Pernyataan ini adalah tanda dapat dibagi dengan angka, yang dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua bilangan koprima.

Misalnya, karena 6 = 2 3 ​​dan D (2, 3) = 1, kita memperoleh tanda habis dibagi 6. Agar bilangan asli habis dibagi 6, perlu dan cukup habis dibagi 2 dan 3 .

Perhatikan bahwa fitur ini dapat digunakan beberapa kali.

c) Privat, diperoleh dengan membagi dua angka yang diberikan dan
pembagi persekutuan terbesar mereka adalah coprime
angka.

Properti ini dapat digunakan ketika memeriksa kebenaran dari pembagi persekutuan terbesar yang ditemukan dari angka-angka yang diberikan. Sebagai contoh, mari kita periksa apakah angka 12 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 24 dan 36. Untuk melakukan ini, menurut pernyataan terakhir, kami membagi 24 dan 36 dengan 12. Kami mendapatkan angka 2 dan 3, masing-masing, yang adalah koprima. Akibatnya,

D(24, 36) = 12.

Latihan

1. Diberikan nomor 36 dan 45.

a) Temukan semua pembagi umum dari angka-angka ini.

b. Dapatkah kamu menyebutkan semua kelipatan persekutuannya?

c) Temukan tiga bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan tersebut.

d) Berapakah D(36, 45) dan K(36, 45)? Bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban yang diterima?

2. Apakah entri benar:

a) D(32, 8) = 8 dan K(32,8) = 32;

b) D(17,35)=1 dan K(17,35)=595;

c) D(255.306) = 17 dan K(255.306),= 78030,

3. Carilah K(a,b) jika diketahui bahwa:

a) a = 47,b=105 dan D(47.105)= 1;

b) a = 315, b = 385 dan D (315,385) = 35.

4. Rumuskan tanda-tanda habis dibagi 12,15,18,36,45,75.

5. Dari himpunan bilangan 1032, 2964,5604,8910, 7008 tulislah bilangan yang habis dibagi 12.

6. Apakah 548 dan 942 habis dibagi 18?

7. Untuk angka 15, tambahkan di kiri dan kanan; satu angka sehingga bilangan yang dihasilkan habis dibagi 15.

8. Carilah bilangan a dan 6 dari bilangan 72, jika diketahui bilangan tersebut habis dibagi 45.

9 Tanpa mengalikan dan membagi dengan sudut, tentukan produk berikut yang habis dibagi 30:

a) 105∙20; 6)47∙12∙5; c) 85∙33∙7.

10. Tanpa melakukan penjumlahan atau pengurangan, tentukan ekspresi mana yang habis dibagi 36.

a) 72 + 180 + 252; c) 180 + 252 + 100;

b) 612-432; d) 180 + 250 + 200.

91. Bilangan Prima

Bilangan prima memainkan peran besar dalam matematika - pada dasarnya, mereka adalah "batu bata" dari mana awal komposit dibangun. Ini dinyatakan dalam teorema yang disebut teorema dasar aritmatika bilangan asli, yang diberikan tanpa bukti:

Teorema: Setiap bilangan komposit dapat secara unik direpresentasikan sebagai produk dari faktor prima.

Misalnya, notasi 110 = 2∙5∙11 merupakan representasi dari bilangan 110 sebagai hasil kali faktor prima atau penguraiannya menjadi faktor prima.

Dua penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima dianggap sama jika hanya berbeda dalam urutan faktornya. Oleh karena itu, representasi bilangan 110 sebagai hasil kali 2∙5∙11 atau perkalian 5∙2∙11 pada dasarnya adalah penguraian bilangan 110 yang sama menjadi faktor prima.

Saat menguraikan bilangan menjadi faktor prima, mereka menggunakan tanda-tanda pembagian dengan 2, 3, 5, dll. Mari kita ingat salah satu cara untuk menulis penguraian bilangan menjadi faktor prima. Mari kita faktorkan, misalnya, bilangan 90. Bilangan 90 habis dibagi 2. Oleh karena itu, 2 adalah salah satu faktor prima dalam penguraian bilangan 90. Bagi 90 dengan 2. Kita tuliskan bilangan 2 di sebelah kanan tanda sama dengan, dan hasil bagi 45 di bawah angka 90. Bilangan Kita membagi 45 dengan bilangan prima 3, kita mendapatkan 15. Kita membagi 15 dengan 3, kita mendapatkan 5. Angka 5 adalah prima, ketika kita membaginya dengan 5 kita mendapatkan 1. Faktorisasi selesai.

90 = 2∙3∙3∙5

Saat menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima, produk dari faktor-faktor identik direpresentasikan sebagai pangkat: 90 = 2∙3 2∙5; 60 = 2 2 3∙5; 72 = 2 3 3 2 . Penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima disebut kanonik.

