Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM), oraz Specjalna uwaga Przyjrzyjmy się przykładom. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.
Nawigacja po stronach.
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd
Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NCM(a, b) . Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .
Decyzja.
W tym przykładzie a=126 , b=70 . Wykorzystajmy zależność między LCM a NWD wyrażoną wzorem LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.
Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .
Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630.
Odpowiedź:
LCM(126,70)=630.
Przykład.
Co to jest LCM(68, 34)?
Decyzja.
Jak 68 jest podzielne przez 34 , a następnie gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LKM(68, 34)=68 34: LKM(68, 34)= 68 34:34=68.
Odpowiedź:
LCM(68,34)=68.
Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib : jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .
Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.
Ogłoszona zasada znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).
Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Przykład.
Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Decyzja.
Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:
Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Odpowiedź:
LCM(441,700)=44100.
Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozkładu liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.
Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.
Decyzja.
Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.
Odpowiedź:
LCM(84,648)=4 536.
Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb
Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.
Twierdzenie.
Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k , najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.
Przykład.
Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .
Decyzja.
W tym przykładzie 1 =140 , 2 =9 , 3 =54 , 4 =250 .
Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, określamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LKM(140, 9)=140 9: LKM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Czyli m 2 =1 260 .
Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.
Pozostawiony do znalezienia m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.
Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.
Odpowiedź:
LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby są dodawane do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.
Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Decyzja.
Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .
Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozszerzenie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .
Największa liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się Największy wspólny dzielnik te liczby. Oznacz GCD(a, b).
Rozważ znalezienie NWD na przykładzie dwóch liczb naturalnych 18 i 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 oraz 432
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Usuń z pierwszej liczby, której czynniki nie znajdują się w drugiej i trzeciej liczbie, otrzymujemy:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
W wyniku GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Znajdowanie GCD za pomocą algorytmu Euklidesa
Drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika za pomocą Algorytm Euklidesa. Algorytm Euklidesa jest najbardziej efektywny sposób odkrycie GCD, używając go musisz ciągle znajdować resztę z dzielenia liczb i zastosować powtarzająca się formuła.
Powtarzająca się formuła dla GCD, gcd(a, b)=gcd(b, mod b), gdzie mod b to reszta z dzielenia a przez b.
Algorytm Euklidesa
Przykład Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 7920 oraz 594
Znajdźmy GCD( 7920 , 594 ) korzystając z algorytmu Euclid, obliczymy resztę z dzielenia za pomocą kalkulatora.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
W rezultacie otrzymujemy GCD( 7920 , 594 ) = 198
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Aby znaleźć wspólny mianownik podczas dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, musisz znać i umieć obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność(NOC).
Wielokrotność liczby „a” to liczba, która sama jest podzielna przez liczbę „a” bez reszty.
Liczby będące wielokrotnościami 8 (czyli te liczby zostaną podzielone przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32 ...
Wielokrotność 9: 18, 27, 36, 45…
Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Dzielniki - liczba skończona.
Wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych to liczba podzielna przez obie te liczby..
Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.
Jak znaleźć NOC
LCM można znaleźć i napisać na dwa sposoby.
Pierwszy sposób na znalezienie LCM
Ta metoda jest zwykle używana do małych liczb.
- Piszemy wielokrotności dla każdej liczby w wierszu, aż pojawi się wielokrotność, która jest taka sama dla obu liczb.
- Wielokrotność liczby „a” jest oznaczona dużą literą „K”.
Przykład. Znajdź LCM 6 i 8.
Drugi sposób na znalezienie LCM
Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.
Liczba identycznych czynników w rozwinięciach liczb może być różna.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120
Możesz również sprawdzić znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) w następujący sposób. Znajdźmy LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Jak widać z rozwinięcia liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględnione w rozwinięciu 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jeden 2 z rozwinięcia liczby 16 do LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48
Szczególne przypadki znajdowania NOCs
Na przykład LCM(60, 15) = 60
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.
