Dans cet article, nous parlerons de addition de nombres négatifs. Tout d'abord, nous donnons une règle pour additionner des nombres négatifs et nous la prouvons. Après cela, nous analyserons des exemples typiques d'addition de nombres négatifs.
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Règle d'addition négative
Avant de donner la formulation de la règle d'addition des nombres négatifs, passons à la matière de l'article nombres positifs et négatifs. Nous y avons mentionné que les nombres négatifs peuvent être perçus comme une dette, et dans ce cas déterminent le montant de cette dette. Par conséquent, l'addition de deux nombres négatifs est l'addition de deux dettes.
Cette conclusion permet de comprendre règle d'addition négative. Pour additionner deux nombres négatifs, il vous faut :
- empiler leurs modules ;
- mettre un signe moins devant le montant reçu.
Écrivons la règle pour additionner les nombres négatifs −a et −b sous forme littérale : (−a)+(−b)=−(a+b).
Il est clair que la règle voisée réduit l'addition des nombres négatifs à l'addition des nombres positifs (le module d'un nombre négatif est un nombre positif). Il est également clair que le résultat de l'addition de deux nombres négatifs est un nombre négatif, comme en témoigne le signe moins qui est placé devant la somme des modules.
La règle d'addition des nombres négatifs peut être prouvée en se basant sur propriétés des actions avec des nombres réels(ou les mêmes propriétés des opérations avec des nombres rationnels ou entiers). Pour ce faire, il suffit de montrer que la différence entre les parties gauche et droite de l'égalité (−a)+(−b)=−(a+b) est égale à zéro.
Puisque soustraire un nombre revient à ajouter le nombre opposé (voir la règle pour soustraire des nombres entiers), alors (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Grâce aux propriétés commutatives et associatives de l'addition, on a (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Puisque la somme des nombres opposés est égale à zéro, alors (−a+a)+(−b+b)=0+0 , et 0+0=0 en raison de la propriété d'ajouter un nombre à zéro. Cela prouve l'égalité (−a)+(−b)=−(a+b) , et donc la règle d'addition des nombres négatifs.
Il ne reste plus qu'à apprendre à appliquer la règle d'addition des nombres négatifs dans la pratique, ce que nous ferons dans le paragraphe suivant.
Exemples d'addition de nombres négatifs
analysons exemples d'addition de nombres négatifs. Commençons par le cas le plus simple - l'addition d'entiers négatifs, l'addition sera effectuée selon la règle discutée dans le paragraphe précédent.
Exemple.
Additionnez les nombres négatifs -304 et -18007 .
Solution.
Suivons toutes les étapes de la règle d'addition des nombres négatifs.
On trouve d'abord les modules des nombres additionnés : et 
. Maintenant, vous devez ajouter les nombres résultants, ici, il est pratique d'effectuer l'ajout de colonnes : 
Maintenant, nous mettons un signe moins devant le nombre résultant, nous avons donc −18 311 .
Écrivons la solution entière sous forme courte : (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Répondre:
−18 311 .
L'addition de nombres rationnels négatifs, selon les nombres eux-mêmes, peut se réduire soit à l'addition de nombres naturels, soit à l'addition de fractions ordinaires, soit à l'addition de fractions décimales.
Exemple.
Ajouter un nombre négatif et un nombre négatif −4,(12) .
Solution.
Selon la règle d'addition des nombres négatifs, vous devez d'abord calculer la somme des modules. Les modules des nombres négatifs additionnés sont respectivement 2/5 et 4,(12). L'addition des nombres résultants peut être réduite à l'addition de fractions ordinaires. Pour ce faire, on traduit la fraction décimale périodique en une fraction ordinaire :. Donc 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Exécutons maintenant
La maîtrise des nombres négatifs est une compétence facultative si vous voulez entrer en 5e année d'une école de physique et de mathématiques. Cependant, cela simplifiera grandement, ce qui affectera davantage le résultat global. entrée olympiade.
