Note. Cela fait partie de la leçon avec des problèmes de géométrie (géométrie du solide en coupe, problèmes concernant la pyramide). Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie, qui n'est pas ici, écrivez à ce sujet dans le forum. Dans les tâches, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt () est utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Pour les expressions radicales simples, le signe "√" peut être utilisé. tétraèdre régulier est une pyramide triangulaire régulière dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.

Pour un tétraèdre régulier, tous les angles dièdres aux arêtes et tous les angles trièdres aux sommets sont égaux

Un tétraèdre a 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes.

Les formules de base pour un tétraèdre régulier sont données dans le tableau.

Où:
S - Aire d'un tétraèdre régulier
V-volume
h - hauteur abaissée à la base
r - rayon du cercle inscrit dans le tétraèdre
R - rayon du cercle circonscrit
a - longueur des côtes

Exemples pratiques

Tâche.
Trouver la surface d'une pyramide triangulaire avec chaque arête égale à √3

Solution.
Puisque toutes les arêtes d'une pyramide triangulaire sont égales, c'est correct. La surface d'une pyramide triangulaire régulière est S = a 2 √3.
Alors
S = 3√3

Répondre: 3√3

Tâche.
Toutes les arêtes d'une pyramide triangulaire régulière mesurent 4 cm. Trouvez le volume de la pyramide

Solution.
Puisque dans une pyramide triangulaire régulière la hauteur de la pyramide est projetée dans le centre de la base, qui est aussi le centre du cercle circonscrit, alors

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Ainsi la hauteur de la pyramide OM peut être trouvée à partir du triangle rectangle AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
MO 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
MO = √(32/3)
MO = 4√2 / √3

Le volume de la pyramide est trouvé par la formule V = 1/3 Sh
Dans ce cas, on trouve l'aire de la base par la formule S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Répondre: 16√2/3cm

Dans cette leçon, nous allons nous intéresser au tétraèdre et à ses éléments (arête du tétraèdre, surface, faces, sommets). Et nous allons résoudre plusieurs problèmes de construction de sections dans un tétraèdre en utilisant la méthode générale de construction de sections.

Sujet : Parallélisme des droites et des plans

Leçon : Tétraèdre. Problèmes de construction de sections dans un tétraèdre

Comment construire un tétraèdre ? Prenons un triangle arbitraire abc. Point arbitraire D ne se trouvant pas dans le plan de ce triangle. On obtient 4 triangles. La surface formée par ces 4 triangles s'appelle un tétraèdre (Fig. 1.). Les points internes délimités par cette surface font également partie du tétraèdre.

Riz. 1. Tétraèdre ABCD

Éléments d'un tétraèdre
UN,B, C, D - sommets d'un tétraèdre.
UN B, CA, PUBLICITÉ, avant JC, BD, CD - arêtes d'un tétraèdre.
abc, DAB, bdc, ADC - faces d'un tétraèdre.

Commentaire: tu peux prendre l'avion abc derrière base tétraèdre, puis le point D est sommet d'un tétraèdre. Chaque arête du tétraèdre est l'intersection de deux plans. Par exemple, côte UN B est l'intersection des plans UN BD Et abc. Chaque sommet du tétraèdre est l'intersection de trois plans. Sommet UN se trouve dans les avions abc, UN BD, UNDAVEC. Point UN est l'intersection des trois plans marqués. Ce fait s'écrit comme suit : UN= abc ∩ UN BD ∩ CAD.

Définition du tétraèdre

Donc, tétraèdre est une surface formée de quatre triangles.

Arête d'un tétraèdre- la ligne d'intersection de deux plans du tétraèdre.

Faites 4 triangles égaux à partir de 6 allumettes. Il n'est pas possible de résoudre le problème dans un avion. Et dans l'espace, c'est facile à faire. Prenons un tétraèdre. 6 matchs sont ses arêtes, quatre faces d'un tétraèdre et seront quatre triangles égaux. Problème résolu.

Dan tétraèdre abcD. Point M appartient au bord du tétraèdre UN B, point N appartient au bord du tétraèdre DANSD et point R appartient au bord DAVEC(Fig. 2.). Construire une section d'un tétraèdre par un plan MNP.

