SÉQUENCES NUMÉRIQUES

PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

Si pour tout nombre naturel n numéro correspondant Xn, alors ils disent que c'est donné séquence de nombres X 1, X 2, …, Xn, ….

Notation de séquence de nombres {X n } .

En même temps, les chiffres X 1, X 2, …, Xn, ... sont appelés membres de la séquence .

Méthodes de base pour spécifier des souches de numéros

1. L'un des moyens les plus pratiques consiste à définir une séquence la formule de son terme commun : Xn = F(n), n Î N.

Par exemple, Xn = n 2 + 2n+ 3Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Transfert direct nombre fini de premiers membres.

Par exemple, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Relation réccurente , c'est-à-dire une formule exprimant le n-terme à travers le ou les termes précédents.

Par exemple, près de Fibonacci appelé une séquence de nombres

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, qui est déterminé de manière récurrente :

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Opérations arithmétiques sur les séquences

1. La somme (différence) séquences ( UNn) Et ( milliard CN } = { un ± milliard}.

2. Le travail séquences ( UNn) Et ( milliard) est appelée la séquence ( CN } = { un× milliard}.

3. Privé séquences ( UNn) Et ( milliard }, milliard¹ 0, appelée la séquence ( CN } = { un×/ milliard}.

Propriétés des séquences de nombres

1. Séquence ( Xn) est appelé délimité au-dessus M. n l'inégalité est vraie Xn £ M..

2. Séquence ( Xn) est appelé délimité en dessous, si un tel nombre réel existe m, ce qui pour toutes les valeurs naturelles n l'inégalité est vraie Xn ³ m.

3. Séquence ( Xn) est appelé en augmentant n l'inégalité est vraie Xn < Xn+1.

4. Séquence ( Xn) est appelé décroissant, si pour toutes les valeurs naturelles n l'inégalité est vraie Xn > Xn+1.

5. Séquence ( Xn) est appelé non croissant, si pour toutes les valeurs naturelles n l'inégalité est vraie Xn ³ Xn+1.

6. Séquence ( Xn) est appelé non décroissant, si pour toutes les valeurs naturelles n l'inégalité est vraie Xn £ Xn+1.

Les séquences croissantes, décroissantes, non croissantes, non décroissantes sont appelées monotone séquences, avec des augmentations et des diminutions - strictement monotone.

Techniques de base utilisées lors de l'examen d'une séquence pour la monotonie

1. Utiliser la définition.

a) Pour la séquence étudiée ( Xn) la différence est faite

Xn – Xn+1, puis on découvre si cette différence conserve un signe constant pour tout n Î N, et si oui, lequel exactement. En fonction de cela, une conclusion est tirée sur la monotonie (non monotonie) de la séquence.

b) Pour les séquences de signe constant ( Xn) on peut former une relation Xn+1/Xn et comparez-le avec un.

Si cette attitude est devant tout le monde n est supérieur à un, alors pour une séquence strictement positive, on conclut qu'elle augmente, et pour une séquence strictement négative, en conséquence, elle diminue.

Si cette attitude est devant tout le monde n n'est pas inférieur à un, alors pour une séquence strictement positive, on conclut qu'elle est non décroissante, et pour une séquence strictement négative, par conséquent, elle est non croissante.

Si telle est la relation à certains nombres n supérieur à un, et pour les autres nombres n inférieur à un, cela indique la nature non monotone de la séquence.

2. Accédez à la fonction d'argument réel.

Supposons qu'il soit nécessaire d'examiner une séquence de nombres pour en déterminer la monotonie

UNn = F(n), n Î N.

Introduisons la fonction argument réel X:

F(X) = UN(X), X³ 1,

et examinez-le pour la monotonie.

Si la fonction est différentiable sur l'intervalle considéré, alors on trouve sa dérivée et on examine le signe.

Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.

Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.

Revenant aux valeurs naturelles de l'argument, nous étendons ces résultats à la séquence originale.

Nombre UN appelé limite de la séquence Xn, si pour tout nombre positif arbitrairement petit e il existe un tel nombre naturel N, qui vaut pour tous les nombres n > N inégalités satisfaites | xn – un | < e.

Calculer le montant n premiers termes de la suite

1. Présentation du terme général de la séquence sous la forme de la différence de deux ou plusieurs expressions de telle sorte que, lors de la substitution, la plupart des termes intermédiaires soient réduits et la somme soit considérablement simplifiée.

