Rysunek jest pierwszym i bardzo ważnym krokiem w rozwiązaniu problemu geometrycznego. Jaki powinien być rysunek zwykłej piramidy?

Najpierw przypomnijmy właściwości projektu równoległego:

- równoległe segmenty figury są przedstawione jako równoległe segmenty;

- zachowany jest stosunek długości odcinków linii równoległych do odcinków jednej linii prostej.

Rysunek regularnej trójkątnej piramidy

Najpierw narysuj podstawę. Ponieważ kąty i stosunki długości nierównoległych segmentów nie są zachowane w układzie równoległym, regularny trójkąt u podstawy piramidy jest reprezentowany przez dowolny trójkąt.

Środek trójkąta równobocznego jest punktem przecięcia środkowych trójkąta. Ponieważ mediany w punkcie przecięcia są podzielone w stosunku 2: 1, licząc od góry, mentalnie łączymy górę podstawy ze środkiem przeciwnej strony, w przybliżeniu dzielimy ją na trzy części i umieszczamy punkt w odległości 2 części od góry. Narysuj prostopadłą z tego punktu w górę. To jest wysokość piramidy. Rysujemy prostopadle tak długo, aby boczna krawędź nie zakrywała obrazu wysokości.

Rysunek regularnej czworokątnej piramidy

Rysunek regularnej czworokątnej piramidy również zaczyna się od podstawy. Ponieważ równoległość segmentów jest zachowana, ale wielkości kątów nie, kwadrat u podstawy jest przedstawiony jako równoległobok. Pożądane jest, aby kąt ostry tego równoległoboku był mniejszy, wtedy powierzchnie boczne są większe. Środek kwadratu to punkt przecięcia jego przekątnych. Rysujemy przekątne, od punktu przecięcia przywracamy prostopadłość. Ta prostopadła jest wysokością piramidy. Długość prostopadłości wybieramy tak, aby krawędzie boczne nie łączyły się ze sobą.

Rysunek regularnej sześciokątnej piramidy

Ponieważ rzut równoległy zachowuje równoległość segmentów, podstawa regularnej sześciokątnej piramidy - regularny sześciokąt - jest przedstawiona jako sześciokąt, którego przeciwległe boki są równoległe i równe. Środek sześciokąta foremnego jest punktem przecięcia jego przekątnych. Aby nie zaśmiecać rysunku, nie rysujemy przekątnych, ale znajdujemy ten punkt w przybliżeniu. Z niego przywracamy prostopadłość - wysokość piramidy - tak, aby krawędzie boczne nie łączyły się ze sobą.

Rozwój powierzchni piramidy jest płaską figurą, złożoną z podstawy i ścian piramidy, wyrównanych z pewną płaszczyzną. W poniższym przykładzie rozważymy konstrukcję wyciągnięcia metodą trójkąta.

Piramidę SABC przecina czołowa płaszczyzna α. Konieczne jest zbudowanie zabudowy powierzchni SABC i narysowanie na niej linii przecięcia.

Na rzucie czołowym S""A""B""C"" zaznaczamy punkty D"", E"" i F"", w których ślad α v przecina się z odcinkami A""S", B" „S”” i C „„S”” odpowiednio. Określ położenie punktów D", E", F" i połącz je ze sobą. Linia przecięcia zaznaczona jest na rysunku kolorem czerwonym.

Wyznaczanie długości żeber

Aby znaleźć naturalne wartości bocznych krawędzi piramidy, używamy metody obrotu wokół rzutowanej linii. Aby to zrobić, narysuj oś i przechodzącą przez wierzchołek S prostopadle do płaszczyzny poziomej H. Obracając wokół niego segmenty SA, SB i SC, przesuwamy je do położenia równoległego do płaszczyzny czołowej V.

Rzeczywiste wartości krawędzi są równe rzutom S""A"" 1 , S"" 1 B"" 1 i S""C"" 1 . Zaznaczamy na nich punkty D "" 1, E"" 1, F"" 1, jak pokazano strzałkami na powyższym rysunku.

Trójkąt ABC u podstawy ostrosłupa jest równoległy do ​​płaszczyzny poziomej. Jest na nim wyświetlany w pełnym rozmiarze, równym ∆A"B"C".

