W tym artykule porozmawiamy o dodawanie liczb ujemnych. Najpierw podajemy regułę dodawania liczb ujemnych i udowadniamy to. Następnie przeanalizujemy typowe przykłady dodawania liczb ujemnych.
Nawigacja po stronie.
Reguła ujemnego dodawania
Przed sformułowaniem reguły dodawania liczb ujemnych przejdźmy do materiału artykułu liczby dodatnie i ujemne. Tam wspomnieliśmy, że liczby ujemne mogą być postrzegane jako dług iw tym przypadku określają wysokość tego długu. Dlatego dodanie dwóch liczb ujemnych jest dodaniem dwóch długów.
Ten wniosek pozwala zrozumieć reguła ujemnego dodawania. Aby dodać dwie liczby ujemne, potrzebujesz:
- układać swoje moduły;
- umieść znak minus przed otrzymaną kwotą.
Zapiszmy regułę dodawania liczb ujemnych −a i −b w postaci literalnej: (−a)+(−b)=−(a+b).
Oczywiste jest, że reguła dźwięczna ogranicza dodawanie liczb ujemnych do dodawania liczb dodatnich (moduł liczby ujemnej jest liczbą dodatnią). Oczywiste jest również, że wynikiem dodania dwóch liczb ujemnych jest liczba ujemna, o czym świadczy znak minus umieszczony przed sumą modułów.
Regułę dodawania liczb ujemnych można udowodnić na podstawie własności działań z liczbami rzeczywistymi(lub te same właściwości operacji na liczbach wymiernych lub całkowitych). W tym celu wystarczy pokazać, że różnica między lewą i prawą częścią równości (−a)+(−b)=−(a+b) jest równa zeru.
Ponieważ odejmowanie liczby jest tym samym, co dodawanie liczby przeciwnej (zobacz zasadę odejmowania liczb całkowitych), to (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Na mocy przemiennych i asocjacyjnych właściwości dodawania mamy (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Ponieważ suma przeciwstawnych liczb jest równa zeru, to (−a+a)+(−b+b)=0+0 , a 0+0=0 ze względu na właściwość dodawania liczby do zera. Dowodzi to równości (−a)+(−b)=−(a+b) , a więc zasady dodawania liczb ujemnych.
Pozostaje tylko nauczyć się stosować zasadę dodawania liczb ujemnych w praktyce, co zrobimy w następnym akapicie.
Przykłady dodawania liczb ujemnych
Przeanalizujmy przykłady dodawania liczb ujemnych. Zacznijmy od najprostszego przypadku - dodawania liczb całkowitych ujemnych, dodawanie będzie przebiegało zgodnie z zasadą omówioną w poprzednim akapicie.
Przykład.
Dodaj liczby ujemne -304 i -18007 .
Rozwiązanie.
Prześledźmy wszystkie kroki zasady dodawania liczb ujemnych.
Najpierw znajdujemy moduły dodanych liczb: i 
. Teraz musisz dodać wynikowe liczby, tutaj wygodnie jest wykonać dodanie kolumny: 
Teraz stawiamy znak minus przed otrzymaną liczbą, w wyniku czego mamy −18 311 .
Zapiszmy całe rozwiązanie w skrócie: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Odpowiedź:
−18 311 .
Dodawanie ujemnych liczb wymiernych, w zależności od samych liczb, można sprowadzić albo do dodawania liczb naturalnych, albo do dodawania ułamków zwykłych, albo do dodawania ułamków dziesiętnych.
Przykład.
Dodaj liczbę ujemną i liczbę ujemną −4,(12) .
Rozwiązanie.
Zgodnie z zasadą dodawania liczb ujemnych należy najpierw obliczyć sumę modułów. Moduły dodanych liczb ujemnych to odpowiednio 2/5 i 4,(12). Dodanie otrzymanych liczb można sprowadzić do dodania zwykłych ułamków. Aby to zrobić, tłumaczymy okresowy ułamek dziesiętny na zwykły ułamek :. Więc 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Teraz wykonajmy
Opanowanie liczb ujemnych jest opcjonalną umiejętnością, jeśli masz zamiar wstąpić do 5 klasy szkoły fizyko-matematycznej. To jednak znacznie uprości, co dodatkowo wpłynie na ogólny wynik. olimpiada wstępu.
