coordonnées (x, y). Ils coïncident avec les coordonnées du vecteur 0А , sortant du point 0 - l'origine.

Soient A et B des points arbitraires du plan de coordonnées (x 1 y 1) et (x 2, y 2), respectivement.

Alors le vecteur AB a évidemment pour coordonnées (x 2 - x 1, y 2 - y 1). On sait que le carré de la longueur d'un vecteur est égal à la somme des carrés de ses coordonnées. Par conséquent, la distance d entre les points A et B, ou, ce qui revient au même, la longueur du vecteur AB, est déterminée à partir de la condition

ré 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ ré = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

La formule résultante vous permet de trouver la distance entre deux points quelconques du plan, si seules les coordonnées de ces points sont connues

A chaque fois, en parlant des coordonnées de l'un ou l'autre point du plan, on a en tête un repère x0y bien défini. En général, le système de coordonnées sur le plan peut être choisi de différentes manières. Ainsi, au lieu du système de coordonnées x0y, nous pouvons considérer le système de coordonnées xִy', qui est obtenu en faisant tourner les anciens axes de coordonnées autour du point de départ 0 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre flèches sur le coin α .

Si un point du plan dans le système de coordonnées x0y avait des coordonnées (x, y), alors dans le nouveau système de coordonnées x-y', il aura d'autres coordonnées (x', y').

A titre d'exemple, considérons un point M situé sur l'axe 0x' et distant du point 0 d'une distance égale à 1.

Évidemment, dans le repère x0y, ce point a pour coordonnées (cos α , péché α ), et dans le système de coordonnées хִу' les coordonnées sont (1,0).

Les coordonnées de deux points quelconques du plan A et B dépendent de la façon dont le système de coordonnées est défini dans ce plan. Et ici la distance entre ces points ne dépend pas de la façon dont le système de coordonnées est spécifié .

Autres matériaux

QUESTIONS THÉORIQUES

GEOMETRIE ANALYTIQUE SUR LE PLAN

1. Méthode des coordonnées : ligne numérique, coordonnées sur la ligne ; système de coordonnées rectangulaire (cartésien) sur le plan ; coordonnées polaires.

Regardons une ligne droite. Choisissons une direction dessus (il deviendra alors un axe) et un point 0 (l'origine). Une droite avec une direction et une origine choisies est appelée ligne de coordonnées(dans ce cas, nous supposons que l'unité d'échelle est sélectionnée).

Laisser être M est un point arbitraire sur la ligne de coordonnées. Mettons en accord avec le point M nombre réel X, égal à la valeur OM segment : x=OM. Numéro X appelée coordonnée du point M.

Ainsi, chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un certain nombre réel - sa coordonnée. L'inverse est également vrai, chaque nombre réel x correspond à un point sur la ligne de coordonnées, à savoir un tel point M, dont la coordonnée est x. Cette correspondance s'appelle mutuellement sans ambiguïté.

Ainsi, les nombres réels peuvent être représentés par des points de la ligne de coordonnées, c'est-à-dire la ligne de coordonnées sert d'image de l'ensemble de tous les nombres réels. Par conséquent, l'ensemble de tous les nombres réels s'appelle ligne numérique, et tout nombre est un point de cette droite. Près d'un point sur une droite numérique, un nombre est souvent indiqué - sa coordonnée.

Système de coordonnées rectangulaire (ou cartésien) sur un plan.

Deux axes mutuellement perpendiculaires À propos de x et À propos de y ayant début commun O et la même unité d'échelle, forme système de coordonnées rectangulaire (ou cartésien) sur le plan.

Axe OH appelé l'axe des abscisses, l'axe OY- l'axe des ordonnées. Point O l'intersection des axes s'appelle l'origine. Le plan dans lequel se trouvent les axes OH et OY, est appelé le plan de coordonnées et est noté Oh xy.

Ainsi, un système de coordonnées rectangulaires sur un plan établit une correspondance biunivoque entre l'ensemble de tous les points du plan et l'ensemble des paires de nombres, ce qui permet d'appliquer des méthodes algébriques lors de la résolution de problèmes géométriques. Les axes de coordonnées divisent le plan en 4 parties, on les appelle quarts, carré ou alors angles de coordonnées.

Coordonnées polaires.

Le système de coordonnées polaires est constitué d'un certain point O appelé pôle, et le faisceau qui en émane équipement d'origine appelé axe polaire. De plus, l'unité d'échelle pour mesurer les longueurs des segments est définie. Soit un système de coordonnées polaires donné et soit M est un point quelconque du plan. Dénoter par R– distance des points M de ce point O, et à travers φ - l'angle de rotation du faisceau dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, l'axe polaire coïncidant avec le faisceau OM.

coordonnées polaires points M appeler les numéros R et φ . Numéro R considérée comme la première coordonnée et appelée rayon polaire, Numéro φ - la deuxième coordonnée s'appelle angle polaire.