Alors, commençons.
Vous devez d'abord comprendre qu'il existe des nombres inférieurs à zéro, appelés négatifs: par exemple, un de moins que cela 
, un de plus moins que 1, puis , puis, etc. Tout nombre naturel a son propre "frère négatif", un nombre qui, avec le nombre d'origine, donne . 
Tous les nombres naturels, "moins naturels" et "0" forment ensemble l'ensemble des nombres entiers.
Addition et soustraction
Si vous imaginez une droite numérique, vous pouvez facilement maîtriser les règles addition et soustraction de nombres négatifs:
D'abord, trouvez sur la ligne le nombre auquel ou duquel vous allez soustraire/ajouter. Ensuite, si vous avez besoin :
- Ajoutez un nombre négatif, puis vous devez vous déplacer vers la gauche
- Ajouter un nombre positif - décalage vers la droite
- Soustraire le négatif - décaler vers la droite
- Soustraire positif - décalage vers la gauche
Bien sûr, les tâches pour pour l'admission en 5ème il sera possible de résoudre sans utiliser de nombres négatifs, mais cela améliorera votre niveau en mathématiques en général. Au fil du temps, vous ne dessinerez ni ne représenterez une droite numérique, mais le ferez "sur la machine", mais pour cela, cela vaut la peine de s'entraîner: proposez n'importe quel nombres (négatifs ou positifs) et essayez d'abord de les additionner, puis de les soustraire. En répétant cet exercice une fois par jour, en une journée vous aurez l'impression d'avoir pleinement appris ajouter et soustraire des nombres entiers.
Multiplication et division
Ici, la situation est encore plus simple : il vous suffit de vous rappeler comment les signes changent lors de la multiplication ou de la division :
Au lieu du mot "on" peut être à la fois une multiplication et une division.Avec un signe, nous déciderons, et le nombre lui-même est le résultat de la multiplication ou de la division respective des nombres d'origine sans signe.
Commençons par un exemple simple. Déterminons à quoi correspond l'expression 2-5. A partir du point +2, posons cinq divisions, deux à zéro et trois en dessous de zéro. Arrêtons-nous au point -3. Soit 2-5=-3. Remarquez maintenant que 2-5 n'est pas du tout égal à 5-2. Si dans le cas de l'addition de nombres leur ordre n'a pas d'importance, alors dans le cas de la soustraction, tout est différent. L'ordre des numéros compte.
Passons maintenant à zone négative Balance. Supposons que vous deviez ajouter +5 à -2. (À partir de maintenant, nous mettrons des signes "+" devant les nombres positifs et mettrons entre parenthèses les nombres positifs et négatifs afin de ne pas confondre les signes devant les nombres avec les signes d'addition et de soustraction.) Maintenant, notre problème peut être écrit comme (-2)+ (+5). Pour le résoudre, à partir du point -2 nous allons remonter cinq divisions et nous retrouver au point +3.
Cette tâche a-t-elle un sens pratique ? Bien sûr avoir. Disons que vous avez 2 $ de dettes et que vous avez gagné 5 $. Ainsi, après avoir remboursé la dette, il vous restera 3 dollars.
Vous pouvez également descendre la zone négative de l'échelle. Supposons que vous deviez soustraire 5 de -2, ou (-2)-(+5). A partir du point -2 sur l'échelle, établissons cinq divisions et retrouvons-nous au point -7. Quelle est la signification pratique de cette tâche ? Supposons que vous ayez une dette de 2 $ et que vous deviez emprunter 5 $ de plus, votre dette est maintenant de 7 $.
On voit qu'avec des nombres négatifs on peut faire la même chose opérations d'addition et de soustraction, ainsi qu'avec les positifs.
Certes, nous ne maîtrisons pas encore toutes les opérations. Nous n'avons ajouté que les nombres négatifs et soustrait uniquement les nombres positifs des nombres négatifs. Mais que faire si vous devez ajouter des nombres négatifs ou soustraire des nombres négatifs de nombres négatifs ?
