Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) a Osobitná pozornosť Poďme sa pozrieť na príklady. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .
rozhodnutie.
V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.
Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.
odpoveď:
LCM(126,70)=630.
Príklad.
Čo je LCM(68, 34)?
rozhodnutie.
Ako 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.
odpoveď:
LCM(68,34)=68.
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.
Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).
Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Príklad.
Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
rozhodnutie.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:
Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . teda LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
odpoveď:
LCM(441, 700) = 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
rozhodnutie.
Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.
odpoveď:
LCM(84,648)=4536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Veta.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk=LCM(mk-1, ak).
Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Príklad.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
rozhodnutie.
V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 1260 54:gcd(1260, 54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.
Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
odpoveď:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým činiteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.
Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.
Príklad.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
rozhodnutie.
Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .
Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .
Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ tieto čísla. Označte GCD(a, b).
Zvážte nájdenie GCD pomocou príkladu dvoch prirodzených čísel 18 a 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 a 432
Rozložme čísla na prvočísla:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Vymažte z prvého čísla, ktorého faktory nie sú v druhom a treťom čísle, dostaneme:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
V dôsledku GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Nájdenie GCD pomocou Euklidovho algoritmu
Druhý spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa pomocou Euklidov algoritmus. Euklidov algoritmus je najviac efektívnym spôsobom nález GCD, pomocou neho musíte neustále hľadať zvyšok delenia čísel a aplikovať opakujúci sa vzorec.
Opakujúci sa vzorec pre GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kde a mod b je zvyšok po delení a číslom b.
Euklidov algoritmus
Príklad Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 7920 a 594
Poďme nájsť GCD( 7920 , 594 ) pomocou Euklidovho algoritmu vypočítame zvyšok delenia pomocou kalkulačky.
- 7920 mod 594 = 7920 – 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
V dôsledku toho dostaneme GCD( 7920 , 594 ) = 198
Najmenší spoločný násobok
Aby ste našli spoločného menovateľa pri sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi, musíte vedieť a vedieť vypočítať najmenší spoločný násobok(NOC).
Násobok čísla „a“ je číslo, ktoré je samo deliteľné číslom „a“ bezo zvyšku.
Čísla, ktoré sú násobkami 8 (to znamená, že tieto čísla budú bezo zvyšku delené 8): sú to čísla 16, 24, 32 ...
Násobky 9: 18, 27, 36, 45…
Existuje nekonečne veľa násobkov daného čísla a, na rozdiel od deliteľov toho istého čísla. Deliče - konečné číslo.
Spoločný násobok dvoch prirodzených čísel je číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné oboma týmito číslami..
Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch alebo viacerých prirodzených čísel je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je samo deliteľné každým z týchto čísel.
Ako nájsť NOC
LCM je možné nájsť a zapísať dvoma spôsobmi.
Prvý spôsob, ako nájsť LCM
Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé čísla.
- Násobky pre každé z čísel zapisujeme do riadku, kým nevznikne násobok, ktorý je pre obe čísla rovnaký.
- Násobok čísla „a“ sa označuje veľkým písmenom „K“.
Príklad. Nájdite LCM 6 a 8.
Druhý spôsob, ako nájsť LCM
Táto metóda je vhodná na nájdenie LCM pre tri alebo viac čísel.
Počet rovnakých faktorov v rozšíreniach čísel môže byť rôzny.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odpoveď: LCM (24, 60) = 120
Môžete sa tiež pozrieť na hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM) nasledujúcim spôsobom. Poďme nájsť LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Ako vidíme z rozšírenia čísel, všetky faktory 12 sú zahrnuté v expanzii 24 (najväčšie z čísel), takže do LCM pridáme iba jednu 2 z rozšírenia čísla 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odpoveď: LCM (12, 16, 24) = 48
Špeciálne prípady nájdenia NOC
Napríklad LCM(60; 15) = 60
Keďže prvočísla nemajú spoločných prvočíselných deliteľov, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel.
Na našej webovej stránke môžete tiež použiť špeciálnu kalkulačku na vyhľadanie najmenej spoločného násobku online na kontrolu vašich výpočtov.
Ak je prirodzené číslo deliteľné iba 1 a samo sebou, potom sa nazýva prvočíslo.
