Každý bod A roviny je charakterizovaný svojimi súradnicami (x, y). Zhodujú sa so súradnicami vektora 0А, vychádzajúceho z bodu 0 - počiatku.

Nech A a B sú ľubovoľné body roviny so súradnicami (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Potom vektor AB má samozrejme súradnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známe, že druhá mocnina dĺžky vektora sa rovná súčtu štvorcov jeho súradníc. Preto vzdialenosť d medzi bodmi A a B, alebo, čo je rovnaká, dĺžka vektora AB, sa určí z podmienky

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Výsledný vzorec vám umožňuje nájsť vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi roviny, ak sú známe iba súradnice týchto bodov

Zakaždým, keď hovoríme o súradniciach jedného alebo druhého bodu roviny, máme na mysli dobre definovaný súradnicový systém x0y. Vo všeobecnosti možno súradnicový systém v rovine zvoliť rôznymi spôsobmi. Takže namiesto súradnicového systému x0y môžeme uvažovať súradnicový systém xִy, ktorý sa získa otáčaním starých súradnicových osí okolo počiatočného bodu 0 proti smeru hodinových ručičiekšípky na rohu α .

Ak niektorý bod roviny v súradnicovom systéme x0y mal súradnice (x, y), tak v novom súradnicovom systéme x-y bude mať iné súradnice (x, y).

Ako príklad uvažujme bod M umiestnený na osi 0x a vzdialený od bodu 0 vo vzdialenosti rovnajúcej sa 1.

Je zrejmé, že v súradnicovom systéme x0y má tento bod súradnice (cos α , hriech α ), a v súradnicovom systéme хִу sú súradnice (1,0).

Súradnice ľubovoľných dvoch bodov roviny A a B závisia od toho, ako je v tejto rovine nastavený súradnicový systém. A tu vzdialenosť medzi týmito bodmi nezávisí od toho, ako je špecifikovaný súradnicový systém .

Iné materiály

TEORETICKÉ OTÁZKY

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V ROVINE

1. Súradnicová metóda: číselný rad, súradnice na riadku; pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém v rovine; polárne súradnice.

Pozrime sa na priamku. Vyberme si na ňom smer (potom sa stane osou) a nejaký bod 0 (začiatok). Volá sa priamka so zvoleným smerom a počiatkom súradnicová čiara(v tomto prípade predpokladáme, že je zvolená jednotka mierky).

Nechaj M je ľubovoľný bod na súradnicovej priamke. Dajme do súladu s bodom M Reálne číslo X, ktorá sa rovná hodnote OM segment: x=OM.číslo X nazývaná súradnica bodu M.

Každý bod súradnicovej čiary teda zodpovedá určitému reálnemu číslu – jeho súradnici. Platí to aj naopak, každé reálne číslo x zodpovedá nejakému bodu na súradnicovej priamke, konkrétne takému bodu M, ktorého súradnica je x. Táto korešpondencia sa nazýva vzájomne jednoznačné.

Takže reálne čísla môžu byť reprezentované bodmi súradnicovej čiary, t.j. súradnicová čiara slúži ako obraz množiny všetkých reálnych čísel. Preto sa volá množina všetkých reálnych čísel číselný rad a každé číslo je bodom tejto priamky. V blízkosti bodu na číselnej osi sa často uvádza číslo - jeho súradnica.

Pravouhlý (alebo karteziánsky) súradnicový systém v rovine.

Dve vzájomne kolmé osi Asi x A O r majúce spoločný začiatok O a rovnakú jednotku mierky, formu pravouhlý (alebo karteziánsky) súradnicový systém v rovine.

Os OH nazývaná os x, os OY- os y. Bodka O priesečník osí sa nazýva počiatok. Rovina, v ktorej sa nachádzajú osi OH A OY, sa nazýva súradnicová rovina a označuje sa Oh xy.

Pravouhlý súradnicový systém v rovine teda vytvára korešpondenciu jedna ku jednej medzi množinou všetkých bodov roviny a množinou dvojíc čísel, čo umožňuje aplikovať algebraické metódy pri riešení geometrických problémov. Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na 4 časti, sú tzv štvrtí, námestie alebo súradnicové uhly.

Polárne súradnice.

Polárny súradnicový systém pozostáva z nejakého bodu O volal pól a lúč z nej vychádzajúci OE volal polárna os. Okrem toho je nastavená mierka na meranie dĺžok segmentov. Nech je daný polárny súradnicový systém a nech M je ľubovoľný bod roviny. Označiť podľa R– bodová vzdialenosť M z bodu O a cez φ - uhol, o ktorý sa lúč otočí proti smeru hodinových ručičiek od polárnej osi, aby sa zhodoval s lúčom OM.

polárne súradnice bodov M zavolajte na čísla R A φ . číslo R považovaný za prvú súradnicu a volaný polárny polomer, číslo φ - druhá súradnica sa nazýva polárny uhol.

