Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Pokažimo prvo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u smislu GCD tih brojeva. Zatim razmislite o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd
Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućuje vam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrite primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .
Riješenje.
U ovom primjeru a=126 , b=70 . Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM tih brojeva prema napisanoj formuli.
Pronađite gcd(126, 70) pomoću Euklidovog algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primjer.
Što je LCM(68, 34)?
Riješenje.
Jer 68 je ravnomjerno djeljiv s 34 , tada je gcd(68, 34)=34 . Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih faktora tih brojeva, nakon čega iz tog umnoška isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.
Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. S druge strane, gcd(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd korištenjem dekompozicije brojeva na proste faktore ).
Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u razvitku broja 75 i u razvitku broja 210 (takvi su faktori 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Primjer.
Nakon rastavljanja brojeva 441 i 700 na proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Riješenje.
Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:
Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Sada napravimo umnožak svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Na ovaj način, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Odgovor:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz proširenja broja a dodamo faktore koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja na proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz rastavljanja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz rastavljanja broja 210, dobivamo umnožak 2 3 5 5 7 čija je vrijednost LCM(75 , 210) .
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Riješenje.
Prvo dobivamo rastavljanje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz rastavljanja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz rastavljanja broja 648, dobivamo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
Odgovor:
LCM(84, 648)=4 536 .
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetite se odgovarajućeg teorema koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.
Primjer.
Odredite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Riješenje.
U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nalazimo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .
Sada nalazimo m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18 , odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Odnosno, m 3 \u003d 3 780.
Preostalo pronaći m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) pomoću Euklidovog algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Odnosno, m 4 \u003d 94 500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.
Odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva lako se pronalazi korištenjem prostih faktora zadanih brojeva. U ovom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.
Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje.
Prvo, dobivamo proširenja ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prostih faktora) i 143=11 13 .
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2 , 2 , 3 i 7 ) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširenje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u razvitku prvog broja 84 . Nadalje faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržan u njemu. Na kraju faktorima 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143 . Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .
Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj ove brojke. Označimo GCD(a, b).
Razmotrite pronalaženje GCD koristeći primjer dva prirodna broja 18 i 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 i 432
Rastavimo brojeve na proste faktore:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Brisanjem iz prvog broja, čiji faktori nisu u drugom i trećem broju, dobivamo:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Kao rezultat GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Pronalaženje GCD pomoću Euklidovog algoritma
Drugi način pronalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja pomoću Euklidov algoritam. Euklidov algoritam je najviše učinkovit način nalaz GCD, koristeći ga morate stalno pronaći ostatak podjele brojeva i primijeniti rekurentna formula.
Rekurentna formula za GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), gdje je a mod b ostatak dijeljenja a sa b.
Euklidov algoritam
Primjer Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 7920 i 594
Pronađimo GCD( 7920 , 594 ) pomoću Euklidovog algoritma izračunat ćemo ostatak dijeljenja pomoću kalkulatora.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Kao rezultat, dobivamo GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Najmanji zajednički višekratnik
Da biste pronašli zajednički nazivnik pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka s različitim nazivnicima, morate znati i moći izračunati najmanji zajednički višekratnik(NOC).
Višekratnik broja "a" je broj koji je sam po sebi djeljiv brojem "a" bez ostatka.
Brojevi koji su višekratnici broja 8 (to jest, ti će brojevi biti podijeljeni s 8 bez ostatka): to su brojevi 16, 24, 32 ...
Višekratnici od 9: 18, 27, 36, 45…
Postoji beskonačno mnogo višekratnika danog broja a, za razliku od djelitelja istog broja. Djelitelji – konačan broj.
Zajednički višekratnik dva prirodna broja je broj koji je ravnomjerno djeljiv s oba ta broja..
Najmanji zajednički višekratnik(LCM) dva ili više prirodnih brojeva je najmanji prirodni broj koji je i sam djeljiv svakim od tih brojeva.
Kako pronaći NOC
LCM se može pronaći i napisati na dva načina.
Prvi način da pronađete LCM
Ova metoda se obično koristi za male brojeve.
- Zapisujemo višekratnike za svaki od brojeva u retku sve dok ne postoji višekratnik koji je isti za oba broja.