Akékoľvek prirodzené číslo je vždy deliteľné 1 a samo sebou.
Číslo 2 je najmenšie prvočíslo. Toto je jediné párne prvočíslo, ostatné prvočísla sú nepárne.
Existuje veľa prvočísel a prvé z nich je číslo 2. Neexistuje však žiadne posledné prvočíslo. V časti „Na štúdium“ si môžete stiahnuť tabuľku prvočísel do 997.
Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.
- číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- rozložiť deliteľa čísel na prvočísla;
Čísla, ktorými je číslo rovnomerne deliteľné (pre 12 sú to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísla.
Deliteľ prirodzeného čísla a je také prirodzené číslo, ktoré bezo zvyšku delí dané číslo „a“.
Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložené číslo.
Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12.
Spoločný deliteľ dvoch daných čísel „a“ a „b“ je číslo, ktorým sa obe dané čísla „a“ a „b“ bezo zvyšku delia.
Najväčší spoločný deliteľ(GCD) dvoch daných čísel „a“ a „b“ je najväčšie číslo, ktorým sú obe čísla „a“ a „b“ deliteľné bezo zvyšku.
Stručne povedané, najväčší spoločný deliteľ čísel "a" a "b" je zapísaný nasledovne:
Príklad: gcd (12; 36) = 12 .
Deliče čísel v zázname riešenia sa označujú veľkým písmenom „D“.
Čísla 7 a 9 majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú coprime čísla.
Coprime čísla sú prirodzené čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa - číslo 1. Ich GCD je 1.
Ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa
Na nájdenie gcd dvoch alebo viacerých prirodzených čísel potrebujete:
Výpočty sa pohodlne píšu pomocou zvislej čiary. Vľavo od riadku najskôr zapíšte dividendu, vpravo deliteľ. Ďalej do ľavého stĺpca zapíšeme hodnoty private.
Poďme si to hneď vysvetliť na príklade. Rozložme čísla 28 a 64 na prvočísla.
- Podčiarknite rovnaké prvočísla v oboch číslach.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Nájdeme súčin identických prvočiniteľov a zapíšeme odpoveď;
GCD (28; 64) = 22 = 4
Odpoveď: GCD (28; 64) = 4
Umiestnenie GCD môžete usporiadať dvoma spôsobmi: v stĺpci (ako bolo uvedené vyššie) alebo „v riadku“.
Prvý spôsob zápisu GCD
Nájdite GCD 48 a 36.
GCD (48; 36) = 223 = 12
Druhý spôsob zápisu GCD
Teraz napíšme riešenie vyhľadávania GCD do riadku. Nájdite GCD 10 a 15.
Na našej informačnej stránke môžete tiež nájsť najväčšieho spoločného deliteľa online pomocou pomocného programu na kontrolu vašich výpočtov.
Hľadanie najmenšieho spoločného násobku, metódy, príklady hľadania LCM.
Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - Least Common Multiple, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), a venovať osobitnú pozornosť riešeniu príkladov. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd
Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.
Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .
V tomto príklade a=126, b=70. Využime spojenie LCM s GCD, ktoré je vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.
Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.
Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Čo je LCM(68, 34)?
Keďže 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b , potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a .
Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory
Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.
Vyhlásené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanzii čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).
Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210 , teda LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.
Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla: 
Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .
Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Takže LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
LCM(441, 700) = 44100.
Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak k faktorom z rozšírenia čísla a pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.
Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).
Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.
Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozšírenia čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.
Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.
Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk=LCM(mk-1, ak).
Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.
Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.
Najprv nájdeme m2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9) . Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, teda LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9:1 = 1260. To znamená, m2 = 1 260.
Teraz nájdeme m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) . Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 1260 54:gcd(1260, 54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.
Zostáva nájsť m4 = LCM (m3, a4) = LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10, teda LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.
Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250) = 94500.
V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým činiteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.
Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.
Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.
Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočiniteľa: 84=2 2 3 7 , 6=2 3, 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jeho rozkladom na prvočiniteľa) a 143=1113.
Aby ste našli LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .
Preto LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.
LCM(84,6,48,7,143)=48048.
Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel
Niekedy existujú úlohy, v ktorých musíte nájsť najmenší spoločný násobok čísel, medzi ktorými je jedno, niekoľko alebo všetky čísla záporné. V týchto prípadoch musia byť všetky záporné čísla nahradené ich opačnými číslami, po ktorých by sa malo nájsť LCM kladných čísel. Toto je spôsob, ako nájsť LCM záporných čísel. Napríklad LCM(54, -34)=LCM(54, 34) a LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888).
Môžeme to urobiť, pretože množina násobkov a je rovnaká ako množina násobkov −a (a a −a sú opačné čísla). Vskutku, nech b je nejaký násobok a , potom b je deliteľné a a koncept deliteľnosti tvrdí existenciu takého celého čísla q, že b=a q . Ale bude platiť aj rovnosť b=(−a)·(−q), čo na základe rovnakého konceptu deliteľnosti znamená, že b je deliteľné −a , teda b je násobkom −a . Platí aj opačné tvrdenie: ak b je nejaký násobok −a , potom b je tiež násobok a .
Nájdite najmenší spoločný násobok záporných čísel −145 a −45.
Nahraďte záporné čísla −145 a −45 ich opačnými číslami 145 a 45 . Máme LCM(-145, -45)=LCM(145, 45) . Po určení gcd(145, 45)=5 (napríklad pomocou Euklidovho algoritmu) vypočítame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Najmenší spoločný násobok záporných celých čísel −145 a −45 je teda 1 305 .
www.cleverstudents.ru
Pokračujeme v štúdiu divízie. AT túto lekciu Budeme uvažovať o pojmoch ako napr GCD a NOC.
GCD je najväčší spoločný deliteľ.
NOC je najmenší spoločný násobok.
Téma je dosť nudná, ale je potrebné ju pochopiť. Bez pochopenia tejto témy nebudete vedieť efektívne pracovať so zlomkami, ktoré sú v matematike skutočnou prekážkou.
Najväčší spoločný deliteľ
Definícia. Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b a a b rozdelené bezo zvyšku.
Aby sme túto definíciu dobre pochopili, dosadíme namiesto premenných a a b akékoľvek dve čísla, napríklad namiesto premennej a nahraďte číslo 12 a namiesto premennej bčíslo 9. Teraz si skúsme prečítať túto definíciu:
Najväčší spoločný deliteľ čísel 12 a 9 je najväčšie číslo, ktorým 12 a 9 rozdelené bezo zvyšku.
Z definície je zrejmé, že hovoríme o spoločnom deliteľovi čísel 12 a 9, pričom tento deliteľ je najväčší zo všetkých existujúcich deliteľov. Tento najväčší spoločný deliteľ (gcd) sa musí nájsť.
Na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel sa používajú tri metódy. Prvý spôsob je dosť časovo náročný, ale umožňuje dobre pochopiť podstatu témy a cítiť celý jej význam.
Druhá a tretia metóda sú pomerne jednoduché a umožňujú rýchlo nájsť GCD. Zvážime všetky tri spôsoby. A čo aplikovať v praxi - vyberiete si.
Prvým spôsobom je nájsť všetkých možných deliteľov dvoch čísel a vybrať z nich najväčšie. Zoberme si túto metódu v nasledujúcom príklade: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 12 a 9.
Najprv nájdeme všetkých možných deliteľov čísla 12. Aby sme to urobili, rozdelíme 12 na všetkých deliteľov v rozsahu od 1 do 12. Ak nám deliteľ umožňuje bezo zvyšku deliť 12, potom ho zvýrazníme modrou farbou a v zátvorkách uveďte príslušné vysvetlenie.
