Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa, problemy dotyczące piramidy). Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tu nie ma - napisz o tym na forum. W zadaniach zamiast symbolu „pierwiastka kwadratowego” używana jest funkcja sqrt(), w której symbolem pierwiastka kwadratowego jest sqrt, a radykalne wyrażenie jest podane w nawiasach.W przypadku prostych wyrażeń radykalnych można użyć znaku „√”.. regularny czworościan jest regularną trójkątną piramidą, w której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

Dla regularnego czworościanu wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach i wszystkie kąty trójścienne na wierzchołkach są równe

Czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi.

Podstawowe wzory czworościanu foremnego podano w tabeli.

Gdzie:
S - Pole powierzchni regularnego czworościanu
V - głośność
h - wysokość obniżona do podstawy
r - promień okręgu wpisanego w czworościan
R - promień opisanego okręgu
a - długość żebra

Praktyczne przykłady

Zadanie.
Znajdź pole powierzchni trójkątnej piramidy, której każda krawędź jest równa √3

Rozwiązanie.
Ponieważ wszystkie krawędzie trójkątnej piramidy są równe, jest ona poprawna. Pole powierzchni regularnej trójkątnej piramidy wynosi S = a 2 √3.
Następnie
S = 3√3

Odpowiedź: 3√3

Zadanie.
Wszystkie krawędzie regularnej trójkątnej piramidy mają długość 4 cm Znajdź objętość piramidy

Rozwiązanie.
Ponieważ w regularnej trójkątnej piramidzie wysokość piramidy jest rzutowana na środek podstawy, który jest również środkiem opisanego koła, to

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Tak więc wysokość piramidy OM można znaleźć na podstawie trójkąta prostokątnego AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√ 3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Objętość piramidy oblicza się ze wzoru V = 1/3 Sh
W tym przypadku obszar podstawy znajdujemy według wzoru S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odpowiedź: 16√2/3cm

W tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). I rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów w czworościanie, używając ogólnej metody konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość prostych i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Problemy konstruowania przekrojów w czworościanie

Jak zbudować czworościan? Weź dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D nie leży w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone przez tę powierzchnię są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, pne, BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, bdc, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: możesz polecieć samolotem ABC za podstawa czworościanu, a następnie punkt D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB jest przecięciem płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w samolotach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech zaznaczonych płaszczyzn. Fakt ten jest zapisany w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, czworościan jest powierzchnią utworzoną przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Utwórz 4 równe trójkąty z 6 dopasowań. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A w kosmosie jest to łatwe. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą to cztery równe trójkąty. Problem rozwiązany.

Dan czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, kropka N należy do krawędzi czworościanu WD i kropka R należy do krawędzi DZ(Rys. 2.). Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Rozwiązanie:
Rozważ oblicze czworościanu DSłońce. Na tej krawędzi punktu N I P należą twarze DSłońce, a stąd czworościan. Ale pod warunkiem punktu N, P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP jest linią przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzn twarzy DSłońce i płaszczyzny cięcia. Załóżmy, że linie NP I Słońce nie są równoległe. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłońce. Znajdź punkt przecięcia prostych NP I Słońce. Oznaczmy to mi(Rys. 3.).

Ryż. 3. Rysunek do zadania 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na linii NP, a linia prosta NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Również kropka mi leży w samolocie ABC ponieważ leży na linii Słońce wyjść z samolotu ABC.

Rozumiemy to JEŚĆ- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, bo punkty mi I M leżeć jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połącz kropki M I mi i kontynuuj linię JEŚĆ do skrzyżowania z linią AC. punkt przecięcia linii JEŚĆ I AC oznaczać Q.

Więc w tym przypadku NPQM- żądana sekcja.

Ryż. 4. Rysowanie problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, gdy NP równoległy pne. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii Słońce wyjść z samolotu ABC, potem linia prosta NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Pożądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę w linii prostej MQ. A więc linia przecięcia MQ równolegle do linii prostej NP. dostajemy NPQM- żądana sekcja.

Kropka M leży na boku ADW czworościan ABCD. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Rozwiązanie:
płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC pod warunkiem, to ten samolot φ równoległe do linii prostych AB, AC, Słońce.
W samolocie ABD przez punkt M narysujmy linię prostą PQ równoległy AB(Rys. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R narysujmy linię prostą PR równoległy AC. mam punkt R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC stąd samoloty ABC I PQR są równoległe. PQR- żądana sekcja. Problem rozwiązany.