En pratique, cela revient à traiter des dettes. Disons qu'on vous a facturé 5 $ de dette, ce qui signifie la même chose que si vous receviez 5 $. D'un autre côté, si je vous fais accepter d'une manière ou d'une autre la responsabilité de la dette de 5 $ de quelqu'un, cela revient à vous retirer ces 5 $. Autrement dit, soustraire -5 revient à ajouter +5. Et ajouter -5 revient à soustraire +5.
Cela nous permet de nous débarrasser de l'opération de soustraction. En effet, "5-2" équivaut à (+5)-(+2) ou selon notre règle (+5)+(-2). Dans les deux cas, on obtient le même résultat. À partir du point +5 sur l'échelle, nous devons descendre de deux divisions et nous obtenons +3. Dans le cas de 5-2, c'est évident, car la soustraction est un mouvement vers le bas.
Dans le cas de (+5)+(-2) c'est moins évident. Nous ajoutons un nombre, ce qui signifie monter dans l'échelle, mais nous ajoutons un nombre négatif, c'est-à-dire que nous faisons l'action inverse, et ces deux facteurs pris ensemble signifient que nous devons monter non pas dans l'échelle, mais dans la direction opposée , c'est vers le bas.
Ainsi, nous obtenons à nouveau la réponse +3.
Pourquoi est-ce vraiment nécessaire remplacer soustraction par addition? Pourquoi monter « à l'envers » ? N'est-il pas plus simple de descendre ? La raison en est que dans le cas de l'addition, l'ordre des termes n'a pas d'importance, alors que dans le cas de la soustraction, il est très important.
Nous avons déjà découvert auparavant que (+5)-(+2) n'est pas du tout la même chose que (+2)-(+5). Dans le premier cas, la réponse est +3, et dans le second -3. Par contre, (-2)+(+5) et (+5)+(-2) donnent +3. Ainsi, en passant à l'addition et en abandonnant les opérations de soustraction, on peut éviter les erreurs aléatoires liées au réarrangement des termes.
De même, vous pouvez agir lors de la soustraction d'un négatif. (+5)-(-2) est identique à (+5)+(+2). Dans les deux cas, nous obtenons la réponse +7. Nous commençons au point +5 et nous déplaçons "vers le bas dans la direction opposée", c'est-à-dire vers le haut. De la même manière, nous agirions lors de la résolution de l'expression (+5) + (+2).
Le remplacement de la soustraction par l'addition est activement utilisé par les étudiants lorsqu'ils commencent à étudier l'algèbre, et donc cette opération s'appelle "addition algébrique". En fait, ce n'est pas tout à fait juste, puisqu'une telle opération est évidemment arithmétique, et pas du tout algébrique.
Cette connaissance est inchangée pour tout le monde, donc même si vous obtenez une éducation en Autriche via www.salls.ru, bien que les études à l'étranger soient plus valorisées, vous pouvez toujours appliquer ces règles là-bas.
Buts et objectifs de la leçon :
- Cours général de mathématiques en 6e année "Addition et soustraction nombres positifs et négatifs
- Résumer et systématiser les connaissances des élèves sur ce sujet.
- Développer les compétences et les capacités pédagogiques générales et disciplinaires, la capacité d'utiliser les connaissances acquises pour atteindre l'objectif; établir des modèles de diversité de connexions pour atteindre un niveau de connaissance systématique.
- Éducation des compétences de maîtrise de soi et de contrôle mutuel ; développer des envies et des besoins pour généraliser les faits obtenus ; développer l'indépendance, l'intérêt pour le sujet.
Pendant les cours
I. Moment organisationnel
Les gars, nous voyageons à travers le pays des "nombres rationnels", où vivent des nombres positifs, négatifs et zéro. En voyageant, nous apprenons beaucoup de choses intéressantes à leur sujet, nous nous familiarisons avec les règles et les lois selon lesquelles ils vivent. Cela signifie que nous devons respecter ces règles et obéir à leurs lois.