2. Pour vérifier et prouver les formules existantes permettant de trouver les sommes des premiers termes des séquences, la méthode d'induction mathématique peut être utilisée.

3. Certains problèmes liés aux séquences peuvent être réduits à des problèmes impliquant des progressions arithmétiques ou géométriques.

Progressions arithmétiques et géométriques

Progression arithmétique	Progression géométrique
Définition Xn }, nÎ N, est appelée progression arithmétique si chacun de ses termes, à partir du second, est égal au précédent, ajouté au même nombre constant pour une suite donnée d, c'est à dire. UNn+1 = un + d, Où d– différence de progression, UNn– membre commun ( nème membre)	Définition Séquence numérique ( Xn }, nÎ N, est appelée progression géométrique si chacun de ses termes, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre constant pour une séquence donnée q, c'est à dire. milliard+1 = milliard × q, b 1¹0, q ¹ 0, Où q– dénominateur de progression, milliard– membre commun ( nème membre)
Monotone Si d> 0, alors la progression est croissante. Si d < 0, то прогрессия убывающая.	Monotone Si b 1 > 0, q> 1 ou b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Si b 1 < 0, q> 1 ou b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Si q < 0, то прогрессия немонотонная
Formule de terme commun UNn = un 1 + d×( n – 1) Si 1 £ k £ n– 1, alors UNn = eak + d×( n – k)	Formule de terme commun milliard = b 1× qn – 1 Si 1 £ k £ n– 1, alors milliard = BK × qn –k
Propriété caractéristique Si 1 £ k £ n– 1, alors	Propriété caractéristique Si 1 £ k £ n– 1, alors
Propriété un + suis = eak + Al, Si n + m = k + je	Propriété milliard × bm = BK × bl, Si n + m = k + je
Somme du premier n membres Sn = un 1 + un 2 + … +un ou	Somme Sn = b 1 + b 2 + … + milliard Si q N°1, alors. Si q= 1, alors Sn = b 1× n. Si | q| < 1 и n® ¥, puis
Opérations sur les progressions 1. Si ( UNn) Et ( milliard) les progressions arithmétiques, puis la suite { un ± milliard) est aussi une progression arithmétique. 2. Si tous les termes d'une progression arithmétique ( UNn) multiplier par le même nombre réel k, alors la séquence résultante sera également une progression arithmétique, dont la différence changera en conséquence dans k une fois	Opérations sur les progressions Si ( UNn) Et ( milliard) progressions géométriques avec dénominateurs q 1 et q 2 en conséquence, alors la séquence : 1) {un× milliard q 1× q 2; 2) {un/milliard) est aussi une progression géométrique avec le dénominateur q 1/q 2; 3) {|un|) est aussi une progression géométrique de dénominateur | q 1|

Méthodes de base pour résoudre les problèmes de progression

1. L'une des méthodes de résolution les plus courantes problèmes sur les progressions arithmétiques est que tous les termes de la progression impliqués dans la condition problématique sont exprimés à travers la différence de la progression d un d Et UN 1.

2. Largement répandue et considérée comme une méthode de solution standard problèmes de progression géométrique , lorsque tous les membres de la progression géométrique apparaissant dans l'énoncé du problème sont exprimés par le dénominateur de la progression q et l'un quelconque de ses membres, le plus souvent le premier b 1. Sur la base des conditions du problème, un système avec des inconnues est compilé et résolu q Et b 1.

Exemples de résolution de problèmes

Problème 1 .

Séquence donnée Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Trouver le montant Sn d'abord n membres de cette séquence.

Solution. Transformons l'expression du membre général de la séquence :

Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Problème 2 .

Séquence donnée UNn = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

D'ici, UN(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3UN + 3B)n + (5UN + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3UN + 3B = 0,

n0 | 5 UN + 2B = 1.

UN = 1/3, DANS = –1/3.

Ainsi, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " largeur="39" hauteur="41 src="> UNn. Le nombre 1980 fait-il partie de cette séquence ? Si oui, déterminez son numéro.

Solution. Écrivons les premiers n membres de cette séquence :

UN 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Multiplions ces égalités :

UN 1UN 2UN 3UN 4UN 5…un-2un-1un = UN 1UN 2UN 3UN 4UN 5…un-2un-1.