Więc zacznijmy.
Najpierw musisz zrozumieć, że istnieją liczby mniejsze od zera, które nazywane są ujemnymi: na przykład o jeden mniejszy niż ten 
, o jeden więcej mniej niż 1, następnie , a następnie itd. Każda liczba naturalna ma swojego „ujemnego brata”, liczbę, która wraz z liczbą pierwotną daje . 
Wszystkie liczby naturalne, „minus naturalne” i „0” razem tworzą zbiór liczb całkowitych.
Dodawanie i odejmowanie
Jeśli wyobrazisz sobie oś liczbową, możesz łatwo opanować zasady dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych:
Najpierw znajdź w wierszu liczbę, do której lub od której odejmiesz / dodasz. Następnie, jeśli potrzebujesz:
- Dodaj liczbę ujemną, a następnie musisz przejść w lewo
- Dodaj liczbę dodatnią - przesuń w prawo
- Odejmij ujemne - przesuń w prawo
- Odejmij dodatnie - przesuń w lewo
Oczywiście zadania dot o przyjęcie do klasy 5 będzie możliwe rozwiązanie bez użycia liczb ujemnych, ale ogólnie poprawi to twój poziom matematyki. Z biegiem czasu nie narysujesz ani nie przedstawisz linii liczbowej, ale zrobisz to „na maszynie”, ale do tego warto poćwiczyć: wymyśl dowolny liczby (ujemne lub dodatnie) i spróbuj je najpierw dodać, a następnie odjąć. Powtarzając to ćwiczenie raz dziennie, w ciągu jednego dnia poczujesz, że w pełni się nauczyłeś dodawać i odejmować dowolne liczby całkowite.
Mnożenie i dzielenie
Tutaj sytuacja jest jeszcze prostsza: wystarczy pamiętać, jak zmieniają się znaki podczas mnożenia lub dzielenia:
Zamiast słowa „na” może być zarówno mnożenie, jak i dzielenie.Ze znakiem zdecydujemy, a sama liczba jest wynikiem odpowiednio pomnożenia lub podzielenia pierwotnych liczb bez znaków.
Zacznijmy od prostego przykładu. Ustalmy, co jest równe wyrażeniu 2-5. Od punktu +2 skreślmy pięć działek, dwie do zera i trzy poniżej zera. Zatrzymajmy się w punkcie -3. To jest 2-5=-3. Teraz zauważ, że 2-5 wcale nie równa się 5-2. Jeśli w przypadku dodawania liczb ich kolejność nie ma znaczenia, to w przypadku odejmowania wszystko jest inne. Kolejność numerów ma znaczenie.
Przejdźmy teraz do obszar negatywny waga. Załóżmy, że musisz dodać +5 do -2. (Od teraz będziemy umieszczać znaki „+” przed liczbami dodatnimi i umieszczać w nawiasach zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne, aby nie pomylić znaków przed liczbami ze znakami dodawania i odejmowania.) Teraz nasz problem można zapisać jako (-2)+ (+5). Aby go rozwiązać, z punktu -2 przejdziemy o pięć działek w górę i znajdziemy się w punkcie +3.
Czy to zadanie ma jakiś praktyczny sens? Oczywiście, że mam. Powiedzmy, że masz 2 dolary długu i zarobiłeś 5 dolarów. Tak więc po spłacie długu zostaną ci 3 dolary.
Możesz także przesunąć w dół ujemny obszar skali. Załóżmy, że musisz odjąć 5 od -2 lub (-2)-(+5). Z punktu -2 na skali ustalmy pięć podziałów i znajdźmy się w punkcie -7. Jaki jest praktyczny sens tego zadania? Załóżmy, że masz 2 dolary długu i musiałeś pożyczyć kolejne 5. Teraz twój dług wynosi 7 dolarów.
Widzimy, że z liczbami ujemnymi można zrobić to samo operacje dodawania i odejmowania, jak i z pozytywnymi.
To prawda, że jeszcze nie opanowaliśmy wszystkich operacji. Dodaliśmy tylko do liczb ujemnych i odjęliśmy tylko dodatnie od liczb ujemnych. Ale co zrobić, jeśli musisz dodać liczby ujemne lub odjąć liczby ujemne od liczb ujemnych?