Bodka M s polárnymi súradnicami R A φ sú označené takto: М( ;φ). Vytvorme spojenie medzi polárnymi súradnicami bodu a jeho pravouhlými súradnicami.
V tomto prípade budeme predpokladať, že počiatok pravouhlého súradnicového systému je v póle a kladná poloos úsečky sa zhoduje s polárnou osou.

Nech má bod M pravouhlé súradnice X A Y a polárne súradnice R A φ .

(1)

Dôkaz.

Vypadnite z bodiek M 1 A M 2 kolmice M 1 V A M 1 A,. pretože (x 2; y 2). Podľa teórie, ak M 1 (x 1) A M 2 (x 2) sú ľubovoľné dva body a α je vzdialenosť medzi nimi α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 – x 1 | .

Vzdialenosť od bodu k bodu je dĺžka segmentu spájajúceho tieto body v danej mierke. Teda kedy rozprávame sa meranie vzdialenosti, musíte poznať mierku (jednotku dĺžky), v ktorej sa budú merania vykonávať. Preto sa problém nájdenia vzdialenosti od bodu k bodu zvyčajne zvažuje buď na súradnicovej čiare alebo v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Inými slovami, najčastejšie musíte vypočítať vzdialenosť medzi bodmi podľa ich súradníc.

V tomto článku si najprv pripomenieme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k bodu na súradnicovej čiare. Ďalej získame vzorce na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi roviny alebo priestoru podľa zadaných súradníc. Nakoniec sa pozrime bližšie na riešenia charakteristické príklady a úlohy.

Navigácia na stránke.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare.

Najprv definujme notáciu. Vzdialenosť z bodu A do bodu B bude označená ako .

Z toho môžeme vyvodiť záver vzdialenosť od bodu A so súradnicou k bodu B so súradnicou sa rovná modulu rozdielu súradníc, teda pre akékoľvek usporiadanie bodov na súradnicovej čiare.

Vzdialenosť od bodu k bodu na rovine, vzorec.

Zoberme si vzorec na výpočet vzdialenosti medzi bodmi a daný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine.

V závislosti od umiestnenia bodov A a B sú možné nasledujúce možnosti.

Ak sa body A a B zhodujú, vzdialenosť medzi nimi je nula.

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os x, potom sa body a body zhodujú a vzdialenosť sa rovná vzdialenosti. V predchádzajúcom odseku sme zistili, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, teda . Preto, .

Podobne, ak body A a B ležia na priamke kolmej na os y, potom vzdialenosť z bodu A do bodu B sa zistí ako .

V tomto prípade má trojuholník ABC obdĺžnikovú konštrukciu a A . Autor: Pytagorova veta môžeme napísať rovnosť , odkiaľ .

Zhrňme si všetky výsledky: vzdialenosť od bodu k bodu v rovine sa zistí pomocou súradníc bodov podľa vzorca .

Výsledný vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi možno použiť, keď sa body A a B zhodujú alebo ležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí. V skutočnosti, ak sú A a B rovnaké, potom . Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os Ox, potom . Ak A a B ležia na priamke kolmej na os Oy, potom .

Vzdialenosť medzi bodmi v priestore, vzorec.

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém Оxyz v priestore. Získajte vzorec na nájdenie vzdialenosti od bodu k veci .

Vo všeobecnosti body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Nakreslíme body A a B v rovine kolmej na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Priesečníky týchto rovín so súradnicovými osami nám poskytnú priemet bodov A a B na tieto osi. Označte projekcie .

Požadovaná vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena znázorneného na obrázku. Podľa konštrukcie sú rozmery tohto rovnobežnostena A . V kurze geometrie stredná škola bolo dokázané, že štvorec uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov, teda . Na základe informácií z prvej časti tohto článku môžeme napísať nasledujúce rovnosti, preto

kam sa dostaneme vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore .

Tento vzorec platí aj vtedy, ak body A a B

• vyrovnať sa;
• patrí k jednej zo súradnicových osí alebo k priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí;
• patria do jednej zo súradnicových rovín alebo roviny rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín.

Hľadanie vzdialenosti od bodu k bodu, príklady a riešenia.

Takže sme dostali vzorce na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi súradnicovej čiary, roviny a trojrozmerného priestoru. Je čas zvážiť riešenia typických príkladov.

Množstvo úloh, v ktorých je posledným krokom nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi podľa ich súradníc, je skutočne obrovské. Celá recenzia takéto príklady presahujú rámec tohto článku. Tu sa obmedzíme na príklady, v ktorých sú známe súradnice dvoch bodov a je potrebné vypočítať vzdialenosť medzi nimi.

Nech je daný pravouhlý súradnicový systém.