D'ici, un = n(n + 1).

Alors, 1980 = n(n+ 1)Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О N.

Répondre: Oui, n = 44.

Problème 4 .

Trouver le montant S = UN 1 + UN 2 + UN 3 + … + UNn Nombres UN 1, UN 2, UN 3, …,UNn, ce qui pour tout naturel n satisfaire l'égalité Sn = UN 1 + 2UN 2 + 3UN 3 + … + nUNn = .

Solution. S 1 = un 1 = 2/3.

Pour n > 1, grand-mère = Sn – Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

D'ici, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

UN(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + CN(n + 1) = 1

(UN + B + C)n 2 + (3UN + 2B + C)n + 2UN = 1,

Égalisons les coefficients aux puissances correspondantes n.

n 2 | UN + B + C= 0,

n 1 | 3UN + 2B+ C = 0,

n0 | 2 UN = 1.

En résolvant le système résultant, on obtient UN = 1/2, DANS= –1, C = 1/2.

Donc, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Où , , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = UN 1 + UN 2 + UN 3 + … + UNn = UN 1 +=

=UN 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problème 5 .

Trouver le plus grand terme de la séquence .

Solution. Mettons milliard = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Certaines personnes traitent le mot « progression » avec prudence, car il s’agit d’un terme très complexe issu des branches des mathématiques supérieures. Pendant ce temps, la progression arithmétique la plus simple est le travail du taximètre (là où ils existent encore). Et comprendre l'essence (et en mathématiques il n'y a rien de plus important que « d'obtenir l'essence ») d'une suite arithmétique n'est pas si difficile, après avoir analysé quelques concepts élémentaires.

Suite de nombres mathématiques

Une séquence numérique est généralement appelée une série de nombres, chacun ayant son propre numéro.

un 1 est le premier membre de la séquence ;

et 2 est le deuxième terme de la suite ;

et 7 est le septième membre de la séquence ;

et n est le nième membre de la séquence ;

Cependant, aucun ensemble arbitraire de nombres et de nombres ne nous intéresse. Nous concentrerons notre attention sur une séquence numérique dans laquelle la valeur du nième terme est liée à son nombre ordinal par une relation qui peut être clairement formulée mathématiquement. En d’autres termes : la valeur numérique du nième nombre est une fonction de n.

a est la valeur d'un membre d'une séquence numérique ;

n est son numéro de série ;

f(n) est une fonction, où le nombre ordinal dans la séquence numérique n est l'argument.

Définition

Une progression arithmétique est généralement appelée une séquence numérique dans laquelle chaque terme suivant est supérieur (inférieur) au précédent du même nombre. La formule du nième terme d’une suite arithmétique est la suivante :

a n - la valeur du membre actuel de la progression arithmétique ;

a n+1 - formule du nombre suivant ;

d - différence (certain nombre).

Il est facile de déterminer que si la différence est positive (d>0), alors chaque membre suivant de la série considérée sera supérieur au précédent et une telle progression arithmétique augmentera.

Dans le graphique ci-dessous, il est facile de comprendre pourquoi la séquence de nombres est appelée « croissante ».

Dans les cas où la différence est négative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valeur de membre spécifiée

Parfois, il est nécessaire de déterminer la valeur de tout terme arbitraire d'une progression arithmétique. Cela peut être fait en calculant séquentiellement les valeurs de tous les membres de la progression arithmétique, du premier au souhaité. Cependant, cette voie n'est pas toujours acceptable si, par exemple, il faut trouver la valeur du cinq millième ou du huit millionième terme. Les calculs traditionnels prendront beaucoup de temps. Cependant, une progression arithmétique spécifique peut être étudiée à l'aide de certaines formules. Il existe également une formule pour le nième terme : la valeur de n'importe quel terme d'une progression arithmétique peut être déterminée comme la somme du premier terme de la progression avec la différence de la progression, multipliée par le nombre du terme souhaité, réduit de un.

La formule est universelle pour une progression croissante et décroissante.

Un exemple de calcul de la valeur d'un terme donné

Résolvons le problème suivant consistant à trouver la valeur du nième terme d'une progression arithmétique.