Et à quelles règles et lois nous sommes-nous familiarisés ? (règles d'addition et de soustraction des nombres rationnels, lois de l'addition)
Et donc le sujet de notre leçon est "Addition et soustraction de nombres positifs et négatifs".(Les élèves écrivent le numéro et le sujet de la leçon dans leurs cahiers)
II. Vérification des devoirs
III. Mise à jour des connaissances.
Commençons la leçon par un travail oral. Vous avez une série de chiffres devant vous.
8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.
Répondez aux questions:
Quel est le plus grand nombre de la série ?
Quel nombre a le plus grand module ?
Quel est le plus petit nombre de la série ?
Quel nombre a le plus petit module ?
Comment comparer deux nombres positifs ?
Comment comparer deux nombres négatifs ?
Comment comparer des nombres avec des signes différents?
Quels sont les nombres opposés dans la série ?
Classez les nombres par ordre croissant.
IV. trouve l'erreur
a) -47 + 25+ (-18) = 30
c) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1
d) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4
V.Tâche "Devinez le mot"
Dans chaque groupe, j'ai donné des tâches dans lesquelles les mots étaient cryptés.
Après avoir terminé toutes les tâches, vous devinerez les mots-clés (fleurs, cadeau, filles)
| 1 rang | Répondre | Lettre |
|
| Répondre | Lettre |
||
| 54-(-74) | |||
| 2,5-3,6 | |||
| 23,7+23,7 | |||
| 11,2+10,3 | |||
| 3 rangées | Répondre | Lettre |
|
| 2,03-7,99 | |||
| 67,34-45,08 | |||
| 10,02 | 112,42 | 50,94 | 50,4 |
Vje. Fizminutka
Bravo, vous avez fait du bon travail, je pense qu'il est temps de se détendre, de se concentrer, de soulager la fatigue, et des exercices simples aideront à retrouver la tranquillité d'esprit
PHYSMINUTE (Si l'énoncé est correct, tapez dans vos mains, sinon, secouez la tête d'un côté à l'autre) :
Lors de l'addition de deux nombres négatifs, les modules des termes doivent être soustraits -
Les sommes de deux nombres négatifs sont toujours négatives +
L'addition de deux nombres opposés donne toujours 0 +
Lorsque vous ajoutez des nombres avec des signes différents, vous devez ajouter leurs modules -
La somme de deux nombres négatifs est toujours inférieure à chacun des termes +
Lorsque vous ajoutez des nombres avec des signes différents, vous devez soustraire un module plus petit d'un module plus grand +
VII.Résoudre des devoirs de manuels.
N° 1096 (a, e, i)
VIII. Devoirs
1 niveau "3" - №1132
Niveau 2 - "4" - N° 1139, 1146
jeX. Travail indépendant sur les options.
Niveau 1, "3"
| 1 option | Option 2 |
2ème niveau, "4"
| 1 option | Option 2 |
| 1 - (- 3 )+(- 2 ) |
3ème niveau, "5"
| 1 option | 2 options |
| 4,2-3,25-(-0,6) | 2,4-1,75-(-2,6) |
Contrôle mutuel au tableau, changement de voisin sur le bureau
X. Résumé de la leçon. Réflexion
Rappelons-nous le début de notre leçon, les gars.
Quels sont les objectifs de la leçon ?
Pensez-vous que nous avons atteint nos objectifs ?
Les gars, évaluez maintenant votre travail dans la leçon. Devant vous se trouve une carte avec une photo d'une montagne. Si vous pensez avoir fait du bon travail pendant la leçon, tout va bien pour vous.D'accord, alors dessinez-vous au sommet d'une montagne. Si quelque chose n'est pas clair, dessinez-vous ci-dessous et décidez vous-même à gauche ou à droite.
Envoyez-moi vos dessins avec la carte de notes, vous connaîtrez la note finale pour le travail dans la prochaine leçon.