Dan czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt ściany czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(Rys. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia prostej NM i samolot ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać, konstruujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech linia DM przecina prostą AB w punkcie DO(Rys. 7.). Następnie, SCD jest przekrojem płaszczyzny DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamie i prosto NM i wynikową linię SC. Więc jeśli NM nie równolegle SC, to w pewnym momencie przecinają się R. Kropka R i będzie pożądanym punktem przecięcia prostej NM i samolot ABC.

Ryż. 7. Rysowanie problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Dan czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(Rys. 8.). Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia MN nie równolegle do płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samolot ABC. O to chodzi DO, uzyskuje się go za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. my robimy DM i zdobyć punkt F. Spędzamy CF i na skrzyżowaniu MN zdobyć punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek do zadania 5. Znalezienie punktu K

Narysujmy linię prostą KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak iw płaszczyźnie ABC. Zdobywanie punktów R 1 I R2. Złączony R 1 I M i po kontynuacji otrzymujemy punkt M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie uzyskujemy pożądany przekrój R 1 R 2 NM 1. Problem w pierwszym przypadku został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina samolot ABC wzdłuż jakiejś linii R 1 R 2, potem linia prosta R 1 R 2 równolegle do tej linii MN(Rys. 10.).

Ryż. 10. Rysunek do zadania 5. Pożądany przekrój

Teraz narysujmy linię R 1 M i zdobyć punkt M 1.R 1 R 2 NM 1- żądana sekcja.

Więc rozważyliśmy czworościan, rozwiązaliśmy kilka typowych zadań na czworościanie. W następnej lekcji przyjrzymy się pudełku.

1. IM Smirnova, VA Smirnov. - wydanie 5, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i profilowy)

2. Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik dla ogólnokształcących instytucji edukacyjnych

3. EV Potoskuev, LI Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :chory. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak zbudować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Wykonaj zadania domowe na temat „Czworościanu”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (poziom podstawowy i profilowy) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA czworościan IAWS. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty PNE I mi.

3. W czworościanie MAVS punkt M należy do ściany AMB, punkt P do ściany BMC, a punkt K do krawędzi AC. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty M, R, K.

4. Jakie liczby można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu płaszczyzną?

Tetrahedron w języku greckim oznacza „czworościan”. Ta figura geometryczna ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi. Krawędzie są trójkątami. W rzeczywistości czworościan jest Pierwsza wzmianka o wielościanach pojawiła się na długo przed istnieniem Platona.

Dzisiaj porozmawiamy o elementach i właściwościach czworościanu, a także poznamy wzory na znalezienie pola, objętości i innych parametrów dla tych elementów.

Elementy czworościanu

Segment uwolniony z dowolnego wierzchołka czworościanu i opuszczony do punktu przecięcia środkowych przeciwległej ściany nazywa się medianą.

Wysokość wielokąta to odcinek normalny upuszczony z przeciwległego wierzchołka.

Bimediana to odcinek łączący środki przecinających się krawędzi.

Właściwości czworościanu

1) Równoległe płaszczyzny przechodzące przez dwie skośne krawędzie tworzą opisany równoległościan.

2) Charakterystyczną właściwością czworościanu jest to, że środkowe i dwuśrodkowe figury spotykają się w jednym punkcie. Co ważne, ten ostatni dzieli mediany w stosunku 3:1, a bimediany – na pół.

3) Płaszczyzna dzieli czworościan na dwie części o równej objętości, jeżeli przechodzi przez środek dwóch przecinających się krawędzi.

Rodzaje czworościanu

Różnorodność gatunkowa postaci jest dość szeroka. Czworościan może być:

• poprawnie, to znaczy u podstawy jest trójkąt równoboczny;
• izoedryczny, w którym wszystkie ściany mają taką samą długość;
• ortocentryczny, gdy wysokości mają wspólny punkt przecięcia;
• prostokątny, jeśli płaskie kąty u góry są normalne;
• proporcjonalne, wszystkie wysokości bi są równe;
• model szkieletowy, jeśli istnieje kula dotykająca krawędzi;
• niecentryczny, to znaczy segmenty opuszczone od wierzchołka do środka wpisanego okręgu przeciwległej ściany mają wspólny punkt przecięcia; punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości czworościanu.