Riz. 2. Dessin pour la tâche 2 - Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
Considérez la face d'un tétraèdre DSoleil. Dans ce bord du point N Et P les visages appartiennent DSoleil, et donc le tétraèdre. Mais par la condition du point N, P appartiennent au plan de coupe. Moyens, NP est la ligne d'intersection de deux plans : les plans de face DSoleil et plan de coupe. Supposons que les lignes NP Et Soleil ne sont pas parallèles. Ils se trouvent dans le même avion DSoleil. Trouver le point d'intersection des lignes NP Et Soleil. Notons-le E(Fig. 3.).

Riz. 3. Dessin pour la tâche 2. Trouver le point E

Point E appartient au plan de coupe MNP, puisqu'il se trouve sur la ligne NP, et la droite NP est entièrement dans le plan de la section MNP.

Point aussi E se trouve dans l'avion abc parce qu'il se trouve sur une ligne Soleil hors d'avion abc.

On comprend ça MANGER- ligne d'intersection des plans abc Et MNP, parce que les pointes E Et M se trouvent simultanément dans deux plans - abc Et MNP. Relier les points M Et E, et continuer la ligne MANGERà l'intersection avec la ligne CA. point d'intersection des lignes MANGER Et CA dénoter Q.

Donc dans ce cas NPQM- rubrique souhaitée.

Riz. 4. Dessin du problème 2. Solution du problème 2

Considérons maintenant le cas où NP parallèle avant JC. Si droit NP parallèle à une droite, par exemple une droite Soleil hors d'avion abc, puis la droite NP parallèle à tout le plan abc.

Le plan de coupe souhaité passe par une droite NP, parallèle au plan abc, et coupe le plan en ligne droite QM. Donc la ligne d'intersection QM parallèle à une droite NP. On a NPQM- rubrique souhaitée.

Point M se couche sur le côté UNDDANS tétraèdre abcD. Construire une section d'un tétraèdre par un plan passant par un point M parallèle à la base abc.

Riz. 5. Dessin pour la tâche 3 Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
plan de coupe φ parallèle au plan abc par condition, alors cet avion φ parallèle aux droites UN B, CA, Soleil.
En avion UN BD par un point M traçons une ligne droite QP parallèle UN B(Fig. 5). Droit QP se trouve dans l'avion UN BD. De même en avion CAD par un point R traçons une ligne droite RP parallèle CA. Eu un point R. Deux lignes qui se croisent QP Et RP avion PQR sont respectivement parallèles à deux lignes sécantes UN B Et CA avion abc, d'où les avions abc Et PQR sont parallèles. PQR- rubrique souhaitée. Problème résolu.

Dan tétraèdre abcD. Point M- point interne, point d'une face tétraédrique UN BD. N- point interne du segment DAVEC(Fig. 6.). Construire un point d'intersection d'une droite NM et avion abc.

Riz. 6. Dessin pour la tâche 4

Solution:
Pour résoudre, on construit un plan auxiliaire DMN. Laisse la ligne DM coupe la droite AB en un point POUR(Fig. 7.). Alors, CSD est une section du plan DMN et un tétraèdre. En avion DMN mensonges et droit NM, et la ligne résultante CS. Donc si NM non parallèle CS, puis ils se croisent en un point R. Point R et sera le point d'intersection souhaité de la ligne NM et avion abc.

Riz. 7. Dessin du problème 4. Solution du problème 4

Dan tétraèdre abcD. M- point interne du visage UN BD. R- point interne du visage abc. N- point interne du bord DAVEC(Fig. 8.). Construire une section d'un tétraèdre par un plan passant par les points M, N Et R.

Riz. 8. Dessin pour la tâche 5 Construire une section d'un tétraèdre par un plan

Solution:
Considérons le premier cas, lorsque la ligne MN non parallèle au plan abc. Dans le problème précédent, nous avons trouvé le point d'intersection de la droite MN et avion abc. C'est le point POUR, il est obtenu à l'aide du plan auxiliaire DMN, c'est à dire. Nous faisons DM et obtenir un point F. Nous dépensons FC et au carrefour MN obtenir un point POUR.