- Višekratnik broja "a" označava se velikim slovom "K".
Primjer. Pronađite LCM 6 i 8.
Drugi način pronalaska LCM-a
Ovu je metodu zgodno koristiti za pronalaženje LCM-a za tri ili više brojeva.
Broj istih faktora u proširenjima brojeva može biti različit.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odgovor: LCM (24, 60) = 120
Također možete provjeriti nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) na sljedeći način. Pronađimo LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kao što vidimo iz proširenja brojeva, svi faktori od 12 uključeni su u proširenje broja 24 (najveći od brojeva), tako da LCM-u dodajemo samo jednu 2 iz proširenja broja 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48
Posebni slučajevi pronalaska NOC-a
Na primjer, LCM(60, 15) = 60
Budući da međusobno prosti brojevi nemaju zajedničkih prostih djelitelja, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku tih brojeva.
Na našem web-mjestu također možete koristiti poseban kalkulator za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika na mreži kako biste provjerili svoje izračune.
Ako je prirodan broj djeljiv samo s 1 i samim sobom, tada se naziva prostim brojem.
Svaki prirodni broj uvijek je djeljiv s 1 i samim sobom.
Broj 2 je najmanji prosti broj. Ovo je jedini paran prost broj, ostali prosti brojevi su neparni.
Postoji mnogo prostih brojeva, a prvi među njima je broj 2. Međutim, ne postoji posljednji prosti broj. U odjeljku "Za učenje" možete preuzeti tablicu prostih brojeva do 997.
Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.
- broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;
- 36 je djeljivo sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.
- rastaviti djelitelje brojeva na proste faktore;
Brojevi kojima je broj ravnomjerno djeljiv (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djeliteljima broja.
Djelitelj prirodnog broja a je takav prirodni broj koji zadani broj "a" dijeli bez ostatka.
Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se složeni broj.
Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12.
Zajednički djelitelj dva zadana broja "a" i "b" je broj kojim su oba zadana broja "a" i "b" podijeljena bez ostatka.
Najveći zajednički djelitelj(NOT) dva zadana broja "a" i "b" je najveći broj s kojim su oba broja "a" i "b" djeljivi bez ostatka.
Ukratko, najveći zajednički djelitelj brojeva "a" i "b" piše se na sljedeći način:
Primjer: gcd (12; 36) = 12 .
Djelitelji brojeva u zapisu rješenja označavaju se velikim slovom "D".
Brojevi 7 i 9 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno prosti brojevi.
Koprosti brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Njihov GCD je 1.
Kako pronaći najveći zajednički djelitelj
Da biste pronašli gcd dva ili više prirodnih brojeva potrebno vam je:
Izračuni su prikladno zapisani pomoću okomite trake. Lijevo od retka prvo zapišite dividendu, desno - djelitelj. Dalje u lijevom stupcu zapisujemo vrijednosti privatnih.
Objasnimo odmah na primjeru. Rastavimo brojeve 28 i 64 na proste faktore.
- Podcrtajte iste proste faktore u oba broja.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Nalazimo umnožak identičnih prostih faktora i zapisujemo odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Odgovor: NOT (28; 64) = 4
Možete urediti lokaciju GCD-a na dva načina: u stupcu (kao što je učinjeno gore) ili "u liniji".
Prvi način pisanja GCD
Pronađite GCD 48 i 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi način pisanja GCD
Sada napišimo GCD rješenje pretraživanja u retku. Pronađite GCD 10 i 15.
Na našoj informacijskoj stranici također možete pronaći najveći zajednički djelitelj online pomoću programa za pomoć kako biste provjerili svoje izračune.
Nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri nalaženja LCM.
Materijal predstavljen u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetiti rješavanju primjera. Pokažimo prvo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u smislu GCD tih brojeva. Zatim razmislite o pronalaženju najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd
Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućuje vam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Razmotrite primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.
Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .
U ovom primjeru a=126 , b=70 . Upotrijebimo vezu LCM-a s GCD-om, koja se izražava formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM tih brojeva prema napisanoj formuli.
