Na túto lekciu Spolu so žabou sa zoznámite s matematickými pojmami: „rovnosť“ a „nerovnosť“, ako aj s porovnávacími znakmi. Pomocou zábavných a zaujímavých príkladov sa naučte porovnávať skupiny tvarov pomocou párovania a porovnávať čísla pomocou číselnej osi.

téma:Úvod do základných pojmov v matematike

Lekcia: Rovnosť a nerovnosť

V tejto lekcii sa zoznámime s matematickými pojmami: "rovnosť" a "nerovnosť".

Skúste odpovedať na otázku:

Pri stene sú vane,

Každý má presne jednu žabu.

Ak by bolo päť vaní,

Koľko žiab by mali? (obr. 1)

Ryža. jeden

V básni sa píše, že kadí bolo 5, každá mala 1 žabku, nikto nezostal bez páru, čiže počet žiab sa rovná počtu kadí.

Označme vane písmenom K a žaby písmenom L.

Zapíšme si rovnosť: K = L. (obr. 2)

Ryža. 2

Porovnajte čísla dvoch skupín obrázkov. Figúr je veľa, sú rôznych veľkostí, usporiadané bez poradia. (obr. 3)

Ryža. 3

Urobme z týchto figúrok dvojice. Pripojte každý štvorec do trojuholníka. (obr. 4)

Ryža. štyri

Dve políčka zostali bez páru. Takže počet štvorcov sa nerovná počtu trojuholníkov. Štvorce označujeme písmenom K a trojuholníky písmenom T.

Zapíšme si nerovnosť: K ≠ T. (obr. 5)

Ryža. 5

Záver: Môžete porovnať počet prvkov v dvoch skupinách vytvorením párov. Ak je dostatok párov pre všetky prvky, potom zodpovedajúce čísla rovný, v tomto prípade dávame medzi čísla alebo písmená =. Tento záznam sa nazýva rovnosť. (obr. 6)

Ryža. 6

Ak nie je dostatok páru, to znamená, že zostávajú položky navyše, potom tieto čísla nerovná sa. Vložte medzi čísla alebo písmená znak nerovnaký. Tento záznam sa nazýva nerovnosť.(obr. 7)

Ryža. 7

Prvky ponechané bez páru ukazujú, ktoré z dvoch čísel je väčšie a o koľko. (obr. 8)

Ryža. osem

Metóda porovnávania skupín postáv pomocou párovania nie je vždy vhodná a zaberá veľa času. Čísla môžete porovnávať pomocou číselného lúča. (obr. 9)

Ryža. 9

Porovnajte tieto čísla pomocou číselného lúča a vložte znamienko porovnania.

Potrebujeme porovnať čísla 2 a 5. Pozrime sa na číselnú os. Číslo 2 je bližšie k 0 ako číslo 5, alebo hovoria, že číslo 2 na číselnej osi je naľavo od čísla 5. Čiže 2 sa nerovná 5. Toto je nerovnosť.

Znamienko "≠" (nerovná sa) len fixuje nerovnosť čísel, ale neudáva, ktoré z nich je väčšie a ktoré menšie.

Z dvoch čísel na číselnej osi sa menšie nachádza vľavo a väčšie vpravo. (Obr. 10)

Ryža. desať

Táto nerovnosť sa dá zapísať aj iným spôsobom, pomocou menšie znamenie"< » alebo znamienko väčšie ako ">" :

Na číselnej osi je číslo 7 vpravo ako číslo 4, preto:

7 ≠ 4 a 7 > 4

Čísla 9 a 9 sú rovnaké, takže dáme znamienko =, toto je rovnosť:

Porovnajte počet bodiek a číslo a vložte zodpovedajúce znamienko. (Obr. 11)

Ryža. jedenásť

Na prvom obrázku musíme vložiť znak = alebo ≠.

Porovnáme dva body a číslo 2, medzi ne vložíme znak =. Toto je rovnosť.

Porovnáme jeden bod a číslo 3, na číselníku je číslo 1 vľavo ako číslo 3, dáme znamienko ≠.

Porovnáme štyri body a 4. Medzi ne dáme znamienko =. Toto je rovnosť.

Porovnáme tri body a číslo 4. Tri body je číslo 3. Na číselnú os je vľavo, dáme znamienko ≠. Toto je nerovnosť. (Obr. 12)

Ryža. 12

Na druhom obrázku medzi body a čísla musíte vložiť znaky =,<, >.

Porovnajme päť bodov a číslo 5. Medzi ne dáme znamienko =. Toto je rovnosť.

Porovnajme tri body a číslo 3. Aj tu môžete dať znak =.