Riz. 9. Dessin pour la tâche 5. Trouver le point K

Traçons une ligne droite KR. Droit KR se trouve à la fois dans le plan de la section et dans le plan abc. Obtenir des points R 1 Et R2. De liaison R 1 Et M et à la suite on obtient un point M 1. Relier le point R2 Et N. En conséquence, nous obtenons la section transversale souhaitée R 1 R 2 NM 1. Le problème dans le premier cas est résolu.
Considérons le deuxième cas, lorsque la ligne MN parallèle au plan abc. Avion MNP passe par une ligne droite MN parallèle au plan abc et traverse l'avion abc le long d'une certaine ligne R 1 R 2, puis la droite R 1 R 2 parallèle à cette ligne MN(Fig. 10.).

Riz. 10. Dessin du problème 5. Section souhaitée

Maintenant, traçons une ligne R 1 M et obtenir un point M 1.R 1 R 2 NM 1- rubrique souhaitée.

Ainsi, nous avons considéré le tétraèdre, résolu certaines tâches typiques sur le tétraèdre. Dans la prochaine leçon, nous examinerons la boîte.

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5ème édition, corrigée et complétée - M. : Mnemosyne, 2008. - 288 p. : je vais. Géométrie. 10e-11e année: manuel pour les élèves des établissements d'enseignement général (niveaux de base et de profil)

2. Sharygin I. F. - M. : Outarde, 1999. - 208 p. : ill. Géométrie. 10e-11e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général

3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e édition, stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. :je vais. Géométrie. 10e année: Manuel pour les établissements d'enseignement général avec une étude approfondie et profilée des mathématiques

Ressources Web supplémentaires

2. Comment construire une section d'un tétraèdre. Mathématiques ().

3. Festival d'idées pédagogiques ().

Faites des devoirs sur le sujet "Tétraèdre", comment trouver l'arête du tétraèdre, les faces du tétraèdre, les sommets et la surface du tétraèdre

1. Géométrie. 10e-11e année: un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement (niveaux de base et de profil) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, corrigée et complétée - M. : Mnemozina, 2008. - 288 p. : ill. Tâches 18, 19, 20 p. 50

2. Pointe E nervure centrale MA tétraèdre IAWS. Construire une section d'un tétraèdre par un plan passant par les points AVANT JC Et E.

3. Dans le tétraèdre MAVS, le point M appartient à la face AMB, le point P à la face BMC et le point K à l'arête AC. Construire une section d'un tétraèdre par un plan passant par les points M, R, K...

4. Quelles figures peut-on obtenir à la suite de l'intersection d'un tétraèdre par un plan ?

Tétraèdre en grec signifie "tétraèdre". Cette figure géométrique a quatre faces, quatre sommets et six arêtes. Les bords sont des triangles. En fait, le tétraèdre est la première mention de polyèdres apparue bien avant l'existence de Platon.

Aujourd'hui, nous allons parler des éléments et des propriétés du tétraèdre, et également apprendre les formules permettant de trouver la surface, le volume et d'autres paramètres pour ces éléments.

Éléments d'un tétraèdre

Un segment, dégagé de tout sommet du tétraèdre et abaissé au point d'intersection des médianes de la face opposée, est appelé la médiane.

La hauteur du polygone est un segment normal déposé du sommet opposé.

Une bimédiane est un segment reliant les centres des arêtes qui se croisent.

Propriétés d'un tétraèdre

1) Les plans parallèles passant par deux arêtes obliques forment un parallélépipède circonscrit.

2) Une propriété distinctive du tétraèdre est que les médianes et les bimédianes de la figure se rejoignent en un point. Il est important que ce dernier divise les médianes dans un rapport de 3: 1 et les bimédianes - en deux.

3) Le plan divise le tétraèdre en deux parties de volume égal s'il passe par le milieu de deux arêtes qui se croisent.

Types de tétraèdre

La diversité des espèces de la figure est assez large. Un tétraèdre peut être :

• correct, c'est-à-dire qu'à la base se trouve un triangle équilatéral ;
• isoèdre, dans lequel toutes les faces ont la même longueur ;
• orthocentrique, lorsque les hauteurs ont un point d'intersection commun ;
• rectangulaire, si les angles plats au sommet sont normaux ;
• proportionné, toutes les hauteurs bi sont égales ;
• filaire, s'il y a une sphère qui touche les bords;
• incentriques, c'est-à-dire que les segments abaissés du sommet au centre du cercle inscrit de la face opposée ont un point d'intersection commun ; ce point est appelé le centre de gravité du tétraèdre.