Zamiatanie zlecenia budowlanego

W dowolnym miejscu na rysunku zaznacz punkt S 0. Rysujemy przez nią linię prostą n i odkładamy na bok odcinek S 0 A 0 = S "" A "" 1.

Ścianę ABS = A 0 B 0 S 0 budujemy jako trójkąt z trzech stron. Aby to zrobić, z punktów S 0 i A 0 rysujemy odpowiednio łuki okręgów o promieniach R 1 \u003d S "" B "" 1 i r 1 \u003d A "B". Przecięcie tych łuków określa położenie punktu B 0 .

Ściany B 0 S 0 C 0 i C 0 S 0 A 0 są zbudowane podobnie. Podstawa piramidy, w zależności od układu rysunku, jest przymocowana do dowolnego boku: A 0 B 0, B 0 C 0 lub C 0 A 0.

Narysujmy na rozwinięciu linię, wzdłuż której płaszczyzna α przecina ostrosłup. Aby to zrobić, na krawędziach S 0 A 0 , S 0 B 0 i S 0 С 0 zaznaczamy odpowiednio punkty D 0 , E 0 i F 0. W tym przypadku punkt D 0 znajduje się na przecięciu odcinka S 0 A 0 z okręgiem o promieniu S""D"" 1 . Podobnie mi 0 = S 0 b 0 ∩ S""E"" 1 , fa 0 = S 0 do 0 ∩ S""F"" 1 .

OGÓLNE KONCEPCJE DOTYCZĄCE ZAGOSPODAROWANIA POWIERZCHNI

Rozważymy powierzchnię jako elastyczny nierozciągliwy powłoka. W takim przypadku niektóre powierzchnie można połączyć z płaszczyzną przez przekształcenie żadnych pęknięć ani zmarszczek . Powierzchnie umożliwiające taką transformację to tzw rozkładany.

Figura uzyskana przez połączenie rozwijającej się powierzchni z płaszczyzną nazywa się rozwinięciem.

Budowa opracowań ma ogromne znaczenie przy projektowaniu produktów z materiału arkuszowego (naczynia, rurociągi, wzory itp.).

Powierzchnie, które się rozwijają geometrycznie dokładne : wielościenny, stożkowy, torsowy, cylindryczny.

Spośród powierzchni zakrzywionych do rozwijających się należą powierzchnie proste (stożkowe, cylindryczne, torsy), w których płaszczyzna styczna styka się z powierzchnią wzdłuż jej tworzącej prostoliniowej.

Wszystkie inne zakrzywione powierzchnie nie rozwijają się, ale w razie potrzeby można je zbudować. przybliżony zamiata.

Aby zbudować zabudowę dowolnej zakrzywionej powierzchni, dzieli się ją na takie odcinki krzywoliniowe, z których każdy można przybliżyć jakąś płaską figurą, co wymaga określenia jej charakteru tylko pomiary.

Na przykład:

Cylinder jest podzielony na prostokąty (Rysunek 16-1a);

prosty stożek w trójkąty równoramienne (Rysunek 16-1b);

eliptyczny walec - w równoległoboki (ryc. 16-1c);

stożek eliptyczny - w trójkąty (ryc. 16-1d);

kula - na trapezie.

POWIERZCHNIA PIRAMIDY I STOŻKA

Jako przykłady rozważmy budowę rozwinięć tylko czterech powierzchni: ostrosłupa, stożka, graniastosłupa i walca.

Powierzchniowy rozwój piramidy

Rozwinięciem takiej powierzchni jest figura płaska, którą uzyskuje się przez połączenie wszystkich jej ścian jedną płaszczyzną.

Przykład 1. Zbuduj rozwinięcie powierzchni ostrosłupa ABCS (Rysunek 16-2) i narysuj na nim linię MN .

Ponieważ ściany boczne piramidy są trójkątami, aby zbudować zabudowę, konieczne jest znalezienie naturalnej formy tych trójkątów, dla której konieczne jest określenie rzeczywistych długości boków - krawędzi piramidy.