Pronađite gcd(126, 70) pomoću Euklidovog algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70:NOT(126, 70)= 126 70:14=630 .
Što je LCM(68, 34)?
Kako je 68 ravnomjerno djeljiv s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34:NOT(68, 34)= 68 34:34=68 .
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih faktora tih brojeva, nakon čega iz tog umnoška isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.
Najavljeno pravilo za određivanje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. S druge strane, gcd(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd korištenjem dekompozicije brojeva na proste faktore ).
Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog umnoška izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u razvitku broja 75 i u razvitku broja 210 (takvi su faktori 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210 , odnosno LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Nakon rastavljanja brojeva 441 i 700 na proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore: 
Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Sada napravimo umnožak svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dakle, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz proširenja broja a dodamo faktore koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja na proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz rastavljanja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz rastavljanja broja 210, dobivamo umnožak 2 3 5 5 7 čija je vrijednost LCM(75 , 210) .
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Prvo dobivamo rastavljanje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz rastavljanja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz rastavljanja broja 648, dobivamo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetite se odgovarajućeg teorema koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.
Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.
Odredite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Najprije nalazimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle je LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .
Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , koji je također određen Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18 , odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Odnosno, m 3 \u003d 3 780.
Ostaje pronaći m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) pomoću Euklidovog algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10 , stoga je LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Odnosno, m 4 \u003d 94 500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500.
U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva lako se pronalazi korištenjem prostih faktora zadanih brojeva. U ovom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći broj se dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.
Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore.
Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Prvo dobivamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je prost broj, poklapa se s njegovim rastavljanjem na proste faktore) i 143=11 13 .
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2 , 2 , 3 i 7) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6 . Proširenje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u razvitku prvog broja 84 . Nadalje faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržan u njemu. Na kraju faktorima 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143 . Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .
Prema tome, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048.
Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika negativnih brojeva
Ponekad postoje zadaci u kojima treba pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva među kojima su jedan, nekoliko ili svi brojevi negativni. U tim slučajevima sve negativne brojeve treba zamijeniti njihovim suprotnim brojevima, nakon čega treba pronaći LCM pozitivnih brojeva. Ovo je način da se pronađe LCM negativnih brojeva. Na primjer, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) i LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
To možemo učiniti jer je skup višekratnika od a isti kao skup višekratnika od −a (a i −a su suprotni brojevi). Doista, neka je b neki višekratnik a, tada je b djeljiv s a, a koncept djeljivosti tvrdi postojanje takvog cijelog broja q da je b=a q. Ali jednakost b=(−a)·(−q) također će biti istinita, što, na temelju istog koncepta djeljivosti, znači da je b djeljiv s −a , odnosno da je b višekratnik od −a . Obratna tvrdnja je također istinita: ako je b neki višekratnik od −a , tada je b također višekratnik od a .
Odredi najmanji zajednički višekratnik negativnih brojeva −145 i −45.
Zamijenimo negativne brojeve −145 i −45 njima suprotnim brojevima 145 i 45 . Imamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Odredivši gcd(145, 45)=5 (na primjer, pomoću Euklidovog algoritma), izračunavamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Dakle, najmanji zajednički višekratnik cijelih negativnih brojeva −145 i −45 je 1,305.
www.cleverstudents.ru
Nastavljamo proučavati podjelu. NA ovu lekciju Razmotrit ćemo pojmove kao što su GCD i NOC.
GCD je najveći zajednički djelitelj.
NOC je najmanji zajednički višekratnik.
Tema je prilično dosadna, ali potrebno ju je razumjeti. Bez razumijevanja ove teme nećete moći učinkovito raditi s razlomcima, koji su prava prepreka u matematici.
Najveći zajednički djelitelj
Definicija. Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b a i b podijeljeno bez ostatka.
Da bismo ovu definiciju dobro razumjeli, zamijenit ćemo varijable umjesto a i b bilo koja dva broja, na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 12, a umjesto varijable b broj 9. Sada pokušajmo pročitati ovu definiciju:
Najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je najveći broj kojim 12 i 9 podijeljeno bez ostatka.