Condition : il existe une progression arithmétique avec des paramètres :

Le premier terme de la suite est 3 ;

La différence dans la série de nombres est de 1,2.

Tâche : vous devez trouver la valeur de 214 termes

Solution : pour déterminer la valeur d'un terme donné, on utilise la formule :

une(n) = a1 + d(n-1)

En remplaçant les données de l'énoncé du problème dans l'expression, nous avons :

une(214) = une1 + ré(n-1)

une(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Réponse : Le 214ème terme de la suite est égal à 258,6.

Les avantages de cette méthode de calcul sont évidents : la solution complète ne prend pas plus de 2 lignes.

Somme d'un nombre donné de termes

Très souvent, dans une série arithmétique donnée, il est nécessaire de déterminer la somme des valeurs de certains de ses segments. Pour ce faire, il n’est pas non plus nécessaire de calculer les valeurs de chaque terme puis de les additionner. Cette méthode est applicable si le nombre de termes dont la somme doit être trouvée est faible. Dans d’autres cas, il est plus pratique d’utiliser la formule suivante.

La somme des termes d'une progression arithmétique de 1 à n est égale à la somme du premier et du nième termes, multipliée par le numéro du terme n et divisée par deux. Si dans la formule la valeur du nième terme est remplacée par l'expression du paragraphe précédent de l'article, on obtient :

Exemple de calcul

Par exemple, résolvons un problème avec les conditions suivantes :

Le premier terme de la suite est zéro ;

La différence est de 0,5.

Le problème nécessite de déterminer la somme des termes de la série de 56 à 101.

Solution. Utilisons la formule pour déterminer le montant de la progression :

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Tout d'abord, nous déterminons la somme des valeurs de 101 termes de la progression en substituant les conditions données de notre problème dans la formule :

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Évidemment, pour connaître la somme des termes de la progression du 56ème au 101ème, il faut soustraire S 55 de S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Ainsi, la somme de la progression arithmétique pour cet exemple est :

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Exemple d'application pratique de la progression arithmétique

A la fin de l'article, revenons à l'exemple d'une séquence arithmétique donnée dans le premier paragraphe - un taximètre (taxi car meter). Considérons cet exemple.

Monter à bord d'un taxi (qui comprend 3 km de trajet) coûte 50 roubles. Chaque kilomètre suivant est payé au taux de 22 roubles/km. La distance parcourue est de 30 km. Calculez le coût du voyage.

1. Laissons de côté les 3 premiers kilomètres dont le prix est inclus dans le prix de l'atterrissage.

30 - 3 = 27 km.

2. Un calcul ultérieur n’est rien d’autre que l’analyse d’une série de nombres arithmétiques.

Numéro de membre - le nombre de kilomètres parcourus (moins les trois premiers).

La valeur du membre est la somme.

Le premier terme de ce problème sera égal à a 1 = 50 roubles.

Différence de progression d = 22 r.

le nombre qui nous intéresse est la valeur du (27+1)ème terme de la progression arithmétique - le relevé du compteur à la fin du 27ème kilomètre est 27,999... = 28 km.

une 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Les calculs de données calendaires pour une période arbitrairement longue sont basés sur des formules décrivant certaines séquences numériques. En astronomie, la longueur de l'orbite dépend géométriquement de la distance du corps céleste à l'étoile. En outre, diverses séries de nombres sont utilisées avec succès en statistiques et dans d’autres domaines appliqués des mathématiques.

Un autre type de séquence de nombres est géométrique

Progression géométrique caractérisé par des taux de changement élevés, par rapport à l’arithmétique. Ce n'est pas un hasard si en politique, en sociologie et en médecine, pour montrer la vitesse élevée de propagation d'un phénomène particulier, par exemple une maladie lors d'une épidémie, on dit que le processus se développe selon une progression géométrique.

Le Nième terme de la série de nombres géométriques diffère du précédent en ce qu'il est multiplié par un nombre constant - le dénominateur, par exemple, le premier terme est 1, le dénominateur est respectivement égal à 2, alors :

n=1 : 1 ∙ 2 = 2

n=2 : 2 ∙ 2 = 4

n=3 : 4 ∙ 2 = 8

n=4 : 8 ∙ 2 = 16

n=5 : 16 ∙ 2 = 32,

b n - la valeur du terme actuel de la progression géométrique ;

b n+1 - formule du terme suivant de la progression géométrique ;

q est le dénominateur de la progression géométrique (un nombre constant).