Sehubungan dengan kemungkinan merepresentasikan bilangan komposit apa pun sebagai produk dari faktor prima, menjadi penting untuk menentukan apakah bilangan yang diberikan adalah prima atau komposit. Matematikawan Yunani kuno, yang mengetahui banyak sifat bilangan prima, sudah mampu memecahkan masalah ini. Jadi, Eratosthenes (abad III SM) menemukan metode untuk mendapatkan bilangan prima yang tidak melebihi bilangan asli a. Mari kita gunakan untuk menemukan semua bilangan prima hingga 50.

Kami menuliskan semua bilangan asli dari 1 hingga 50 dan mencoret nomor 1 - itu bukan bilangan prima. Bilangan 2 adalah bilangan prima, lingkarilah. Setelah itu, kami mencoret setiap angka kedua setelah 2, yaitu. nomor 4,6,8,...

Angka 3 pertama yang tidak dicoret adalah prima, lingkari. Dan coret setiap angka ketiga setelah 3, mis. angka 9, 15, ... (angka 6,12, dst dicoret tadi).

Angka 5 yang pertama tidak dicoret adalah bilangan prima, kita juga akan melingkarinya. Coret setiap angka kelima setelah 5, dst.

1 23 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Angka-angka yang tersisa setelah empat penghapusan (tidak termasuk angka 2,3,5 dan 7) tidak habis dibagi 2, atau 3, atau 5, atau 7. Dalam aritmatika, terbukti bahwa jika bilangan asli a lebih besar dari satu , tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima yang kuadratnya tidak melebihi o, maka sebuah nomornya prima. Karena 7 2 = 49 dan 49< 50, то все оставшиеся числа - простые.

Jadi bilangan prima yang tidak lebih dari 50 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Metode yang dijelaskan untuk mendapatkan bilangan prima disebut saringan Eratosthenes, karena memungkinkan Anda untuk menyaring bilangan komposit satu per satu.

Dengan menggunakan metode yang diusulkan oleh Eratosthenes, seseorang dapat menemukan semua bilangan prima yang tidak melebihi bilangan tertentu a. Namun dia tidak menjawab pertanyaan apakah himpunan bilangan prima berhingga atau tidak, karena bisa jadi semua bilangan, mulai dari suatu bilangan, adalah gabungan dan himpunan bilangan prima berhingga. Matematikawan Yunani lainnya, Euclid, menangani masalah ini. Dia membuktikan bahwa himpunan bilangan prima tidak terbatas.

Memang, anggaplah himpunan bilangan prima terbatas dan habis oleh angka 2, 3, 5, 7, 7 - bilangan prima terbesar. Kami mengalikan semua bilangan prima dan menunjukkan produknya dengan a. Mari kita tambahkan 1 ke angka ini. Apa yang akan menjadi angka yang dihasilkan?

dan + 1 - sederhana atau majemuk?

bilangan prima sebuah+1 tidak mungkin, karena lebih besar dari bilangan prima terbesar, dan dengan asumsi bilangan tersebut tidak ada. Tapi itu juga tidak bisa digabungkan: jika sebuah+ 1 .composite, maka harus memiliki setidaknya satu pembagi prima q. Sejak nomor

a = 2∙3∙5∙...∙ R juga habis dibagi bilangan prima q, maka selisihnya ( sebuah + 1) - sebuah, yaitu angka 1 habis dibagi q, yang tidak mungkin.

Jadi, bilangan a bukanlah bilangan prima atau komposit, tetapi ini tidak mungkin - bilangan apa pun selain 1 adalah bilangan prima atau komposit. Oleh karena itu, proposisi kami bahwa himpunan bilangan prima terbatas dan merupakan bilangan prima terbesar adalah salah, dan karenanya himpunan bilangan prima tidak terbatas.

Latihan

1. Dari himpunan bilangan 13, 27, 29, 51, 67 tulislah sederhana
bilangan, dan memfaktorkan komposit menjadi faktor prima.

2. Buktikan bahwa angka 819 bukan bilangan prima.

3. Faktorkan bilangan 124.588.2700.3780 menjadi faktor prima.

4. Bilangan apa yang mengalami dekomposisi:

a) 2 3 3 2 7 13; b) 2 2 3 5 3 ?

Salah satu seniman sinema Rusia yang paling karismatik dan terkemuka akhir-akhir ini tampaknya telah menghilang dari mata publik. Sangat sedikit yang terdengar tentang Alexander Domogarov sehingga banyak penggemarnya mungkin memutuskan bahwa aktor tersebut telah menutup diri dari dunia. Namun, dia secara teratur mengingatkan dirinya sendiri di jejaring sosial, di mana sebuah posting yang mengkhawatirkan muncul beberapa jam yang lalu.

Ingatlah bahwa pria berusia 53 tahun artis nasional Rusia, selain membuat film, bermain dengan senang hati dan bangga di teater. Sejak 1995, Domogarov telah melayani di Teater Dewan Kota Moskow, di mana ia telah memainkan peran dalam banyak pertunjukan, tiga di antaranya ada dalam repertoar saat ini. Aktor ini dianggap sebagai bintang teater ini, foto-foto dengan Domogarov di atas panggung menghiasi pintu masuk, banyak penggemar pergi ke pertunjukan dengan partisipasinya.

