1.Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci y(x) =a x, zależną od wykładnika x, o stałej wartości podstawy stopnia a, gdzie a > 0, a ≠ 0, xϵR (R jest zbiorem liczb rzeczywistych) .
Rozważać wykres funkcji, jeśli baza nie spełnia warunku: a>0
a)< 0
Jeśli< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Jeżeli a = 0 - funkcja y = jest zdefiniowana i ma stałą wartość 0
c) za \u003d 1
Jeżeli a = 1 - funkcja y = jest zdefiniowana i ma stałą wartość 1
Dziedzina funkcji (OOF) Obszar dopuszczalnych wartości funkcji (ODZ) 3. Zera funkcji (y = 0) 4. Punkty przecięcia z osią y (x = 0) 5. Funkcja rosnąca, malejąca Jeśli , to funkcja f(x) rośnie 6. Funkcje parzyste, nieparzyste Funkcja y = nie jest symetryczna względem osi 0y i względem początku układu współrzędnych, a więc nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. (funkcja ogólna) 7. Funkcja y \u003d nie ma ekstremów 8. Własności stopnia z wykładnikiem rzeczywistym: Niech a > 0; a≠1 Wtedy dla xϵR; yϵR: Stopniowe właściwości monotoniczności: Jeśli następnie Jeśli a> 0, to . 9. Względne położenie funkcji Im większa podstawa a, tym bliżej osi x i y a > 1, a = 20 Przykład 1 Najpierw wprowadzimy definicję funkcji wykładniczej. Funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a >1$. Wprowadźmy własności funkcji wykładniczej dla $a >1$. \ \[bez korzeni\] \ Przecięcie z osiami współrzędnych. Funkcja nie przecina osi $Ox$, ale przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[bez korzeni\] \ Wykres (ryc. 1). Rysunek 1. Wykres funkcji $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$. Wprowadźmy własności funkcji wykładniczej dla $0 Dziedziną definicji są wszystkie liczby rzeczywiste. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. $f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji. Zakres wartości to przedział $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[bez korzeni\] \ \[bez korzeni\] \ Funkcja jest wypukła na całej dziedzinie definicji. Zachowanie na końcach zakresu: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Wykres (ryc. 2). Zbadaj i wykreśl funkcję $y=2^x+3$. Rozwiązanie. Zróbmy badanie na przykładzie powyższego schematu: Dziedziną definicji są wszystkie liczby rzeczywiste. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. $f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie definicji. Zakres wartości to przedział $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji. $f(x)\ge 0$ w całej dziedzinie definicji. Przecięcie z osiami współrzędnych. Funkcja nie przecina osi $Ox$, ale przecina oś $Oy$ w punkcie ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Funkcja jest wypukła na całej dziedzinie definicji. Zachowanie na końcach zakresu: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Wykres (ryc. 3). Rysunek 3. Wykres funkcji $f\left(x\right)=2^x+3$
Lekcja #2
Temat: Funkcja wykładnicza, jej własności i wykres. Cel: Sprawdź jakość przyswojenia pojęcia „funkcji wykładniczej”; wyrobienie umiejętności rozpoznawania funkcji wykładniczej, posługiwania się jej własnościami i wykresami, nauczenie studentów posługiwania się analitycznymi i graficznymi formami zapisu funkcji wykładniczej; zapewnić warunki pracy w klasie. Sprzęt: tablica, plakaty Formularz lekcji: klasa Rodzaj lekcji: lekcja praktyczna Rodzaj lekcji: lekcja treningu umiejętności Plan lekcji 1. Moment organizacyjny 2. Samodzielna praca i sprawdzanie prac domowych 3. Rozwiązywanie problemów 4. Podsumowanie 5. Praca domowa Podczas zajęć. 1. Moment organizacyjny
: Cześć. Otwórz zeszyty, zapisz dzisiejszą datę i temat lekcji „Funkcja wykładnicza”. Dzisiaj będziemy kontynuować badanie funkcji wykładniczej, jej właściwości i wykresu. 2. Samodzielna praca i sprawdzanie prac domowych
.