Zatrzymajmy się szczegółowo na regularnym czworościanie, którego właściwości praktycznie się nie różnią.

Na podstawie nazwy można zrozumieć, że nazywa się to tak, ponieważ twarze są regularnymi trójkątami. Wszystkie krawędzie tej figury mają przystającą długość, a ściany są przystające pod względem powierzchni. Regularny czworościan jest jednym z pięciu podobnych wielościanów.

Formuły czworościanu

Wysokość czworościanu jest równa iloczynowi pierwiastka z 2/3 i długości krawędzi.

Objętość czworościanu oblicza się w taki sam sposób, jak objętość piramidy: pierwiastek kwadratowy z 2 podzielony przez 12 i pomnożony przez długość krawędzi sześcianu.

Pozostałe wzory do obliczania powierzchni i promieni okręgów przedstawiono powyżej.

Czworościan jest najprostszą figurą wielokątną. Składa się z czterech ścian, z których każda jest trójkątem równobocznym, przy czym każdy bok jest połączony z drugim tylko jedną ścianą. Badając właściwości tej trójwymiarowej figury geometrycznej, dla jasności najlepiej jest wykonać model czworościanu z papieru.

Jak przykleić papierowy czworościan?

Aby zbudować prosty papierowy czworościan, potrzebujemy:

• sam papier (gruby, możesz użyć tektury);
• kątomierz;
• linijka;
• nożyce;
• klej;
• papierowy czworościan, schemat.

Postęp

• jeśli papier jest bardzo gruby, na fałdach należy narysować twardy przedmiot, na przykład krawędź linijki;
• aby uzyskać wielokolorowy czworościan, możesz pomalować twarze lub zeskanować na arkuszach kolorowego papieru.

Jak zrobić czworościan z papieru bez klejenia?

Zwracamy uwagę na klasę mistrzowską, która mówi, jak złożyć 6 papierowych czworościanów w jeden moduł za pomocą techniki origami.

Będziemy potrzebować:

• 5 par kwadratowych kartek papieru w różnych kolorach;
• nożyce.

Postęp

1. Każdy arkusz papieru dzielimy na trzy równe części, tniemy i otrzymujemy paski, których proporcje wynoszą od 1 do 3. W rezultacie otrzymujemy 30 pasków, z których dodamy moduł.
2. Kładziemy pasek przed sobą twarzą w dół, rozciągając go poziomo. Złóż na pół, rozłóż i złóż do środka krawędzi.

3. Na skrajnej prawej krawędzi zagnij róg tak, aby powstała strzała, przesuwając go o 2-3 cm od krawędzi.

4. Podobnie wyginamy lewy róg (zdjęcie, jak zrobić czworościan 3 z papieru).

5. Zaginamy prawy górny róg małego trójkąta, który był wynikiem poprzedniej operacji. W ten sposób boki złożonej krawędzi będą pod tym samym kątem.

6. Rozwiń powstały fałd.
7. Rozwijamy lewy róg i wzdłuż istniejących linii zagięcia zawijamy róg do wewnątrz, jak pokazano na zdjęciu.

8. W prawym rogu zagnij górną krawędź w dół, aby przecięła się z zagięciem wykonanym podczas operacji nr 3.

9. Zewnętrzna krawędź jest ponownie zawijana w prawo, wykorzystując zagięcie powstałe w wyniku operacji nr 3.
10. Powtarzamy poprzednie operacje z drugiego końca paska, ale tak, aby małe fałdy znajdowały się na równoległych końcach paska.

11. Powstały pasek składamy na pół na całej długości i pozwalamy mu samoistnie otworzyć się cicho. Dokładny kąt rozwarcia będzie znany później, podczas ostatecznego składania modelu. Element jest gotowy, teraz robimy kolejne 29 w ten sam sposób.
12. Odwracamy ogniwo tak, aby podczas montażu widoczna była jego zewnętrzna strona. Łączymy dwa ogniwa, wsuwając język w kieszonkę utworzoną przez mały wewnętrzny róg.

13. Połączone ogniwa powinny tworzyć kąt 60 ⁰, pod którym połączą się pozostałe ogniwa (zdjęcie jak zrobić czworościan 13 z papieru).