W praktyce przypomina to radzenie sobie z długami. Załóżmy, że zostałeś obciążony długiem w wysokości 5 USD, co oznacza to samo, co w przypadku otrzymania 5 USD. Z drugiej strony, jeśli w jakiś sposób zmuszę cię do przyjęcia odpowiedzialności za czyjś dług w wysokości 5 dolarów, to tak samo, jak odebranie ci tych 5 dolarów. Oznacza to, że odjęcie -5 jest równoznaczne z dodaniem +5. A dodanie -5 jest tym samym, co odjęcie +5.
To pozwala nam pozbyć się operacji odejmowania. Rzeczywiście, „5-2” jest tym samym, co (+5)-(+2) lub zgodnie z naszą regułą (+5)+(-2). W obu przypadkach otrzymujemy ten sam wynik. Od punktu +5 na skali musimy zejść o dwie działki w dół i otrzymujemy +3. W przypadku 5-2 jest to oczywiste, ponieważ odejmowanie jest ruchem w dół.
W przypadku (+5)+(-2) jest to mniej oczywiste. Dodajemy liczbę, co oznacza przesunięcie w górę skali, ale dodajemy liczbę ujemną, czyli wykonujemy czynność odwrotną, a te dwa czynniki razem wzięte oznaczają, że musimy przesunąć się nie w górę skali, ale w przeciwnym kierunku , czyli w dół.
W ten sposób ponownie otrzymujemy odpowiedź +3.
Dlaczego jest to naprawdę konieczne zamień odejmowanie na dodawanie? Po co awansować „na odwrót”? Czy nie łatwiej po prostu zejść niżej? Powodem jest to, że w przypadku dodawania kolejność wyrazów nie ma znaczenia, natomiast w przypadku odejmowania jest bardzo ważna.
Już wcześniej dowiedzieliśmy się, że (+5)-(+2) wcale nie jest tym samym, co (+2)-(+5). W pierwszym przypadku odpowiedź to +3, aw drugim -3. Z drugiej strony (-2)+(+5) i (+5)+(-2) dają +3. Tym samym przechodząc na dodawanie i rezygnując z operacji odejmowania, możemy uniknąć przypadkowych błędów związanych z przestawianiem terminów.
Podobnie możesz postępować przy odejmowaniu ujemnego. (+5)-(-2) to to samo co (+5)+(+2). W obu przypadkach otrzymujemy odpowiedź +7. Zaczynamy od punktu +5 i poruszamy się „w dół w przeciwnym kierunku”, czyli w górę. W ten sam sposób postąpilibyśmy rozwiązując wyrażenie (+5) + (+2).
Zastąpienie odejmowania przez dodawanie jest aktywnie wykorzystywane przez uczniów, gdy zaczynają uczyć się algebry, dlatego nazywa się tę operację „dodawanie algebraiczne”. W rzeczywistości nie jest to do końca sprawiedliwe, ponieważ taka operacja jest oczywiście arytmetyczna, a nie algebraiczna.
Ta wiedza jest niezmienna dla wszystkich, więc nawet jeśli zdobędziesz wykształcenie w Austrii przez www.salls.ru, chociaż studia za granicą są bardziej cenione, nadal możesz tam stosować te zasady.
Cele i zadania lekcji:
- Ogólna lekcja matematyki w klasie 6 "Dodawanie i odejmowanie liczby dodatnie i ujemne
- Podsumuj i usystematyzuj wiedzę uczniów na ten temat.
- Rozwijać przedmiotowe i ogólnokształcące umiejętności i zdolności, umiejętność wykorzystania zdobytej wiedzy do osiągnięcia celu; ustalić wzorce różnorodności powiązań, aby osiągnąć poziom usystematyzowanej wiedzy.
- Kształcenie umiejętności samokontroli i wzajemnej kontroli; rozwijać pragnienia i potrzeby uogólnienia uzyskanych faktów; rozwijać samodzielność, zainteresowanie tematem.