Tetapi dalam publikasinya di Alexander Yuryevich mengatakan bahwa dia "dihapus dari pertunjukan" dan "ini sangat serius."

Dihapus dari pertunjukan! Jadi bertahanlah! Saya merasa lebih tenang daripada berjalan masuk dan menyapa "rekan" yang meludah di belakang! - tulis artis. - Saya tidak akan lagi mengizinkan, untuk beberapa keinginan, untuk memberhentikan dan mengangkat, menghapus dan mengembalikan, memberi tur atau tidak memberi. ... Tetapi segera setelah saya dikeluarkan dari semua pertunjukan, untuk menyenangkan "rekan-rekan" saya, sebuah pernyataan ditulis. Ditulis 9 Januari. Itu belum ditandatangani. Tapi, rekan-rekan terkasih, itu akan ditandatangani, bahkan murni secara hukum. Semua perjanjian kami dengan teater akan dipenuhi di pihak saya, jadi terkadang Anda harus membuat saya "rekan" ketika saya harus mengambil barang-barang saya di ruang ganti, dan di masa depan teater akan lupa, sama seperti Anda lupa pertunjukan yang berlangsung selama 10-12 tahun, mengumpulkan aula, dan Anda akan lupa bagaimana Anda menghancurkannya. Hiduplah, Tuhan adalah hakimmu. Selamat tinggal rekan-rekan.

Kami menghubungi Alexander Domogarov dengan permintaan untuk mengomentari situasinya.

Anda tidak membaca posting saya, karena ada beberapa kebenaran di dalamnya dan hanya sebagian kecil. Tetapi pada prinsipnya, itu sesuai dengan kenyataan, - Alexander Domogarov menjawab dan menutup telepon.

Ingatlah bahwa Alexander Domogarov secara resmi menikah tiga kali. Istri pertama Natalya Sagoyan melahirkan putranya Dmitry. 10 tahun yang lalu, aktor kelahiran pertama meninggal dalam kecelakaan. Dari istri keduanya, Irina Gunenkova, aktor itu memiliki seorang putra, Alexander Domogarov, ia juga menjadi seorang aktor. Istri ketiga, aktris Natalya Gromushkina, menikah dengannya selama 4 tahun. Tiga tahun lalu, aktor itu berkata dalam: “Putra saya terbunuh dalam kecelakaan mobil, saya tidak menemukan ujungnya, tetapi saya tidak marah pada Negara! Di seluruh dunia begitu – ada yang kuat dan ada yang kebal. Tapi saya akan memecahkan dan memecahkan masalah saya sendiri. Dan saya akan menyelesaikannya, tetapi saya tidak akan berteriak pada yang berkuasa dan mereka yang berkuasa. Saya akan memutuskan dan memutuskan. Dan negara memberi saya kesempatan ini.”

Opsi No. 4557112

Saat menyelesaikan tugas dengan jawaban singkat, masukkan di bidang jawaban nomor yang sesuai dengan nomor jawaban yang benar, atau angka, kata, urutan huruf (kata) atau angka. Jawaban harus ditulis tanpa spasi atau karakter tambahan apa pun. Pisahkan bagian pecahan dari seluruh titik desimal. Unit pengukuran tidak diperlukan.

Jika opsi diatur oleh guru, Anda dapat memasukkan atau mengunggah jawaban tugas dengan jawaban terperinci ke dalam sistem. Guru akan melihat hasil tugas jawaban singkat dan akan dapat menilai jawaban yang diunggah untuk tugas jawaban panjang. Poin yang diberikan oleh guru akan ditampilkan dalam statistik Anda.

Versi untuk mencetak dan menyalin di MS Word

Angka-angka ditulis berturut-turut: , , ..., , Tanda "+" dan "-" ditempatkan secara acak di antara mereka dan jumlah yang dihasilkan ditemukan.

Bisakah jumlah ini sama dengan:

a) 4 jika ?

b.0 jika ?

c.0 jika ?

d) 3 jika ?

Panjang sisi-sisi suatu persegi panjang adalah bilangan asli, dan kelilingnya adalah 200. Diketahui panjang salah satu sisi persegi panjang adalah n n juga merupakan bilangan asli.

n>100.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Beberapa (tidak harus berbeda) bilangan asli dipahami. Angka-angka ini dan semua jumlah yang mungkin (dengan 2, dengan 3, dll.) Ditulis di papan tulis dalam urutan yang tidak berkurang. Jika beberapa nomor n yang tertulis di papan diulang beberapa kali, lalu satu nomor seperti itu dibiarkan di papan tulis n, dan sisanya adalah n, terhapus. Misalnya, jika angka 1, 3, 3, 4 dikandung, maka set 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 akan ditulis di papan tulis.

a) Berikan contoh angka yang dikandung yang set 2, 4, 6, 8, 10 akan ditulis di papan tulis.

b) Apakah ada contoh bilangan yang disusun sedemikian sehingga himpunan 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22 akan ditulis pada papan?