12: 1 = 12
(12 delené 1 bez zvyšku, takže 1 je deliteľ 12)
12: 2 = 6
(12 delené 2 bez zvyšku, takže 2 je deliteľ 12)
12: 3 = 4
(12 delené 3 bez zvyšku, takže 3 je deliteľ 12)
12: 4 = 3
(12 delené 4 bez zvyšku, takže 4 je deliteľ 12)
12:5 = 2 (zostávajú 2)
(12 nie je delené 5 bez zvyšku, takže 5 nie je deliteľom 12)
12: 6 = 2
(12 delené 6 bez zvyšku, takže 6 je deliteľ 12)
12: 7 = 1 (zostáva 5)
(12 nie je delené 7 bez zvyšku, takže 7 nie je deliteľom 12)
12: 8 = 1 (zostávajú 4)
(12 nie je bez zvyšku delené 8, takže 8 nie je deliteľom 12)
12:9 = 1 (zostávajú 3)
(12 nie je delené 9 bez zvyšku, takže 9 nie je deliteľom 12)
12: 10 = 1 (zostávajú 2)
(12 nie je delené 10 bez zvyšku, takže 10 nie je deliteľom 12)
12:11 = 1 (zostáva 1)
(12 nie je delené 11 bez zvyšku, takže 11 nie je deliteľom 12)
12: 12 = 1
(12 delené 12 bez zvyšku, takže 12 je deliteľ 12)
Teraz nájdime deliteľa čísla 9. Ak to chcete urobiť, skontrolujte všetkých deliteľov od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 delené 1 bez zvyšku, takže 1 je deliteľom 9)
9: 2 = 4 (zostáva 1)
(9 sa nedelí 2 bez zvyšku, takže 2 nie je deliteľom 9)
9: 3 = 3
(9 delené 3 bez zvyšku, takže 3 je deliteľ 9)
9: 4 = 2 (zostáva 1)
(9 nie je delené 4 bez zvyšku, takže 4 nie je deliteľom 9)
9:5 = 1 (zostávajú 4)
(9 nie je delené 5 bez zvyšku, takže 5 nie je deliteľom 9)
9: 6 = 1 (zostávajú 3)
(9 sa nedelí 6 bezo zvyšku, takže 6 nie je deliteľom 9)
9:7 = 1 (zostávajú 2)
(9 nie je delené 7 bez zvyšku, takže 7 nie je deliteľom 9)
9:8 = 1 (zostáva 1)
(9 sa nedelí 8 bez zvyšku, takže 8 nie je deliteľom 9)
9: 9 = 1
(9 delené 9 bez zvyšku, takže 9 je deliteľom 9)
Teraz zapíšte deliteľa oboch čísel. Čísla zvýraznené modrou farbou sú deliče. Poďme si ich vypísať:
Po zapísaní deliteľov môžete okamžite určiť, ktorý z nich je najväčší a najbežnejší.
Podľa definície je najväčší spoločný deliteľ 12 a 9 číslo, ktorým sú 12 a 9 rovnomerne deliteľné. Najväčším a spoločným deliteľom čísel 12 a 9 je číslo 3
Číslo 12 aj číslo 9 sú bezo zvyšku deliteľné tromi:
Takže gcd (12 a 9) = 3
Druhý spôsob, ako nájsť GCD
Teraz zvážte druhý spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Podstatou tejto metódy je rozložiť obe čísla na prvočísla a vynásobiť tie spoločné.
Príklad 1. Nájdite GCD čísel 24 a 18
Najprv vynásobme obe čísla prvočíselnými faktormi:
Teraz znásobíme ich spoločné faktory. Aby nedošlo k zámene, spoločné faktory môžu byť podčiarknuté.
Pozeráme sa na rozklad čísla 24. Jeho prvým činiteľom je 2. Hľadáme rovnaký činiteľ pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam tiež je. Podčiarkujeme obe dve:
Opäť sa pozrieme na rozklad čísla 24. Jeho druhý faktor je tiež 2. Hľadáme rovnaký faktor pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam už druhýkrát nie je. Potom už nič nezvýrazňujeme.
Ďalšie dve v rozšírení čísla 24 chýbajú aj v rozšírení čísla 18.
Prejdeme k poslednému faktoru rozkladu čísla 24. Toto je faktor 3. Hľadáme rovnaký faktor pri rozklade čísla 18 a vidíme, že tam tiež je. Zdôrazňujeme obe tri:
Takže spoločné faktory čísel 24 a 18 sú faktory 2 a 3. Ak chcete získať GCD, tieto faktory sa musia vynásobiť:
Takže gcd (24 a 18) = 6
Tretí spôsob, ako nájsť GCD
Teraz zvážte tretí spôsob, ako nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že čísla, v ktorých sa má hľadať najväčší spoločný deliteľ, sa rozložia na prvočísla. Potom sa z rozkladu prvého čísla vymažú faktory, ktoré nie sú zahrnuté v rozklade druhého čísla. Zostávajúce čísla v prvom rozšírení sa vynásobia a získajú GCD.
Napríklad nájdime GCD pre čísla 28 a 16 týmto spôsobom. Najprv tieto čísla rozložíme na hlavné faktory:
Máme dve rozšírenia: a
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa sedem. Odstránime ho z prvého rozšírenia:
Teraz vynásobíme zostávajúce faktory a získame GCD:
Číslo 4 je najväčším spoločným deliteľom čísel 28 a 16. Obe tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné 4:
Príklad 2 Nájdite GCD čísel 100 a 40
Vypočítaním čísla 100
Vypočítaním čísla 40
Máme dve rozšírenia:
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa jednu päťku (je len jedna päťka). Vymažeme ho z prvého rozkladu
Vynásobte zostávajúce čísla:
Dostali sme odpoveď 20. Číslo 20 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 100 a 40. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 20:
GCD (100 a 40) = 20.
Príklad 3 Nájdite gcd čísel 72 a 128
Vypočítaním čísla 72
Po vylúčení čísla 128
2×2×2×2×2×2×2
Teraz z rozšírenia prvého čísla vymažeme faktory, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla. Rozšírenie druhého čísla nezahŕňa dve trojičky (vôbec žiadne). Odstránime ich z prvého rozšírenia:
Dostali sme odpoveď 8. Číslo 8 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 72 a 128. Tieto dve čísla sú bezo zvyšku deliteľné 8:
GCD (72 a 128) = 8
Hľadanie GCD pre viacero čísel
Najväčší spoločný deliteľ možno nájsť pre niekoľko čísel, nielen pre dve. Na tento účel sa čísla, v ktorých sa má hľadať najväčší spoločný deliteľ, rozložia na prvočísla a potom sa nájde súčin spoločných prvočísel týchto čísel.
Napríklad nájdime GCD pre čísla 18, 24 a 36
Zohľadnenie čísla 18
Zohľadnenie čísla 24
Zohľadnenie čísla 36
Máme tri rozšírenia:
Teraz vyberieme a podčiarkneme spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory musia byť zahrnuté vo všetkých troch číslach:
Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 18, 24 a 36 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme GCD, ktoré hľadáme:
Dostali sme odpoveď 6. Číslo 6 je teda najväčším spoločným deliteľom čísel 18, 24 a 36. Tieto tri čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:
GCD (18, 24 a 36) = 6
Príklad 2 Nájdite gcd pre čísla 12, 24, 36 a 42
Rozložme každé číslo na faktor. Potom nájdeme súčin spoločných faktorov týchto čísel.
Zohľadnenie čísla 12
Zohľadnenie čísla 42
Máme štyri rozšírenia:
Teraz vyberieme a podčiarkneme spoločné faktory v týchto číslach. Spoločné faktory musia byť zahrnuté vo všetkých štyroch číslach:
Vidíme, že spoločné faktory pre čísla 12, 24, 36 a 42 sú faktory 2 a 3. Vynásobením týchto faktorov dostaneme GCD, ktoré hľadáme:
Dostali sme odpoveď 6. Číslo 6 je teda najväčší spoločný deliteľ čísel 12, 24, 36 a 42. Tieto čísla sú bezo zvyšku deliteľné šiestimi:
gcd(12, 24, 36 a 42) = 6
Z predchádzajúcej lekcie vieme, že ak sa nejaké číslo vydelí druhým bezo zvyšku, nazýva sa to násobok tohto čísla.
Ukazuje sa, že násobok môže byť spoločný viacerým číslam. A teraz nás bude zaujímať násobok dvoch čísel, pričom by mal byť čo najmenší.
Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel a a b- a a b a a číslo b.
Definícia obsahuje dve premenné a a b. Za tieto premenné dosaďte ľubovoľné dve čísla. Napríklad namiesto premennej a nahraďte číslo 9 a namiesto premennej b dosadíme číslo 12. Teraz si skúsme prečítať definíciu:
Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 9 a 12 - je najmenšie číslo, ktoré je násobkom 9 a 12 . Inými slovami, je to také malé číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 9 a na čísle 12 .