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny
Kochani, podróżujemy po kraju „Liczb wymiernych”, gdzie żyją liczby dodatnie, ujemne i zero. Podróżując, dowiadujemy się o nich wielu ciekawych rzeczy, poznajemy zasady i prawa, według których żyją. Oznacza to, że musimy przestrzegać tych zasad i przestrzegać ich praw.
A jakie zasady i prawa poznaliśmy? (zasady dodawania i odejmowania liczb wymiernych, prawa dodawania)
I tak tematem naszej lekcji jest „Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych”.(Uczniowie zapisują numer i temat lekcji w zeszytach)
II. Sprawdzanie pracy domowej
III. Aktualizacja wiedzy.
Rozpocznijmy lekcję od pracy ustnej. Masz przed sobą serię liczb.
8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.
Odpowiedz na pytania:
Jaka jest największa liczba w ciągu?
Jaka liczba ma największy moduł?
Jaka jest najmniejsza liczba w szeregu?
Jaka liczba ma najmniejszy moduł?
Jak porównać dwie liczby dodatnie?
Jak porównać dwie liczby ujemne?
Jak porównać liczby o różnych znakach?
Jakie są przeciwstawne liczby w szeregu?
Wypisz liczby w porządku rosnącym.
IV. Znajdź błąd
a) -47 + 25+ (-18) = 30
c) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1
d) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4
V.Zadanie „Odgadnij słowo”
W każdej grupie rozdałam zadania, w których słowa były zaszyfrowane.
Po wykonaniu wszystkich zadań odgadniesz słowa kluczowe (kwiaty, prezent, dziewczyny)
| 1 rząd | Odpowiedź | List |
|
| Odpowiedź | List |
||
| 54-(-74) | |||
| 2,5-3,6 | |||
| 23,7+23,7 | |||
| 11,2+10,3 | |||
| 3 rzędy | Odpowiedź | List |
|
| 2,03-7,99 | |||
| 67,34-45,08 | |||
| 10,02 | 112,42 | 50,94 | 50,4 |
VI. Fizminutka
Brawo, wykonaliście kawał dobrej roboty, myślę, że czas się zrelaksować, skoncentrować, złagodzić zmęczenie, a proste ćwiczenia pomogą przywrócić spokój
FISMINUT (jeśli zdanie jest poprawne, klaszcz w dłonie, jeśli nie, potrząśnij głową na boki):
Dodając dwie liczby ujemne, należy odjąć moduły terminów -
Sumy dwóch liczb ujemnych są zawsze ujemne +
Dodanie dwóch przeciwstawnych liczb zawsze daje 0 +
Dodając liczby o różnych znakach, musisz dodać ich moduły -
Suma dwóch liczb ujemnych jest zawsze mniejsza niż każdy z wyrazów +
Dodając liczby o różnych znakach, należy odjąć mniejszy moduł od większego modułu +
VII.Rozwiązywanie zadań z podręcznika.
nr 1096 (a, e, i)
VIII. Praca domowa
1 poziom „3” - №1132
Poziom 2 - "4" - nr 1139, 1146
IX. Samodzielna praca nad opcjami.
Poziom 1, „3”
| 1 opcja | Opcja 2 |
2. poziom, „4”
| 1 opcja | Opcja 2 |
| 1 - (- 3 )+(- 2 ) |
3. poziom, „5”
| 1 opcja | 2 opcja |
| 4,2-3,25-(-0,6) | 2,4-1,75-(-2,6) |
Wzajemne sprawdzanie tablicy, zmiana sąsiadów na biurku
X. Podsumowanie lekcji. Odbicie
Przypomnijmy sobie początek naszej lekcji, chłopaki.
Jakie są cele lekcji?
Czy uważacie, że osiągnęliśmy nasze cele?
Chłopaki, teraz oceńcie swoją pracę na lekcji. Przed tobą leży karta z wizerunkiem góry. Jeśli uważasz, że wykonałeś dobrą robotę na lekcji, wszystko jest w porządku.Dobra, to narysuj siebie na szczycie góry. Jeśli coś jest niejasne, narysuj się poniżej i sam zdecyduj po lewej lub po prawej stronie.
Prześlij mi swoje rysunki wraz z kartą ocen, na następnej lekcji poznasz ocenę końcową za pracę.