Si le graphique d’une progression arithmétique est une ligne droite, alors une progression géométrique dresse un tableau légèrement différent :

Comme dans le cas de l'arithmétique, la progression géométrique a une formule pour la valeur d'un terme arbitraire. Tout nième terme d'une progression géométrique est égal au produit du premier terme et du dénominateur de la progression à la puissance n réduit de un :

Exemple. On a une progression géométrique dont le premier terme est égal à 3 et le dénominateur de la progression est égal à 1,5. Trouvons le 5ème terme de la progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

La somme d'un nombre donné de termes est également calculée à l'aide d'une formule spéciale. La somme des n premiers termes d'une progression géométrique est égale à la différence entre le produit du nième terme de la progression et son dénominateur et le premier terme de la progression, divisé par le dénominateur réduit de un :

Si b n est remplacé à l'aide de la formule discutée ci-dessus, la valeur de la somme des n premiers termes de la série de nombres considérée prendra la forme :

Exemple. La progression géométrique commence avec le premier terme égal à 1. Le dénominateur est fixé à 3. Trouvons la somme des huit premiers termes.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, considérons ce qu'est une séquence de nombres, puisqu'une progression arithmétique est un cas particulier d'une séquence de nombres.

Une séquence de numéros est un ensemble de numéros dont chaque élément possède son propre numéro de série.. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Le cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle de son temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous forme de formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Notons encore une fois que dans une séquence, contrairement à une fonction numérique arbitraire, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents. Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le ou les premiers membres de la séquence.

Par exemple, considérons la séquence ,

On peut trouver les valeurs des membres de la séquence en séquence, à partir du troisième :

Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent, du mot latin récurrent- revenir.

Nous pouvons maintenant définir une progression arithmétique. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres.

Progression arithmétique est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre.

Le numéro est appelé différence de progression arithmétique. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.

Si titre="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} en augmentant.

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; onze;...

Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est décroissant.

Par exemple, 2 ; -1; -4 ; -7;...

Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est Stationnaire.

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons le dessin.

On voit ça

, et en même temps

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

.

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

De plus, puisque

, et en même temps

, Que

, et donc

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin

Nous avons formule du nième terme.

IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

Ajoutons par paires :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On a:

Donc, la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) On voit ça ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , C'est pourquoi

Si pour tout nombre naturel n correspondre à un nombre réel un , alors ils disent que c'est donné séquence de nombres :

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un , . . . .

Ainsi, la séquence de nombres est fonction de l’argument naturel.

Nombre un 1 appelé premier terme de la suite , nombre un 2 — deuxième terme de la suite , nombre un 3 — troisième et ainsi de suite. Nombre un appelé nième membre de la séquence , et un nombre naturel n — son numéro .

De deux membres adjacents un Et un +1 membre de séquence un +1 appelé subséquent (vers un ), UN un — précédent (vers un +1 ).

Pour définir une séquence, vous devez spécifier une méthode qui vous permet de rechercher un membre de la séquence avec n'importe quel numéro.

Souvent, la séquence est spécifiée en utilisant formules du nième terme , c'est-à-dire une formule qui permet de déterminer un membre d'une séquence par son numéro.

Par exemple,

une séquence de nombres impairs positifs peut être donnée par la formule

un= 2n- 1,

et la séquence d'alternance 1 Et -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

La séquence peut être déterminée formule récurrente, c'est-à-dire une formule qui exprime n'importe quel membre de la séquence, en commençant par certains, en passant par les membres précédents (un ou plusieurs).

Par exemple,

Si un 1 = 1 , UN un +1 = un + 5

un 1 = 1,

un 2 = un 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

un 3 = un 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

un 4 = un 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

un 5 = un 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , alors les sept premiers termes de la suite numérique s'établissent comme suit :

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

un 6 = un 4 + un 5 = 3 + 5 = 8,

un 7 = un 5 + un 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Les séquences peuvent être final Et sans fin .

La séquence s'appelle ultime , s'il compte un nombre fini de membres. La séquence s'appelle sans fin , s’il compte une infinité de membres.

Par exemple,

séquence de nombres naturels à deux chiffres :

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Suite de nombres premiers :

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sans fin. ◄

La séquence s'appelle en augmentant , si chacun de ses membres, à partir du second, est supérieur au précédent.