c) Berikan semua contoh angka yang dimaksud yang set 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41 akan ditulis di papan tulis.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Panjang sisi-sisi sebuah persegi panjang adalah bilangan asli, dan kelilingnya adalah 4000. Diketahui panjang salah satu sisi persegi panjang adalah n% dari panjang sisi lainnya, di mana n juga merupakan bilangan asli.

sebuah Apa nilai tertinggi dapatkah luas persegi panjang?

b) Apa nilai terkecil dapatkah luas persegi panjang?

c) Temukan semua kemungkinan nilai yang dapat diambil oleh luas persegi panjang, jika diketahui juga bahwa n

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Ada 8 kartu. Masing-masing angka 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 ditulis satu per satu Kartu dibalik dan dikocok. Pada sisi bersihnya, masing-masing angka 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 ditulis ulang satu per satu, kemudian angka-angka pada setiap kartu dijumlahkan, dan hasilnya delapan jumlah dikalikan.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Beberapa bilangan bulat dipahami. Himpunan angka-angka ini dan semua kemungkinan jumlah mereka (dengan 2, dengan 3, dll) ditulis di papan tulis dalam urutan yang tidak menurun. Misalnya, jika angka 2, 3, 5 dikandung, maka set 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 akan ditulis di papan tulis.

a) Himpunan -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6 ditulis di papan tulis.Bilangan apa yang terbentuk?

b) Untuk beberapa bilangan yang berbeda dalam himpunan yang tertulis di papan tulis, bilangan 0 muncul tepat 4 kali. Berapa jumlah bilangan terkecil yang dapat dibuat?

c) Untuk beberapa nomor yang dikandung, satu set ditulis di papan tulis. Apakah selalu mungkin untuk secara unik menentukan angka yang diinginkan dari set ini?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Sebelum masing-masing nomor 14, 15, . . ., 20 dan 4, 5, . . ., 8 secara sewenang-wenang menempatkan tanda plus atau minus, setelah itu masing-masing angka yang terbentuk dari himpunan kedua dikurangi dari masing-masing angka yang terbentuk dari himpunan pertama, dan kemudian semua 35 hasil ditambahkan. Apa modulo terkecil dan berapa jumlah terbesar yang dapat diperoleh sebagai hasilnya?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Ada 8 kartu. Masing-masing nomor tertulis di atasnya satu per satu:

Kartu dibalik dan dikocok. Di sisi bersih mereka, mereka menulis lagi salah satu nomor:

−11, 12, 13, −14, −15, 17, −18, 19.

Setelah itu, angka pada setiap kartu dijumlahkan, dan delapan jumlah yang dihasilkan dikalikan.

a.Dapatkah hasilnya 0?

b) Bisakah hasilnya 117?

c) Berapa bilangan bulat non-negatif terkecil yang dapat dihasilkan?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Angka tersebut sedemikian rupa sehingga untuk representasi apa pun sebagai jumlah dari suku-suku positif, yang masing-masing tidak melebihi suku-suku ini, dapat dibagi menjadi dua kelompok sehingga setiap suku hanya termasuk dalam satu kelompok dan jumlah suku-suku dalam setiap kelompok tidak melebihi

a) Apakah jumlahnya bisa sama?

b) Bisakah jumlahnya lebih besar?

c) Temukan nilai maksimum yang mungkin

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Deret aritmatika (dengan selisih, berbeda dari nol) diberikan, terdiri dari bilangan asli yang notasi desimalnya tidak mengandung angka 9.

(a) Bisakah ada sepuluh suku dalam deret seperti itu?

b) Buktikan bahwa jumlah anggotanya kurang dari 100.

c) Buktikan bahwa jumlah suku dari setiap perkembangan tersebut paling banyak 72.

d) Berikan contoh perkembangan seperti itu dengan 72 anggota

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Setiap angka 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 ditulis satu per satu pada 8 kartu. Kartu dibalik dan dikocok. Pada sisi yang bersih, masing-masing angka 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 ditulis kembali satu per satu, kemudian angka-angka pada setiap kartu dijumlahkan, dan menghasilkan delapan jumlah dikalikan.

a.Dapatkah hasilnya 0?

b.Dapatkah hasilnya 1?

c) Berapa bilangan bulat non-negatif terkecil yang dapat menghasilkan

berhasil?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Angka 7 tertulis di papan tulis, sekali dalam satu menit, Vasya menulis satu angka di papan tulis: baik dua kali lebih besar dari salah satu angka di papan tulis, atau sama dengan jumlah dua angka yang tertulis di papan tulis (dengan demikian, dalam satu menit nomor kedua akan muncul di nomor papan, setelah dua - yang ketiga, dll.).

a) Dapatkah angka 2012 muncul di papan tulis pada suatu saat?

b) Dapatkah jumlah semua angka di papan menjadi 63 di beberapa titik?

