Poznámka. Toto je časť hodiny s úlohami z geometrie (časť objemová geometria, úlohy o pyramíde). Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. V úlohách sa namiesto symbolu "druhej odmocniny" používa funkcia sqrt (), v ktorej sqrt je symbol druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.Pre jednoduché radikálne výrazy možno použiť znak „√“.. pravidelný štvorsten je pravidelná trojuholníková pyramída, ktorej všetky steny sú rovnostranné trojuholníky.

Pre pravidelný štvorsten sú všetky dvojstenné uhly na hranách a všetky trojstenné uhly vo vrcholoch rovnaké

Štvorsten má 4 steny, 4 vrcholy a 6 hrán.

Základné vzorce pre pravidelný štvorsten sú uvedené v tabuľke.

Kde:
S - Povrchová plocha pravidelného štvorstenu
V - objem
h - výška znížená na základňu
r - polomer kružnice vpísanej do štvorstenu
R - polomer kružnice opísanej
a - dĺžka rebra

Praktické príklady

Úloha.
Nájdite povrch trojuholníkovej pyramídy s každou hranou rovnou √3

Riešenie.
Keďže všetky okraje trojuholníkovej pyramídy sú rovnaké, je to správne. Povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je S = a 2 √3.
Potom
S = 3√3

Odpoveď: 3√3

Úloha.
Všetky hrany pravidelného trojuholníkového ihlanu majú 4 cm. Nájdite objem ihlana

Riešenie.
Keďže v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sa výška pyramídy premieta do stredu podstavy, ktorá je zároveň stredom kružnice opísanej, potom

AO = R = √3/3a
AO = 4√3 / 3

Výšku pyramídy OM teda možno zistiť z pravouhlého trojuholníka AOM

AO2 + OM2 = AM 2
OM2 = AM2 - AO2
OM2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Objem pyramídy sa zistí podľa vzorca V = 1/3 Sh
V tomto prípade nájdeme plochu základne podľa vzorca S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odpoveď: 16√2/3 cm

V tejto lekcii sa pozrieme na štvorsten a jeho prvky (hrana štvorstenu, povrch, plochy, vrcholy). A my vyriešime niekoľko problémov na konštrukciu rezov v štvorstene pomocou všeobecnej metódy na konštrukciu rezov.

Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín

Lekcia: Tetrahedron. Problémy konštrukcie rezov v štvorstene

Ako postaviť štvorsten? Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC. Ľubovoľný bod D neleží v rovine tohto trojuholníka. Získame 4 trojuholníky. Povrch tvorený týmito 4 trojuholníkmi sa nazýva štvorsten (obr. 1.). Súčasťou štvorstenu sú aj vnútorné body ohraničené touto plochou.

Ryža. 1. Tetrahedron ABCD

Prvky štvorstenu
A,B, C, D - vrcholy štvorstenu.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - okraje štvorstenu.
ABC, ABD, bdc, ADC - tváre štvorstenu.

komentár: môžete ísť lietadlom ABC pozadu štvorstenná základňa a potom pointa D je vrchol štvorstenu. Každá hrana štvorstenu je priesečníkom dvoch rovín. Napríklad rebro AB je priesečník rovín ABD A ABC. Každý vrchol štvorstenu je priesečníkom troch rovín. Vertex A leží v rovinách ABC, ABD, ADS. Bodka A je priesečník troch označených rovín. Táto skutočnosť je napísaná takto: A= ABC ∩ ABD ∩ AUD.

Definícia štvorstenu

takže, štvorsten je plocha tvorená štyrmi trojuholníkmi.

Okraj štvorstenu- priesečník dvoch rovín štvorstenu.

Zo 6 zápaliek vytvorte 4 rovnaké trojuholníky. Problém nie je možné vyriešiť v lietadle. A vo vesmíre je to ľahké. Zoberme si štvorsten. 6 zápaliek sú jeho okraje, štyri strany štvorstenu a budú to štyri rovnaké trojuholníky. Problém je vyriešený.

Dan štvorsten ABCD. Bodka M patrí k okraju štvorstenu AB, bodka N patrí k okraju štvorstenu IND a bodka R patrí na okraj DS(obr. 2.). Zostrojte rez štvorstenom rovinou MNP.