La séquence s'appelle décroissant , si chacun de ses membres, à partir du second, est inférieur au précédent.

Par exemple,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — séquence croissante ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — séquence décroissante. ◄

Une séquence dont les éléments ne diminuent pas à mesure que le nombre augmente, ou, au contraire, n'augmentent pas, s'appelle séquence monotone .

Les séquences monotones, en particulier, sont des séquences croissantes et des séquences décroissantes.

Progression arithmétique

Progression arithmétique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent, auquel s'ajoute le même nombre.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . , un, . . .

est une progression arithmétique si pour tout nombre naturel n la condition est remplie :

un +1 = un + d,

Où d - un certain nombre.

Ainsi, la différence entre les termes suivants et précédents d'une progression arithmétique donnée est toujours constante :

un 2 - un 1 = un 3 - un 2 = . . . = un +1 - un = d.

Nombre d appelé différence de progression arithmétique.

Pour définir une progression arithmétique, il suffit d'indiquer son premier terme et sa différence.

Par exemple,

Si un 1 = 3, d = 4 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

un 1 =3,

un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,

un 5 = un 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pour une progression arithmétique avec le premier terme un 1 et la différence d son n

un = un 1 + (n- 1)d.

Par exemple,

trouver le trentième terme de la progression arithmétique

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, d = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)ré = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (n- 2)d,

un= un 1 + (n- 1)d,

un +1 = un 1 + sd,

alors évidemment

un=	un n-1 + un n+1
	2

Chaque membre d'une progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression arithmétique si et seulement si l'un d'eux est égal à la moyenne arithmétique des deux autres.

Par exemple,

un = 2n- 7 , est une progression arithmétique.

Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

un = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(m+ 1) - 7 = 2n- 5.

Ainsi,

un n+1 + un n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = un,
2		2

◄

Noter que n Le ème terme d'une progression arithmétique peut être trouvé non seulement à travers un 1 , mais aussi tout précédent un k

un = un k + (n- k)d.

Par exemple,

Pour un 5 peut être écrit

un 5 = un 1 + 4d,

un 5 = un 2 + 3d,

un 5 = un 3 + 2d,

un 5 = un 4 + d. ◄

un = un n-k + kd,

un = un n+k - kd,

alors évidemment

un=	un n-k + un n+k
	2

tout membre d'une progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moitié de la somme des membres équidistants de cette progression arithmétique.

De plus, pour toute progression arithmétique, l’égalité suivante est vraie :

une m + une n = une k + une l,

m + n = k + l.

Par exemple,

en progression arithmétique

1) un 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (un 9 + un 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, parce que

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= une 1 + une 2 + une 3 + . . .+ un,

d'abord n termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la moitié de la somme des termes extrêmes et du nombre de termes :

De là, en particulier, il s'ensuit que si vous devez additionner les termes

un k, un k +1 , . . . , un,

alors la formule précédente conserve sa structure :

Par exemple,

en progression arithmétique 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Si une progression arithmétique est donnée, alors les quantités un 1 , un, d, n EtS n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Une progression arithmétique est une séquence monotone. Où:

• Si d > 0 , alors il augmente ;
• Si d < 0 , alors il diminue ;
• Si d = 0 , alors la séquence sera stationnaire.

Progression géométrique

Progression géométrique est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au précédent multiplié par le même nombre.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .

est une progression géométrique si pour tout nombre naturel n la condition est remplie :

bn +1 = bn · q,

Où q ≠ 0 - un certain nombre.

Ainsi, le rapport du terme suivant d'une progression géométrique donnée au précédent est un nombre constant :

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.

Nombre q appelé dénominateur de progression géométrique.

Pour définir une progression géométrique, il suffit d'indiquer son premier terme et son dénominateur.

Par exemple,

Si b 1 = 1, q = -3 , alors on retrouve les cinq premiers termes de la suite comme suit :

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 et le dénominateur q son n Le ème terme peut être trouvé à l'aide de la formule :

bn = b 1 · qn -1 .

Par exemple,

trouver le septième terme de la progression géométrique 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b1 · qn -2 ,

bn = b1 · qn -1 ,

bn +1 = b 1 · qn,

alors évidemment

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

chaque membre de la progression géométrique, à partir du second, est égal à la moyenne géométrique (proportionnelle) des membres précédents et suivants.