c) Berapa waktu tersingkat yang diperlukan agar angka 784 muncul di papan tulis?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Temukan semua bilangan prima b, untuk masing-masing ada bilangan bulat sebuah bahwa pecahan tersebut dapat dikurangi dengan b.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Bilangan asli dari 1 hingga 20 dibagi menjadi empat kelompok, yang masing-masing berisi setidaknya dua angka. Untuk setiap kelompok, temukan jumlah angka dalam kelompok ini. Untuk setiap pasangan kelompok, modulus selisih antara jumlah yang ditemukan ditemukan dan 6 angka yang dihasilkan ditambahkan.

a.Dapatkah hasilnya 0?

b.Dapatkah hasilnya 1?

c. Berapakah nilai terkecil yang mungkin dari hasil yang diperoleh?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Sebelum masing-masing angka 3, 4, 5, . . . 11 dan 14, 15, . . . 18 secara sewenang-wenang menempatkan tanda plus atau minus, setelah itu masing-masing bilangan yang dibentuk dari himpunan kedua ditambahkan ke masing-masing bilangan yang dibentuk dari himpunan pertama, dan kemudian semua 45 hasil ditambahkan. Berapa jumlah modulo terkecil dan berapa jumlah terbesar yang dapat diperoleh sebagai hasilnya?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Bilangan dari 10 sampai 21 ditulis satu kali dalam lingkaran dalam urutan tertentu.Untuk masing-masing dari dua belas pasang bilangan tetangga, pembagi persekutuan terbesar mereka ditemukan.

a) Mungkinkah semua pembagi persekutuan terbesar sama dengan 1?

b) Mungkinkah semua pembagi persekutuan terbesar berbeda berpasangan?

c) Berapakah jumlah terbesar dari pembagi persekutuan terbesar yang berbeda berpasangan yang dapat diperoleh?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Masing-masing dari angka 5, 6, . . ., 9 dikalikan dengan masing-masing angka 12, 13, . . ., 17 dan sebelum setiap gambar arbitrer beri tanda plus atau minus, setelah itu semua 30 hasil ditambahkan. Berapa jumlah modulo terkecil dan berapa jumlah terbesar yang dapat diperoleh sebagai hasilnya?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Bilangan asli dari 1 hingga 21 ditempatkan pada lingkaran dengan cara tertentu (setiap nomor ditempatkan satu kali). Kemudian, untuk setiap pasangan angka tetangga, kami menemukan perbedaan antara yang lebih besar dan lebih kecil.

a) Bisakah semua perbedaan yang dihasilkan setidaknya 11?

b) Bisakah semua perbedaan yang dihasilkan setidaknya 10?

c) Selain selisih yang diperoleh, untuk setiap pasangan bilangan yang melewati satu, juga ditemukan selisih antara yang lebih besar dan lebih kecil. Untuk berapa bilangan bulat terbesar k Anda dapat mengatur angka sedemikian rupa sehingga semua perbedaannya tidak kurang dari k?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Beberapa bilangan bulat dipahami. Himpunan angka-angka ini dan semua kemungkinan jumlah mereka (dengan 2, dengan 3, dll) ditulis di papan tulis dalam urutan yang tidak menurun. Misalnya, jika angka 2, 3, 5 dikandung, maka set 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10 akan ditulis di papan tulis.

a) Himpunan -6, -2, 1, 4, 5, 7, 11 ditulis di papan tulis.Bilangan berapa yang terbentuk?

b) Untuk beberapa bilangan yang berbeda dalam himpunan yang tertulis di papan tulis, bilangan 0 muncul tepat 7 kali. Berapa jumlah bilangan terkecil yang dapat dibuat?

c) Untuk beberapa nomor yang dikandung, satu set ditulis di papan tulis. Apakah selalu mungkin untuk secara unik menentukan angka yang diinginkan dari set ini?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

n n n

a) Berikan contoh angka yang dikandung yang set 2, 4, 6, 8 akan ditulis di papan tulis.

b) Apakah ada contoh bilangan yang disusun sedemikian sehingga himpunan 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22 akan ditulis pada papan?

c) Berikan semua contoh angka yang dimaksud yang set 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52 akan ditulis di papan tulis.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Temukan pecahan yang tidak dapat disederhanakan sehingga

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

a) Berapa banyak cara untuk menulis angka 1292 dalam bentuk bilangan bulat,

b) Apakah ada 10 bilangan berbeda sehingga dapat direpresentasikan sebagai bilangan bulat dengan tepat 130 cara?

c) Berapa banyak bilangan N sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk di mana bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan bulat dengan tepat 130 cara?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Beberapa (tidak harus berbeda) bilangan asli dipahami. Angka-angka ini dan semua jumlah yang mungkin (dengan 2, dengan 3, dll.) Ditulis di papan tulis dalam urutan yang tidak berkurang. Jika beberapa nomor n yang tertulis di papan diulang beberapa kali, lalu satu nomor seperti itu dibiarkan di papan tulis n, dan sisanya adalah n, terhapus. Misalnya, jika angka 1, 3, 3, 4 dikandung, maka set 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 akan ditulis di papan tulis.

a) Berikan contoh bilangan yang disusun untuk mana himpunan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan ditulis di papan tulis.

b) Apakah ada contoh bilangan yang disusun sedemikian sehingga himpunan 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22 akan ditulis pada papan?

c) Berikan semua contoh bilangan yang disusun untuk mana himpunan 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41 akan ditulis di papan tulis.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Kolya mengalikan beberapa bilangan asli dengan bilangan asli tetangga, dan mendapatkan produk yang sama dengan m. Vova mengalikan beberapa bilangan asli genap dengan bilangan asli genap tetangga dan memperoleh produk yang sama dengan n.

m dan n sama dengan 6?

m dan n sama dengan 13?

m dan n?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Di antara pecahan biasa dengan penyebut positif terletak di antara angka-angka dan temukan yang penyebutnya minimal.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Setiap kelompok siswa pergi ke bioskop atau ke teater, sementara ada kemungkinan salah satu dari mereka bisa pergi ke bioskop dan teater. Diketahui bahwa di teater tidak ada lebih banyak anak laki-laki dari jumlah siswa dalam kelompok yang mengunjungi teater, dan di bioskop tidak ada lebih banyak anak laki-laki dari jumlah siswa dalam kelompok yang mengunjungi bioskop.

a) Mungkinkah ada 9 anak laki-laki dalam kelompok tersebut jika diketahui tambahan jumlah siswa dalam kelompok tersebut adalah 20 orang?

b) Berapakah jumlah anak laki-laki terbesar yang BISA berada dalam kelompok tersebut jika diketahui tambahan bahwa ada 20 siswa dalam kelompok tersebut?

c) Berapa proporsi terkecil anak perempuan dalam jumlah siswa dalam kelompok tanpa syarat tambahan poin a dan b?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Diberikan bilangan asli tiga digit (suatu bilangan tidak dapat dimulai dari nol) yang bukan kelipatan 100.

a) Dapatkah hasil bagi bilangan ini dan jumlah angka-angkanya sama dengan 82?

b) Dapatkah hasil bagi bilangan ini dan jumlah angka-angkanya sama dengan 83?

c. Berapakah nilai natural terbesar dari suatu bilangan dan jumlah angka-angkanya?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Negara Delphinia memiliki sistem pajak penghasilan berikut ( satuan mata uang Lumba-lumba - emas):

a) Kedua bersaudara itu memperoleh total 1000 emas. Bagaimana cara yang paling menguntungkan bagi mereka untuk membagikan uang ini di antara mereka sendiri, sehingga keluarga memiliki sebanyak mungkin? uang lebih setelah pajak? Saat membagi, setiap orang menerima bilangan bulat keping emas.

b) Apa cara terbaik untuk membagikan 1000 keping emas yang sama di antara tiga bersaudara, asalkan masing-masing juga menerima bilangan bulat koin emas?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Petya mengalikan beberapa bilangan asli dengan bilangan asli tetangga, dan mendapatkan produk yang sama dengan sebuah. Vasya mengalikan beberapa bilangan asli genap dengan bilangan asli genap tetangga dan mendapatkan produk yang sama dengan b.

a) Dapatkah modulus selisih bilangan? sebuah dan b sama dengan 8?

b) Dapatkah modul perbedaan angka? sebuah dan b sama dengan 11?

c) Nilai apa dari modulus selisih angka yang dapat diambil sebuah dan b?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Temukan semua pasangan bilangan asli dan sedemikian rupa sehingga jika notasi desimal dari angka tersebut ditambahkan ke notasi desimal dari angka di sebelah kanan, maka Anda mendapatkan angka yang lebih besar dari produk angka dan dengan

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Lebih dari 40 tetapi kurang dari 48 bilangan bulat ditulis di papan tulis. Rata-rata aritmatika dari angka-angka ini adalah 3, rata-rata aritmatika dari semua yang positif adalah 4, dan rata-rata aritmatika dari semua yang negatif adalah 8.

a) Berapa banyak angka yang tertulis di papan tulis?

b) Angka apa yang lebih banyak ditulis: positif atau negatif?

c. Berapakah bilangan positif terbesar di antara mereka?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Ada balok batu: 50 buah 800 kg, 60 buah 1.000 kg dan 60 buah 1.500 kg (Anda tidak dapat membagi balok).

a) Apakah mungkin untuk mengambil semua balok ini pada saat yang sama dengan 60 truk, masing-masing dengan daya angkut 5 ton, dengan asumsi bahwa balok yang dipilih akan muat di dalam truk?

b) Apakah mungkin untuk mengambil semua balok ini pada saat yang sama dengan 38 truk dengan daya angkut masing-masing 5 ton, dengan asumsi bahwa balok-balok yang dipilih akan muat di dalam truk?

c) Berapa jumlah truk terkecil, dengan daya angkut masing-masing 5 ton, yang diperlukan untuk mengangkut semua balok ini pada saat yang bersamaan, dengan asumsi bahwa balok yang dipilih muat ke dalam truk?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Diberikan bilangan asli tiga digit (suatu bilangan tidak dapat dimulai dari nol) yang bukan kelipatan 100.

