Un dessin est la première et très importante étape dans la résolution d'un problème géométrique. Quel devrait être le dessin d'une pyramide régulière?

Rappelons-nous d'abord propriétés de conception parallèles:

- les segments parallèles de la figure sont représentés comme des segments parallèles ;

- le rapport des longueurs des segments de droites parallèles et des segments d'une droite est conservé.

Dessin d'une pyramide triangulaire régulière

Tout d'abord, dessinez la base. Étant donné que les angles et les rapports des longueurs des segments non parallèles ne sont pas conservés dans la conception parallèle, le triangle régulier à la base de la pyramide est représenté par un triangle arbitraire.

Le centre d'un triangle équilatéral est le point d'intersection des médianes du triangle. Étant donné que les médianes au point d'intersection sont divisées dans un rapport de 2: 1, en partant du haut, nous connectons mentalement le haut de la base avec le milieu du côté opposé, le divisons approximativement en trois parties et mettons un point à une distance de 2 parties du haut. Tracez une perpendiculaire à partir de ce point vers le haut. C'est la hauteur de la pyramide. Nous dessinons la perpendiculaire si longtemps que le bord latéral ne recouvre pas l'image de la hauteur.

Dessin d'une pyramide quadrangulaire régulière

Le dessin d'une pyramide quadrangulaire régulière part également de la base. Puisque le parallélisme des segments est préservé, mais pas les grandeurs des angles, le carré à la base est représenté comme un parallélogramme. Il est souhaitable de rendre l'angle aigu de ce parallélogramme plus petit, alors les faces latérales sont plus grandes. Le centre d'un carré est le point d'intersection de ses diagonales. On trace des diagonales, à partir du point d'intersection on restaure la perpendiculaire. Cette perpendiculaire est la hauteur de la pyramide. Nous choisissons la longueur de la perpendiculaire afin que les bords latéraux ne se confondent pas.

Dessin d'une pyramide hexagonale régulière

Puisque la projection parallèle préserve le parallélisme des segments, la base d'une pyramide hexagonale régulière - un hexagone régulier - est représentée comme un hexagone dont les côtés opposés sont parallèles et égaux. Le centre d'un hexagone régulier est le point d'intersection de ses diagonales. Pour ne pas encombrer le dessin, on ne dessine pas de diagonales, mais on trouve ce point approximativement. À partir de là, nous restaurons la perpendiculaire - la hauteur de la pyramide - afin que les bords latéraux ne se confondent pas.

Le développement de la surface de la pyramide est une figure plate, composée de la base et des faces de la pyramide, alignées sur un certain plan. Dans l'exemple ci-dessous, nous allons considérer la construction d'un balayage en utilisant la méthode du triangle.

La pyramide SABC est traversée par le plan frontal α. Il est nécessaire de construire un développement de la surface SABC et de tracer une ligne d'intersection dessus.

Sur la projection frontale S""A""B""C"" nous marquons les points D"", E"" et F"", dans lesquels la trace α v coupe les segments A""S"", B" "S"" et C""S"" respectivement. Déterminez la position des points D", E", F" et reliez-les les uns aux autres. La ligne d'intersection est indiquée sur la figure en rouge.

Détermination de la longueur des côtes

Pour trouver les valeurs naturelles des arêtes latérales de la pyramide, on utilise la méthode de rotation autour de la ligne en saillie. Pour ce faire, tracez l'axe i passant par le sommet S perpendiculaire au plan horizontal H. En faisant tourner les segments SA, SB et SC autour de lui, nous les déplaçons dans une position parallèle au plan frontal V.

Les valeurs réelles des arêtes sont égales aux projections S""A"" 1 , S"" 1 B"" 1 et S""C"" 1 . Nous marquons des points sur eux D "" 1, E"" 1, F"" 1, comme indiqué par les flèches dans la figure ci-dessus.

Le triangle ABC à la base de la pyramide est parallèle au plan horizontal. Il y est affiché en taille réelle, égal à ∆A"B"C".

Balayer l'ordre de construction

À un endroit arbitraire du dessin, marquez le point S 0. Nous traçons une ligne droite n à travers elle et mettons de côté le segment S 0 A 0 = S "" A "" 1.

Nous construisons la face ABS = A 0 B 0 S 0 comme un triangle à trois côtés. Pour ce faire, à partir des points S 0 et A 0, nous dessinons des arcs de cercles de rayons R 1 \u003d S "" B "" 1 et r 1 \u003d A "B", respectivement. L'intersection de ces arcs détermine la position du point B 0 .