Dans cet article, nous analyserons comment soustraction de nombres négatifsà partir de nombres arbitraires. Ici, nous donnerons une règle pour soustraire des nombres négatifs et examinerons des exemples d'application de cette règle.
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Règle de soustraction des nombres négatifs
La suite a lieu règle de soustraction des nombres négatifs: pour soustraire un nombre négatif b du nombre a, il faut ajouter le nombre −b au a réduit, opposé au b soustrait.
Sous forme littérale, la règle pour soustraire un nombre négatif b d'un nombre arbitraire a ressemble à ceci : a−b=a+(−b) .
Prouvons la validité de cette règle pour soustraire des nombres.
Rappelons tout d'abord la signification de soustraire les nombres a et b. Trouver la différence entre les nombres a et b revient à trouver un nombre c dont la somme avec le nombre b est égale à a (voir le lien entre soustraction et addition). Autrement dit, si un nombre c est trouvé tel que c+b=a , alors la différence a−b est égale à c .
Ainsi, pour prouver la règle de soustraction annoncée, il suffit de montrer que l'addition du nombre b à la somme a+(−b) donnera le nombre a . Pour le montrer, regardons propriétés des actions avec des nombres réels. En vertu de la propriété associative de l'addition, l'égalité (a+(-b))+b=a+((-b)+b) est vraie. Puisque la somme des nombres opposés est égale à zéro, alors a+((−b)+b)=a+0 , et la somme de a+0 est égale à a, puisque l'ajout de zéro ne change pas le nombre. Ainsi, l'égalité a−b=a+(−b) a été prouvée, ce qui signifie que la validité de la règle ci-dessus pour soustraire des nombres négatifs a été prouvée.
Nous avons prouvé cette règle pour les nombres réels a et b . Cependant, cette règle est également vraie pour tous les nombres rationnels a et b , ainsi que pour tous les entiers a et b , puisque les opérations avec des nombres rationnels et entiers ont également les propriétés que nous avons utilisées dans la preuve. Notez qu'à l'aide de la règle analysée, il est possible de soustraire un nombre négatif à la fois d'un nombre positif et d'un nombre négatif, ainsi que de zéro.
Il reste à considérer comment la soustraction des nombres négatifs est effectuée à l'aide de la règle analysée.
Exemples de soustraction de nombres négatifs
Considérer exemples de soustraction de nombres négatifs. Commençons par résoudre un exemple simple pour comprendre toutes les subtilités du processus sans s'embarrasser de calculs.
Exemple.
Soustrayez moins -13 de moins -7 .
Solution.
Le nombre opposé au −7 soustrait est le nombre 7 . Alors, par la règle de soustraction des nombres négatifs, on a (−13)−(−7)=(−13)+7 . Il reste à effectuer l'addition des nombres de signes différents, on obtient (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Voici toute la solution : (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Répondre:
(−13)−(−7)=−6 .
La soustraction de nombres fractionnaires négatifs peut être effectuée en sautant aux fractions communes correspondantes, aux nombres mixtes ou aux décimales. Ici, il vaut la peine de partir des chiffres avec lesquels il est plus pratique de travailler.
Exemple.
Soustrayez du nombre 3,4 un nombre négatif.
Solution.
En appliquant la règle de soustraction des nombres négatifs, nous avons 
. Remplacez maintenant le nombre décimal 3,4 par un nombre fractionnaire : 
(voir la traduction des fractions décimales en fractions ordinaires), on obtient 
. Il reste à effectuer l'addition des nombres fractionnaires : .
Ceci termine la soustraction d'un nombre négatif du nombre 3,4. Donnons un bref enregistrement de la solution : .
Répondre:
.
Exemple.
Soustrayez le nombre négatif −0,(326) de zéro.
Solution.
Par la règle de soustraction des nombres négatifs, on a 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . La dernière transition est valide en raison de la propriété d'ajouter un nombre à zéro.