Porovnajme päť bodov a číslo 6. Na číselnej osi je číslo 5 viac vľavo ako číslo 6. Umiestnime znamienko<. Это неравенство.

Porovnajme dva body a jeden, číslo 2 je na číselnej osi viac vpravo ako číslo 1. Dáme znamienko >. Toto je nerovnosť. (Obr. 13)

Ryža. 13

Do rámčeka vložte číslo tak, aby sa výsledná rovnosť a nerovnosť stala pravdivou.

Toto je nerovnosť. Pozrime sa na číselný rad. Keďže hľadáme číslo menšie ako číslo 7, musí byť naľavo od čísla 7 na číselnej osi. (Obr. 14)

Ryža. štrnásť

Do poľa je možné zadať viacero čísel. Hodia sa sem čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ktorékoľvek z nich je možné dosadiť do okienka a získať tak niekoľko správnych nerovností. Napríklad 5< 7 или 2 < 7

Na číselnom lúči nájdeme čísla, ktoré budú menšie ako 5. (obr. 15)

Ryža. pätnásť

Sú to čísla 4, 3, 2, 1, 0. Do rámčeka teda môžeme dosadiť ktorékoľvek z týchto čísel, dostaneme niekoľko skutočných nerovníc. Napríklad 5 >4, 5 >3

Iba jedno číslo 8 je možné nahradiť.

V tejto lekcii sme sa zoznámili s matematickými pojmami: „rovnosť“ a „nerovnosť“, naučili sme sa správne umiestňovať porovnávacie znamienka, precvičili sme si porovnávanie skupín čísel pomocou párovania a porovnávanie čísel pomocou číselného lúča, čo pomôže pri ďalšom štúdiu matematiky.

Bibliografia

1. Aleksandrová L.A., Mordkovich A.G. Matematika 1. ročník. - M: Mnemosyne, 2012.
2. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matematika. 1 trieda. - M: Astrel, 2012.
3. Bedenko M.V. Matematika. 1 trieda. - M7: Ruské slovo, 2012.

1. game.pro().
2. slideshare.net().
3. Iqsha.ru ().

Domáca úloha

1. Aké porovnávacie znaky poznáte, v akých prípadoch sa používajú? Zapíšte si porovnávacie znaky čísel.

2. Porovnajte počet položiek na obrázku a vložte znak "<», «>" alebo "=".

3. Porovnajte čísla umiestnením znamienka "<», «>" alebo "=".

„Rovnosť“ je téma, ktorou si študenti prechádzajú už od r Základná škola. Tá sprevádza aj jej „Nerovnosti“. Tieto dva pojmy spolu úzko súvisia. Okrem toho sú s nimi spojené také pojmy ako rovnice, identity. Čo je teda rovnosť?

Koncept rovnosti

Pod týmto pojmom sa rozumejú výpisy, v ktorých zázname je znak „=“. Rovnosť sa delí na pravdivú a nepravdivú. Ak v položke namiesto = stojí<, >, potom rozprávame sa o nerovnostiach. Mimochodom, prvý znak rovnosti naznačuje, že obe časti výrazu sú vo svojom výsledku alebo zázname totožné.

Okrem pojmu rovnosť sa na škole študuje aj téma „Číselná rovnosť“. Toto tvrdenie sa chápe ako dva číselné výrazy, ktoré stoja na oboch stranách znamienka =. Napríklad 2*5+7=17. Obe časti záznamu sú si navzájom rovnocenné.

V numerických výrazoch tohto typu možno použiť zátvorky, ktoré ovplyvňujú poradie operácií. Existujú teda 4 pravidlá, ktoré by sa mali brať do úvahy pri výpočte výsledkov číselných výrazov.

1. Ak v zázname nie sú žiadne zátvorky, potom sa akcie vykonávajú od najvyššej úrovne: III→II→I. Ak existuje viacero akcií rovnakej kategórie, vykonajú sa zľava doprava.
2. Ak sú v položke zátvorky, potom sa akcia vykoná v zátvorkách a potom sa zohľadnia kroky. Možno bude v zátvorkách niekoľko akcií.
3. Ak je výraz reprezentovaný ako zlomok, musíte najprv vypočítať čitateľa, potom menovateľa a potom je čitateľ vydelený menovateľom.
4. Ak položka obsahuje vnorené zátvorky, potom sa najskôr vyhodnotí výraz vo vnútorných zátvorkách.

Takže teraz je jasné, čo je rovnosť. V budúcnosti sa budú zvažovať pojmy rovníc, identít a metód ich výpočtu.