Point M avec coordonnées polaires R et φ sont désignés comme suit : Ü( ;φ).Établissons une connexion entre les coordonnées polaires d'un point et ses coordonnées rectangulaires.
Dans ce cas, nous supposerons que l'origine du système de coordonnées rectangulaires est au pôle et que le demi-axe positif de l'abscisse coïncide avec l'axe polaire.

Soit le point M de coordonnées rectangulaires X et Oui et coordonnées polaires R et φ .

(1)

Preuve.

Tomber des points M 1 et M 2 perpendiculaires M 1V et M 1 A,. comme (x 2 ; y 2). En théorie, si M 1 (x 1) et M2 (x2) sont deux points quelconques et α est la distance entre eux, alors α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Distance d'un point à un autre est la longueur du segment reliant ces points, à une échelle donnée. Ainsi, lorsque nous parlons mesure de distance, vous devez connaître l'échelle (unité de longueur) dans laquelle les mesures seront prises. Par conséquent, le problème de trouver la distance d'un point à un point est généralement considéré soit sur une ligne de coordonnées, soit dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan ou dans un espace tridimensionnel. En d'autres termes, le plus souvent, vous devez calculer la distance entre les points par leurs coordonnées.

Dans cet article, nous rappelons dans un premier temps comment est déterminée la distance d'un point à un point sur une ligne de coordonnées. Ensuite, nous obtenons des formules pour calculer la distance entre deux points d'un plan ou d'un espace selon des coordonnées données. Enfin, regardons de plus près les solutions exemples caractéristiques et les tâches.

Navigation dans les pages.

La distance entre deux points sur une ligne de coordonnées.

Définissons d'abord la notation. La distance du point A au point B sera notée .

De cela nous pouvons conclure que la distance du point A de coordonnées au point B de coordonnées est égale au module de la différence de coordonnées, c'est à dire, pour tout arrangement de points sur la ligne de coordonnées.

Distance d'un point à un point sur un plan, formule.

Obtenons une formule pour calculer la distance entre les points et donnée dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires sur un plan.

Selon l'emplacement des points A et B, les options suivantes sont possibles.

Si les points A et B coïncident, alors la distance qui les sépare est nulle.

Si les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l'axe des x, alors les points et coïncident, et la distance est égale à la distance. Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que la distance entre deux points sur la ligne de coordonnées est égale au module de la différence entre leurs coordonnées, donc, . Ainsi, .

De même, si les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l'axe y, alors la distance du point A au point B est trouvée comme .

Dans ce cas, le triangle ABC est de construction rectangulaire, et et . Par le théorème de Pythagore on peut écrire l'égalité , d'où .

Résumons tous les résultats : la distance d'un point à un point sur un plan se trouve à travers les coordonnées des points par la formule .

La formule résultante pour trouver la distance entre les points peut être utilisée lorsque les points A et B coïncident ou se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l'un des axes de coordonnées. En effet, si A et B sont identiques, alors . Si les points A et B sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe Ox, alors . Si A et B sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe Oy, alors .

Distance entre les points dans l'espace, formule.

Introduisons un repère rectangulaire Оxyz dans l'espace. Obtenir la formule pour trouver la distance d'un point jusqu'au point .

En général, les points A et B ne se trouvent pas dans un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées. Passons par les points A et B dans le plan perpendiculaire aux axes de coordonnées Ox, Oy et Oz. Les points d'intersection de ces plans avec les axes de coordonnées nous donneront les projections des points A et B sur ces axes. Dénoter les projections .

La distance souhaitée entre les points A et B est la diagonale du parallélépipède rectangle représenté sur la figure. Par construction, les dimensions de ce parallélépipède sont et . Au cours de la géométrie lycée il a été prouvé que le carré de la diagonale d'un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions, donc, . Sur la base des informations de la première section de cet article, nous pouvons donc écrire les égalités suivantes,

où nous arrivons formule pour trouver la distance entre des points dans l'espace .

Cette formule est également valable si les points A et B

• correspondre;
• appartenir à l'un des axes de coordonnées ou à une droite parallèle à l'un des axes de coordonnées ;
• appartiennent à l'un des plans de coordonnées ou à un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées.

Trouver la distance d'un point à un autre, exemples et solutions.