W tym artykule przeanalizujemy, w jaki sposób odejmowanie liczb ujemnych z dowolnych liczb. Tutaj podamy regułę odejmowania liczb ujemnych i rozważymy przykłady zastosowania tej reguły.
Nawigacja po stronie.
Reguła odejmowania liczb ujemnych
Odbywa się to, co następuje reguła odejmowania liczb ujemnych: aby odjąć liczbę ujemną b od liczby a, musisz dodać liczbę −b do zmniejszonego a, przeciwieństwo odjętego b.
W dosłownej formie reguła odejmowania liczby ujemnej b od dowolnej liczby a wygląda następująco: a−b=a+(−b) .
Udowodnijmy słuszność tej reguły przy odejmowaniu liczb.
Najpierw przypomnijmy sobie znaczenie odejmowania liczb a i b. Znalezienie różnicy między liczbami a i b oznacza znalezienie liczby c, której suma z liczbą b jest równa a (patrz związek między odejmowaniem a dodawaniem). Oznacza to, że jeśli zostanie znaleziona liczba c taka, że c+b=a, to różnica a−b jest równa c.
Aby więc udowodnić ogłoszoną regułę odejmowania, wystarczy pokazać, że dodanie liczby b do sumy a+(−b) da liczbę a . Aby to pokazać, spójrzmy własności operacji na liczbach rzeczywistych. Na mocy asocjacyjnej własności dodawania równość (a+(−b))+b=a+((−b)+b) jest prawdziwa. Ponieważ suma przeciwstawnych liczb jest równa zero, to a+((−b)+b)=a+0 , a suma a+0 jest równa a, ponieważ dodanie zera nie zmienia liczby. W ten sposób udowodniono równość a−b=a+(−b), co oznacza, że udowodniono poprawność powyższej zasady odejmowania liczb ujemnych.
Udowodniliśmy tę regułę dla liczb rzeczywistych a i b . Jednak ta reguła jest również prawdziwa dla dowolnych liczb wymiernych a i b , jak również dla dowolnych liczb całkowitych a i b , ponieważ operacje na liczbach wymiernych i całkowitych również mają właściwości, których użyliśmy w dowodzie. Zauważ, że za pomocą przeanalizowanej reguły możliwe jest odjęcie liczby ujemnej zarówno od liczby dodatniej, jak i od liczby ujemnej, a także od zera.
Pozostaje zastanowić się, w jaki sposób odejmowanie liczb ujemnych odbywa się za pomocą reguły analizy składniowej.
Przykłady odejmowania liczb ujemnych
Rozważać przykłady odejmowania liczb ujemnych. Zacznijmy od rozwiązania prostego przykładu, aby zrozumieć wszystkie zawiłości procesu bez zawracania sobie głowy obliczeniami.
Przykład.
Odejmij ujemne -13 od ujemnej -7 .
Rozwiązanie.
Liczba przeciwna do odjętego −7 to liczba 7 . Wtedy, zgodnie z regułą odejmowania liczb ujemnych, mamy (−13)−(−7)=(−13)+7 . Pozostaje wykonać dodawanie liczb o różnych znakach, otrzymujemy (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Oto całe rozwiązanie: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Odpowiedź:
(−13)−(−7)=−6 .
Odejmowanie ułamkowych liczb ujemnych można wykonać, przeskakując do odpowiednich ułamków zwykłych, liczb mieszanych lub miejsc dziesiętnych. Tutaj warto zacząć od tego, z jakimi liczbami wygodniej jest pracować.
Przykład.
Od liczby 3,4 odejmij liczbę ujemną.
Rozwiązanie.
Stosując regułę odejmowania liczb ujemnych, mamy 
. Teraz zamień ułamek dziesiętny 3,4 na liczbę mieszaną: 
(patrz tłumaczenie ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe), otrzymujemy 
. Pozostaje wykonać dodawanie liczb mieszanych: .
To kończy odejmowanie liczby ujemnej od liczby 3,4. Podajmy krótki zapis rozwiązania: .
Odpowiedź:
.
Przykład.
Odejmij liczbę ujemną −0,(326) od zera.
Rozwiązanie.
Zgodnie z regułą odejmowania liczb ujemnych mamy 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Ostatnie przejście jest ważne ze względu na właściwość dodawania liczby do zera.