Iz definicije je jasno da je riječ o zajedničkom djelitelju brojeva 12 i 9, a taj je djelitelj najveći od svih postojećih djelitelja. Ovaj najveći zajednički djelitelj (gcd) mora se pronaći.
Za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva koriste se tri metode. Prva metoda je prilično dugotrajna, ali vam omogućuje da dobro razumijete bit teme i osjetite njezino cijelo značenje.
Druga i treća metoda su prilično jednostavne i omogućuju brzo pronalaženje GCD-a. Razmotrit ćemo sve tri metode. A što primijeniti u praksi - vi birate.
Prvi način je pronaći sve moguće djelitelje dvaju brojeva i odabrati najveći od njih. Razmotrimo ovu metodu u sljedećem primjeru: pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9.
Prvo pronalazimo sve moguće djelitelje broja 12. Da bismo to učinili, 12 dijelimo na sve djelitelje u rasponu od 1 do 12. Ako djelitelj dopušta dijeljenje 12 bez ostatka, tada ćemo ga označiti plavom bojom i napraviti odgovarajuće objašnjenje u zagradama.
12: 1 = 12
(12 podijeljeno s 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj od 12)
12: 2 = 6
(12 podijeljeno sa 2 bez ostatka, dakle 2 je djelitelj od 12)
12: 3 = 4
(12 podijeljeno sa 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj od 12)
12: 4 = 3
(12 podijeljeno sa 4 bez ostatka, dakle 4 je djelitelj od 12)
12:5 = 2 (2 lijevo)
(12 se ne dijeli sa 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj od 12)
12: 6 = 2
(12 podijeljeno sa 6 bez ostatka, dakle 6 je djelitelj od 12)
12: 7 = 1 (5 lijevo)
(12 se ne dijeli sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj od 12)
12: 8 = 1 (4 lijevo)
(12 se ne dijeli s 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj od 12)
12:9 = 1 (3 lijevo)
(12 se ne dijeli sa 9 bez ostatka, tako da 9 nije djelitelj od 12)
12: 10 = 1 (2 lijevo)
(12 se ne dijeli s 10 bez ostatka, tako da 10 nije djelitelj od 12)
12:11 = 1 (1 lijevo)
(12 se ne dijeli sa 11 bez ostatka, tako da 11 nije djelitelj od 12)
12: 12 = 1
(12 podijeljeno sa 12 bez ostatka, dakle 12 je djelitelj od 12)
Pronađimo sada djelitelje broja 9. Da biste to učinili, označite sve djelitelje od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 podijeljeno s 1 bez ostatka, dakle 1 je djelitelj od 9)
9: 2 = 4 (1 lijevo)
(9 se ne dijeli sa 2 bez ostatka, tako da 2 nije djelitelj od 9)
9: 3 = 3
(9 podijeljeno sa 3 bez ostatka, dakle 3 je djelitelj od 9)
9: 4 = 2 (1 lijevo)
(9 se ne dijeli sa 4 bez ostatka, tako da 4 nije djelitelj od 9)
9:5 = 1 (4 lijevo)
(9 se ne dijeli sa 5 bez ostatka, tako da 5 nije djelitelj od 9)
9: 6 = 1 (3 lijevo)
(9 nije podijeljeno sa 6 bez ostatka, tako da 6 nije djelitelj od 9)
9:7 = 1 (2 lijevo)
(9 se ne dijeli sa 7 bez ostatka, tako da 7 nije djelitelj od 9)
9:8 = 1 (1 lijevo)
(9 se ne dijeli s 8 bez ostatka, tako da 8 nije djelitelj od 9)
9: 9 = 1
(9 podijeljeno sa 9 bez ostatka, dakle 9 je djelitelj od 9)
Sada zapišite djelitelje oba broja. Brojevi označeni plavom bojom su djelitelji. Zapišimo ih:
Nakon što ste napisali djelitelje, možete odmah odrediti koji je najveći i najčešći.
Po definiciji, najveći zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj kojim su 12 i 9 ravnomjerno djeljivi. Najveći i zajednički djelitelj brojeva 12 i 9 je broj 3
I broj 12 i broj 9 djeljivi su s 3 bez ostatka:
Dakle, gcd (12 i 9) = 3
Drugi način da pronađete GCD
Sada razmotrite drugi način pronalaska najvećeg zajedničkog djelitelja. Bit ove metode je rastaviti oba broja na proste faktore i pomnožiti zajedničke.