a) Dapatkah hasil bagi bilangan ini dan jumlah angka-angkanya sama dengan 90?

b) Dapatkah hasil bagi bilangan ini dan jumlah angka-angkanya sama dengan 88?

c. Berapakah nilai natural terbesar dari suatu bilangan dan jumlah angka-angkanya?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Lebih dari 40 tetapi kurang dari 48 bilangan bulat ditulis di papan tulis. Rata-rata aritmatika dari angka-angka ini adalah 3, rata-rata aritmatika dari semua yang positif adalah 4, dan rata-rata aritmatika dari semua yang negatif adalah 8.

a) Berapa banyak angka yang tertulis di papan tulis?

b) Angka apa yang lebih banyak ditulis: positif atau negatif?

c. Berapakah bilangan positif terbesar di antara mereka?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Diberikan n bilangan asli berbeda yang membentuk deret aritmatika

a) Dapatkah jumlah semua bilangan yang diberikan sama dengan 14?

b. Berapakah nilai terbesarnya? n jika jumlah semua bilangan yang diberikan kurang dari 900?

c) Temukan semua nilai yang mungkin n jika jumlah semua bilangan yang diberikan adalah 123.

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Apakah mungkin untuk memberikan contoh lima bilangan asli berbeda yang produknya sama dengan 1512 dan

b) empat;

apakah mereka membentuk deret geometri?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Temukan semua bilangan prima untuk masing-masing bilangan bulat sehingga pecahannya dapat dikurangi dengan

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Urutan bilangan asli diberikan, dan setiap suku berikutnya berbeda dari yang sebelumnya 10 atau 6 kali. Jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 257.

a) Berapakah jumlah suku terkecil yang ada pada barisan tersebut?

b) Berapa jumlah maksimum anggota yang dapat berada dalam urutan ini?

Solusi untuk tugas dengan jawaban terperinci tidak dicentang secara otomatis.
Di halaman berikutnya, Anda akan diminta untuk memeriksanya sendiri.

Jika dua bilangan sebuah dan b saat membagi dengan angka m memberikan sisa yang sama, maka kita katakan bahwa a kongruen dengan b modulo m. Tulis seperti ini a b (mod m)

Jika sebuah a > b, maka pembagi persekutuan terbesar sebuah dan b sama dengan pembagi persekutuan terbesar a-b dan b.

Pertimbangkan properti ini saat memecahkan masalah:

1. Berapa banyak bilangan asli kurang dari 1000 yang tidak habis dibagi 5 atau 7?

Larutan: Kami mencoret dari 999 angka yang kurang dari 1000 angka yang merupakan kelipatan 5: ada 199 di antaranya (999/5 = 199). Selanjutnya kita mencoret bilangan yang merupakan kelipatan 7: ada 142 (999/7 = 142). Namun di antara bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 7, ada 28 (999/35 = 28) bilangan yang sekaligus kelipatan 5; mereka akan dicoret dua kali. Secara total, kita harus mencoret 199 + 142 - 28 = 313 angka.

Tetap 999 - 313 = 686. Jawaban: 686 angka.

2. Hitung sisa 2009⋅2010⋅2011+2012 2 dibagi 7.

Solusi dari masalah

Mengingat bahwa 2009⋮7, maka sisanya adalah 2012 2 3 2 2(mod7)

3. Diketahui bahwa sisa setelah membagi bilangan aa dengan 19 adalah 7, dan bilangan b dengan 19 sama dengan 11. Carilah sisa setelah membagi dengan 19 bilangan ab(a+b)(a−b).

Solusi dari masalah

Perhatikan bahwa ab(a+b)(a−b)≡ 7⋅11⋅18⋅(−1) 7⋅(−8)⋅(−1)⋅(−4) = 224 = 228+4 4 (mod19)

4. Buktikan bahwa jumlah kuadrat dari tiga bilangan bulat tidak dapat, ketika dibagi dengan 8, meninggalkan sisa 7.

Larutan

Setiap bilangan bulat, ketika dibagi 8, memiliki sisa dari salah satu dari delapan angka berikut 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sehingga kuadrat dari suatu bilangan bulat memiliki sisa ketika dibagi dengan 8, salah satu dari tiga angka 0, 1, 4. Agar jumlah kuadrat dari tiga angka memiliki sisa 7 ketika dibagi 8, salah satu dari dua kasus harus dipenuhi: salah satu kuadrat, atau semua tiga, ketika dibagi dengan 8, memiliki sisa ganjil.

Dalam kasus pertama, sisa ganjil adalah 1, dan jumlah dua sisa genap adalah 0, 2, 4, yaitu, jumlah semua sisa adalah 1, 3, 5. Dalam hal ini, sisa 7 tidak dapat diperoleh. Dalam kasus kedua, tiga sisa ganjil adalah tiga 1s, dan sisa dari seluruh jumlah adalah 3. Jadi, 7 tidak dapat menjadi sisa ketika jumlah kuadrat dari tiga bilangan bulat dibagi 8.