Nous avons donc obtenu les formules pour trouver la distance entre deux points de la ligne de coordonnées, du plan et de l'espace tridimensionnel. Il est temps de considérer les solutions des exemples typiques.

Le nombre de tâches dans lesquelles l'étape finale consiste à trouver la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées est vraiment énorme. Revue complète de tels exemples sortent du cadre de cet article. Ici, nous nous limitons aux exemples dans lesquels les coordonnées de deux points sont connues et il est nécessaire de calculer la distance entre eux.

Donnons un système de coordonnées rectangulaires.

Théorème 1.1. Pour deux points quelconques M 1 (x 1; y 1) et M 2 (x 2; y 2) du plan, la distance d entre eux s'exprime par la formule

Preuve. Faisons tomber des points M 1 et M 2 les perpendiculaires M 1 B et M 2 A, respectivement

sur les axes Oy et Ox et notons K le point d'intersection des droites M 1 B et M 2 A (Fig. 1.4). Les cas suivants sont possibles :

1) Les points M 1, M 2 et K sont différents. Évidemment, le point K a pour coordonnées (x 2; y 1). Il est facile de voir que M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Car ∆M 1 KM 2 est rectangulaire, alors d'après le théorème de Pythagore d = M 1 M 2 = = .

2) Le point K coïncide avec le point M 2, mais est différent du point M 1 (Fig. 1.5). Dans ce cas y 2 = y 1

et d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Le point K coïncide avec le point M 1, mais est différent du point M 2. Dans ce cas x 2 = x 1 et d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Le point M 2 coïncide avec le point M 1. Alors x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 et

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

La division du segment à cet égard.

Soit un segment arbitraire M 1 M 2 donné sur le plan et soit M un point quelconque de ce

segment autre que le point M 2 (Fig. 1.6). Le nombre l défini par l'égalité l = , est appelé attitude, dans laquelle le point M divise le segment M 1 M 2.

Théorème 1.2. Si le point M (x; y) divise le segment M 1 M 2 par rapport à l, alors les coordonnées de celui-ci sont déterminées par les formules

x = , y = , (4)

où (x 1; y 1) sont les coordonnées du point M 1, (x 2; y 2) sont les coordonnées du point M 2.

Preuve. Démontrons la première des formules (4). La seconde formule se démontre de manière similaire. Deux cas sont possibles.

x = x 1 = = = .

2) La droite M 1 M 2 n'est pas perpendiculaire à l'axe Ox (Fig. 1.6). Déposons les perpendiculaires des points M 1 , M, M 2 à l'axe Ox et notons les points de leur intersection avec l'axe Ox respectivement P 1 , P, P 2 . D'après le théorème des segments proportionnels =l.

Car P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô et les nombres (x - x 1) et (x 2 - x) ont le même signe (pour x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sont négatifs), alors

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Corollaire 1.2.1. Si M 1 (x 1; y 1) et M 2 (x 2; y 2) sont deux points arbitraires et le point M (x; y) est le milieu du segment M 1 M 2, alors

x = , y = (5)

Preuve. Puisque M 1 M = M 2 M, alors l = 1 et par les formules (4) on obtient les formules (5).

Aire d'un triangle.

Théorème 1.3. Pour tous les points A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2) et C (x 3 ; y 3) qui ne se trouvent pas sur le même

droite, l'aire S du triangle ABC s'exprime par la formule

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Preuve. La zone ∆ ABC représentée sur la fig. 1.7, nous calculons comme suit

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Calculez l'aire du trapèze:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Maintenant nous avons

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pour un autre emplacement ∆ ABC, la formule (6) se démontre de manière similaire, mais elle peut être obtenue avec le signe « - ». Par conséquent, dans la formule (6) mettez le signe du module.

Cours 2

L'équation d'une droite sur un plan : l'équation d'une droite avec le coefficient principal, l'équation générale d'une droite, l'équation d'une droite en segments, l'équation d'une droite passant par deux points. Angle entre droites, conditions de parallélisme et perpendicularité des droites sur un plan.

2.1. Soit un système de coordonnées rectangulaires et une ligne L donnés sur le plan.

Définition 2.1. Une équation de la forme F(x;y) = 0 reliant les variables x et y est appelée équation de droite L(dans un système de coordonnées donné) si cette équation est satisfaite par les coordonnées de tout point situé sur la ligne L, et non par les coordonnées de tout point ne se trouvant pas sur cette ligne.

Exemples d'équations de droites sur un plan.