Vlastnosti číselných rovníc

čo je rovnosť? Štúdium tohto konceptu si vyžaduje znalosť vlastností numerických identít. Nasledujúce textové vzorce vám umožňujú lepšie študovať túto tému. Samozrejme, tieto vlastnosti sú vhodnejšie pre štúdium matematiky na strednej škole.

1. Číselná rovnosť nebude porušená, ak sa do existujúceho výrazu v oboch jeho častiach doplní rovnaké číslo.

A = B↔ A + 5 = B + 5

2. Rovnica nebude porušená, ak sa obe jej časti vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa líši od nuly.

P = O↔ R ∙ 5 = O ∙ 5

P = O↔ R: 5 = O: 5

3. Pridaním rovnakej funkcie do oboch častí identity, ktorá dáva zmysel pre akékoľvek prípustné hodnoty premennej, dostaneme novú rovnosť, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X)=Ψ (X) + R(X)

4. Akýkoľvek výraz alebo výraz je možné preniesť na druhú stranu znamienka rovnosti, pričom je potrebné zmeniť znamienka na opačnú.

X + 5 = Y - 20 ↔ X \u003d Y – 20 – 5 ↔ X \u003d Y – 25

5. Vynásobením alebo vydelením oboch strán rovnice tou istou nenulovou funkciou, ktorá dáva zmysel pre každú hodnotu X z ODZ, dostaneme novú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X): G(X) = Ψ(X): G(X)

Vyššie uvedené pravidlá výslovne poukazujú na princíp rovnosti, ktorý existuje za určitých podmienok.

Pojem proporcie

V matematike existuje niečo ako rovnosť vzťahov. V tomto prípade sa predpokladá definícia proporcie. Ak vydelíte A B, výsledkom bude pomer čísla A k číslu B. Proporcia je rovnosť dvoch pomerov:

Niekedy je napísaný pomer nasledujúcim spôsobom: A:B=C:D. Z toho vyplýva hlavná vlastnosť proporcie: A*D=D*C, kde A a D sú krajné členy podielu a B a C sú stredné členy.

identity

Identita je rovnosť, ktorá bude platiť pre všetky platné hodnoty tých premenných, ktoré sú zahrnuté v úlohe. Identity môžu byť reprezentované ako doslovné alebo číselné rovnosti.

Rovnako rovné sú výrazy, ktoré obsahujú v oboch častiach rovnosti neznámu premennú, ktorá je schopná dať rovnítko medzi dve časti jedného celku.

Ak nahradíme jeden výraz iným, ktorý sa mu bude rovnať, potom hovoríme o identickej transformácii. V tomto prípade môžete použiť vzorce pre skrátené násobenie, zákony aritmetiky a iné identity.

Ak chcete znížiť zlomok, musíte vykonať rovnaké transformácie. Napríklad daný zlomok. Ak chcete získať výsledok, mali by ste použiť vzorce pre skrátené násobenie, faktorizácia, zjednodušenie výrazov a zmenšenie zlomkov.

Je potrebné poznamenať, že tento výraz bude identický, ak sa menovateľ nerovná 3.

5 spôsobov preukázania totožnosti

Aby sa dokázalo, že rovnosť je totožná, je potrebné výrazy transformovať.

I cesta

Je potrebné vykonať ekvivalentné transformácie na ľavej strane. V dôsledku toho sa získa pravá strana a môžeme povedať, že identita je preukázaná.

II metóda

Všetky akcie na transformáciu výrazu sa vyskytujú na pravej strane. Výsledkom vykonaných manipulácií je ľavá strana. Ak sú obe časti totožné, totožnosť je preukázaná.

III metóda

"Transformácie" sa vyskytujú v oboch častiach výrazu. Ak sú výsledkom dve rovnaké časti, totožnosť sa preukazuje.

IV metóda

Pravá strana sa odpočíta od ľavej strany. V dôsledku ekvivalentných transformácií by sa mala získať nula. Potom môžeme hovoriť o identite výrazu.

5. spôsob

Ľavá strana sa odpočíta od pravej strany. Všetky ekvivalentné transformácie sú redukované na skutočnosť, že odpoveď je nula. Len v tomto prípade môžeme hovoriť o identite rovnosti.

Základné vlastnosti identít

V matematike sa vlastnosti rovnosti často používajú na urýchlenie procesu výpočtu. Vzhľadom na základné algebraické identity bude proces výpočtu niektorých výrazov trvať niekoľko minút namiesto dlhých hodín.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X+ (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X ∙ Y + X ∙ C
• X ∙ (Y - C) \u003d X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) \u003d X + Y - C
• X - (Y + C) \u003d X - Y - C
• X - (Y - C) \u003d X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1, kde X ≠ 0

Skrátené vzorce násobenia

Skrátené vzorce násobenia sú v podstate rovnosťami. Pomáhajú pri riešení mnohých problémov v matematike vďaka ich jednoduchosti a jednoduchosti použitia.