Arrêtons-nous en détail sur le tétraèdre régulier, dont les propriétés ne diffèrent pratiquement pas.

D'après son nom, vous pouvez comprendre qu'il s'appelle ainsi parce que les faces sont des triangles réguliers. Toutes les arêtes de cette figure sont congruentes en longueur et les faces sont congruentes en aire. Un tétraèdre régulier est l'un des cinq polyèdres similaires.

Formules de tétraèdre

La hauteur d'un tétraèdre est égale au produit de la racine de 2/3 et de la longueur de l'arête.

Le volume d'un tétraèdre se trouve de la même manière que le volume d'une pyramide : la racine carrée de 2 divisée par 12 et multipliée par la longueur de l'arête du cube.

Les formules restantes pour calculer l'aire et les rayons des cercles sont présentées ci-dessus.

Le tétraèdre est la figure polygonale la plus simple. Il se compose de quatre faces, dont chacune est un triangle équilatéral, chaque côté étant relié à l'autre par une seule face. Lors de l'étude des propriétés de cette figure géométrique tridimensionnelle, pour plus de clarté, il est préférable de créer un modèle de tétraèdre en papier.

Comment coller un tétraèdre en papier ?

Pour construire un simple tétraèdre en papier, nous avons besoin de :

• papier lui-même (épais, vous pouvez utiliser du carton);
• rapporteur;
• règle;
• ciseaux;
• colle;
• tétraèdre en papier, schéma.

Progrès

• si le papier est très épais, un objet dur, par exemple le bord d'une règle, doit être dessiné sur les plis;
• afin d'obtenir un tétraèdre multicolore, vous pouvez peindre les visages ou numériser sur des feuilles de papier de couleur.

Comment faire un tétraèdre en papier sans coller ?

Nous portons à votre attention une classe de maître qui explique comment assembler 6 tétraèdres en papier en un seul module en utilisant la technique de l'origami.

Nous aurons besoin:

• 5 paires de feuilles de papier carrées de différentes couleurs ;
• ciseaux.

Progrès

1. Nous divisons chaque feuille de papier en trois parties égales, la coupons et obtenons des bandes dont le rapport d'aspect est de 1 à 3. En conséquence, nous obtenons 30 bandes, à partir desquelles nous ajouterons le module.
2. Nous posons la bande devant nous face vers le bas, en l'étirant horizontalement. Plier en deux, déplier et plier jusqu'au milieu du bord.

3. À l'extrême droite, pliez le coin de manière à former une flèche en l'éloignant de 2 à 3 cm du bord.

4. De même, nous plions le coin gauche (photo comment faire un tétraèdre 3 en papier).

5. Nous plions le coin supérieur droit du petit triangle, résultat de l'opération précédente. Ainsi, les côtés du bord plié seront au même angle.

6. Développez le pli résultant.
7. Nous déplions le coin gauche et, le long des lignes de pliage existantes, enveloppons le coin vers l'intérieur comme indiqué sur la photo.

8. Dans le coin droit, pliez le bord supérieur vers le bas de manière à ce qu'il croise le pli réalisé lors de l'opération n ° 3.

9. Le bord extérieur est à nouveau enroulé vers la droite, en utilisant le pli réalisé à la suite de l'opération n ° 3.
10. Nous répétons les opérations précédentes à partir de l'autre extrémité de la bande, mais de manière à ce que les petits plis soient aux extrémités parallèles de la bande.

11. Nous plions la bande résultante en deux sur la longueur et la laissons s'ouvrir silencieusement et spontanément. L'angle d'ouverture exact deviendra clair plus tard, lors de l'assemblage final du modèle. L'élément est prêt, maintenant nous en faisons un autre 29 de la même manière.
12. Nous retournons le lien pour que lors du montage son côté extérieur soit visible. On relie les deux maillons en insérant la languette dans la poche formée par le petit coin intérieur.

13. Les liens connectés doivent former un angle de 60 ⁰, sous lequel d'autres liens se rejoindront (photo comment faire un tétraèdre 13 en papier).