1) Considérons une droite parallèle à l'axe Oy d'un repère rectangulaire (Fig. 2.1). Désignons par la lettre A le point d'intersection de cette droite avec l'axe Ox, (a; o) ─ son or-

dinats. L'équation x = a est l'équation de la ligne donnée. En effet, cette équation est satisfaite par les coordonnées de tout point M(a;y) de cette droite et les coordonnées de tout point non situé sur la droite sont satisfaites. Si a = 0, alors la ligne coïncide avec l'axe Oy, qui a l'équation x = 0.

2) L'équation x - y \u003d 0 définit l'ensemble des points dans le plan qui composent les bissectrices des angles de coordonnées I et III.

3) L'équation x 2 - y 2 \u003d 0 est l'équation de deux bissectrices d'angles de coordonnées.

4) L'équation x 2 + y 2 = 0 définit un seul point O(0;0) sur le plan.

5) L'équation x 2 + y 2 \u003d 25 est l'équation d'un cercle de rayon 5 centré à l'origine.

Dans cet article, nous examinerons les moyens de déterminer la distance d'un point à un point théoriquement et sur l'exemple de tâches spécifiques. Commençons par quelques définitions.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1

Distance entre points- c'est la longueur du segment qui les relie, dans l'échelle existante. Il est nécessaire de régler l'échelle afin d'avoir une unité de longueur pour la mesure. Par conséquent, le problème de la recherche de la distance entre les points est essentiellement résolu en utilisant leurs coordonnées sur la ligne de coordonnées, dans le plan de coordonnées ou dans l'espace tridimensionnel.

Données initiales : la ligne de coordonnées O x et un point arbitraire posé dessus A. Un nombre réel est inhérent à tout point de la ligne : soit un certain nombre pour le point A xA, c'est la coordonnée du point A.

En général, on peut dire que l'estimation de la longueur d'un certain segment se fait en comparaison avec le segment pris comme unité de longueur sur une échelle donnée.

Si le point A correspond à un nombre réel entier, ayant mis de côté successivement du point O à un point le long d'une ligne droite O A segments - unités de longueur, on peut déterminer la longueur du segment O A par le nombre total de segments uniques en attente.

Par exemple, le point A correspond au chiffre 3 - pour y accéder depuis le point O, il faudra réserver trois segments unitaires. Si le point A a une coordonnée de -4, les segments simples sont tracés de la même manière, mais dans une direction négative différente. Ainsi, dans le premier cas, la distance O A vaut 3 ; dans le second cas, O A \u003d 4.

Si le point A a un nombre rationnel comme coordonnée, alors à partir de l'origine (point O), nous mettons de côté un nombre entier de segments unitaires, puis sa partie nécessaire. Mais géométriquement il n'est pas toujours possible de faire une mesure. Par exemple, il semble difficile de mettre de côté la fraction directe coordonnée 4 111 .

De la manière ci-dessus, il est totalement impossible de reporter un nombre irrationnel sur une ligne droite. Par exemple, lorsque la coordonnée du point A est 11 . Dans ce cas, il est possible de se tourner vers l'abstraction: si la coordonnée donnée du point A est supérieure à zéro, alors O A \u003d x A (le nombre est pris comme une distance); si la coordonnée est inférieure à zéro, alors O A = - x A . En général, ces affirmations sont vraies pour tout nombre réel x A .

En résumé : la distance de l'origine au point, qui correspond à un nombre réel sur la ligne de coordonnées, est égale à :

• 0 si le point est le même que l'origine ;

• x A si x A > 0 ;

• - x A si x A< 0 .

Dans ce cas, il est évident que la longueur du segment lui-même ne peut pas être négative, donc, en utilisant le signe du module, nous écrivons la distance du point O au point A avec la coordonnée xA: O A = x A

L'énoncé correct serait : la distance d'un point à un autre sera égale au module de la différence de coordonnées. Ceux. pour les points A et B situés sur la même ligne de coordonnées à n'importe quel endroit et ayant, respectivement, les coordonnées xA et x B : UNE B = x B - x UNE .

Données initiales : points A et B situés sur un plan dans un repère rectangulaire O x y de coordonnées données : A (x A , y A) et B (x B , y B) .

Dessinons des perpendiculaires aux axes de coordonnées O x et O y passant par les points A et B et obtenons les points de projection comme résultat : A x , A y , B x , B y . En fonction de l'emplacement des points A et B, les options suivantes sont en outre possibles :

Si les points A et B coïncident, alors la distance qui les sépare est nulle ;

Si les points A et B sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe O x (axe des abscisses), alors les points et coïncident, et | A B | = | A y B y | . Puisque la distance entre les points est égale au module de la différence entre leurs coordonnées, alors A y B y = y B - y A , et, par conséquent, A B = A y B y = y B - y A .

Si les points A et B sont situés sur une droite perpendiculaire à l'axe O y (axe y) - par analogie avec le paragraphe précédent : A B = A x B x = x B - x A

Si les points A et B ne se trouvent pas sur une droite perpendiculaire à l'un des axes de coordonnées, nous trouvons la distance entre eux en dérivant la formule de calcul :

On voit que le triangle A B C est rectangle par construction. Dans ce cas, A C = A x B x et B C = A y B y . En utilisant le théorème de Pythagore, on compose l'égalité : A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , puis on la transforme : A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x UNE 2 + y B - y UNE 2 = (x B - x UNE) 2 + (y B - y UNE) 2

Formons une conclusion à partir du résultat obtenu: la distance du point A au point B sur le plan est déterminée par le calcul par la formule utilisant les coordonnées de ces points

UNE B = (x B - x UNE) 2 + (y B - y UNE) 2

La formule résultante confirme également les déclarations précédemment formées pour les cas de coïncidence de points ou de situations où les points se trouvent sur des droites perpendiculaires aux axes. Ainsi, pour le cas de la coïncidence des points A et B, l'égalité sera vraie : A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pour la situation où les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l'axe des x :

UNE B = (x B - x UNE) 2 + (y B - y UNE) 2 = 0 2 + (y B - y UNE) 2 = y B - y UNE

Pour le cas où les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l'axe y :

UNE B = (x B - x UNE) 2 + (y B - y UNE) 2 = (x B - x UNE) 2 + 0 2 = x B - x UNE

Données initiales : système de coordonnées rectangulaires O x y z avec des points arbitraires situés dessus avec des coordonnées données A (x A , y A , z A) et B (x B , y B , z B) . Il est nécessaire de déterminer la distance entre ces points.

Considérons le cas général où les points A et B ne se trouvent pas dans un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées. Dessinez par les points A et B des plans perpendiculaires aux axes de coordonnées et obtenez les points de projection correspondants : A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distance entre les points A et B est la diagonale de la boîte résultante. Selon la construction de la mesure de cette boîte : A x B x , A y B y et A z B z

Du cours de géométrie, on sait que le carré de la diagonale d'un parallélépipède est égal à la somme des carrés de ses dimensions. Sur la base de cette déclaration, nous obtenons l'égalité: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

En utilisant les conclusions obtenues précédemment, nous écrivons ce qui suit :

UNE x B x = x B - x UNE , UNE y B y = y B - y UNE , UNE z B z = z B - z UNE

Transformons l'expression :

UNE B 2 = UNE x B x 2 + UNE y B y 2 + UNE z B z 2 = x B - x UNE 2 + y B - y UNE 2 + z B - z UNE 2 = = (x B - x UNE) 2 + (y B - y UNE) 2 + z B - z UNE 2

Final formule pour déterminer la distance entre des points dans l'espace ressemblera à ceci :

UNE B = x B - x UNE 2 + y B - y UNE 2 + (z B - z UNE) 2

La formule résultante est également valable pour les cas où :

Les points correspondent ;

Ils se trouvent sur le même axe de coordonnées ou sur une droite parallèle à l'un des axes de coordonnées.

Exemples de résolution de problèmes pour trouver la distance entre des points

Exemple 1

Données initiales : une ligne de coordonnées et les points qui s'y trouvent avec les coordonnées données A (1 - 2) et B (11 + 2) sont donnés. Il faut trouver la distance du point de référence O au point A et entre les points A et B.

Décision

1. La distance du point de référence au point est égale au module de la coordonnée de ce point, respectivement O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. La distance entre les points A et B est définie comme le module de la différence entre les coordonnées de ces points : A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Réponse : O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemple 2

Données initiales : étant donné un système de coordonnées rectangulaire et deux points situés dessus A (1 , - 1) et B (λ + 1 , 3) ​​​​. λ est un nombre réel. Il faut trouver toutes les valeurs de ce nombre pour lesquelles la distance A B sera égale à 5.

Décision

Pour trouver la distance entre les points A et B, vous devez utiliser la formule A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Remplacer valeurs réelles coordonnées, on obtient : A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Et aussi nous utilisons la condition existante que A B = 5 et alors l'égalité sera vraie :

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Réponse : A B \u003d 5 si λ \u003d ± 3.

Exemple 3

Données initiales: un espace tridimensionnel dans un système de coordonnées rectangulaire O x y z et les points A (1 , 2 , 3) ​​​​et B - 7 , - 2 , 4 qui s'y trouvent sont donnés.

Décision

Pour résoudre le problème, nous utilisons la formule A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

En substituant les valeurs réelles, on obtient : A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Réponse : | A B | = 9

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