Ryža. 2. Kresba k úlohe 2 - Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Predstavte si tvár štvorstenu Dslnko. Na tomto okraji bodu N A P tváre patria Dslnko, a teda štvorsten. Ale podľa stavu bodu N, P patria do roviny rezu. znamená, NP je priesečník dvoch rovín: čelných rovín Dslnko a rovinu rezu. Predpokladajme, že čiary NP A slnko nie sú paralelné. Ležia v rovnakej rovine DSlnko. Nájdite priesečník čiar NP A slnko. Označme to E(Obr. 3.).

Ryža. 3. Nákres k úlohe 2. Nájdenie bodu E

Bodka E patrí do roviny rezu MNP, keďže leží na linke NP a priamku NP leží úplne v rovine rezu MNP.

Tiež bodka E leží v lietadle ABC pretože leží na čiare slnko mimo lietadla ABC.

Chápeme to JESŤ- priesečník rovín ABC A MNP, pretože body E A M ležať súčasne v dvoch rovinách - ABC A MNP. Spojte body M A E a pokračujte v riadku JESŤ ku križovatke s čiarou AU. priesečník čiar JESŤ A AU označovať Q.

Takže v tomto prípade NPQM- požadovaný úsek.

Ryža. 4. Nákres úlohy 2. Riešenie úlohy 2

Zvážte teraz prípad, kedy NP paralelný BC. Ak rovno NP rovnobežná s nejakou čiarou, napríklad čiarou slnko mimo lietadla ABC, potom priamka NP rovnobežne s celou rovinou ABC.

Požadovaná rovina rezu prechádza priamkou NP, rovnobežne s rovinou ABC, a pretína rovinu v priamke MQ. Takže priesečník MQ rovnobežne s priamkou NP. Dostaneme NPQM- požadovaný úsek.

Bodka M leží na boku ADINštvorsten ABCD. Zostrojte rez štvorstenom rovinou, ktorá prechádza bodom M rovnobežne so základňou ABC.

Ryža. 5. Kresba k úlohe 3 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
rovina rezu φ rovnobežne s rovinou ABC podľa podmienky, potom táto rovina φ rovnobežné s rovnými čiarami AB, AU, slnko.
V lietadle ABD cez bod M nakreslíme rovnú čiaru PQ paralelný AB(obr. 5). Rovno PQ leží v lietadle ABD. Podobne v rovine AUD cez bod R nakreslíme rovnú čiaru PR paralelný AU. získal bod R. Dve pretínajúce sa čiary PQ A PR lietadlo PQR sú rovnobežné s dvoma pretínajúcimi sa čiarami AB A AU lietadlo ABC, teda lietadlá ABC A PQR sú paralelné. PQR- požadovaný úsek. Problém je vyriešený.

Dan štvorsten ABCD. Bodka M- vnútorný bod, bod štvorstennej steny ABD. N- vnútorný bod segmentu DS(obr. 6.). Zostrojte priesečník priamky NM a lietadlo ABC.

Ryža. 6. Kresba pre úlohu 4

Riešenie:
Na vyriešenie zostrojíme pomocnú rovinu DMN. Nechajte linku DM pretína priamku AB v bode TO(Obr. 7.). potom SCD je časť roviny DMN a štvorsten. V lietadle DMN klame a rovno NM a výsledný riadok SC. Ak teda NM nie paralelne SC, potom sa v určitom bode pretínajú R. Bodka R a bude požadovaným priesečníkom čiary NM a lietadlo ABC.

Ryža. 7. Nákres úlohy 4. Riešenie úlohy 4

Dan štvorsten ABCD. M- vnútorný bod tváre ABD. R- vnútorný bod tváre ABC. N- vnútorný bod okraja DS(obr. 8.). Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi M, N A R.

Ryža. 8. Kresba k úlohe 5 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Zoberme si prvý prípad, kedy je linka MN nie sú rovnobežné s rovinou ABC. V predchádzajúcej úlohe sme našli priesečník priamky MN a lietadlo ABC. Toto je pointa TO, získa sa pomocou pomocnej roviny DMN, t.j. robíme DM a získajte bod F. My trávime CF a na križovatke MN získať bod TO.

Ryža. 9. Kresba k úlohe 5. Hľadanie bodu K

Nakreslíme rovnú čiaru KR. Rovno KR leží v rovine rezu aj v rovine ABC. Získavanie bodov R 1 A R 2. Pripája sa R 1 A M a pri pokračovaní získame bod M 1. Spojenie bodky R 2 A N. V dôsledku toho získame požadovaný prierez R 1 R 2 NM 1. Problém v prvom prípade je vyriešený.
Zoberme si druhý prípad, kedy je linka MN rovnobežne s rovinou ABC. Lietadlo MNP prechádza priamkou MN rovnobežne s rovinou ABC a prekročí rovinu ABC pozdĺž nejakej línie R 1 R 2, potom priamka R 1 R 2 rovnobežne s touto čiarou MN(Obr. 10.).

Ryža. 10. Nákres problému 5. Požadovaný rez

Teraz nakreslíme čiaru R 1 M a získajte bod M 1.R 1 R 2 NM 1- požadovaný úsek.

Takže sme zvážili štvorsten, vyriešili niektoré typické úlohy na štvorstene. V ďalšej lekcii sa pozrieme na krabicu.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chorý. Geometria. 10. – 11. ročník: učebnica pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň)

2. Sharygin I. F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: ill. Geometria. 10.-11. ročník: Učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M. : Drop, 008. - 233 s. :ochorený. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a profilovým štúdiom matematiky

Ďalšie webové zdroje

2. Ako zostrojiť rez štvorstenom. Matematika ().

3. Festival pedagogických myšlienok ().

Urobte si domáce úlohy na tému „Štvorsten“, ako nájsť okraj štvorstena, steny štvorstenu, vrcholy a povrch štvorstenu

1. Geometria. 10.-11. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná a profilová úroveň) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a doplnené - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill. Úlohy 18, 19, 20 s. 50

2. Bod E stredné rebro MAštvorsten IAWS. Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi B, C A E.

3. V štvorstene MAVS patrí bod M k ploche AMB, bod P k ploche BMC a bod K k hrane AC. Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi M, R, K.

4. Aké obrazce možno získať ako výsledok priesečníka štvorstenu rovinou?

Tetrahedron v gréčtine znamená "tetrahedron". Tento geometrický obrazec má štyri plochy, štyri vrcholy a šesť hrán. Okraje sú trojuholníky. V skutočnosti je štvorsten Prvá zmienka o mnohostenoch sa objavila dávno pred existenciou Platóna.

Dnes budeme hovoriť o prvkoch a vlastnostiach štvorstenu a tiež sa naučíme vzorce na zistenie plochy, objemu a ďalších parametrov týchto prvkov.

Prvky štvorstenu

Segment, uvoľnený z akéhokoľvek vrcholu štvorstenu a znížený do priesečníka mediánov protiľahlej steny, sa nazýva medián.

Výška polygónu je normálny segment vypustený z opačného vrcholu.

Bimedián je segment spájajúci stredy krížiacich sa hrán.

Vlastnosti štvorstenu

1) Rovnobežné roviny, ktoré prechádzajú cez dve šikmé hrany, tvoria opísaný rovnobežnosten.

2) Charakteristickou vlastnosťou štvorstenu je, že stredy a bimediány postavy sa stretávajú v jednom bode. Je dôležité, aby tento rozdelil mediány v pomere 3: 1 a bimediány - na polovicu.

3) Rovina rozdeľuje štvorsten na dve časti rovnakého objemu, ak prechádza stredom dvoch križujúcich sa hrán.

Typy štvorstenu

Druhová diverzita postavy je pomerne široká. Štvorsten môže byť:

• správne, to znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník;
• izoedrický, v ktorom sú všetky tváre rovnako dlhé;
• ortocentrické, keď majú výšky spoločný priesečník;
• obdĺžnikový, ak sú ploché uhly v hornej časti normálne;
• proporcionálne, všetky bi výšky sú rovnaké;
• drôtený model, ak existuje guľa, ktorá sa dotýka okrajov;
• sústredné, to znamená, že segmenty znížené z vrcholu do stredu vpísanej kružnice protiľahlej plochy majú spoločný priesečník; tento bod sa nazýva ťažisko štvorstenu.