14. Nous ajoutons le troisième lien au second et connectons le second au premier. Il s'avère que la fin de la figure, au sommet de laquelle ses trois liens sont connectés.

15. Ajoutez trois autres liens de la même manière. Le premier tétraèdre est prêt.

16. Les coins de la figure finie peuvent ne pas être exactement les mêmes, donc pour un ajustement plus précis, vous devez laisser ouverts les coins individuels de tous les tétraèdres suivants.

17. Les tétraèdres doivent être connectés les uns aux autres de sorte que le coin de l'un passe à travers un trou dans l'autre.

18. Trois tétraèdres interconnectés.

19. Quatre tétraèdres interconnectés.

20. Le module de cinq tétraèdres est prêt.

Si vous avez fait face au tétraèdre, vous pouvez continuer et faire

EXPLICATION DU TEXTE DE LA LEÇON :

Bon après-midi Nous continuons à étudier le sujet: "Parallélisme des lignes et des plans."

Je pense qu'il est déjà clair qu'aujourd'hui nous parlerons de polyèdres - les surfaces de corps géométriques constitués de polygones.

A savoir, le tétraèdre.

Nous étudierons les polyèdres selon le plan :

1. définition d'un tétraèdre

2. éléments du tétraèdre

3. développement du tétraèdre

4. image dans l'avion

1. construire un triangle ABC

2. point D non situé dans le plan de ce triangle

3. reliez le point D par des segments aux sommets du triangle ABC. On obtient les triangles DAB, DBC et DCA.

Définition : Une surface composée de quatre triangles ABC, DAB, DBC et DCA est appelée tétraèdre.

Désignation : DABC.

Éléments d'un tétraèdre

Les triangles qui composent un tétraèdre sont appelés faces, leurs côtés sont des arêtes et leurs sommets sont les sommets du tétraèdre.

Combien de faces, d'arêtes et de sommets possède un tétraèdre ?

Un tétraèdre a quatre faces, six arêtes et quatre sommets.

Deux arêtes d'un tétraèdre qui n'ont pas de sommets communs sont dites opposées.

Sur la figure, les arêtes AD et BC, BD et AC, CD et AB sont opposées.

Parfois, l'une des faces du tétraèdre est isolée et appelée sa base, et les trois autres sont appelées faces latérales.

Déploiement du tétraèdre.

Pour faire un tétraèdre en papier, vous aurez besoin du scan suivant,

il doit être transféré sur du papier épais, découpé, plié le long des pointillés et collé.

Le tétraèdre est représenté sur le plan

Sous la forme d'un quadrilatère convexe ou non convexe avec des diagonales. Les lignes pointillées représentent les bords invisibles.

Dans la première figure, AC est une arête invisible,

sur le second - EK, LK et KF.

Résolvons plusieurs problèmes typiques sur le tétraèdre :

Trouver l'aire de développement d'un tétraèdre régulier avec une arête de 5 cm.

Solution. Dessinons un réseau d'un tétraèdre

(un balayage tétraédrique apparaît à l'écran)

Ce tétraèdre est constitué de quatre triangles équilatéraux, par conséquent, l'aire de développement d'un tétraèdre régulier est égale à la surface totale du tétraèdre ou à l'aire de quatre triangles réguliers.

On cherche l'aire d'un triangle régulier à l'aide de la formule :

On obtient alors l'aire du tétraèdre égale à :

Remplacez dans la formule la longueur du bord a \u003d 5 cm,

il s'avère

Réponse : Aire d'un tétraèdre régulier

Construire une section du tétraèdre par un plan passant par les points M, N et K.

a) En effet, connectons les points M et N (ils appartiennent à la face ADC), les points M et K (ils appartiennent à la face ADB), les points N et K (les faces DBC). La section du tétraèdre est le triangle MKN.

b) Reliez les points M et K (appartiennent à la face ADB), les points K et N (appartiennent à la face DCB), puis continuez les droites MK et AB jusqu'à l'intersection et posez le point P. La droite PN et le point T se trouve dans le même plan ABC et nous pouvons maintenant construire l'intersection de la droite MK avec chaque face. Le résultat est un quadrilatère MKNT, qui est la section requise.