Primjer 1. Nađi NOT brojeva 24 i 18
Prvo rastavite oba broja na proste faktore:
Sada množimo njihove zajedničke faktore. Kako ne bi došlo do zabune, zajednički faktori mogu biti podvučeni.
Gledamo rastavljanje broja 24. Njegov prvi faktor je 2. Tražimo isti faktor u rastavljanju broja 18 i vidimo da je i on tu. Ističemo oboje:
Opet gledamo rastavljanje broja 24. Njegov drugi faktor je također 2. Tražimo isti faktor u rastavljanju broja 18 i vidimo da ga drugi put nema. Tada ništa ne ističemo.
Sljedeća dva u proširenju broja 24 također nedostaju u proširenju broja 18.
Prelazimo na zadnji faktor u rastavljanju broja 24. To je faktor 3. Tražimo isti faktor u rastavljanju broja 18 i vidimo da je i on tu. Ističemo obje tri:
Dakle, zajednički faktori brojeva 24 i 18 su faktori 2 i 3. Da bi se dobio GCD, ti se faktori moraju pomnožiti:
Dakle, gcd (24 i 18) = 6
Treći način da pronađete GCD
Sada razmotrite treći način pronalaska najvećeg zajedničkog djelitelja. Bit ove metode leži u činjenici da se brojevi za kojima se traži najveći zajednički djelitelj rastavljaju na proste faktore. Zatim se iz dekompozicije prvog broja brišu faktori koji nisu uključeni u dekompoziciju drugog broja. Preostali brojevi u prvom proširenju se množe i dobivaju GCD.
Na primjer, nađimo na ovaj način GCD za brojeve 28 i 16. Prije svega, ove brojeve rastavljamo na proste faktore:
Dobili smo dva proširenja: i
Sada iz proširenja prvog broja brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje sedam. Izbrisat ćemo ga iz prve ekspanzije:
Sada množimo preostale faktore i dobivamo GCD:
Broj 4 je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 16. Oba su broja djeljiva s 4 bez ostatka:
Primjer 2 Nađi GCD brojeva 100 i 40
Rastavljanje broja 100 na faktore
Rastavljanje broja 40 na faktore
Dobili smo dva proširenja:
Sada iz proširenja prvog broja brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje jednu peticu (samo je jedna petica). Brišemo ga iz prve dekompozicije
Pomnožite preostale brojeve:
Dobili smo odgovor 20. Dakle, broj 20 je najveći zajednički djelitelj brojeva 100 i 40. Ova dva broja su djeljiva sa 20 bez ostatka:
GCD (100 i 40) = 20.
Primjer 3 Odredite NNO brojeva 72 i 128
Rastavljanje broja 72 na faktore
Rastavljanje broja 128 na faktore
2×2×2×2×2×2×2
Sada iz proširenja prvog broja brišemo faktore koji nisu uključeni u proširenje drugog broja. Proširenje drugog broja ne uključuje dvije trojke (uopće ih nema). Brišemo ih iz prve ekspanzije:
Dobili smo odgovor 8. Dakle, broj 8 je najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 128. Ova dva broja su djeljiva sa 8 bez ostatka:
GCD (72 i 128) = 8
Pronalaženje GCD za više brojeva
Najveći zajednički djelitelj može se naći za više brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju na proste faktore, zatim se pronalazi umnožak zajedničkih prostih faktora tih brojeva.
Na primjer, pronađimo GCD za brojeve 18, 24 i 36
Rastavljanje broja 18 na faktore
Rastavljanje broja 24 na faktore
Rastavljanje broja 36 na faktore
Dobili smo tri proširenja:
Sada biramo i podcrtavamo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju biti uključeni u sva tri broja:
Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 18, 24 i 36 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobivamo GCD koji tražimo:
Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 18, 24 i 36. Ova tri broja su djeljiva sa 6 bez ostatka:
GCD (18, 24 i 36) = 6
Primjer 2 Pronađite gcd za brojeve 12, 24, 36 i 42
Rastavimo svaki broj na faktore. Zatim nalazimo umnožak zajedničkih faktora tih brojeva.
Rastavljanje broja 12 na faktore
Rastavljanje broja 42 na faktore
Dobili smo četiri proširenja:
Sada biramo i podcrtavamo zajedničke faktore u ovim brojevima. Zajednički faktori moraju biti uključeni u sva četiri broja:
Vidimo da su zajednički faktori za brojeve 12, 24, 36 i 42 faktori 2 i 3. Množenjem ovih faktora dobivamo GCD koji tražimo:
Dobili smo odgovor 6. Dakle, broj 6 je najveći zajednički djelitelj brojeva 12, 24, 36 i 42. Ovi brojevi su djeljivi sa 6 bez ostatka:
gcd(12, 24, 36 i 42) = 6
Iz prethodne lekcije znamo da ako se neki broj podijeli drugim bez ostatka, to se zove višekratnik tog broja.
Ispada da višekratnik može biti zajednički za nekoliko brojeva. A sada će nas zanimati višekratnik dva broja, a trebao bi biti što manji.
Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva a i b- a i b a i broj b.
Definicija sadrži dvije varijable a i b. Zamijenimo bilo koja dva broja za ove varijable. Na primjer, umjesto varijable a zamijeniti broj 9, a umjesto varijable b zamijenimo broj 12. Sada pokušajmo pročitati definiciju:
Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 9 i 12 - je najmanji broj koji je višekratnik 9 i 12 . Drugim riječima, to je tako mali broj koji je djeljiv bez ostatka s brojem 9 i na broju 12 .
Iz definicije je jasno da je LCM najmanji broj koji je djeljiv bez ostatka s 9 i 12. Ovaj LCM je potrebno pronaći.
Postoje dva načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM). Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među tim višekratnicima odabrati takav broj koji će biti zajednički i malim brojevima. Primijenimo ovu metodu.
Prije svega, pronađimo prve višekratnike za broj 9. Da biste pronašli višekratnike za 9, morate redom pomnožiti ovu devetku s brojevima od 1 do 9. Dobiveni odgovori bit će višekratnici broja 9. Dakle , Počnimo. Višestruki će biti označeni crvenom bojom:
Sada nalazimo višekratnike za broj 12. Da bismo to učinili, množimo 12 sa svim brojevima od 1 do 12 redom.
Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)
Zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva je cijeli broj koji je ravnomjerno djeljiv s oba zadana broja bez ostatka.Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv ravnomjerno i bez ostatka s oba navedena broja.
Metoda 1. LCM možete pronaći redom za svaki od zadanih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju njihovim množenjem s 1, 2, 3, 4 itd.
Primjer za brojeve 6 i 9.
Množimo broj 6, redom, sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18
, 24, 30
Broj 9 množimo redom sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18
, 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će 18.
Ova metoda je prikladna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvoznamenkaste ili troznamenkaste brojeve, a također i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.
Metoda 2. LCM možete pronaći rastavljanjem izvornih brojeva na proste faktore.
Nakon rastavljanja potrebno je iste brojeve prekrižiti iz dobivenog niza prostih faktora. Preostali brojevi prvog broja bit će faktor za drugi, a preostali brojevi drugog broja bit će faktor za prvi.
Primjer za broj 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavljamo 75 i 60 na proste faktore:
75 = 3
* 5
* 5, i
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Kao što vidite, faktori 3 i 5 pojavljuju se u oba retka. Mentalno ih "precrtavamo".
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Kod rastavljanja broja 75 ostavili smo broj 5, a kod rastavljanja broja 60 ostavili smo 2 * 2
Dakle, da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, a brojeve preostale iz proširenja broja 60 (ovo je 2 * 2) ) pomnožiti sa 75. Odnosno, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "naprijed".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.
Primjer. Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
NA ovaj slučaj, naši će postupci biti nešto složeniji. Ali prvo, kao i uvijek, rastavljamo sve brojeve na proste faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (to je broj 12) i sukcesivno prolazimo kroz njegove faktore, križajući ih ako barem jedan od ostalih redova brojeva ima isti faktor koji još nije prekrižen van.
Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim nizovima brojeva. Prekrižimo ih.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Korak 2. U prostim činiteljima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali postoji u prostim činiteljima broja 24. Broj 3 precrtavamo iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuje nikakva radnja. .
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Kao što vidite, prilikom rastavljanja broja 12 "precrtali" smo sve brojeve. Dakle, nalaz NOO-a je završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzimamo preostale faktore od broja 16 (najbliži u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC
Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ova metoda vam omogućuje da to učinite brže. Međutim, oba načina pronalaženja LCM su točna.
Najveći zajednički djelitelj
Definicija 2
Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljom od $a$, a broj $a$ višekratnikom od $b$.
Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.
Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$, a za njegovu oznaku koristi se oznaka:
$gcd \ (a;b) \ ili \ D \ (a;b)$
Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:
- Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
Primjer 1
Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=2\cdot 11=22$
Primjer 2
Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:
Rastavimo brojeve na proste faktore
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.
$gcd=3\cdot 3=9$
GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, pomoću skupa djelitelja brojeva.
Primjer 3
Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.
Riješenje:
Pronađite skup djelitelja od $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$
Pronađimo sada skup djelitelja od $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$
Pronađimo presjek ovih skupova: $\lijevo\((\rm 1,2,3,4,6,12)\desno\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.
Definicija NOC-a
Definicija 3
zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.
Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.
Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$
Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:
- Rastavite brojeve na proste faktore
- Ispiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a ne idu u prvi
Primjer 4
Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.
Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo
Rastavite brojeve na proste faktore
99$=3\cdot 3\cdot 11$
Zapišite čimbenike uključene u prvi
dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu prvom
Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.
Tvrdnje na kojima se temelji Euklidov algoritam:
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$
Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b
Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati brojeve koje razmatramo dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.
Svojstva GCD i LCM
- Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
- Ako $a\vtočke b$ , tada je K$(a;b)=a$
Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$
Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$
Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Svaki zajednički djelitelj od $a$ i $b$ je djelitelj od $D(a;b)$
Lancinova Aisa
Preuzimanje datoteka:
Pregled:
Da biste koristili pregled prezentacija, napravite račun za sebe ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Zadaci za GCD i LCM brojeva Rad učenika 6. razreda MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Nadzornica Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteljica matematike str. Kamišovo, 2013
Primjer nalaženja GCD brojeva 50, 75 i 325. 1) Rastavimo brojeve 50, 75 i 325 na proste faktore. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 dijele bez ostatka brojeve a i b nazivamo najvećim zajedničkim djeliteljem tih brojeva.
Primjer pronalaženja LCM brojeva 72, 99 i 117. 1) Rastavimo brojeve 72, 99 i 117 na faktore. Napiši faktore uključene u proširenje jednog od brojeva 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 i dodaj im faktore koji nedostaju preostalih brojeva. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Nađite umnožak dobivenih faktora. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Odgovor: LCM (72, 99 i 117) = 10296 Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik a i b.