Na naszej stronie możesz również skorzystać ze specjalnego kalkulatora, aby znaleźć najmniej wspólną wielokrotność online, aby sprawdzić swoje obliczenia.
Jeśli liczba naturalna jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie, nazywa się ją liczbą pierwszą.
Każda liczba naturalna jest zawsze podzielna przez 1 i samą siebie.
Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą. To jedyna parzysta liczba pierwsza, reszta liczb pierwszych jest nieparzysta.
Istnieje wiele liczb pierwszych, a pierwszą z nich jest liczba 2. Nie ma jednak ostatniej liczby pierwszej. W sekcji „Do nauki” możesz pobrać tabelę liczb pierwszych do 997.
Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.
- liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
- 36 jest podzielne przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.
- rozłożyć dzielniki liczb na czynniki pierwsze;
Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielnikami liczby.
Dzielnikiem liczby naturalnej a jest taka liczba naturalna, która dzieli daną liczbę „a” bez reszty.
Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywana jest liczbą złożoną.
Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.
Wspólnym dzielnikiem dwóch danych liczb „a” i „b” jest liczba, przez którą dzielone są obie liczby „a” i „b” bez reszty.
Największy wspólny dzielnik(NWD) dwóch podanych liczb „a” i „b” jest największą liczbą, przez którą obie liczby „a” i „b” są podzielne bez reszty.
W skrócie, największy wspólny dzielnik liczb „a” i „b” jest zapisany w następujący sposób::
Przykład: gcd (12; 36) = 12 .
Dzielniki liczb w rekordzie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.
Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Takie liczby nazywają się liczby względnie pierwsze.
Liczby względnie pierwsze to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Ich GCD to 1.
Jak znaleźć największy wspólny dzielnik
Aby znaleźć gcd dwóch lub więcej liczb naturalnych, potrzebujesz:
Obliczenia są wygodnie pisane za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisz dywidendę, po prawej - dzielnik. Dalej w lewej kolumnie wpisujemy wartości prywatne.
Wyjaśnijmy od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.
- Podkreśl te same czynniki pierwsze w obu liczbach.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Znajdujemy iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisujemy odpowiedź;
NPK (28; 64) = 2 2 = 4
Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4
Możesz ustawić lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak zrobiono powyżej) lub „w linii”.
Pierwszy sposób na napisanie GCD
Znajdź GCD 48 i 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi sposób pisania GCD
Napiszmy teraz rozwiązanie wyszukiwania GCD w linii. Znajdź GCD 10 i 15.
Na naszej stronie informacyjnej możesz również znaleźć największy wspólny dzielnik online, korzystając z programu pomocniczego, aby sprawdzić swoje obliczenia.
Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności, metody, przykłady znajdowania LCM.
Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - Least Common Multiple, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.
Nawigacja po stronach.
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd
Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: NCM(a, b). Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .
W tym przykładzie a=126 , b=70 . Użyjmy powiązania LCM z GCD, które wyraża się wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.
Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .
Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Co to jest LCM(68, 34)?
Ponieważ 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .
Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.
Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).
Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210 , czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze: 
Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441,700)=44100.
Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.
Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozwinięcia liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozwinięcia liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.
Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozwinięcia liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozwinięcia liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.
Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb
Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.
Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k , najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.
Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .
Najpierw znajdujemy m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9 ). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, określamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140,9)=1, skąd LCM(140,9)=1409: GCD(140,9)=140 9:1=1 260. Czyli m 2 =1 260 .
Teraz znajdujemy m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.
Pozostaje znaleźć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , stąd LCM(3 780, 250)= 3 780 250: gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.
Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.
LCM(140,9,54,250)=94500.
W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby są dodawane do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.
Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Najpierw dokonujemy dekompozycji tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z jej rozkładem na czynniki pierwsze) oraz 143=1113.
Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozszerzenie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .
Dlatego LCM(84,6,48,7,143)=48048.
LCM(84,6,48,7,143)=48048.
Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych
Czasami zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb, wśród których jedna, kilka lub wszystkie liczby są ujemne. W takich przypadkach wszystkie liczby ujemne należy zastąpić ich liczbami przeciwstawnymi, po czym należy znaleźć LCM liczb dodatnich. W ten sposób można znaleźć LCM liczb ujemnych. Na przykład LCM(54, -34)=LCM(54, 34) i LCM(-622, -46, -54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Możemy to zrobić, ponieważ zbiór wielokrotności a jest taki sam jak zbiór wielokrotności −a (a i −a są liczbami przeciwstawnymi). Rzeczywiście, niech b będzie pewną wielokrotnością a , wtedy b jest podzielne przez a , a pojęcie podzielności zakłada istnienie takiej liczby całkowitej q , że b=a q . Ale równość b=(−a)·(−q) również będzie prawdziwa, co na mocy tego samego pojęcia podzielności oznacza, że b jest podzielne przez −a , czyli b jest wielokrotnością −a . Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli b jest pewną wielokrotnością −a , to b jest również wielokrotnością a .
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych -145 i -45.
Zamieńmy liczby ujemne -145 i -45 na ich przeciwne liczby 145 i 45 . Mamy LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Po wyznaczeniu gcd(145, 45)=5 (np. za pomocą algorytmu Euclid) obliczamy LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność ujemnych liczb całkowitych -145 i -45 wynosi 1,305 .
www.cleversstudents.ru
Kontynuujemy naukę dywizji. W ta lekcja Rozważymy takie koncepcje jak GCD oraz NOC.
GCD jest największym wspólnym dzielnikiem.
NOC jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Temat jest dość nudny, ale trzeba go zrozumieć. Bez zrozumienia tego tematu nie będziesz w stanie efektywnie pracować z ułamkami, które są prawdziwą przeszkodą w matematyce.
Największy wspólny dzielnik
Definicja. Największy wspólny dzielnik liczb a oraz b a oraz b podzielone bez reszty.
Aby dobrze zrozumieć tę definicję, podstawiamy zamiast zmiennych a oraz b na przykład dowolne dwie liczby zamiast zmiennej a zastąp liczbę 12, a zamiast zmiennej b numer 9. Teraz spróbujmy przeczytać tę definicję:
Największy wspólny dzielnik liczb 12 oraz 9 to największa liczba, o jaką 12 oraz 9 podzielone bez reszty.
Z definicji jasno wynika, że mówimy o wspólnym dzielniku liczb 12 i 9, a ten dzielnik jest największym ze wszystkich istniejących dzielników. Trzeba znaleźć ten największy wspólny dzielnik (gcd).
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, stosuje się trzy metody. Pierwsza metoda jest dość czasochłonna, ale pozwala dobrze zrozumieć istotę tematu i odczuć jego całe znaczenie.
Druga i trzecia metoda są dość proste i umożliwiają szybkie znalezienie GCD. Rozważymy wszystkie trzy metody. A co zastosować w praktyce – Ty wybierasz.
Pierwszym sposobem jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników dwóch liczb i wybranie największej z nich. Rozważmy tę metodę w następującym przykładzie: znajdź największy wspólny dzielnik liczb 12 i 9.
Najpierw znajdujemy wszystkie możliwe dzielniki liczby 12. W tym celu dzielimy 12 na wszystkie dzielniki w zakresie od 1 do 12. Jeśli dzielnik pozwala nam podzielić 12 bez reszty, to podświetlimy to na niebiesko i zrób odpowiednie wyjaśnienie w nawiasach.