Podstawa ostrosłupa leży w płaszczyźnie poziomej, dlatego rzeczywisty rozmiar żeber AB, BC i AC jest już na rysunku.

Rib SA jest frontalny, więc jest przedstawiony w widoku z przodu w pełnym rozmiarze.

Charakter żeber SВ i SC określa się metodą trójkąta prostokątnego. Jedna jego odnoga to nadmiar punktu S nad punktami B i C, a druga to widok z góry żeber SB i SC.

Następnie z trzech stron budujemy kolejno wszystkie ściany boczne piramidy.

Aby wykreślić linię MN na zabudowie, najpierw określamy rzeczywistą wartość segmentów AM i B1 i umieszczamy je na zabudowie na odpowiednich krawędziach.

Aby wykreślić punkt M, rysujemy linię prostą S2 na ścianie SBC i znajdujemy jej położenie na rozwinięciu, odkładając odcinek B2 (mierzony w rzucie z góry) na bok BC. Następnie w widoku z przodu narysuj odcinek 3-4 przechodzący przez punkt 4 równoległy do ​​krawędzi BC i znajdź jego położenie na zabudowie, dla której odkładamy odcinek C4 na bok SC i rysujemy linię prostą 3-4 równoległą do krawędzi BC przez wynikowy punkt. Na przecięciu linii S -2 i 3-4 znajdujemy punkt N. Łącząc otrzymane punkty M, 1, N otrzymujemy pożądaną linię.

Konieczne jest zbudowanie rozwinięcia brył fasetowanych i narysowanie na rozwinięciu linii przecięcia graniastosłupa i ostrosłupa.

Aby rozwiązać ten problem w geometrii wykreślnej, musisz wiedzieć:

- informacje o zagospodarowaniu powierzchni, sposobach ich budowy, aw szczególności o budowie rozwinięć brył fasetowanych;

- właściwości jeden do jednego między powierzchnią a jej rozwinięciem oraz metody przenoszenia punktów należących do powierzchni na rozwinięcie;

- metody wyznaczania wartości naturalnych obrazów geometrycznych (linii, płaszczyzn itp.).

Procedura rozwiązania problemu

Skanowanie jest wywoływane płaska figura, którą uzyskuje się przez cięcie i odginanie powierzchni, aż do całkowitego wyrównania z płaszczyzną. Cała powierzchnia rozwija się ( puste, wzory) zbudowane są wyłącznie z walorów przyrodniczych.

1. Ponieważ skany są zbudowane z wartości naturalnych, przystępujemy do ich wyznaczania, na które przenoszona jest kalka (papier milimetrowy lub inny papier) formatu A3 zadanie nr z ze wszystkimi punktami i liniami przecięcia wielościanów.

2. Aby określić naturalne wartości krawędzi i podstawy piramidy, używamy metoda trójkąta prostokątnego. Oczywiście inne są możliwe, ale moim zdaniem ta metoda jest bardziej zrozumiała dla studentów. Jej istota polega na tym, że „na skonstruowanym kącie prostym na jednej nodze wykreśla się wartość rzutu odcinka prostej, a na drugim różnicę współrzędnych końców tego odcinka, wziętą ze sprzężonej płaszczyzny rzutu. Wtedy przeciwprostokątna powstałego kąta prostego daje naturalną wartość tego odcinka..

Ryc.4.1

Ryc.4.2

Ryc.4.3

3. Tak więc w wolnej przestrzeni rysunku (Rys. 4.1.a) tworząc kąt prosty.

Na poziomej linii tego kąta odkładamy wartość rzutu krawędzi ostrosłupa DA pobrane z poziomej płaszczyzny rzutu - lDA. Na pionowej linii pod kątem prostym nanosimy różnicę współrzędnych punktów D’ IA’ pobrane z przedniej płaszczyzny projekcji (wzdłuż osi z w dół) - . Łącząc otrzymane punkty z przeciwprostokątną, otrzymujemy naturalny rozmiar krawędzi ostrosłupa | DA| .