• (A + B) 2 \u003d A 2 + 2 ∙ A ∙ B + B 2 - druhá mocnina súčtu dvojice čísel;

• (A - B) 2 \u003d A 2 - 2 ∙ A ∙ B + B 2 - druhá mocnina rozdielu medzi dvojicou čísel;

• (C + B) ∙ (C - B) \u003d C2 - B2 - rozdiel štvorcov;

• (A + B) 3 \u003d A 3 + 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 + B 3 - kocka súčtu;

• (A - B) 3 \u003d A 3 - 3 ∙ A 2 ∙ B + 3 ∙ A ∙ B 2 - B 3 - kocka rozdielu;

• (P + B) ∙ (P 2 - P ∙ B + B 2) \u003d P 3 + B 3 - súčet kociek;

• (P - B) ∙ (P 2 + P ∙ B + B 2) \u003d P 3 - B 3 - rozdiel kociek.

Skrátené vzorce násobenia sa často používajú, ak je potrebné uviesť polynóm do jeho obvyklej formy a zjednodušiť ho všetkými možnými spôsobmi. Uvedené vzorce sú dokázané jednoducho: stačí otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy.

Rovnice

Po preštudovaní otázky, čo je to rovnosť, môžete prejsť k ďalšiemu bodu: Rovnica je chápaná ako rovnosť, v ktorej sú neznáme veličiny. Riešením rovnice je nájdenie všetkých hodnôt premennej, v ktorých budú obe časti celého výrazu rovnaké. Existujú aj úlohy, v ktorých je hľadanie riešení rovnice nemožné. V tomto prípade hovoríme, že neexistujú žiadne korene.

Rovnosti s neznámymi spravidla dávajú ako riešenia celé čísla. Sú však prípady, keď je koreňom vektor, funkcia a iné objekty.

Rovnica je jedným z najdôležitejších pojmov v matematike. Väčšina vedeckých a praktických problémov neumožňuje zmerať alebo vypočítať žiadnu hodnotu. Preto je potrebné zostaviť pomer, ktorý bude spĺňať všetky podmienky úlohy. V procese zostavovania takéhoto vzťahu sa objavuje rovnica alebo sústava rovníc.

Zvyčajne sa riešenie rovnosti s neznámou redukuje na transformáciu zložitej rovnice a jej redukciu na jednoduché formy. Je potrebné pamätať na to, že transformácie sa musia vykonať s ohľadom na obe časti, inak bude výstup nesprávny.

4 spôsoby riešenia rovnice

Riešením rovnice sa rozumie nahradenie danej rovnosti inou, ktorá je ekvivalentná tej prvej. Takáto substitúcia je známa ako identická transformácia. Na vyriešenie rovnice musíte použiť jednu z metód.

1. Jeden výraz je nahradený iným, ktorý bude nevyhnutne zhodný s prvým. Príklad: (3∙x+3) 2 =15∙x+10. Tento výraz možno previesť na 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10.

2. Prenesenie podmienok rovnosti s neznámym z jednej strany na druhú. V tomto prípade je potrebné správne zmeniť značky. Najmenšia chyba zničí všetku vykonanú prácu. Ako príklad si zoberme predchádzajúcu „vzorku“.

9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. Násobenie oboch strán rovnosti rovnakým číslom alebo výrazom, ktorý sa nerovná 0. Je však potrebné pripomenúť, že ak nová rovnica nie je ekvivalentná s rovnosťou pred transformáciami, počet koreňov sa môže výrazne zmeniť.

4. Umocnenie oboch strán rovnice. Táto metóda je jednoducho úžasná, najmä keď sú v rovnosti, teda výraz pod ňou, iracionálne výrazy. Existuje jedno upozornenie: ak zvýšite rovnicu na rovnomernú moc, môžu sa objaviť cudzie korene, ktoré skreslia podstatu úlohy. A ak je nesprávne extrahovať koreň, význam otázky v probléme bude nejasný. Príklad: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 a 2) - 7∙х = 35 → rovnica bude vyriešená správne.

Takže v tomto článku sú spomenuté pojmy ako rovnice a identity. Všetky pochádzajú z konceptu „rovnosti“. Vďaka rôznym druhom ekvivalentných výrazov je riešenie niektorých problémov výrazne uľahčené.