12: 1 = 12
(12 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 12)
12: 2 = 6
(12 podzielone przez 2 bez reszty, więc 2 jest dzielnikiem 12)
12: 3 = 4
(12 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 12)
12: 4 = 3
(12 podzielone przez 4 bez reszty, więc 4 jest dzielnikiem 12)
12:5 = 2 (2 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 12)
12: 6 = 2
(12 podzielone przez 6 bez reszty, więc 6 jest dzielnikiem 12)
12: 7 = 1 (5 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 12)
12: 8 = 1 (4 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 12)
12:9 = 1 (3 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 9 bez reszty, więc 9 nie jest dzielnikiem 12)
12: 10 = 1 (2 po lewej)
(12 nie jest dzielone przez 10 bez reszty, więc 10 nie jest dzielnikiem 12)
12:11 = 1 (1 pozostało)
(12 nie jest dzielone przez 11 bez reszty, więc 11 nie jest dzielnikiem 12)
12: 12 = 1
(12 podzielone przez 12 bez reszty, więc 12 jest dzielnikiem 12)
Teraz znajdźmy dzielniki liczby 9. Aby to zrobić, sprawdź wszystkie dzielniki od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 9)
9: 2 = 4 (1 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 2 bez reszty, więc 2 nie jest dzielnikiem 9)
9: 3 = 3
(9 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 9)
9: 4 = 2 (1 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 4 bez reszty, więc 4 nie jest dzielnikiem 9)
9:5 = 1 (4 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 9)
9: 6 = 1 (3 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 6 bez reszty, więc 6 nie jest dzielnikiem 9)
9:7 = 1 (2 po lewej)
(9 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 9)
9:8 = 1 (1 pozostało)
(9 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 9)
9: 9 = 1
(9 podzielone przez 9 bez reszty, więc 9 jest dzielnikiem 9)
Zapisz teraz dzielniki obu liczb. Liczby podświetlone na niebiesko to dzielniki. Wypiszmy je:
Po wypisaniu dzielników możesz od razu określić, który z nich jest największy i najczęstszy.
Z definicji największym wspólnym dzielnikiem 12 i 9 jest liczba, przez którą 12 i 9 są podzielne równomiernie. Największym i wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba 3
Zarówno liczba 12, jak i 9 są podzielne przez 3 bez reszty:
Więc gcd (12 i 9) = 3
Drugi sposób na znalezienie GCD
Rozważmy teraz drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. Istotą tej metody jest rozłożenie obu liczb na czynniki pierwsze i pomnożenie wspólnych.
Przykład 1. Znajdź NWD liczb 24 i 18
Najpierw podzielmy obie liczby na czynniki pierwsze:
Teraz mnożymy ich wspólne czynniki. Aby się nie pomylić, można podkreślić wspólne czynniki.
Patrzymy na rozkład liczby 24. Pierwszym czynnikiem jest 2. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on również tam jest. Podkreślamy obie dwójki:
Ponownie przyjrzymy się rozkładowi liczby 24. Drugim jej czynnikiem jest również 2. Szukamy tego samego czynnika w rozkładaniu liczby 18 i widzimy, że nie ma go tam po raz drugi. Wtedy niczego nie podkreślamy.
Kolejnych dwóch w rozszerzeniu liczby 24 brakuje również w rozszerzeniu liczby 18.
Przechodzimy do ostatniego czynnika w dekompozycji liczby 24. To jest czynnik 3. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy obie trójki:
Tak więc wspólne dzielniki liczb 24 i 18 to dzielniki 2 i 3. Aby uzyskać NWD, należy pomnożyć te czynniki:
Więc gcd (24 i 18) = 6
Trzeci sposób na znalezienie GCD
Rozważmy teraz trzeci sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na tym, że liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika rozkłada się na czynniki pierwsze. Następnie z rozkładu pierwszej liczby usuwane są czynniki, które nie są objęte rozkładem drugiej liczby. Pozostałe liczby w pierwszym rozszerzeniu są mnożone i otrzymują GCD.