W ten sposób określamy naturalne wartości innych krawędzi piramidy DB I DC, a także podstawę piramidy AB, BC, AC (rys. 4.2), dla którego konstruujemy drugi kąt prosty. Należy pamiętać, że definicja naturalnej wielkości krawędzi DC jest wykonywany w tych przypadkach, gdy jest podany w rzucie na oryginalny rysunek. Łatwo to ustalić, jeśli zapamiętamy regułę: jeśli prosta na dowolnej płaszczyźnie rzutowania jest równoległa do osi współrzędnych, to na płaszczyźnie sprzężonej jest rzutowana w pełnym rozmiarze.

W szczególności w przykładzie naszego problemu przedni rzut krawędzi D’ C’ równolegle do osi X, więc w płaszczyźnie poziomej DC natychmiast wyrażone w naturalnej wielkości | DC| (rys. 4.1).

Ryc.4.4

4. Po ustaleniu naturalnych wartości krawędzi i podstawy piramidy przystępujemy do budowy przeciągnięcia ( rys.4.4). Aby to zrobić, na kartce papieru bliżej lewej strony ramki bierzemy dowolny punkt D biorąc pod uwagę, że jest to szczyt piramidy. Rysuj z punktu D dowolna linia prosta i odłóż na nią naturalny rozmiar krawędzi | DA| , zdobycie punktu A. Następnie od punktu A, przyjmując rozwiązanie kompasu pełnego rozmiaru podstawy piramidy R=|AB| i umieszczenie nóżki kompasu w punkcie A robimy łuk. Następnie przyjmujemy rozwiązanie kompasu pełnego rozmiaru krawędzi piramidy R=| DB| i umieszczenie nóżki kompasu w punkcie D wykonujemy drugie wycięcie łukowe. Na przecięciu łuków otrzymujemy punkt W, łącząc go punktami A i D uzyskać krawędź piramidy DAB. Podobnie przyczepiamy się do krawędzi DB aspekt DBC i do krawędzi DC- krawędź DCA.

Na przykład po jednej stronie podstawy WC, mocujemy podstawę piramidy również metodą szeryfów geometrycznych, biorąc wielkość boków na rozwiązanie kompasu ABIAZ i tworzenie szeryfów łukowych z punktów BIC zdobycie punktu A(rys.4.4).

5. Budowanie przeciągnięcia pryzmat upraszcza fakt, że na oryginalnym rysunku w poziomej płaszczyźnie rzutów podstawa, a w płaszczyźnie czołowej - 85 mm wysokości, ustawić w pełnym rozmiarze

Aby zbudować przeciągnięcie, mentalnie przecinamy pryzmat wzdłuż jakiejś krawędzi, na przykład wzdłuż mi, po zamocowaniu go na płaszczyźnie, rozszerzymy pozostałe ściany pryzmatu, aż będzie całkowicie wyrównany z płaszczyzną. Jest całkiem oczywiste, że otrzymamy prostokąt, którego długość jest sumą długości boków podstawy, a wysokość jest wysokością graniastosłupa - 85 mm.

Tak więc, aby zbudować przeciągnięcie pryzmatu, kontynuujemy:

- na tym samym formacie, na którym budowane jest przeciągnięcie piramidy, po prawej stronie rysujemy poziomą linię prostą iz dowolnego punktu na niej, np. E, sukcesywnie odkładamy segmenty podstawy graniastosłupa EK, KG, GU, UE, wzięte z poziomej płaszczyzny rzutu;

- z punktów mi, k, G, u, mi przywracamy piony, na których odkładamy wysokość graniastosłupa wziętą z płaszczyzny projekcji czołowej (85mm);

- łącząc otrzymane punkty linią prostą uzyskujemy rozwinięcie powierzchni bocznej graniastosłupa i do jednego z boków podstawy np. GU górną i dolną podstawę łączymy metodą szeryfów geometrycznych, tak jak to zrobiono przy budowaniu podstawy piramidy.