Z definície je zrejmé, že LCM je najmenšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 9 a 12. Toto LCM je potrebné nájsť.
Existujú dva spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM). Prvý spôsob je, že si môžete zapísať prvé násobky dvoch čísel a potom si z týchto násobkov vybrať také číslo, ktoré bude spoločné pre čísla aj malé. Aplikujme túto metódu.
Najprv nájdime prvé násobky čísla 9. Ak chcete nájsť násobky čísla 9, musíte túto deviatku postupne vynásobiť číslami od 1 do 9. Odpovede, ktoré dostanete, budú násobky čísla 9. Takže , Začnime. Násobky budú zvýraznené červenou farbou:
Teraz nájdeme násobky pre číslo 12. Aby sme to dosiahli, vynásobíme 12 postupne všetkými číslami 1 až 12.
Ako nájsť LCM (najmenší spoločný násobok)
Spoločný násobok dvoch celých čísel je celé číslo, ktoré je bezo zvyšku rovnomerne deliteľné oboma danými číslami.Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel je najmenší zo všetkých celých čísel, ktorý je rovnomerne a bezo zvyšku deliteľný oboma danými číslami.
Metóda 1. LCM môžete nájsť pre každé z daných čísel tak, že zapíšete vo vzostupnom poradí všetky čísla, ktoré získate vynásobením 1, 2, 3, 4 atď.
Príklad pre čísla 6 a 9.
Číslo 6 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 6, 12, 18
, 24, 30
Číslo 9 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 9, 18
, 27, 36, 45
Ako vidíte, LCM pre čísla 6 a 9 bude 18.
Táto metóda je vhodná, keď sú obe čísla malé a je ľahké ich vynásobiť postupnosťou celých čísel. Sú však prípady, keď potrebujete nájsť LCM pre dvojciferné alebo trojciferné čísla, a tiež, keď existujú tri alebo dokonca viac počiatočných čísel.
Metóda 2. LCM môžete nájsť rozkladom pôvodných čísel na prvočísla.
Po rozklade je potrebné vyčiarknuť rovnaké čísla z výsledného radu prvočiniteľov. Zostávajúce čísla prvého čísla budú koeficientom pre druhé a zostávajúce čísla druhého čísla budú koeficientom pre prvé.
Príklad pre číslo 75 a 60.
Najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na hlavné faktory:
75 = 3
* 5
* 5 a
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Ako vidíte, faktory 3 a 5 sa vyskytujú v oboch riadkoch. Mentálne ich „preškrtávame“.
Zapíšme si zostávajúce faktory zahrnuté v expanzii každého z týchto čísel. Pri rozklade čísla 75 nám zostane číslo 5 a pri rozklade čísla 60 máme 2 * 2
Aby sme teda určili LCM pre čísla 75 a 60, musíme vynásobiť zostávajúce čísla z rozšírenia 75 (toto je 5) číslom 60 a čísla zostávajúce z rozšírenia čísla 60 (toto sú 2 * 2 ) násobíme 75. To znamená, že pre lepšie pochopenie hovoríme, že násobíme „krížom“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto sme našli LCM pre čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.
Príklad. Určte LCM pre čísla 12, 16, 24
AT tento prípad, naše akcie budú o niečo komplikovanejšie. Najprv však, ako vždy, rozložíme všetky čísla na prvočísla
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby sme správne určili LCM, vyberieme najmenšie zo všetkých čísel (toto je číslo 12) a postupne prechádzame jeho faktormi, pričom ich prečiarkneme, ak aspoň jeden z ďalších radov čísel má rovnaký faktor, ktorý ešte nebol prečiarknutý. von.
Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 sa vyskytuje vo všetkých radoch čísel. Prečiarkneme ich.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Krok 2. V prvočiniteľoch čísla 12 zostáva iba číslo 3. Je však prítomné v prvočísloch čísla 24. Z oboch riadkov prečiarkneme číslo 3, pričom pri čísle 16 sa neočakáva žiadna akcia. .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Ako vidíte, pri rozklade čísla 12 sme „preškrtali“ všetky čísla. Takže nález NOC je dokončený. Zostáva len vypočítať jeho hodnotu.