Puisque l’inverse est également vrai, la déclaration suivante est vraie :

les nombres a, b et c sont des termes successifs d'une certaine progression géométrique si et seulement si le carré de l'un d'eux est égal au produit des deux autres, c'est-à-dire que l'un des nombres est la moyenne géométrique des deux autres.

Par exemple,

Montrons que la suite donnée par la formule bn= -3 2 n , est une progression géométrique. Utilisons l'instruction ci-dessus. Nous avons:

bn= -3 2 n,

bn -1 = -3 2 n -1 ,

bn +1 = -3 2 n +1 .

Ainsi,

bn 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

ce qui prouve l’énoncé souhaité. ◄

Noter que n Le ème terme d'une progression géométrique peut être trouvé non seulement à travers b 1 , mais aussi tout membre précédent bb , pour lequel il suffit d'utiliser la formule

bn = bb · qn - k.

Par exemple,

Pour b 5 peut être écrit

b5 = b1 · q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q. ◄

bn = bb · qn - k,

bn = bn - k · q k,

alors évidemment

bn 2 = bn - k· bn + k

le carré de tout terme d'une progression géométrique, à partir de la seconde, est égal au produit des termes de cette progression équidistants de lui.

De plus, pour toute progression géométrique l'égalité est vraie :

bm· bn= bb· b l,

m+ n= k+ je.

Par exemple,

en progression géométrique

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , parce que

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn

d'abord n membres d'une progression géométrique avec dénominateur q ≠ 0 calculé par la formule :

Et quand q = 1 - selon la formule

S n= nb 1

Notez que si vous devez additionner les termes

bb, bb +1 , . . . , bn,

alors la formule est utilisée :

S n- Sk -1 = bb + bb +1 + . . . + bn = bb ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Par exemple,

en progression géométrique 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Si une progression géométrique est donnée, alors les quantités b 1 , bn, q, n Et S n reliés par deux formules :

Par conséquent, si les valeurs de trois de ces quantités sont données, alors les valeurs correspondantes des deux autres quantités sont déterminées à partir de ces formules, combinées en un système de deux équations à deux inconnues.

Pour une progression géométrique avec le premier terme b 1 et le dénominateur q ce qui suit a lieu propriétés de monotonie :

• la progression est croissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et q> 1;

b 1 < 0 Et 0 < q< 1;

• La progression est décroissante si l’une des conditions suivantes est remplie :

b 1 > 0 Et 0 < q< 1;

b 1 < 0 Et q> 1.

Si q< 0 , alors la progression géométrique est alternée : ses termes avec des nombres impairs ont le même signe que son premier terme, et les termes avec des nombres pairs ont le signe opposé. Il est clair qu’une progression géométrique alternée n’est pas monotone.

Produit du premier n les termes d'une progression géométrique peuvent être calculés à l'aide de la formule :

Pn= b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n / 2 .

Par exemple,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progression géométrique infiniment décroissante

Progression géométrique infiniment décroissante appelée progression géométrique infinie dont le module du dénominateur est inférieur 1 , c'est

|q| < 1 .

Notez qu'une progression géométrique infiniment décroissante peut ne pas être une séquence décroissante. ça correspond à l'occasion

1 < q< 0 .

Avec un tel dénominateur, la séquence est alternée. Par exemple,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante nommer le nombre auquel se rapproche sans limite la somme des premiers n membres d'une progression avec une augmentation illimitée du nombre n . Ce nombre est toujours fini et s'exprime par la formule

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Par exemple,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relation entre les progressions arithmétiques et géométriques

Les progressions arithmétiques et géométriques sont étroitement liées. Regardons seulement deux exemples.

un 1 , un 2 , un 3 , . . . d , Que

b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .

Par exemple,

1, 3, 5, . . . - progression arithmétique avec différence 2 Et

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progression géométrique avec dénominateur 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progression géométrique avec dénominateur q , Que

journal a b 1, journal a b 2, journal a b 3, . . . - progression arithmétique avec différence enregistrer unq .

Par exemple,

2, 12, 72, . . . - progression géométrique avec dénominateur 6 Et

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progression arithmétique avec différence LG 6 . ◄