Na przykład znajdźmy w ten sposób NWD dla liczb 28 i 16. Przede wszystkim rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:
Mamy dwa rozszerzenia: i
Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje siedmiu. Usuniemy go z pierwszego rozszerzenia:
Teraz mnożymy pozostałe czynniki i otrzymujemy GCD:
Liczba 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 28 i 16. Obie te liczby są podzielne przez 4 bez reszty:
Przykład 2 Znajdź NWD liczb 100 i 40
Wyciąganie liczby 100
Wyciąganie liczby 40
Mamy dwa rozszerzenia:
Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje jednej piątki (jest tylko jedna piątka). Usuwamy go z pierwszego rozkładu
Pomnóż pozostałe liczby:
Otrzymaliśmy odpowiedź 20. Zatem liczba 20 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 100 i 40. Te dwie liczby są podzielne przez 20 bez reszty:
NPK (100 i 40) = 20.
Przykład 3 Znajdź gcd liczb 72 i 128
Wyciąganie liczby 72
Wyciąganie liczby 128
2×2×2×2×2×2×2
Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje dwóch trojaczków (nie ma ich wcale). Usuwamy je z pierwszego rozszerzenia:
Otrzymaliśmy odpowiedź 8. Tak więc liczba 8 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 128. Te dwie liczby są podzielne przez 8 bez reszty:
NPK (72 i 128) = 8
Znajdowanie GCD dla wielu liczb
Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb.
Na przykład znajdźmy NWD dla liczb 18, 24 i 36
Faktoring liczby 18
Faktoring liczby 24
Faktoring liczby 36
Mamy trzy dodatki:
Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich trzech liczbach:
Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 18, 24 i 36 to czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:
Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18, 24 i 36. Te trzy liczby są podzielne przez 6 bez reszty:
NPK (18, 24 i 36) = 6
Przykład 2 Znajdź gcd dla liczb 12, 24, 36 i 42
Rozłóżmy każdą liczbę na czynniki. Następnie znajdujemy iloczyn wspólnych czynników tych liczb.
Faktoring liczby 12
Faktoring liczby 42
Mamy cztery dodatki:
Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich czterech liczbach:
Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 12, 24, 36 i 42 to dzielniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:
Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 24, 36 i 42. Liczby te są podzielne przez 6 bez reszty:
gcd(12, 24, 36 i 42) = 6
Z poprzedniej lekcji wiemy, że jeśli jakaś liczba jest dzielona przez drugą bez reszty, nazywa się to wielokrotnością tej liczby.
Okazuje się, że wielokrotność może być wspólna dla kilku liczb. A teraz interesuje nas wielokrotność dwóch liczb, przy czym powinna ona być jak najmniejsza.
Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb a oraz b- a oraz b a i numer b.
Definicja zawiera dwie zmienne a oraz b. Zastąpmy te zmienne dowolnymi dwiema liczbami. Na przykład zamiast zmiennej a zastąp liczbę 9, a zamiast zmiennej b podstawmy liczbę 12. Teraz spróbujmy przeczytać definicję:
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 9 oraz 12 - jest najmniejszą liczbą będącą wielokrotnością 9 oraz 12 . Innymi słowy, jest to tak mała liczba, która jest podzielna bez reszty przez liczbę 9 i na numer 12 .
Z definicji jasno wynika, że LCM jest najmniejszą liczbą podzielną bez reszty przez 9 i 12. Ten LCM jest wymagany do znalezienia.
Istnieją dwa sposoby na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Pierwszy sposób polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie spośród tych wielokrotności wybrać taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i mała. Zastosujmy tę metodę.
Przede wszystkim znajdźmy pierwsze wielokrotności liczby 9. Aby znaleźć wielokrotności liczby 9, musisz kolejno pomnożyć tę dziewiątkę przez liczby od 1 do 9. Otrzymane odpowiedzi będą wielokrotnościami liczby 9. Czyli , zaczynajmy. Wielokrotności zostaną podświetlone na czerwono:
Teraz znajdujemy wielokrotności liczby 12. Aby to zrobić, pomnożymy 12 przez wszystkie liczby od 1 do 12.
Jak znaleźć LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność)
Wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych to liczba całkowita podzielna przez obie podane liczby bez reszty.Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych jest najmniejszą ze wszystkich liczb całkowitych, która jest podzielna bez reszty przez obie podane liczby.
