Područje ravne figure ograničeno linijama. Izračunajte površinu figure omeđene linijama

U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći područje figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada je tek završeno učenje pojedinih integrala i kada je vrijeme da se pristupi geometrijskoj interpretaciji stečenog znanja u praksi.

Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja područja figure pomoću integrala:

Sposobnost ispravnog crtanja crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
Sposobnost da se "vidi" isplativije rješenje - tj. razumjeti kako će u ovom ili onom slučaju biti prikladnije provesti integraciju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
Pa, gdje bez točnih izračuna?) To uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na komadu papira u kavezu, u velikom mjerilu. Iznad svakog grafa olovkom potpisujemo naziv ove funkcije. Potpis grafikona je napravljen isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijemo grafikon željene brojke, u većini slučajeva odmah će biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Dakle, grafički rješavamo problem. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno postavljene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo podudara li se naše grafičko rješenje s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako se nalaze grafikoni funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju područja figure. Razmotrite različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje krivocrtnog trapeza. Što je krivolinijski trapez? Ovo je ravna figura omeđena x-osi (y=0), ravno x = a, x = b i svaka krivulja kontinuirana na intervalu od a prije b. U isto vrijeme, ova brojka nije negativna i nalazi se ne niže od x-osi. U ovom slučaju, površina krivocrtnog trapeza numerički je jednaka određenom integralu izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Koje linije definiraju lik? Imamo parabolu y = x2 - 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole su pozitivne. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 i x = 3 koji idu paralelno s osi OU, su granične linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, ona je x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se vidi na slici lijevo. NA ovaj slučaj, možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer krivocrtnog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 analiziran je slučaj kada se krivolinijski trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. Kako riješiti takav problem, razmotrit ćemo dalje.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

U ovom primjeru imamo parabolu y=x2+6x+2, koji potječe ispod os OH, ravno x=-4, x=-1, y=0. Ovdje y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 i x = -1 to su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što navedena funkcija nije pozitivna, a sve je također kontinuirano na intervalu [-4; -1] . Što ne znači pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanog x ima isključivo "negativne" koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja zadatka. Tražimo područje figure koristeći Newton-Leibnizovu formulu, samo s znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Počinjemo razmatrati stvarni proces izračuna dvostrukog integrala i upoznati se s njegovim geometrijskim značenjem.

Dvostruki integral numerički jednako površini ravna figura(domene integracije). Ovo je najjednostavniji oblik dvostrukog integrala, kada je funkcija dviju varijabli jednaka jedinici: .

Razmotrimo najprije problem općenito. Sada ćete se iznenaditi koliko je to zapravo jednostavno! Izračunajmo površinu ravne figure omeđene linijama. Radi određenosti pretpostavimo da je na intervalu . Površina ove figure brojčano je jednaka:

Oslikajmo područje na crtežu:

Izaberimo prvi način zaobilaženja područja:

Na ovaj način:

I odmah važan tehnički trik: iterirani integrali mogu se razmatrati odvojeno. Prvo unutarnji integral, zatim vanjski integral. Ova metoda se toplo preporučuje početnicima u temi čajnika.

1) Izračunajte interni integral, dok se integracija provodi po varijabli "y":

Neodređeni integral ovdje je najjednostavniji, a onda se koristi banalna Newton-Leibnizova formula, s tom razlikom što granice integracije nisu brojevi, već funkcije. Prvo smo zamijenili gornju granicu u "y" (antiderivacijska funkcija), a zatim donju granicu

2) Rezultat dobiven u prvom paragrafu mora se zamijeniti u vanjski integral:

Kompaktniji zapis za cijelo rješenje izgleda ovako:

Dobivena formula - ovo je upravo radna formula za izračunavanje površine ravne figure pomoću "običnog" određenog integrala! Vidi lekciju Izračun površine pomoću određeni integral , ima je na svakom koraku!

To je, problem izračunavanja površine pomoću dvostrukog integrala malo drugačije iz problema nalaženja površine pomoću određenog integrala! Zapravo, oni su jedno te isto!

Prema tome, ne bi trebalo nastati nikakve poteškoće! Neću razmatrati mnogo primjera, jer ste se zapravo više puta susreli s ovim problemom.