Pre číslo 12 berieme zostávajúce faktory z čísla 16 (najbližšie vo vzostupnom poradí)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC
Ako vidíte, v tomto prípade bolo nájdenie LCM o niečo ťažšie, ale keď ho potrebujete nájsť pre tri alebo viac čísel, táto metóda vám to umožní rýchlejšie. Obidva spôsoby nájdenia LCM sú však správne.
Najväčší spoločný deliteľ
Definícia 2
Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a číslo $a$ sa nazýva násobok $b$.
Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ pre $a$ aj $b$.
Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je ten najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a na jeho označenie sa používa zápis:
$gcd \ (a;b) \ alebo \ D \ (a;b) $
Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel:
- Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
Príklad 1
Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
$gcd=2\cdot 11=22$
Príklad 2
Nájdite GCD monomiálov 63 $ a 81 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:
Rozložme čísla na prvočísla
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.
$gcd=3\cdot 3=9$
GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.
Príklad 3
Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.
rozhodnutie:
Nájdite množinu deliteľov $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz nájdime množinu deliteľov $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. Takže najväčší spoločný deliteľ 48 $ a 60 $ je 12 $.
Definícia NOC
Definícia 3
spoločný násobok prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.
Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločnými násobkami čísla $50,100,150,200 $ atď.
Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$
Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, potrebujete:
- Rozložte čísla na prvočísla
- Vypíšte faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla, a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nepokračujte k prvému
Príklad 4
Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.
Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to
Rozložte čísla na prvočísla
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom
pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nejdú do prvého
Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často časovo veľmi náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidov algoritmus.
Vyhlásenia, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$
Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b
Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne znižovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.
Vlastnosti GCD a LCM
- Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
- Ak $a\vdots b$ , potom K$(a;b)=a$
Ak K$(a;b)=k$ a $m$-prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$
Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$
Pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ je rovnosť
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Každý spoločný deliteľ $a$ a $b$ je deliteľ $D(a;b)$
Lancinova Aisa
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Úlohy pre GCD a LCM čísel Práca žiačky 6. ročníka MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa školiteľka Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteľka matematiky p. Kamyshovo, 2013
Príklad nájdenia GCD čísel 50, 75 a 325. 1) Rozložme čísla 50, 75 a 325 na prvočiniteľa. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 delte bezo zvyšku čísla a a b sa nazývajú najväčší spoločný deliteľ týchto čísel.
Príklad nájdenia LCM čísel 72, 99 a 117. 1) Rozložme čísla 72, 99 a 117. Napíšte faktory zahrnuté v rozvoji jedného z čísel 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 a doplňte k nim chýbajúce faktory zvyšných čísel. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nájdite súčin výsledných faktorov. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odpoveď: LCM (72, 99 a 117) = 10296 Najmenší spoločný násobok prirodzených čísel aab sa nazýva najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom a a b.