Metoda 1. Możesz znaleźć LCM z kolei dla każdej z podanych liczb, wypisując w porządku rosnącym wszystkie liczby, które uzyskuje się przez pomnożenie ich przez 1, 2, 3, 4 i tak dalej.
Przykład dla numerów 6 i 9.
Liczbę 6 mnożymy kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 6, 12, 18
, 24, 30
Liczbę 9 mnożymy kolejno przez 1, 2, 3, 4, 5.
Otrzymujemy: 9, 18
, 27, 36, 45
Jak widać, LCM dla liczb 6 i 9 wyniesie 18.
Ta metoda jest wygodna, gdy obie liczby są małe i łatwo je pomnożyć przez ciąg liczb całkowitych. Zdarzają się jednak przypadki, gdy trzeba znaleźć LCM dla liczb dwucyfrowych lub trzycyfrowych, a także, gdy są trzy lub nawet więcej liczb początkowych.
Metoda 2. LCM można znaleźć, rozkładając oryginalne liczby na czynniki pierwsze.
Po rozkładzie konieczne jest wykreślenie tych samych liczb z otrzymanego szeregu czynników pierwszych. Pozostałe liczby pierwszej liczby będą czynnikiem drugiej, a pozostałe liczby drugiej liczby będą czynnikiem pierwszej.
Przykład dla liczby 75 i 60.
Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb w rzędzie. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na czynniki pierwsze:
75 = 3
* 5
* 5 i
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Jak widać, czynniki 3 i 5 występują w obu wierszach. Umysłowo je „przekreślamy”.
Zapiszmy pozostałe czynniki uwzględnione w rozwinięciu każdej z tych liczb. Podczas rozkładania liczby 75 zostawiliśmy liczbę 5, a rozkładając liczbę 60, zostawiliśmy 2 * 2
Tak więc, aby określić LCM dla liczb 75 i 60, musimy pomnożyć pozostałe liczby z rozwinięcia 75 (to jest 5) przez 60, a liczby pozostałe z rozwinięcia liczby 60 (to jest 2 * 2 ) pomnóż przez 75. Oznacza to, że dla ułatwienia mówimy, że mnożymy „na krzyż”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
W ten sposób znaleźliśmy LCM dla liczb 60 i 75. To jest liczba 300.
Przykład. Określ LCM dla liczb 12, 16, 24
W ta sprawa, nasze działania będą nieco bardziej skomplikowane. Ale najpierw, jak zawsze, rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby poprawnie określić LCM, wybieramy najmniejszą ze wszystkich liczb (jest to liczba 12) i kolejno przechodzimy przez jej czynniki, przekreślając je, jeśli przynajmniej jeden z pozostałych rzędów liczb ma ten sam czynnik, który nie został jeszcze przekreślony na zewnątrz.
Krok 1 . Widzimy, że 2 * 2 występuje we wszystkich seriach liczb. Przekreślamy je.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Krok 2. W czynnikach pierwszych liczby 12 pozostaje tylko liczba 3. Ale jest ona obecna w czynnikach pierwszych liczby 24. Liczbę 3 wykreślamy z obu wierszy, natomiast dla liczby 16 nie oczekuje się żadnych działań .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Jak widać, rozkładając liczbę 12, „przekreśliliśmy” wszystkie liczby. Tak więc odnalezienie NOC jest zakończone. Pozostaje tylko obliczyć jego wartość.
Dla liczby 12 bierzemy pozostałe czynniki z liczby 16 (najbliższy w kolejności rosnącej)
12 * 2 * 2 = 48
To jest NOC
Jak widać, w tym przypadku znalezienie LCM było nieco trudniejsze, ale gdy trzeba go znaleźć dla trzech lub więcej liczb, ta metoda pozwala zrobić to szybciej. Jednak oba sposoby znalezienia LCM są poprawne.