Les faces B 0 S 0 C 0 et C 0 S 0 A 0 sont construites de manière similaire. La base de la pyramide, selon la disposition du dessin, est attachée à l'un des côtés: A 0 B 0, B 0 C 0 ou C 0 A 0.

Traçons sur le développement une ligne le long de laquelle le plan α coupe la pyramide. Pour ce faire, sur les arêtes S 0 A 0 , S 0 B 0 et S 0 С 0 nous marquons respectivement les points D 0 , E 0 et F 0 . Dans ce cas, le point D 0 est situé à l'intersection du segment S 0 A 0 avec un cercle de rayon S""D"" 1 . De même, E 0 = S 0 B 0 ∩ S""E"" 1 , F 0 = S 0 C 0 ∩ S""F"" 1 .

CONCEPTS GÉNÉRAUX SUR LE DÉVELOPPEMENT DES SURFACES

Nous considérerons la surface comme souple inextensible coquille. Dans ce cas, certaines surfaces peuvent être combinées avec le plan par transformation pas de cassures ni de plis . Les surfaces qui permettent une telle transformation sont appelées déployable.

La figure obtenue en combinant une surface développable avec un plan s'appelle un développement.

La construction de développements est d'une grande importance dans la conception de produits à partir de matériaux en feuille (cuves, pipelines, modèles, etc.).

Des surfaces qui se développent géométriquement précis : polyédriques, coniques, torses, cylindriques.

Parmi les surfaces courbes, celles qui se déplient comprennent les surfaces réglées (coniques, cylindriques, torses), dans lesquelles le plan tangent touche la surface le long de sa génératrice rectiligne.

Toutes les autres surfaces courbes ne se développent pas, mais vous pouvez les construire si nécessaire. approximatif balaye.

Pour construire un développement de toute surface courbe, il est divisé en de telles sections curvilignes, chacune pouvant être approximée par une figure plate, ce qui nécessite de déterminer sa nature seules mesures.

Par exemple:

Le cylindre est divisé en rectangles (Figure 16-1a) ;

un cône droit en triangles isocèles (Figure 16-1b) ;

cylindre elliptique - en parallélogrammes (Figure 16-1c);

cône elliptique - en triangles (Figure 16-1d);

sphère - sur un trapèze.

RÉVÉLATION DES SURFACES PYRAMIDIQUES ET CONIQUES

À titre d'exemple, considérons la construction de développements de seulement quatre surfaces : une pyramide, un cône, un prisme et un cylindre.

Développement de surface de la pyramide

Le développement d'une telle surface est une figure plate, obtenue en combinant toutes ses faces avec un seul plan.

Exemple 1. Construire un développement de la surface de la pyramide ABCS (Figure 16-2) et tracer dessus une ligne MN .

Puisque les faces latérales de la pyramide sont des triangles, pour construire un développement, il est nécessaire de trouver la forme naturelle de ces triangles, pour laquelle il est nécessaire de déterminer les vraies longueurs des côtés - les bords de la pyramide.

La base de la pyramide se trouve dans un plan horizontal, par conséquent, la taille réelle des nervures AB, BC et AC est déjà sur le dessin.

Rib SA est un frontal, il est donc représenté en vue de face en taille réelle.

La nature des côtes SВ et SC est déterminée par la méthode du triangle rectangle. L'une de ses branches est l'excédent du point S sur les points B et C, et la seconde est la vue de dessus des nervures SB et SC.

Puis, sur trois côtés, on construit successivement toutes les faces latérales de la pyramide.

Pour tracer la droite MN sur le développement, on détermine d'abord la vraie valeur des segments AM et B1 et on les place sur le développement sur les arêtes correspondantes.

Pour tracer le point M, on trace une droite S2 sur la face SBC et on trouve sa position sur le développement en laissant de côté le segment B2 (mesuré en vue de dessus) sur le côté BC. Puis, en vue de face, on trace un segment 3-4 passant par le point 4 parallèle à l'arête BC et on trouve sa position sur le développement, pour lequel on met de côté le segment C4 du côté SC et on trace une droite 3-4 parallèle à l'arête BC passant par le point résultant. A l'intersection des lignes S -2 et 3-4, nous trouvons le point N. En reliant les points obtenus M, 1, N, nous obtenons la ligne souhaitée.

Il faut construire un développement des corps à facettes et dessiner sur le développement la ligne d'intersection du prisme et de la pyramide.

Pour résoudre ce problème en géométrie descriptive, il faut savoir :

- des informations sur le développement des surfaces, les méthodes de leur construction et, en particulier, la construction de développements de corps à facettes;

- propriétés biunivoques entre une surface et son dépliage et méthodes de transfert de points appartenant à la surface vers le dépliage ;

- méthodes de détermination des valeurs naturelles d'images géométriques (lignes, plans, etc.).