Primjer 9

Riješenje: Oslikajmo područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Ovdje i niže neću ulaziti u to kako prijeći područje jer je prvi odlomak bio vrlo detaljan.

Na ovaj način:

Kao što sam već primijetio, za početnike je bolje izračunati iterirane integrale odvojeno, ja ću se pridržavati iste metode:

1) Prvo, koristeći Newton-Leibnizovu formulu, bavimo se unutarnjim integralom:

2) Rezultat dobiven u prvom koraku zamjenjuje se u vanjski integral:

Točka 2 je zapravo pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala.

Odgovor:

Evo tako glupog i naivnog zadatka.

Zanimljiv primjer za neovisno rješenje:

Primjer 10

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog pravcima , ,

Primjer konačnog rješenja na kraju lekcije.

U primjerima 9-10 mnogo je isplativije koristiti prvu metodu zaobilaženja područja; znatiželjni čitatelji, usput, mogu promijeniti redoslijed zaobilaženja i izračunati površine na drugi način. Ako ne pogriješite, tada se, naravno, dobivaju iste vrijednosti područja.

Ali u nekim slučajevima, drugi način zaobilaženja područja je učinkovitiji, au zaključku tečaja mladog štrebera razmotrit ćemo još nekoliko primjera na ovu temu:

Primjer 11

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama.

Riješenje: veselimo se dvjema parabolama s povjetarcem koje leže na boku. Nema potrebe za osmijehom, često se susreću slične stvari u višestrukim integralima.

Kako je najlakše napraviti crtež?

Predstavimo parabolu kao dvije funkcije:
- gornja grana i - donja grana.

Slično, zamislite parabolu kao gornju i donju grane.

Zatim se pokreće iscrtavanje od točke do točke, što rezultira tako bizarnom figurom:

Površina figure izračunava se pomoću dvostrukog integrala prema formuli:

Što se događa ako odaberemo prvi način zaobilaženja područja? Prvo, ovo područje će morati biti podijeljeno u dva dijela. I drugo, promatrat ćemo ovu tužnu sliku: . Integrali, naravno, nisu superkompleksne razine, ali ... postoji stara matematička izreka: tko je prijatelj s korijenima, ne treba kompenzaciju.

Stoga, iz nesporazuma koji je dan u uvjetu, izražavamo inverzne funkcije:

Inverzne funkcije u ovom primjeru imaju prednost što odmah postavljaju cijelu parabolu bez lišća, žira, grana i korijenja.

Prema drugoj metodi, prolazak područja će biti sljedeći:

Na ovaj način:

Kako kažu, osjetite razliku.

1) Bavimo se unutarnjim integralom:

Rezultat zamijenimo u vanjski integral:

Integracija preko varijable "y" ne bi trebala biti neugodna, da postoji slovo "zyu" - bilo bi super integrirati preko njega. Iako tko je pročitao drugi odlomak lekcije Kako izračunati volumen tijela rotacije, on više ne doživljava ni najmanju neugodnost s integracijom preko "y".

Također obratite pozornost na prvi korak: integrand je paran, a segment integracije je simetričan oko nule. Stoga se segment može prepoloviti, a rezultat udvostručiti. Ova tehnika je detaljno komentirana u lekciji. Učinkovite metode izračunavanje određenog integrala.

Što dodati…. Sve!

Odgovor:

Kako biste testirali svoju tehniku integracije, možete pokušati izračunati . Odgovor bi trebao biti potpuno isti.

Primjer 12

Pomoću dvostrukog integrala izračunajte površinu ravnog lika omeđenog linijama

Ovo je primjer "uradi sam". Zanimljivo je napomenuti da ako pokušate koristiti prvi način zaobilaženja područja, tada lik više neće biti podijeljen na dva, već na tri dijela! I, sukladno tome, dobivamo tri para iteriranih integrala. Ponekad se dogodi.