Ryc.4.5

6. Aby zbudować linię przecięcia na zabudowie, stosujemy zasadę, że „dowolny punkt na powierzchni odpowiada punktowi na zabudowie”. Weźmy na przykład krawędź pryzmatu GU gdzie linia przecięcia z punktami 1-2-3 ; . Odłóż na bok rozwój bazy GU zwrotnica 1,2,3 przez odległości wzięte od poziomej płaszczyzny rzutowania. Przywróć prostopadłe z tych punktów i wykreśl na nich wysokości punktów 1’ , 2’, 3’ , wzięte z przedniej płaszczyzny projekcji - z 1 , z 2 Iz 3 . W ten sposób zdobyliśmy punkty na zamiatanie 1, 2, 3, łącząc, które otrzymujemy pierwszą gałąź linii przecięcia.

Wszystkie pozostałe punkty są przenoszone w podobny sposób. Skonstruowane punkty są połączone, uzyskując drugą gałąź linii przecięcia. Zaznacz na czerwono - żądaną linię. Dodajmy, że w przypadku niepełnego przecięcia brył fasetowanych na rozwinięciu graniastosłupa powstanie jedna zamknięta gałąź linii przecięcia.

7. Budowa (przeniesienie) linii przecięcia na rozwój piramidy odbywa się w ten sam sposób, ale biorąc pod uwagę:

- ponieważ przeciągnięcia są zbudowane z wartości naturalnych, konieczne jest przeniesienie położenia punktów 1-8 linie przecięcia rzutów na linie krawędzi naturalnych rozmiarów piramidy. Aby to zrobić, weź na przykład punkty 2 i 5 w przednim rzucie żebra DA przenosimy je na wartość rzutu tej krawędzi pod kątem prostym (rys. 4.1) wzdłuż linii komunikacyjnych równoległych do osi X, otrzymujemy wymagane segmenty | D2| i |D5| żeberka DA w walorach przyrodniczych, które odkładamy (przenosimy) na rozwój piramidy;

- wszystkie pozostałe punkty linii przecięcia są przenoszone w ten sam sposób, łącznie z punktami 6 i 8 leżąc na generatorach Dm I Dn dlaczego kąt prosty (rys. 4.3) określane są naturalne wartości tych generatorów, a następnie przenoszone są do nich punkty 6 i 8;

- na drugim kącie prostym, gdzie określane są naturalne wartości podstawy piramidy, przenoszone są punkty MIN skrzyżowań generatorów z bazą, które następnie przenoszone są na zabudowę.

Tym samym punkty uzyskane na walorach przyrodniczych 1-8 i przeniesieni na zabudowę łączymy szeregowo liniami prostymi i ostatecznie otrzymujemy linię przecięcia piramidy na jej zabudowie.

Sekcja: Geometria wykreślna /

Rozwój bocznej powierzchni piramidy (ryc. 16.3) składa się z trzech trójkątów, reprezentujących w prawdziwej formie boczne ściany piramidy.

Aby zbudować zabudowę, należy najpierw określić rzeczywiste długości bocznych krawędzi piramidy. Obracając te żebra wokół wysokości ostrosłupa do położenia równoległego do płaszczyzny p 2, na płaszczyźnie rzutu czołowego otrzymujemy ich rzeczywiste długości w postaci odcinków i .

Po zbudowaniu z trzech stron i ściany piramidy ASB (ryc. 16.4), dołączamy do niej sąsiednią ścianę - trójkąt BSC, a do ostatniej ściany CSA. Wynikowa figura będzie rozwinięciem powierzchni bocznej tej piramidy.

Aby uzyskać pełne przeciągnięcie, mocujemy podstawę piramidy do jednego z boków podstawy - trójkąta ABC.

Aby zbudować linię na rozwinięciu, wzdłuż której płaszczyzna a przecina powierzchnię ostrosłupa (ryc. 16.3), należy na krawędziach SA, SB i SC odpowiednio umieścić punkty 1, 2 i 3, w których ta płaszczyzna przecina krawędzie, wyznaczając rzeczywiste długości odcinków S1 , S2 i S3.

Ryż. 16.3	Ryż. 16.4

Pytania kontrolne dotyczące tematu wykładu:

1. Co nazywa się rozwojem powierzchni?

2. Jakie powierzchnie nazywamy rozwijalnymi lub nierozwijalnymi. Daj przykłady.

3. Ogólne zasady konstruowania rozwinięcia powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa.