Výkres je prvým a veľmi dôležitým krokom pri riešení geometrickej úlohy. Aký by mal byť výkres pravidelnej pyramídy?

Najprv si spomeňme paralelné konštrukčné vlastnosti:

- paralelné segmenty obrázku sú znázornené ako paralelné segmenty;

- pomer dĺžok úsečiek rovnobežných čiar a úsečiek jednej priamky je zachovaný.

Kresba pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Najprv nakreslite základňu. Pretože uhly a pomery dĺžok nerovnobežných segmentov nie sú zachované v paralelnom dizajne, pravidelný trojuholník na základni pyramídy je reprezentovaný ľubovoľným trojuholníkom.

Stred rovnostranného trojuholníka je priesečníkom stredov trojuholníka. Pretože stredy v priesečníku sú rozdelené v pomere 2: 1, počítajúc zhora, mentálne spojíme hornú časť základne so stredom opačnej strany, približne ju rozdelíme na tri časti a umiestnime bod na vzdialenosť 2 dielov od vrchu. Z tohto bodu nahor nakreslite kolmicu. Toto je výška pyramídy. Kolmicu nakreslíme tak dlho, aby bočná hrana nezakrývala obraz výšky.

Nákres pravidelného štvoruholníkového ihlana

Kresba pravidelnej štvorhrannej pyramídy tiež začína od základne. Keďže rovnobežnosť segmentov je zachovaná, ale veľkosti uhlov nie sú, štvorec na základni je znázornený ako rovnobežník. Je žiaduce, aby bol ostrý uhol tohto rovnobežníka menší, potom sú bočné plochy väčšie. Stred štvorca je priesečníkom jeho uhlopriečok. Nakreslíme uhlopriečky, z priesečníka obnovíme kolmicu. Táto kolmica je výška pyramídy. Dĺžku kolmice volíme tak, aby sa nám bočné hrany navzájom nezliali.

Kresba pravidelného šesťhranného ihlana

Keďže rovnobežné premietanie zachováva rovnobežnosť segmentov, základňa pravidelného šesťuholníka - pravidelný šesťuholník - je znázornená ako šesťuholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnaké. Stred pravidelného šesťuholníka je priesečníkom jeho uhlopriečok. Aby sme kresbu nezahltili, nekreslíme uhlopriečky, ale tento bod nájdeme približne. Z nej obnovíme kolmicu - výšku pyramídy - aby sa bočné hrany navzájom nezlúčili.

Rozvinutie povrchu pyramídy je plochý obrazec, zložený zo základne a plôch pyramídy, zarovnaných s určitou rovinou. V nižšie uvedenom príklade zvážime konštrukciu zametania pomocou metódy trojuholníka.

Pyramídu SABC pretína čelne vyčnievajúca rovina α. Je potrebné vybudovať rozvinutie povrchu SABC a nakresliť naň priesečník.

Na čelnom priemete S""A""B""C"" označíme body D"", E"" a F"", v ktorých sa stopa α v pretína so segmentmi A""S"", B" "S"" a C""S"". Určte polohu bodov D", E", F" a spojte ich navzájom. Priesečník je na obrázku vyznačený červenou farbou.

Určenie dĺžky rebier

Na nájdenie prirodzených hodnôt bočných hrán pyramídy používame metódu rotácie okolo premietacej čiary. Za týmto účelom nakreslite os i cez vrchol S kolmo na horizontálnu rovinu H. Otočením segmentov SA, SB a SC okolo neho ich presunieme do polohy rovnobežnej s frontálnou rovinou V.

Skutočné hodnoty hrán sa rovnajú projekciám S""A""1, S""1B""1 a S""C""1. Označíme na nich body D "" 1, E"" 1, F"" 1, ako ukazujú šípky na obrázku vyššie.

Trojuholník ABC na základni pyramídy je rovnobežný s horizontálnou rovinou. Je na ňom zobrazený v plnej veľkosti, rovnajúcej sa ∆A"B"C.

Zametanie stavebného poriadku

Na ľubovoľnom mieste na výkrese označte bod S 0. Nakreslíme cez ňu priamku n a odložíme úsečku S 0 A 0 = S "" A "" 1.

Čelo ABS = A 0 B 0 S 0 postavíme ako trojuholník na troch stranách. Aby sme to dosiahli, z bodov S 0 a A 0 nakreslíme oblúky kružníc s polomermi R 1 \u003d S "" B "" 1 a r 1 \u003d A "B". Priesečník týchto oblúkov určuje polohu bodu B 0 .

Plochy B 0 S 0 C 0 a C 0 S 0 A 0 sú konštruované podobne. Základňa pyramídy je v závislosti od rozloženia výkresu pripevnená na ktorúkoľvek zo strán: A 0 B 0, B 0 C 0 alebo C 0 A 0.

Nakreslime na rozvinutie priamku, pozdĺž ktorej sa rovina α pretína s pyramídou. Aby sme to dosiahli, na okrajoch S 0 A 0, S 0 B 0 a S 0 С 0 označíme body D 0, E 0 a F 0. V tomto prípade sa bod D0 nachádza v priesečníku úsečky S0A0 s kružnicou s polomerom S""D""1. Podobne Eo = S0B00∩S""E""1, F° = S°Co°S""F""1.

VŠEOBECNÉ KONCEPCIE O VÝVOJI POVRCH

Povrch budeme považovať za flexibilný nerozšíriteľný škrupina. V tomto prípade môžu byť niektoré plochy spojené s rovinou transformáciou žiadne zlomy alebo vrásky . Plochy, ktoré umožňujú takúto premenu, sú tzv nasaditeľné.

Útvar získaný spojením rozvinuteľnej plochy s rovinou sa nazýva rozvinutie.

Konštrukcia vývoja má veľký význam pri navrhovaní výrobkov z plošného materiálu (nádoby, potrubia, vzory atď.).

Povrchy, ktoré sa vyvíjajú geometricky presné : mnohostenný, kužeľový, torzálny, valcový.

Zo zakrivených plôch k rozvinutým patria tie riadkové plochy (kužeľové, valcové, torzá), v ktorých sa dotýkajúca rovina dotýka plochy pozdĺž jej priamočiarej tvoriacej priamky.

Všetky ostatné zakrivené povrchy sa nevyvíjajú, ale v prípade potreby ich môžete postaviť. približné zametá.

Aby sa vytvoril vývoj akéhokoľvek zakriveného povrchu, je rozdelený na také krivočiare úseky, z ktorých každý môže byť aproximovaný nejakým plochým obrazcom, ktorý si vyžaduje určiť jeho povahu. iba merania.

Napríklad:

Valec je rozdelený na obdĺžniky (obrázok 16-1a);

rovný kužeľ na rovnoramenné trojuholníky (obrázok 16-1b);

eliptický valec - do rovnobežníkov (obrázok 16-1c);

eliptický kužeľ - do trojuholníkov (obrázok 16-1d);

guľa - na lichobežníku.

PYRAMÍDA A KUŽELOVÁ PLOCHA ODHAĽUJE

Ako príklad zvážte konštrukciu vývoja iba štyroch povrchov: pyramídy, kužeľa, hranola a valca.

Povrchový vývoj pyramídy

Vývoj takéhoto povrchu je plochá postava, ktorá sa získa spojením všetkých jej plôch s jednou rovinou.

Príklad 1. Zostavte rozvinutie povrchu pyramídy ABCS (obrázok 16-2) a nakreslite naň čiaru MN .

Keďže bočné steny pyramídy sú trojuholníky, na vybudovanie rozvoja je potrebné nájsť prirodzenú formu týchto trojuholníkov, pre ktoré je potrebné určiť skutočné dĺžky strán - hrán pyramídy.

Základňa pyramídy leží v horizontálnej rovine, preto skutočná veľkosť rebier AB, BC a AC je už na výkrese.

Rebro SA je čelné, takže je zobrazené pri pohľade spredu v plnej veľkosti.

Charakter rebier SВ a SC je určený metódou pravouhlého trojuholníka. Jedna z jeho nôh je presahom bodu S nad bodmi B a C a druhá je pohľad zhora na rebrá SB a SC.

Potom na troch stranách postupne postavíme všetky bočné strany pyramídy.

Aby sme vyniesli čiaru MN na vývoj, najprv určíme skutočnú hodnotu segmentov AM a B1 a umiestnime ich na vývoj na zodpovedajúcich hranách.

Na vykreslenie bodu M nakreslíme na plochu SBC priamku S2 a zistíme jej polohu na rozvinutí, pričom segment B2 (meraný v pôdoryse) vyčleníme na stranu BC. Potom v čelnom pohľade nakreslíme úsečku 3-4 cez bod 4 rovnobežnú s hranou BC a nájdeme jej polohu na rozvinutí, pre ktorú vyčleníme úsečku C4 na strane SC a nakreslíme priamku 3-4 rovnobežnú. na hranu BC cez výsledný bod. Na križovatke liniek S -2 a 3-4 nájdeme bod N. Spojením získaných bodov M, 1, N dostaneme požadovanú priamku.

Je potrebné vybudovať vývoj fazetových telies a nakresliť na vývoj líniu priesečníka hranola a pyramídy.

Na vyriešenie tohto problému v deskriptívnej geometrii potrebujete vedieť:

- informácie o vývoji povrchov, spôsoboch ich konštrukcie a najmä o konštrukcii vývoja fazetových telies;

- vlastnosti jedna k jednej medzi povrchom a jeho rozvinutím a spôsoby prenosu bodov patriacich k povrchu do rozvinutia;

- metódy na určovanie prirodzených hodnôt geometrických obrazov (čiary, roviny atď.).

Postup riešenia Problému

Skenovanie je tzv plochý obrazec, ktorý sa získa rezaním a ohýbaním povrchu, kým nie je úplne zarovnaný s rovinou. Celý povrch sa rozvinie ( polotovary, vzory) sú postavené len z prírodných hodnôt.

1. Keďže skeny sú postavené z prirodzených hodnôt, pristúpime k ich určovaniu, pre ktoré sa na pauzovací papier (milimetrový alebo iný papier) formátu A3 prenesie úloha č. z so všetkými bodmi a priesečníkmi mnohostenov.

2. Na určenie prirodzených hodnôt hrán a základne pyramídy používame metóda pravouhlého trojuholníka. Samozrejme sú možné aj iné, ale podľa mňa je tento spôsob pre študentov zrozumiteľnejší. Jeho podstata spočíva v tom, že „na zostrojenom pravom uhle je na jednej nohe vynesená hodnota projekcie priameho segmentu a na druhej strane rozdiel v súradniciach koncov tohto segmentu, prevzatý z konjugovanej projekčnej roviny. Potom prepona výsledného pravého uhla dáva prirodzenú hodnotu tejto úsečky..

Obr.4.1

Obr.4.2

Obr.4.3

3. Takže vo voľnom priestore výkresu (Obr.4.1.a) robenie pravého uhla.

Na vodorovnej čiare tohto uhla odložíme hodnotu priemetu hrany pyramídy DA prevzaté z horizontálnej projekčnej roviny - lDA. Na zvislú čiaru pravého uhla nakreslíme rozdiel v súradniciach bodov D’ AA’ prevzaté z roviny čelnej projekcie (pozdĺž osi z dole) - . Spojením získaných bodov s preponou získame prirodzenú veľkosť okraja pyramídy | DA| .

Určujeme teda prirodzené hodnoty ostatných okrajov pyramídy D.B. A DC, ako aj základňu pyramídy AB, BC, AC (obr.4.2), pre ktorý zostrojíme druhý pravý uhol. Všimnite si, že definícia prirodzenej veľkosti okraja DC sa robí v tých prípadoch, keď je uvedený v projekcii na pôvodnom výkrese. To sa dá ľahko určiť, ak si zapamätáme pravidlo: ak je priamka na ktorejkoľvek projekčnej rovine rovnobežná so súradnicovou osou, potom na združenú rovinu sa premietne v plnej veľkosti.

Najmä v príklade nášho problému je čelná projekcia okraja D’ C’ rovnobežne s osou X teda v horizontálnej rovine DC okamžite vyjadrené v prirodzenej veľkosti | DC| (obr.4.1).

Obr.4.4

4. Po určení prirodzených hodnôt hrán a základne pyramídy pristúpime ku konštrukcii zákruty ( obr.4.4). Aby sme to urobili, na list papiera bližšie k ľavej strane rámu vezmeme ľubovoľný bod D vzhľadom na to, že toto je vrchol pyramídy. Kresliť z bodu Dľubovoľnú priamku a odložte na ňu prirodzenú veľkosť okraja | DA| , získanie bodu A. Potom z pointy A, pričom riešenie kompasu preberá celú veľkosť základne pyramídy R=|AB| a umiestnenie nohy kompasu do bodu A robíme oblúk. Ďalej prevezmeme riešenie kompasu v plnej veľkosti okraja pyramídy R=| D.B.| a umiestnenie nohy kompasu do bodu D urobíme druhý oblúkový zárez. Na priesečníku oblúkov dostaneme bod IN, spájajúc ho s bodmi A a D dostať okraj pyramídy DAB. Podobne pripevníme k okraju D.B. fazeta DBC a na okraj DC- hrana DCA.

Na jednu stranu základne napr INC, pripevníme základňu pyramídy tiež metódou geometrických pätiek, pričom veľkosť strán vezmeme do riešenia kompasu ABAAS a vytváranie oblúkových pätiek z hrotov BAC získať bod A(obr.4.4).

5. Budovanie zametania hranol je zjednodušený tým, že na pôvodnom výkrese je v horizontálnej rovine priemetov základňa a v čelnej rovine - výška 85 mm, nastaviť v plnej veľkosti

Aby sme vytvorili zametanie, mentálne prerežeme hranol pozdĺž nejakej hrany, napríklad pozdĺž E po upevnení na rovine roztiahneme ostatné plochy hranola, kým nebude úplne zarovnaný s rovinou. Je celkom zrejmé, že dostaneme obdĺžnik, ktorého dĺžka je súčtom dĺžok strán základne a výška je výška hranola - 85 mm.

Takže, aby sme vytvorili zametanie hranola, pokračujeme:

- na rovnakom formáte, kde je postavená pyramída, na pravej strane nakreslíme vodorovnú priamku a z ľubovoľného bodu na nej, napríklad E, postupne odložíme segmenty základne hranola EK, KG, GU, UE, prevzaté z horizontálnej projekčnej roviny;

- z bodov E, K, G, U, E obnovíme kolmice, na ktorých vyčleníme výšku hranola, prevzatú z roviny čelnej priemetne (85mm);

- spojením získaných bodov priamkou získame rozvinutie bočnej plochy hranola a k jednej zo strán podstavy, napr. GU pripevňujeme hornú a spodnú základňu metódou geometrických pätiek, ako sa to robilo pri stavbe základne pyramídy.

Obr.4.5

6. Na vytvorenie priesečníka na zástavbe používame pravidlo, že „akýkoľvek bod na povrchu zodpovedá bodu na zástavbe“. Vezmime si napríklad hranu hranola GU kde sa priesečník s bodmi 1-2-3 ; . Odložte na vývoj základne GU bodov 1,2,3 vzdialenosťami od horizontálnej projekčnej roviny. Obnovte kolmice z týchto bodov a nakreslite na ne výšky bodov 1’ , 2’, 3’ , prevzaté z roviny čelnej projekcie - z 1 , z 2 Az 3 . Získali sme teda body v nájazde 1, 2, 3, spájaním ktorého dostaneme prvú vetvu priesečníka.

Všetky ostatné body sa prenášajú podobne. Zostrojené body sú spojené, čím sa získa druhá vetva priesečníka. Zvýraznite červenou farbou - požadovaný riadok. Dodajme, že v prípade neúplného priesečníka fazetových telies bude na rozvinutí hranola jedna uzavretá vetva priesečníka.

7. Konštrukcia (prenos) priesečníka na vývoj pyramídy sa vykonáva rovnakým spôsobom, ale s prihliadnutím na:

- keďže sú zákruty postavené z prírodných hodnôt, je potrebné preniesť polohu bodov 1-8 priesečníky priemetov na čiarach hrán prirodzených veľkostí pyramídy. Aby ste to urobili, vezmite si napríklad body 2 a 5 v čelnom priemete rebra DA prenesieme ich na hodnotu priemetu tejto hrany pravého uhla (obr.4.1) pozdĺž komunikačných línií rovnobežných s osou X, získame požadované segmenty | D2| a |D5| rebrá DA v prírodných hodnotách, ktoré vyčleníme (prenesieme) do zástavby pyramídy;

- všetky ostatné body priesečníka sa prenesú rovnakým spôsobom, vrátane bodov 6 a 8 ležiace na generátoroch Dm A Dn prečo pravý uhol (obr.4.3) určia sa prirodzené hodnoty týchto generátorov a potom sa do nich prenesú body 6 a 8;

- v druhom pravom uhle, kde sa určujú prirodzené hodnoty základne pyramídy, sa prenášajú body mAn priesečníky generátorov so základňou, ktoré sa následne prenášajú do voj.

Teda body získané na prirodzených hodnotách 1-8 a prenesené do zástavby, spojíme do série s priamkami a nakoniec dostaneme priesečník pyramídy na jej zástavbe.

Sekcia: Deskriptívna geometria /

Rozvinutie bočnej plochy pyramídy (obr. 16.3) pozostáva z troch trojuholníkov, ktoré v pravej forme predstavujú bočné steny pyramídy.

Pre konštrukciu zástavby je potrebné najprv určiť skutočné dĺžky bočných hrán pyramídy. Otočením týchto rebier okolo výšky pyramídy do polohy rovnobežnej s rovinou p 2 získame na rovine čelnej projekcie ich skutočné dĺžky v tvare segmentov a .

Po postavení z troch strán a steny pyramídy ASB (obr. 16.4) k nej pripojíme susednú plochu - trojuholník BSC a na poslednú stranu CSA. Výsledný obrazec bude rozvinutím bočného povrchu tejto pyramídy.

Aby sme dosiahli úplné zametanie, pripevníme základňu pyramídy na jednu zo strán základne - trojuholník ABC.

Na vybudovanie priamky na zástavbe, pozdĺž ktorej povrch pyramídy pretína rovina a (obr. 16.3), je potrebné umiestniť na hrany SA, SB a SC body 1, 2 a 3, v ktorých rovina pretína hrany a určuje skutočné dĺžky segmentov S1, S2 a S3.

Ryža. 16.3	Ryža. 16.4

Kontrolné otázky k téme prednášky:

1. Čo sa nazýva povrchový vývoj?

2. Aké povrchy sa nazývajú rozvinuteľné alebo nevyvinuteľné. Uveďte príklady.

3. Všeobecné pravidlá pre konštrukciu rozvinutia povrchu hranola, pyramídy.