Majstorski tečaj je došao kraju i vrijeme je da prijeđemo na velemajstorski nivo - Kako izračunati dvostruki integral? Primjeri rješenja. Pokušat ću ne biti toliko maničan u drugom članku =)

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Riješenje: Nacrtajte područje na crtežu:

Odaberimo sljedeći redoslijed obilaska regije:

Na ovaj način:
Prijeđimo na inverzne funkcije:

Na ovaj način:
Odgovor:

Primjer 4:Riješenje: Prijeđimo na izravne funkcije:

Izvršimo crtež:

Promijenimo redoslijed obilaska područja:

Odgovor:

U stvari, da biste pronašli područje figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, puno vise aktualno pitanje bit će vaše znanje i vještine crtanja. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, barem, biti u mogućnosti izgraditi ravnu liniju i hiperbolu.

Krivocrtni trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i grafom kontinuirane funkcije na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

U smislu geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral brojčano je jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvo i ključna točka rješenja - građenje crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvi bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo nakon- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Funkcionalne grafove isplativije je graditi točkasto.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, zato:

Odgovor:

Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, oko 9 će biti upisano, čini se da je istina. Sasvim je jasno da ako imamo, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se krivolinijski trapez nalazi ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći formulom:

U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Nađimo točke sjecišta parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.

Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Puno je isplativije i brže graditi linije točku po točku, dok se granice integracije otkrivaju kao da su “sami od sebe”. Usprkos tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili navojna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veće ili jednako neka kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima tih funkcija i ravnih linija može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Primjer 4

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo napravimo crtež:

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se događa "greška", da morate pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala.

Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se pravolinijski grafikon;

2) Na segmentu iznad osi je graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja područja figure pomoću integrala:

Sposobnost ispravnog crtanja crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
Sposobnost da se "vidi" isplativije rješenje - tj. razumjeti kako će u ovom ili onom slučaju biti prikladnije provesti integraciju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
Pa, gdje bez točnih izračuna?) To uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno postavljene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo podudara li se naše grafičko rješenje s analitičkim.

Primjer 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Koje linije definiraju lik? Imamo parabolu y = x2 - 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole su pozitivne. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 i x = 3 koji idu paralelno s osi OU, su granične linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, ona je x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se vidi na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer krivocrtnog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Članak nije dovršen.

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

Primjena integrala na rješavanje primijenjenih problema

Izračun površine

Određeni integral kontinuirane nenegativne funkcije f(x) brojčano je jednak područje krivuljastog trapeza ograničenog krivuljom y \u003d f (x), osi O x i ravnim linijama x \u003d a i x \u003d b. U skladu s tim, formula površine je napisana na sljedeći način:

Razmotrite neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak broj 1. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x = 0, x \u003d 2.

Riješenje. Izgradimo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y \u003d x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.

Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomaknuta prema dolje za jednu jedinicu u odnosu na O y os (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Riješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, budući da je koeficijent pri x 2 negativan, a druga linija je ravna linija koja siječe obje koordinatne osi.

Da bismo konstruirali parabolu, nađimo koordinate njenog vrha: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa vrha; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je njegov vrh.

Sada nalazimo točke sjecišta parabole i pravca rješavajući sustav jednadžbi:

Izjednačavanje desnih strana jednadžbe čije su lijeve strane jednake.

Dobivamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle .

Dakle, točke su točke presjeka parabole i pravca (slika 1).

Slika 3. Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Izgradimo ravnu liniju y = 2x - 4. Ona prolazi kroz točke (0;-4), (2; 0) na koordinatnim osima.

Da biste izgradili parabolu, također možete imati njezine sjecišne točke s osi 0x, to jest, korijene jednadžbe 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vieta teoremu, to je lako pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = četiri.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2) omeđen ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određenog integrala pomoću formule .

S obzirom na ovaj uvjet dobivamo integral:

2 Izračunavanje obujma rotacijskog tijela

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y \u003d f (x) oko osi O x izračunava se formulom:

Kod rotacije oko O y osi formula izgleda ovako:

Zadatak broj 4. Odredite volumen tijela dobivenog rotacijom krivocrtnog trapeza omeđenog ravnim linijama x \u003d 0 x \u003d 3 i krivuljom y \u003d oko osi O x.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 4).

Slika 4. Grafik funkcije y =

Željeni volumen jednak je

Zadatak broj 5. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom krivuljastog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnima y = 0 i y = 4 oko osi O y .

Riješenje. Imamo:

Pregled pitanja

Ženski portal Flero

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

POVEZANI ČLANCI