Procédure de résolution du problème

L'analyse s'appelle une figure plate, qui est obtenue en coupant et en dépliant la surface jusqu'à ce qu'elle soit complètement alignée avec le plan. Toute la surface se déplie ( blancs, motifs) sont construits uniquement à partir de valeurs naturelles.

1. Puisque les scans sont construits à partir de valeurs naturelles, nous procédons à leur détermination, pour lesquelles un papier calque (papier millimétré ou autre papier) de format A3 est transféré tâche n ° z avec tous les points et lignes d'intersection des polyèdres.

2. Pour déterminer les valeurs naturelles des arêtes et de la base de la pyramide, on utilise méthode du triangle rectangle. Bien sûr, d'autres sont possibles, mais à mon sens, cette méthode est plus intelligible pour les élèves. Son essence réside dans le fait que « sur l'angle droit construit, on porte d'un côté la valeur de projection du segment de droite, et de l'autre la différence des coordonnées des extrémités de ce segment, prises dans le plan de projection conjugué. Alors l'hypoténuse de l'angle droit résultant donne la valeur naturelle de ce segment de droite..

Fig.4.1

Fig.4.2

Fig.4.3

3. Ainsi, dans l'espace libre du dessin (Fig.4.1.a) faire un angle droit.

Sur la ligne horizontale de cet angle, nous mettons de côté la valeur de projection du bord de la pyramide AD prise du plan de projection horizontal - lDA. Sur la ligne verticale de l'angle droit, on trace la différence des coordonnées des points D’ EtUN’ prise du plan de projection frontale (selon l'axe z bas) - . En reliant les points obtenus avec une hypoténuse, on obtient la taille naturelle du bord de la pyramide | AD| .

Ainsi, nous déterminons les valeurs naturelles des autres arêtes de la pyramide D. B. Et CC, ainsi que la base de la pyramide Alb., C.-B., CA (fig.4.2), pour lequel on construit le deuxième angle droit. Notez que la définition de la taille naturelle de l'arête CC est faite dans les cas où elle est donnée en projection sur le dessin original. Ceci est facilement déterminé si nous nous souvenons de la règle : si une ligne droite sur n'importe quel plan de projection est parallèle à l'axe des coordonnées, alors sur le plan conjugué, elle est projetée en taille réelle.

En particulier, dans l'exemple de notre problème, la projection frontale de l'arête D’ C’ parallèle à l'axe X, donc dans le plan horizontal CC immédiatement exprimé en grandeur nature | CC| (fig.4.1).

Fig.4.4

4. Après avoir déterminé les valeurs naturelles des arêtes et de la base de la pyramide, nous procédons à la construction d'un balayage ( fig.4.4). Pour ce faire, sur une feuille de papier plus proche du côté gauche du cadre, nous prenons un point arbitraire D considérant que c'est le sommet de la pyramide. Dessiner à partir d'un point D ligne droite arbitraire et mettre de côté la taille naturelle du bord | AD| , obtenir un point UN. Puis du point UN, prenant sur la solution de la boussole toute la taille de la base de la pyramide R=|AB| et placer la branche de la boussole au point UN on fait un arc. Ensuite, nous prenons la solution de la boussole de la taille complète du bord de la pyramide R=| D. B.| et placer la branche de la boussole au point D nous faisons une deuxième entaille d'arc. A l'intersection des arcs on obtient un point DANS, en le reliant par des points Un et D obtenir le bord de la pyramide DUN B. De même, nous attachons au bord D. B. facette DBC, et jusqu'au bord CC- bord CCUN.

D'un côté de la base, par exemple DANSC, nous attachons la base de la pyramide également par la méthode des empattements géométriques, en prenant la taille des côtés sur la solution du compas UNBEtUNAVEC et faire des empattements d'arc à partir de points BEtC obtenir un point UN(fig.4.4).

5. Construire un balayage le prisme est simplifié par le fait que dans le dessin original dans le plan horizontal des projections la base, et dans le plan frontal - 85 mm de haut, il mis en taille réelle

Pour construire un balayage, nous coupons mentalement le prisme le long d'un bord, par exemple, le long E, après l'avoir fixé sur le plan, nous élargirons les autres faces du prisme jusqu'à ce qu'il soit complètement aligné avec le plan. Il est bien évident que nous obtiendrons un rectangle dont la longueur est la somme des longueurs des côtés de la base, et la hauteur est la hauteur du prisme - 85mm.

Ainsi, pour construire un balayage du prisme, nous procédons :

- sur le même format où le balayage pyramidal est construit, sur le côté droit on trace une ligne droite horizontale et à partir d'un point arbitraire sur celle-ci, par exemple E, on dépose successivement des segments de la base du prisme CE, KG, GU, UE, prise du plan de projection horizontal ;

- à partir de points E, K, g, tu, E on restitue les perpendiculaires, sur lesquelles on écarte la hauteur du prisme, prise sur le plan de projection frontale (85mm) ;

- reliant les points obtenus par une droite, on obtient un développement de la surface latérale du prisme et à l'un des côtés de la base, par exemple, GU nous attachons les bases supérieure et inférieure en utilisant la méthode des empattements géométriques, comme cela a été fait lors de la construction de la base de la pyramide.

Fig.4.5

6. Pour construire une ligne d'intersection sur le développement, on utilise la règle selon laquelle "tout point sur la surface correspond à un point sur le développement". Prenons, par exemple, le bord d'un prisme GU où la ligne d'intersection avec les points 1-2-3 ; . Mis de côté sur le développement de la base GU points 1,2,3 par des distances prises à partir du plan de projection horizontal. Restituez les perpendiculaires à partir de ces points et tracez les hauteurs des points sur celles-ci 1’ , 2’, 3’ , prise du plan de projection frontale - z 1 , z 2 Etz 3 . Ainsi, nous avons obtenu des points sur le balayage 1, 2, 3, reliant laquelle nous obtenons la première branche de la ligne d'intersection.

Tous les autres points sont transférés de la même manière. Les points construits sont connectés, obtenant la deuxième branche de la ligne d'intersection. Mettez en surbrillance en rouge - la ligne souhaitée. Ajoutons qu'en cas d'intersection incomplète de corps à facettes, il y aura une branche fermée de la ligne d'intersection sur le développement du prisme.

7. La construction (transfert) de la ligne d'intersection sur le développement de la pyramide s'effectue de la même manière, mais en tenant compte des éléments suivants :

- les balayages étant construits à partir de valeurs naturelles, il faut reporter la position des points 1-8 lignes d'intersection des projections sur les lignes d'arêtes de grandeurs naturelles de la pyramide. Pour ce faire, prenons par exemple les points 2 et 5 dans la projection frontale de la côte AD on les reporte sur la valeur de projection de cette arête à angle droit (fig.4.1) le long des lignes de communication parallèles à l'axe X, nous obtenons les segments requis | D2| et |D5| côtes AD en valeurs naturelles, que nous mettons de côté (transfert) au développement de la pyramide;

- tous les autres points de la ligne d'intersection sont transférés de la même manière, y compris les points 6 et 8 allongé sur les générateurs Dm Et Dn pourquoi angle droit (fig.4.3) les valeurs naturelles de ces générateurs sont déterminées, puis des points leur sont transférés 6 et 8;

- sur le deuxième angle droit, où les valeurs naturelles de la base de la pyramide sont déterminées, les points sont transférés mEtn intersections de générateurs avec la base, qui sont ensuite transférées au développement.

Ainsi, les points obtenus sur les valeurs naturelles 1-8 et transféré au développement, nous connectons en série avec des lignes droites et enfin nous obtenons la ligne d'intersection de la pyramide sur son développement.

Rubrique : Géométrie descriptive /

Le développement de la surface latérale de la pyramide (Fig. 16.3) se compose de trois triangles, représentant sous forme vraie les faces latérales de la pyramide.

Pour construire un aménagement, il faut d'abord déterminer les vraies longueurs des arêtes latérales de la pyramide. En tournant ces nervures autour de la hauteur de la pyramide vers une position parallèle au plan p 2 , sur le plan de projection frontale, nous obtenons leurs vraies longueurs sous forme de segments et .

Après avoir construit sur trois côtés et la face de la pyramide ASB (Fig. 16.4), nous y attachons une face adjacente - le triangle BSC, et à la dernière face CSA. La figure résultante sera un développement de la surface latérale de cette pyramide.

Pour obtenir un balayage complet, nous attachons la base de la pyramide à l'un des côtés de la base - le triangle ABC.

Pour construire une ligne sur le développement le long de laquelle la surface de la pyramide est coupée par le plan a (Fig. 16.3), il faut mettre sur les arêtes SA, SB et SC, respectivement, les points 1, 2 et 3 auxquels cette plan coupe les arêtes, déterminant les vraies longueurs des segments S1 , S2 et S3.

Riz. 16.3	Riz. 16.4

Questions de contrôle sur le sujet du cours :

1. Qu'appelle-t-on développement de surface ?

2. Quelles surfaces sont appelées développables ou non développables. Donne des exemples.

3. Règles générales pour construire le développement de la surface d'un prisme, pyramide.