5. Apakah ada bilangan asli nn sedemikian rupa sehingga n 2 +n+1 habis dibagi 2014?

Solusi dari masalah

Perhatikan bahwa n 2 + n = n(n + 1) habis dibagi 2, karena merupakan hasil kali dua bilangan berurutan, yang berarti bahwa n 2 + n + 1 selalu ganjil (ini juga dapat dilihat dengan menggunakan teorema kecil Fermat : n 2 + n + 1 n + n+1 = 2n + 1 1 (mod 2).

Karena bilangan 2014 genap, tidak ada n sedemikian sehingga bilangan n 2 +n+1 habis dibagi 2014 (jika n seperti itu ada, ini akan bertentangan dengan fakta bahwa n 2 +n+1 ganjil).

6. C Apakah ada bilangan sepuluh digit yang habis dibagi 11 di mana setiap digit muncul satu kali?

saya jalan. Saat menulis angka tiga digit yang habis dibagi 11, Anda dapat menemukan tiga angka di antaranya, dalam rekaman di mana semua angka dari 0 hingga 9. Misalnya, 275, 396.418. Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat angka sepuluh digit habis dibagi 11. Misalnya:

2753964180 = 275 107 + 396 107 + 418 10 = 11 (25 107 + 36 104 + 38 10).

II cara. Untuk menemukan angka yang diperlukan, kami menggunakan kriteria pembagian dengan 11, yang menurutnya angka-angka n = a 1 a 2 a 3 ... a 10 (dalam kasus ini dan saya bukan faktor, tetapi angka dalam notasi angka n) dan S (n) \u003d a 1 - a 2 + a 3 - ... - a 10 secara bersamaan habis dibagi 11.

Misalkan A adalah jumlah digit yang termasuk dalam S(n) dengan tanda "+", B adalah jumlah digit yang termasuk dalam S(n) dengan tanda "-". Bilangan A-B, sesuai dengan kondisi soal, harus habis dibagi 11. Misalkan B - A = 11, selain itu, jelas, A + B = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45. Pemecahan sistem yang dihasilkan B - A \u003d 11 , A + B \u003d 45, kami menemukan, A \u003d 17, B \u003d 28. Mari kita pilih grup yang terdiri dari lima angka berbeda dengan jumlah 17. Misalnya, 1 + 2 + 3 + 5 + 6 \u003d 17. Kami akan mengambil angka-angka ini sebagai angka dengan angka ganjil . Sebagai angka dengan angka genap, kami mengambil yang tersisa - 4, 7, 8, 9, 0.

Kami melihat bahwa kondisi masalah terpenuhi, misalnya, dengan nomor 1427385960.

7. Temukan bilangan asli terkecil yang memberikan sisa yang sama jika dibagi 25 sebagai 1234.

Larutan

Pertimbangkan sisa saat membagi angka 1234 dengan 25. Semua angka yang kurang dari itu memberikan sisa lainnya, karena mereka adalah sisa mereka sendiri. Sisanya ketika 1234 dibagi 25 adalah 9, karena 1234=49⋅25+9, inilah jawabannya.

8. Setelah menerima deuce dalam geografi, Vasya memutuskan untuk istirahat peta geografis terpisah. Setiap potongan yang jatuh ke tangannya dia robek menjadi empat bagian. Bisakah dia mendapatkan potongan tepat tahun 2012? potongan 2013? potongan 2014? 2015 buah?

Solusi dari masalah

Perhatikan bahwa setiap kali Vasya menambah jumlah bidak sebanyak 3, karena ia mengubah satu bidak menjadi empat. Oleh karena itu, dia akan menerima angka seperti 1+3N, di mana N adalah jumlah potongan yang dia robek. Bilangan 2014 memiliki bentuk ini, sehingga akan mendapatkan potongan 2014, sedangkan yang lain tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk ini (memiliki sisa jika dibagi 3 adalah 0 atau 2).

9. Temukan bilangan asli terkecil yang memberikan sisa berikut: 1 - jika dibagi 2, 2 - jika dibagi 3, 3 - dibagi 4, 4 - dibagi 5, 5 - dibagi 6.

Solusi dari masalah

Pertimbangkan jumlah yang diinginkan bertambah satu. habis dibagi 2,3,4,5,6, karena itu memberikan sisa satu kurang dari pembagi itu sendiri. Kita perlu mencari bilangan minimum tersebut, oleh karena itu, bilangan yang dibutuhkan adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 2,3,4,5,6 dikurangi 1. Kelipatan persekutuan terkecil dari 2,3,4,5,6 adalah 2 2 3⋅5=60 , karena pada bilangan 2,3,4,5,6 hanya terdapat 3 pembagi prima, tiga dan lima masuk maksimum pada derajat pertama, dan dua pada bilangan kedua (pada bilangan 4). Jadi angka yang diinginkan adalah 60−1 = 59.