Cel: sprawdzić jakość przyswojenia pojęcia „funkcji wykładniczej” oraz sprawdzić wykonanie części teoretycznej pracy domowej Metoda: zadanie testowe, badanie frontalne Jako pracę domową otrzymaliście liczby z zeszytu zadań i akapit z podręcznika. Nie będziemy teraz sprawdzać wykonania numerów z podręcznika, ale zeszyty przekażesz na koniec lekcji. Teraz teoria zostanie sprawdzona w formie małego testu. Zadanie jest takie samo dla wszystkich: dostajesz listę funkcji, musisz dowiedzieć się, które z nich są orientacyjne (podkreśl je). A obok funkcji wykładniczej musisz napisać, czy rośnie, czy maleje.
2. Rozważ bardziej szczegółowo funkcję wykładniczą:
0
Jeśli , to funkcja f(x) maleje
Funkcja y= , w 0
Wynika to z właściwości monotoniczności stopnia z wykładnikiem rzeczywistym.
b > 0; b≠1
Na przykład:
Funkcja wykładnicza jest ciągła w dowolnym punkcie ϵ R.
Jeżeli a0, to funkcja wykładnicza przyjmuje postać bliską y = 0.
Jeśli a1, to dalej od osi x i y, a wykres przyjmuje postać zbliżoną do funkcji y \u003d 1.
Działka y=
Funkcja wykładnicza $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $0
Przykład zadania konstruowania funkcji wykładniczej
opcja 1 Odpowiedź B) D) - wykładniczy, malejący | Opcja 2 Odpowiedź D) - wykładniczy, malejący D) - orientacyjny, rosnący |
Opcja 3 Odpowiedź A) - orientacyjny, rosnący B) - wykładniczy, malejący | Opcja 4 Odpowiedź A) - wykładniczy, malejący W) - orientacyjny, rosnący |
Przypomnijmy sobie teraz razem, jaka funkcja nazywa się wykładniczą?
Funkcja postaci , gdzie i , nazywana jest funkcją wykładniczą.
Jaki jest zakres tej funkcji?
Wszystkie liczby rzeczywiste.
Jaki jest zakres funkcji wykładniczej?
Wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste.
Zmniejsza się, jeśli podstawa jest większa od zera, ale mniejsza od jeden.
Kiedy funkcja wykładnicza maleje w swojej dziedzinie?
Zwiększa się, jeśli podstawa jest większa niż jeden.
3. Rozwiązywanie problemów
Cel: kształtowanie umiejętności rozpoznawania funkcji wykładniczej, korzystania z jej własności i wykresów, nauczenie studentów korzystania z analitycznych i graficznych form zapisu funkcji wykładniczej
metoda: pokaz przez nauczyciela rozwiązywania typowych problemów, praca ustna, praca przy tablicy, praca w zeszycie, rozmowa nauczyciela z uczniami.
Właściwości funkcji wykładniczej można wykorzystać przy porównywaniu 2 lub więcej liczb. Na przykład: nr 000. Porównaj wartości i jeśli a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, to jest to dość trudne zadanie: musielibyśmy wziąć pierwiastek sześcienny z 3 i 9 i porównać je. Ale wiemy, że zwiększa się, to jest we własnej kolejce oznacza, że wraz ze wzrostem argumentu rośnie wartość funkcji, czyli wystarczy, że porównamy ze sobą wartości argumentu i oczywiście, że 
(można zademonstrować na plakacie z rosnącą funkcją wykładniczą). I zawsze rozwiązując takie przykłady, najpierw określ podstawę funkcji wykładniczej, porównaj z 1, określ monotoniczność i przystąp do porównania argumentów. W przypadku funkcji malejącej: wraz ze wzrostem argumentu wartość funkcji maleje, dlatego przy przejściu od nierówności argumentów do nierówności funkcji zmienia się znak nierówności. Następnie rozwiązujemy ustnie: b) 
- 
W) 
- 
G) 
- 
- nr 000. Porównaj liczby: a) i
Zatem funkcja jest rosnąca
Dlaczego ?
Funkcja rosnąca i 
Zatem funkcja jest malejąca 
Obie funkcje rosną w całej swojej dziedzinie definicji, ponieważ są wykładnicze z podstawą większą niż jeden.
Jakie jest tego znaczenie?
Budujemy wykresy:
Która funkcja rośnie szybciej podczas dążenia https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Która funkcja zmniejsza się szybciej podczas dążenia https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Na przedziale, która z funkcji ma największą wartość w określonym punkcie?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najpierw dowiedzmy się, jaki jest zakres tych funkcji. zbiec się?
Tak, dziedziną tych funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.
Nazwij zakres każdej z tych funkcji.
Zakresy tych funkcji pokrywają się: wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste.
Określ typ monotoniczności każdej z funkcji.
Wszystkie trzy funkcje maleją w całej swojej dziedzinie definicji, ponieważ są wykładnicze z podstawą mniejszą niż jeden i większą niż zero.
Jaki jest punkt osobliwy wykresu funkcji wykładniczej?
Jakie jest tego znaczenie?
Bez względu na podstawę stopnia funkcji wykładniczej, jeśli wykładnik wynosi 0, to wartość tej funkcji wynosi 1.
Budujemy wykresy:
Przeanalizujmy wykresy. Ile punktów przecięcia mają wykresy funkcji?
Która funkcja zmniejsza się szybciej podczas wysiłku? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Która funkcja rośnie szybciej podczas wysiłku? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif
Na przedziale, która z funkcji ma największą wartość w określonym punkcie?
Na przedziale, która z funkcji ma największą wartość w określonym punkcie?
Dlaczego funkcje wykładnicze o różnych podstawach mają tylko jeden punkt przecięcia?
Funkcje wykładnicze są ściśle monotoniczne w całej swojej dziedzinie definicji, więc mogą przecinać się tylko w jednym punkcie.
Następne zadanie skupi się na używaniu tej właściwości. № 000. Znajdź największą i najmniejszą wartość danej funkcji w danym przedziale a). Przypomnijmy, że funkcja ściśle monotoniczna przyjmuje swoje wartości minimalne i maksymalne na końcach danego przedziału. A jeśli funkcja jest rosnąca, to jej największa wartość będzie na prawym końcu segmentu, a najmniejsza na lewym końcu segmentu (pokaz na plakacie na przykładzie funkcji wykładniczej). Jeżeli funkcja jest malejąca, to jej największa wartość będzie na lewym końcu segmentu, a najmniejsza na prawym końcu segmentu (pokaz na plakacie na przykładzie funkcji wykładniczej). Funkcja jest rosnąca, dlatego najmniejsza wartość funkcji będzie w punkcie https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" > Punkty b) 
, V) 
d) samodzielnie rozwiązywać zeszyty, sprawdzimy to ustnie.
Uczniowie rozwiązują problem w zeszycie
|
Funkcja malejąca
|
Funkcja malejąca
|
Funkcja rosnąca
|
największa wartość funkcji na odcinku
najmniejsza wartość funkcji w segmencie
najmniejsza wartość funkcji w segmencie
największa wartość funkcji na odcinku- № 000. Znajdź największą i najmniejszą wartość danej funkcji w zadanym przedziale a) 
. To zadanie jest prawie takie samo jak poprzednie. Ale tutaj nie podano segmentu, ale promień. Wiemy, że funkcja jest rosnąca i nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości na całej osi liczbowej https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, i dąży do , czyli na półprostej funkcja at dąży do 0, ale nie ma swojej najmniejszej wartości, ale ma największą wartość w punkcie 
. Punkty b) 
, V) 
, G) 
Rozwiążcie własne zeszyty, sprawdzimy to ustnie.
Funkcja wykładnicza jest uogólnieniem iloczynu n liczb równych a :
y (n) = za n = za za za a,
do zbioru liczb rzeczywistych x :
y (x) = x.
Tutaj a jest ustaloną liczbą rzeczywistą, która jest nazywana podstawa funkcji wykładniczej.
Wywoływana jest również funkcja wykładnicza o podstawie a wykładniczy do podstawy a.
Uogólnienie przeprowadza się w następujący sposób.
Dla naturalnego x = 1, 2, 3,...
, funkcja wykładnicza jest iloczynem czynników x:
.
Ponadto ma własności (1,5-8) (), które wynikają z zasad mnożenia liczb. Przy zerowych i ujemnych wartościach liczb całkowitych funkcja wykładnicza jest określana za pomocą wzorów (1,9-10). Dla wartości ułamkowych x = m/n liczb wymiernych, , określa się to wzorem (1.11). Dla real funkcja wykładnicza jest zdefiniowana jako granica ciągu:
,
gdzie jest dowolną sekwencją liczb wymiernych zbiegającą się do x : .
Przy tej definicji funkcja wykładnicza jest zdefiniowana dla wszystkich i spełnia własności (1,5-8), jak również dla naturalnego x .
Rygorystyczne sformułowanie matematyczne definicji funkcji wykładniczej i dowód jej własności podano na stronie „Definicja i dowód własności funkcji wykładniczej”.
Własności funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza y = a x ma następujące właściwości na zbiorze liczb rzeczywistych ():
(1.1)
jest określona i ciągła dla , dla wszystkich ;
(1.2)
kiedy a ≠ 1
ma wiele znaczeń;
(1.3)
ściśle rośnie w , ściśle maleje w ,
jest stała w ;
(1.4)
Na ;
Na ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Inne przydatne formuły
.
Wzór na konwersję do funkcji wykładniczej o innej podstawie potęgi:
Dla b = e otrzymujemy wyrażenie funkcji wykładniczej wyrażonej wykładnikiem:
Prywatne wartości
, , , , .
Rysunek przedstawia wykresy funkcji wykładniczej
y (x) = x
dla czterech wartości podstawy stopni:a= 2
, za = 8
, za = 1/2
i = 1/8
. Widać, że dla > 1
funkcja wykładnicza jest monotonicznie rosnąca. Im większa podstawa stopnia a, tym silniejszy wzrost. Na 0
< a < 1
funkcja wykładnicza jest monotonicznie malejąca. Im mniejszy wykładnik a, tym silniejszy spadek.
Rosnąco, malejąco
Funkcja wykładnicza w jest ściśle monotoniczna, więc nie ma ekstremów. Jego główne właściwości przedstawiono w tabeli.
| y = za x , za > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Domena | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Zakres wartości | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotonia | wzrasta monotonicznie | maleje monotonicznie |
| Zera, y= 0 | NIE | NIE |
| Punkty przecięcia z osią y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Funkcja odwrotna
Odwrotność funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a jest logarytmem do podstawy a.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.
Różniczkowanie funkcji wykładniczej
Aby zróżnicować funkcję wykładniczą, jej podstawę należy sprowadzić do liczby e, zastosować tablicę pochodnych i regułę różniczkowania funkcji zespolonej.
Aby to zrobić, musisz użyć właściwości logarytmów
oraz wzór z tablicy pochodnych:
.
Niech będzie dana funkcja wykładnicza:
.
Doprowadzamy go do bazy e:
Stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej. W tym celu wprowadzamy zmienną
Następnie
Z tablicy pochodnych mamy (zamień zmienną x na z ):
.
Ponieważ jest stałą, pochodna z względem x wynosi
.
Zgodnie z regułą różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Pochodna funkcji wykładniczej
.
Pochodna n-tego rzędu:
.
Wyprowadzanie wzorów > > >
Przykład różniczkowania funkcji wykładniczej
Znajdź pochodną funkcji
y= 35 x
Rozwiązanie
Podstawę funkcji wykładniczej wyrażamy za pomocą liczby e.
3 = e log 3
Następnie
.
Wprowadzamy zmienną
.
Następnie
Z tablicy pochodnych znajdujemy:
.
Ponieważ 5ln 3 jest stałą, to pochodna z względem x wynosi:
.
Zgodnie z regułą różniczkowania funkcji zespolonej mamy:
.
Odpowiedź
Całka
Wyrażenia w postaci liczb zespolonych
Rozważ funkcję liczby zespolonej z:
F (z) = az
gdzie z = x + iy ; I 2 = - 1
.
Wyrażamy stałą zespoloną a za pomocą modułu r i argumentu φ:
za = r mi ja φ
Następnie
.
Argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Ogólnie
φ = φ 0 + 2 pkt,
gdzie n jest liczbą całkowitą. Dlatego funkcja f (z) jest również niejednoznaczny. Często uważano za jego główne znaczenie
.
Rozszerzenie w serii
.
Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów szkół wyższych, Lan, 2009.