Hárok lepenky má tvar obdĺžnika, ktorého dĺžka je 48 cm a šírka 40 cm. Tento hárok je potrebné bez odpadu rozrezať na rovnaké štvorce. Aké najväčšie štvorce možno získať z tohto hárku a koľko? Riešenie: 1) S = a ∙ b je plocha obdĺžnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je plocha kartónu. 2) a - strana štvorca 48: a - počet štvorcov, ktoré možno položiť pozdĺž dĺžky kartónu. 40: a - počet štvorcov, ktoré možno položiť po šírke kartónu. 3) GCD (40 a 48) \u003d 8 (cm) - strana štvorca. 4) S \u003d a² - plocha jedného štvorca. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - plocha jedného štvorca. 5) 1960: 64 = 30 (počet štvorcov). Odpoveď: 30 štvorcov so stranou každého 8 cm. Úlohy pre GCD
Krb v miestnosti musí byť vyložený dokončovacími dlaždicami v tvare štvorca. Koľko kachlí bude potrebných na krb 195 ͯ 156 cm a aké sú najväčšie rozmery dlaždice? Riešenie: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S povrchu krbu. 2) GCD (195 a 156) = 39 (cm) - strana dlaždice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - plocha 1 dlaždice. 4) 30420: = 20 (kusov). Odpoveď: 20 dlaždíc s rozmermi 39 ͯ 39 (cm). Úlohy pre GCD
Záhradný pozemok s rozmermi 54 ͯ 48 m po obvode musí byť oplotený, preto treba v pravidelných rozostupoch umiestniť betónové stĺpy. Koľko stožiarov treba priniesť na miesto a v akej maximálnej vzdialenosti od seba budú stožiare stáť? Riešenie: 1) P = 2(a + b) – obvod lokality. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 a 48) \u003d 6 (m) - vzdialenosť medzi stĺpmi. 3) 204: 6 = 34 (piliere). Odpoveď: 34 stĺpov, vo vzdialenosti 6 m.Úlohy pre GCD
Z 210 bordových, 126 bielych, 294 červených ruží sa nazbieralo kytíc, pričom v každej kytici je rovnaký počet ruží rovnakej farby. Aký je najväčší počet kytíc vyrobených z týchto ruží a koľko ruží z každej farby je v jednej kytici? Riešenie: 1) GCD (210, 126 a 294) = 42 (kytice). 2) 210: 42 = 5 (bordové ruže). 3) 126: 42 = 3 (biele ruže). 4) 294:42 = 7 (červené ruže). Odpoveď: 42 kytíc: 5 bordových, 3 biele, 7 červených ruží v každej kytici. Úlohy pre GCD
Tanya a Masha kúpili rovnaký počet poštových schránok. Tanya zaplatila 90 rubľov a Masha zaplatila 5 rubľov. viac. Koľko stojí jedna sada? Koľko súprav si každý kúpil? Riešenie: 1) Masha zaplatila 90 + 5 = 95 (rubľov). 2) GCD (90 a 95) = 5 (rubľov) - cena 1 sady. 3) 980: 5 = 18 (sady) - kúpila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sady) - Masha kúpila. Odpoveď: 5 rubľov, 18 sád, 19 sád. Úlohy pre GCD
V prístavnom meste začínajú tri turistické výlety loďou, z ktorých prvý trvá 15 dní, druhý - 20 a tretí - 12 dní. Po návrate do prístavu sa lode v ten istý deň opäť vydajú na plavbu. Motorové lode dnes opustili prístav na všetkých troch trasách. O koľko dní sa prvýkrát spolu plavia? Koľko ciest vykoná každá loď? Riešenie: 1) NOC (15.20 a 12) = 60 (dní) - čas stretnutia. 2) 60: 15 = 4 (plavby) - 1 loď. 3) 60: 20 = 3 (plavby) - 2 motorová loď. 4) 60: 12 = 5 (plavby) - 3 motorová loď. Odpoveď: 60 dní, 4 lety, 3 lety, 5 letov. Úlohy pre NOC
Máša kúpila vajcia pre medveďa v obchode. Cestou do lesa si uvedomila, že počet vajec je deliteľný 2, 3, 5, 10 a 15. Koľko vajec kúpila Máša? Riešenie: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (vajcia) Odpoveď: Máša kúpila 30 vajec. Úlohy pre NOC
Na stohovanie škatúľ s rozmermi 16 ͯ 20 cm je potrebné vyrobiť škatuľu so štvorcovým dnom Aká by mala byť najkratšia strana štvorcového dna, aby sa škatuľky tesne zmestili do škatule? Riešenie: 1) NOC (16 a 20) = 80 (boxy). 2) S = a ∙ b je plocha 1 krabice. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - plocha dna 1 škatule. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - štvorcová spodná plocha. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - rozmery škatule. Odpoveď: 160 cm je strana štvorcového dna. Úlohy pre NOC
Pozdĺž cesty z bodu K sú stĺpy elektrického vedenia každých 45 m. Bolo rozhodnuté nahradiť tieto stĺpy inými s umiestnením vo vzdialenosti 60 m od seba. Koľko stožiarov tam bolo a koľko budú stáť? Riešenie: 1) NOK (45 a 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - boli tam stĺpy. 3) 180: 60 = 3 - boli tam stĺpy. Odpoveď: 4 piliere, 3 piliere. Úlohy pre NOC
Koľko vojakov pochoduje na prehliadke, ak pochodujú vo formácii 12 ľudí v rade a menia sa na kolónu 18 ľudí v rade? Riešenie: 1) NOC (12 a 18) = 36 (ľudí) - pochod. Odpoveď: 36 ľudí. Úlohy pre NOC