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ nazywana jest wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia używa się notacji:
$gcd \ (a;b) \ lub \ D \ (a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb 121$ i 132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Wybierz liczby, które są zawarte w rozszerzeniu tych liczb
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź GCD jednomianów 63$ i 81$.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
63 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 7 $
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=3\cdot 3=9$
Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb 48$ i 60$.
Decyzja:
Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór określi zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Zatem największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.
Definicja NOC
Definicja 3
wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty, np. dla liczb 25$ i 50$ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50,100,150,200$ itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczana przez LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodź do pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $ = 3 \ cpunkt 3 \ cpunkt 11 $
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodź do pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Tworzenie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.
Stwierdzenia, na których oparty jest algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vdots b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do pary liczb takiej, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.
Właściwości GCD i LCM
- Dowolna wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$
Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$
Lancinova Aisa
Pobierać:
Zapowiedź:
Aby skorzystać z podglądu prezentacji, utwórz dla siebie konto ( rachunek) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com
Podpisy slajdów:
Zadania dla GCD i LCM liczb Praca ucznia szóstej klasy MKOU „Kamyshovskaya OOSh” Lantsinova Aisa Supervisor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, nauczyciel matematyki s. Kamyszowo, 2013
Przykład znalezienia NWD liczb 50, 75 i 325. 1) Rozłóżmy liczby 50, 75 i 325 na czynniki pierwsze. 50= 2 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 podziel bez reszty liczby a i b nazywane są największym wspólnym dzielnikiem tych liczb.
Przykład znalezienia LCM liczb 72, 99 i 117. 1) Rozłóżmy na czynniki liczby 72, 99 i 117. Wypisz czynniki uwzględnione w rozwinięciu jednej z liczb 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 i dodaj do nich brakujące czynniki pozostałych liczb. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Znajdź iloczyn otrzymanych czynników. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpowiedź: LCM (72, 99 i 117) = 10296 Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych a i b jest najmniejszą liczbą naturalną będącą wielokrotnością a oraz b.
Arkusz tektury ma kształt prostokąta, którego długość wynosi 48 cm, a szerokość 40 cm, arkusz ten należy bezodpadowo pociąć na równe kwadraty. Jakie są największe kwadraty, które można uzyskać z tego arkusza i ile? Rozwiązanie: 1) S = a ∙ b to powierzchnia prostokąta. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². to powierzchnia kartonu. 2) a - bok kwadratu 48: a - liczba kwadratów, które można ułożyć na długości kartonu. 40: a - liczba kwadratów, które można ułożyć na szerokości kartonu. 3) GCD (40 i 48) \u003d 8 (cm) - bok kwadratu. 4) S \u003d a² - powierzchnia jednego kwadratu. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - powierzchnia jednego kwadratu. 5) 1960: 64 = 30 (liczba kwadratów). Odpowiedź: 30 kwadratów o boku 8 cm każdy. Zadania dla GCD