List kartona ima oblik pravokutnika, čija je duljina 48 cm, a širina 40 cm.Ovaj list mora biti izrezan bez otpada na jednake kvadrate. Koji se najveći kvadrati mogu dobiti od ovog lista i koliko? Rješenje: 1) S = a ∙ b je površina pravokutnika. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². je površina kartona. 2) a - stranica kvadrata 48: a - broj kvadrata koji se mogu položiti po duljini kartona. 40: a - broj kvadrata koji se mogu položiti po širini kartona. 3) GCD (40 i 48) \u003d 8 (cm) - strana kvadrata. 4) S \u003d a² - površina jednog kvadrata. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - površina jednog kvadrata. 5) 1960: 64 = 30 (broj kvadrata). Odgovor: 30 kvadrata sa stranicom 8 cm svaki. Zadaci za GCD
Kamin u sobi mora biti postavljen završnim pločicama u obliku kvadrata. Koliko je pločica potrebno za kamin od 195 ͯ 156 cm i koje su najveće dimenzije pločice? Rješenje: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) - S površine kamina. 2) GCD (195 i 156) = 39 (cm) - strana pločice. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - površina 1 pločice. 4) 30420: = 20 (komada). Odgovor: 20 pločica dimenzija 39 ͯ 39 (cm). Zadaci za GCD
Okućnica veličine 54 ͯ 48 m oko perimetra mora biti ograđena, za to je potrebno postaviti betonske stupove u pravilnim razmacima. Koliko stupova treba donijeti za gradilište i na kojoj će maksimalnoj udaljenosti jedan od drugog stajati? Rješenje: 1) P = 2(a + b) – opseg mjesta. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 i 48) \u003d 6 (m) - udaljenost između stupova. 3) 204: 6 = 34 (stupova). Odgovor: 34 stupa, na udaljenosti od 6 m. Zadaci za GCD
Od 210 bordo, 126 bijelih, 294 crvene ruže prikupljeno je buketa, au svakom buketu jednak je broj ruža iste boje. Koji je najveći broj buketa napravljen od ovih ruža i koliko je ruža svake boje u jednom buketu? Rješenje: 1) NOT (210, 126 i 294) = 42 (buketa). 2) 210: 42 = 5 (bordo ruže). 3) 126: 42 = 3 (bijele ruže). 4) 294: 42 = 7 (crvenih ruža). Odgovor: 42 buketa: 5 bordo, 3 bijele, 7 crvenih ruža u svakom buketu. Zadaci za GCD
Tanya i Masha kupile su isti broj poštanskih sandučića. Tanja je platila 90 rubalja, a Maša 5 rubalja. više. Koliko košta jedan set? Koliko je kompleta svaki kupio? Rješenje: 1) Maša je platila 90 + 5 = 95 (rubalja). 2) GCD (90 i 95) = 5 (rubalja) - cijena 1 seta. 3) 980: 5 = 18 (setova) - kupila Tanya. 4) 95: 5 = 19 (setova) - Maša je kupila. Odgovor: 5 rubalja, 18 kompleta, 19 kompleta. Zadaci za GCD
Tri turistička izleta brodom započinju iz lučkog grada, od kojih prvi traje 15 dana, drugi 20 i treći 12 dana. Vraćajući se u luku, brodovi istog dana ponovno kreću na putovanje. Motorni brodovi danas su isplovili iz luke na sve tri rute. Za koliko dana će prvi put ploviti zajedno? Koliko će putovanja obaviti svaki brod? Rješenje: 1) NOC (15.20 i 12) = 60 (dana) - vrijeme sastanka. 2) 60: 15 = 4 (putovanja) - 1 brod. 3) 60: 20 = 3 (putovanja) - 2 motorna broda. 4) 60: 12 = 5 (putovanja) - 3 motorna broda. Odgovor: 60 dana, 4 leta, 3 leta, 5 letova. Zadaci za NOO
Maša je u trgovini kupila jaja za Medvjeda. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša? Rješenje: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (jaja) Odgovor: Maša je kupila 30 jaja. Zadaci za NOO
Potrebno je izraditi kutiju s kvadratnim dnom za slaganje kutija dimenzija 16 ͯ 20 cm Koja najkraća stranica kvadratnog dna treba biti da kutije tijesno stanu u kutiju? Rješenje: 1) NOC (16 i 20) = 80 (kutije). 2) S = a ∙ b je površina 1 kutije. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm²) - površina dna 1 kutije. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - površina kvadratnog dna. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - dimenzije kutije. Odgovor: 160 cm je stranica dna kvadrata. Zadaci za NOO
Duž ceste od točke K postavljeni su električni stupovi svakih 45 m. Odlučeno je da se ovi stupovi zamijene drugima, postavljajući ih na udaljenosti od 60 m jedan od drugog. Koliko je stupova bilo i koliko će stajati? Rješenje: 1) NOK (45 i 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - bilo je stupova. 3) 180: 60 = 3 - bilo je stupova. Odgovor: 4 stupa, 3 stupa. Zadaci za NOO
Koliko vojnika maršira mimohodom ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u stroju i prestroje se u kolonu od 18 ljudi u redu? Rješenje: 1) NOO (12 i 18) = 36 (ljudi) - marš. Odgovor: 36 ljudi. Zadaci za NOO