14. Dodajemy trzeci link do drugiego i łączymy drugi z pierwszym. Okazuje się, że koniec figury, u góry którego wszystkie trzy ogniwa są połączone.

15. Dodaj trzy kolejne linki w ten sam sposób. Pierwszy czworościan jest gotowy.

16. Rogi gotowej figury mogą nie być dokładnie takie same, dlatego w celu dokładniejszego dopasowania należy pozostawić otwarte poszczególne rogi wszystkich kolejnych czworościanów.

17. Czworościany powinny być ze sobą połączone tak, aby róg jednego przechodził przez otwór w drugim.

18. Trzy połączone czworościany.

19. Cztery połączone czworościany.

20. Moduł pięciu czworościanów jest gotowy.

Jeśli poradziłeś sobie z czworościanem, możesz kontynuować i tworzyć

TEKSTOWE WYJAŚNIENIE LEKCJI:

Dzień dobry Kontynuujemy badanie tematu: „Równoległość linii i płaszczyzn”.

Myślę, że jest już jasne, że dzisiaj będziemy mówić o wielościanach - powierzchniach brył geometrycznych złożonych z wielokątów.

A mianowicie czworościan.

Będziemy studiować wielościany zgodnie z planem:

1. definicja czworościanu

2. elementy czworościanu

3. rozwój czworościanu

4. obraz w samolocie

1. zbuduj trójkąt ABC

2. punkt D nie leżący na płaszczyźnie tego trójkąta

3. połącz punkt D odcinkami z wierzchołkami trójkąta ABC. Otrzymujemy trójkąty DAB, DBC i DCA.

Definicja: Powierzchnia złożona z czterech trójkątów ABC, DAB, DBC i DCA nazywana jest czworościanem.

Oznaczenie: DABC.

Elementy czworościanu

Trójkąty tworzące czworościan nazywane są ścianami, ich boki to krawędzie, a ich wierzchołki to wierzchołki czworościanu.

Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma czworościan?

Czworościan ma cztery ściany, sześć krawędzi i cztery wierzchołki.

Dwie krawędzie czworościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków, nazywamy przeciwnymi.

Na rysunku krawędzie AD i BC, BD i AC, CD i AB są przeciwne.

Czasami jedna ze ścian czworościanu jest wyróżniana i nazywana jest jego podstawą, a pozostałe trzy nazywane są ścianami bocznymi.

Rozwinięcie czworościanu.

Aby zrobić czworościan z papieru, potrzebujesz następującego skanu,

należy go przenieść na gruby papier, wyciąć, złożyć wzdłuż przerywanych linii i skleić.

Na płaszczyźnie przedstawiono czworościan

W postaci wypukłego lub niewypukłego czworoboku z przekątnymi. Linie przerywane reprezentują niewidoczne krawędzie.

Na pierwszym rysunku AC jest niewidoczną krawędzią,

na drugim - EK, LK i KF.

Rozwiążmy kilka typowych problemów na czworościanie:

Znajdź obszar rozwoju regularnego czworościanu o krawędzi 5 cm.

Rozwiązanie. Narysujmy siatkę czworościanu

(na ekranie pojawia się przeciągnięcie czworościanu)

Ten czworościan składa się z czterech trójkątów równobocznych, dlatego obszar rozwoju regularnego czworościanu jest równy całkowitej powierzchni czworościanu lub powierzchni czterech regularnych trójkątów.

Szukamy pola trójkąta foremnego korzystając ze wzoru:

Następnie otrzymujemy obszar czworościanu równy:

Zastąp we wzorze długość krawędzi a \u003d 5 cm,

okazało się

Odpowiedź: Obszar regularnego czworościanu

Skonstruuj przekrój czworościanu płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N i K.

a) Rzeczywiście, połączmy punkty M i N (należą do ściany ADC), punkty M i K (należą do ściany ADB), punkty N i K (ściany DBC). Przekrój czworościanu to trójkąt MKN.

b) Połącz punkty M i K (należące do ściany ADB), punkty K i N (należące do ściany DCB), następnie poprowadź proste MK i AB do przecięcia i połóż punkt P. Prosta PN i punkt T leżą w tej samej płaszczyźnie ABC i teraz możemy skonstruować przecięcia linii prostej MK z każdą ścianą. Rezultatem jest czworoboczny MKNT, który jest wymaganym przekrojem.