Kominek w pokoju musi być wyłożony płytkami wykończeniowymi w kształcie kwadratu. Ile płytek będzie potrzebnych do kominka o wymiarach 195 ͯ 156 cm i jakie największe wymiary płytki? Rozwiązanie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S powierzchni kominka. 2) GCD (195 i 156) = 39 (cm) - strona płytki. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - powierzchnia 1 płytki. 4) 30420: = 20 (sztuk). Odpowiedź: 20 płytek o wymiarach 39 ͯ 39 (cm). Zadania dla GCD
Działka ogrodowa o wymiarach 54 ͯ 48 m na całym obwodzie musi być ogrodzona, w tym celu w regularnych odstępach należy ustawić betonowe słupy. Ile kijów trzeba przywieźć na miejsce i w jakiej maksymalnej odległości od siebie kijki staną? Rozwiązanie: 1) P = 2(a + b) – obwód terenu. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 i 48) \u003d 6 (m) - odległość między filarami. 3) 204: 6 = 34 (filary). Odpowiedź: 34 filary, w odległości 6 m. Zadania dla GCD
Spośród 210 bordowych, 126 białych, 294 czerwonych róż zebrano bukiety, a w każdym bukiecie liczba róż tego samego koloru jest taka sama. Jaka jest największa liczba bukietów wykonanych z tych róż i ile róż w każdym kolorze znajduje się w jednym bukiecie? Rozwiązanie: 1) GCD (210, 126 i 294) = 42 (bukiety). 2) 210: 42 = 5 (róże bordowe). 3) 126: 42 = 3 (białe róże). 4) 294: 42 = 7 (czerwone róże). Odpowiedź: 42 bukiety: 5 bordowych, 3 białe, 7 czerwonych róż w każdym bukiecie. Zadania dla GCD
Tanya i Masza kupiły taką samą liczbę skrzynek pocztowych. Tanya zapłaciła 90 rubli, a Masza zapłaciła 5 rubli. jeszcze. Ile kosztuje jeden zestaw? Ile zestawów kupił każdy? Rozwiązanie: 1) Masza zapłaciła 90 + 5 = 95 (rubli). 2) GCD (90 i 95) = 5 (rubli) - cena 1 zestawu. 3) 980: 5 = 18 (komplety) - kupione przez Tanyę. 4) 95: 5 = 19 (zestawy) - kupiła Masza. Odpowiedź: 5 rubli, 18 zestawów, 19 zestawów. Zadania dla GCD
W mieście portowym rozpoczynają się trzy rejsy statkiem turystycznym, z których pierwsza trwa 15 dni, druga - 20, a trzecia - 12 dni. Wracając do portu, statki tego samego dnia ponownie wyruszają w rejs. Statki motorowe opuściły dziś port na wszystkich trzech trasach. Za ile dni popłyną razem po raz pierwszy? Ile podróży wykona każdy statek? Rozwiązanie: 1) NOC (15.20 i 12) = 60 (dni) - czas spotkania. 2) 60: 15 = 4 (rejsy) - 1 statek. 3) 60: 20 = 3 (rejsy) - 2 statki motorowe. 4) 60: 12 = 5 (rejsy) - 3 statki motorowe. Odpowiedź: 60 dni, 4 loty, 3 loty, 5 lotów. Zadania dla NOC
Masza kupiła w sklepie jajka dla Niedźwiedzia. W drodze do lasu zorientowała się, że liczba jaj jest podzielna przez 2,3,5,10 i 15. Ile jaj kupiła Masza? Rozwiązanie: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (jaj) Odpowiedź: Masza kupiła 30 jaj. Zadania dla NOC
Wymagane jest wykonanie pudełka z kwadratowym dnem do układania pudełek o wymiarach 16 ͯ 20 cm Jaki powinien być najkrótszy bok kwadratowego dna, aby pudełka ciasno pasowały do pudełka? Rozwiązanie: 1) NOC (16 i 20) = 80 (pudełka). 2) S = a b to powierzchnia 1 pudełka. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - powierzchnia dna 1 pudełka. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - kwadratowy obszar dolny. 4) S \u003d a² \u003d a a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - wymiary pudełka. Odpowiedź: 160 cm to bok kwadratowego dna. Zadania dla NOC
Wzdłuż drogi od punktu K co 45 m rozstawione są słupy energetyczne.Postanowiono zastąpić te słupy innymi, umieszczając je w odległości 60 m od siebie. Ile było tam Polaków i ile one staną? Rozwiązanie: 1) NOK (45 i 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - były filary. 3) 180: 60 = 3 - były filary. Odpowiedź: 4 filary, 3 filary. Zadania dla NOC
Ilu żołnierzy maszeruje na placu apelowym, jeśli maszerują w szyku po 12 osób i zmieniają się w kolumnę po 18 osób w kolejce? Rozwiązanie: 1) NOC (12 i 18) = 36 (osób) - marsz. Odpowiedź: 36 osób. Zadania dla NOC