Pozrime sa podrobne na pravidelný štvorsten, ktorého vlastnosti sa prakticky nelíšia.

Na základe názvu môžete pochopiť, že sa tak nazýva, pretože tváre sú pravidelné trojuholníky. Všetky okraje tohto obrázku sú zhodné v dĺžke a tváre sú zhodné v ploche. Pravidelný štvorsten je jedným z piatich podobných mnohostenov.

Vzorce štvorstenu

Výška štvorstenu sa rovná súčinu koreňa 2/3 a dĺžky okraja.

Objem štvorstenu sa zistí rovnakým spôsobom ako objem pyramídy: druhá odmocnina z 2 delená 12 a vynásobená dĺžkou hrany kocky.

Zostávajúce vzorce na výpočet plochy a polomerov kruhov sú uvedené vyššie.

Štvorsten je najjednoduchší polygonálny útvar. Pozostáva zo štyroch strán, z ktorých každá je rovnostranný trojuholník, pričom každá strana je s druhou spojená iba jednou stranou. Pri štúdiu vlastností tohto trojrozmerného geometrického útvaru je pre prehľadnosť najlepšie vyrobiť model štvorstenu z papiera.

Ako prilepiť papierový štvorsten?

Na zostavenie jednoduchého papierového štvorstenu potrebujeme:

• samotný papier (hrubý, môžete použiť lepenku);
• uhlomer;
• pravítko;
• nožnice;
• lepidlo;
• papierový štvorsten, schéma.

Pokrok

• ak je papier veľmi hrubý, potom by sa mal cez záhyby nakresliť tvrdý predmet, napríklad okraj pravítka;
• ak chcete získať viacfarebný štvorsten, môžete maľovať tváre alebo skenovať na listy farebného papiera.

Ako vyrobiť štvorsten z papiera bez lepenia?

Upozorňujeme na majstrovskú triedu, ktorá hovorí, ako zostaviť 6 papierových štvorstenov do jedného modulu pomocou techniky origami.

Budeme potrebovať:

• 5 párov štvorcových listov papiera v rôznych farbách;
• nožnice.

Pokrok

1. Každý list papiera rozdelíme na tri rovnaké časti, rozrežeme a získame pásy, ktorých pomer strán je 1 až 3. Výsledkom je 30 pásikov, z ktorých pridáme modul.
2. Prúžok položíme pred seba lícom nadol a natiahneme ho vodorovne. Preložte na polovicu, rozložte a preložte do stredu okraja.

3. Na krajnom pravom okraji ohnite roh tak, aby ste vytvorili šípku, posuňte ju 2-3 cm od okraja.

4. Podobne ohýbame ľavý roh (foto ako vyrobiť štvorsten 3 z papiera).

5. Ohýbame pravý horný roh malého trojuholníka, ktorý bol výsledkom predchádzajúcej operácie. Strany prehnutého okraja teda budú zvierať rovnaký uhol.

6. Rozbaľte výsledný záhyb.
7. Rozložíme ľavý roh a pozdĺž existujúcich ohybových línií zabalíme roh dovnútra, ako je znázornené na fotografii.

8. V pravom rohu ohnite horný okraj nadol tak, aby sa pretínal so záhybom vytvoreným pri operácii č. 3.

9. Vonkajší okraj je opäť zabalený doprava pomocou záhybu vytvoreného v dôsledku operácie č. 3.
10. Predchádzajúce operácie zopakujeme z druhého konca pásika, ale tak, aby malé sklady boli na rovnobežných koncoch pásika.

11. Výsledný prúžok preložíme po dĺžke na polovicu a necháme ho potichu samovoľne otvoriť. Presný uhol otvorenia sa ukáže neskôr, pri finálnej montáži modelu. Prvok je pripravený, teraz urobíme ďalších 29 rovnakým spôsobom.
12. Článok otočíme tak, aby pri montáži bola viditeľná jeho vonkajšia strana. Oba články spojíme vložením jazyka do vrecka tvoreného malým vnútorným rohom.

13. Prepojené články by mali zvierať uhol 60 ⁰, pod ktorým sa spoja ďalšie články (foto ako vyrobiť štvorsten 13 z papiera).

14. Tretí odkaz pridáme k druhému a druhý pripojíme k prvému. Ukazuje sa koniec obrázku, v hornej časti ktorého sú spojené všetky tri jeho prepojenia.

15. Rovnakým spôsobom pridajte ďalšie tri odkazy. Prvý štvorsten je pripravený.

16. Rohy hotového obrázku nemusia byť úplne rovnaké, takže pre presnejšie prispôsobenie by ste mali nechať otvorené jednotlivé rohy všetkých nasledujúcich štvorstenov.

17. Tetrahedra by mali byť navzájom spojené tak, aby roh jedného prechádzal cez otvor v druhom.

18. Tri vzájomne prepojené štvorsteny.

19. Štyri vzájomne prepojené štvorsteny.

20. Modul piatich štvorstenov je pripravený.

Ak ste sa vyrovnali s štvorstenom, môžete pokračovať a robiť

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

Dobrý deň Pokračujeme v štúdiu témy: "Paralelizmus čiar a rovín."

Myslím, že už je jasné, že dnes budeme hovoriť o mnohostenoch - povrchoch geometrických telies tvorených mnohouholníkmi.

Teda štvorsten.

Budeme študovať mnohosteny podľa plánu:

1. definícia štvorstenu

2. prvky štvorstenu

3. vývoj štvorstenu

4. obraz v lietadle

1. zostavte trojuholník ABC

2. bod D neležiaci v rovine tohto trojuholníka

3. spoj bod D úsečkami s vrcholmi trojuholníka ABC. Získame trojuholníky DAB, DBC a DCA.

Definícia: Plocha zložená zo štyroch trojuholníkov ABC, DAB, DBC a DCA sa nazýva štvorsten.

Označenie: DABC.

Prvky štvorstenu

Trojuholníky, ktoré tvoria štvorsten, sa nazývajú steny, ich strany sú hrany a ich vrcholy sú vrcholy štvorstenu.

Koľko stien, hrán a vrcholov má štvorsten?

Štvorsten má štyri steny, šesť hrán a štyri vrcholy.

Dve hrany štvorstenu, ktoré nemajú spoločné vrcholy, sa nazývajú opačné.

Na obrázku sú hrany AD a BC, BD a AC, CD a AB protiľahlé.

Niekedy je jedna z plôch štvorstena oddelená a nazývaná jeho základňa a ďalšie tri sa nazývajú bočné steny.

Rozvíjajúci sa štvorsten.

Ak chcete vytvoriť štvorsten z papiera, budete potrebovať nasledujúci sken,

musí sa preniesť na hrubý papier, vystrihnúť, zložiť pozdĺž bodkovaných čiar a prilepiť.

Na rovine je znázornený štvorsten

Vo forme konvexného alebo nekonvexného štvoruholníka s uhlopriečkami. Prerušované čiary predstavujú neviditeľné okraje.

Na prvom obrázku je AC neviditeľná hrana,

na druhom - EK, LK a KF.

Poďme vyriešiť niekoľko typických problémov na štvorstene:

Nájdite vývojovú oblasť pravidelného štvorstenu s hranou 5 cm.

Riešenie. Nakreslíme sieť štvorstenu

(na obrazovke sa objaví štvorsten)

Tento štvorsten pozostáva zo štyroch rovnostranných trojuholníkov, preto sa vývojová plocha pravidelného štvorstenu rovná celkovej ploche štvorstenu alebo ploche štyroch pravidelných trojuholníkov.

Hľadáme oblasť pravidelného trojuholníka pomocou vzorca:

Potom dostaneme plochu štvorstenu rovnajúcu sa:

Vo vzorci nahraďte dĺžku okraja a \u003d 5 cm,

ukázalo sa

Odpoveď: Oblasť pravidelného štvorstenu

Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou bodmi M, N a K.

a) Spojme body M a N (patria stene ADC), body M a K (patria stene ADB), body N a K (stropy DBC). Rez štvorstena je trojuholník MKN.

b) Spojte body M a K (patria čelbe ADB), body K a N (patria čelbe DCB), potom pokračujte v priamkach MK a AB na priesečník a umiestnite bod P. Priamka PN a bod T leží v rovnakej rovine ABC a teraz môžeme zostrojiť priesečník priamky MK s každou plochou. Výsledkom je štvoruholník MKNT, ktorý je požadovaným rezom.