Veta 1.1. Pre ľubovoľné dva body M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) roviny je vzdialenosť d medzi nimi vyjadrená vzorcom

Dôkaz. Vypustíme z bodov M 1 a M 2 kolmice M 1 B a M 2 A, resp.

na osiach Oy a Ox a označíme K priesečník priamok M 1 B a M 2 A (obr. 1.4). Možné sú tieto prípady:

1) Body M 1, M 2 a K sú rôzne. Je zrejmé, že bod K má súradnice (x 2; y 1). Je ľahké vidieť, že M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Pretože ∆M 1 KM 2 je pravouhlý, potom podľa Pytagorovej vety d = M 1 M 2 = = .

2) Bod K sa zhoduje s bodom M 2, ale je odlišný od bodu M 1 (obr. 1.5). V tomto prípade y2 = y1

a d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Bod K sa zhoduje s bodom M 1, ale je odlišný od bodu M 2. V tomto prípade x 2 = x 1 a d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - r 1 ô \u003d = .

4) Bod M 2 sa zhoduje s bodom M 1. Potom x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 a

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Rozdelenie segmentu v tomto smere.

Nech je na rovine daná ľubovoľná úsečka M 1 M 2 a nech M je ľubovoľný jej bod

segment iný ako bod M 2 (obr. 1.6). Číslo l definované rovnosťou l = , sa volá postoj, v ktorom bod M rozdeľuje úsečku M 1 M 2.

Veta 1.2. Ak bod M (x; y) rozdeľuje segment M 1 M 2 vo vzťahu k l, potom sú jeho súradnice určené vzorcami

x = , y = , (4)

kde (x 1; y 1) sú súradnice bodu M 1, (x 2; y 2) sú súradnice bodu M 2.

Dôkaz. Dokážme prvý zo vzorcov (4). Druhý vzorec je dokázaný podobne. Možné sú dva prípady.

x = x 1 = = = .

2) Priamka M 1 M 2 nie je kolmá na os Ox (obr. 1.6). Zhodíme kolmice z bodov M 1 , M, M 2 na os Ox a označme ich priesečníky s osou Ox, respektíve P 1 , P, P 2 . Podľa vety o proporcionálnych segmentoch =l.

Pretože P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô a čísla (x - x 1) a (x 2 - x) majú rovnaké znamienko (pre x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sú záporné).

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Dôsledok 1.2.1. Ak M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) sú dva ľubovoľné body a bod M (x; y) je stredom úsečky M 1 M 2, potom

x = , y = (5)

Dôkaz. Keďže M 1 M = M 2 M, potom l = 1 a pomocou vzorcov (4) získame vzorce (5).

Oblasť trojuholníka.

Veta 1.3. Pre všetky body A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3), ktoré neležia na tom istom

priamka, obsah S trojuholníka ABC je vyjadrený vzorcom

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dôkaz. Oblasť ∆ ABC znázornená na obr. 1.7 vypočítame nasledovne

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Vypočítajte plochu lichobežníka:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Teraz máme

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) (y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pre iné miesto ∆ ABC je vzorec (6) dokázaný podobne, ale možno ho získať so znamienkom „-“. Preto do vzorca (6) uveďte znamienko modulu.

Prednáška 2

Rovnica priamky na rovine: rovnica priamky s hlavným koeficientom, všeobecná rovnica priamky, rovnica priamky v segmentoch, rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. Uhol medzi priamkami, podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamok na rovine.

2.1. Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém a nejaká priamka L.

Definícia 2.1. Nazýva sa rovnica tvaru F(x;y) = 0 týkajúca sa premenných x a y priamková rovnica L(v danom súradnicovom systéme), ak tejto rovnici vyhovujú súradnice ľubovoľného bodu ležiaceho na priamke L, a nie súradnice žiadneho bodu, ktorý na tejto priamke neleží.

Príklady rovníc priamok v rovine.

1) Uvažujme priamku rovnobežnú s osou Oy pravouhlého súradnicového systému (obr. 2.1). Označme písmenom A priesečník tejto priamky s osou Ox, (a; o) ─ jej or-

dinats. Rovnica x = a je rovnica danej priamky. Táto rovnica je skutočne splnená súradnicami ľubovoľného bodu M(a; y) tejto priamky a nie súradnicami žiadneho bodu, ktorý na priamke neleží. Ak a = 0, potom sa čiara zhoduje s osou Oy, ktorá má rovnicu x = 0.

2) Rovnica x - y \u003d 0 definuje množinu bodov v rovine, ktoré tvoria osy súradnicových uhlov I a III.

3) Rovnica x 2 - y 2 \u003d 0 je rovnica dvoch osi súradnicových uhlov.

4) Rovnica x 2 + y 2 = 0 definuje jediný bod O(0;0) v rovine.

5) Rovnica x 2 + y 2 \u003d 25 je rovnica kruhu s polomerom 5 so stredom v počiatku.

V tomto článku zvážime spôsoby, ako určiť vzdialenosť od bodu k bodu teoreticky a na príklade konkrétnych úloh. Začnime niekoľkými definíciami.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Vzdialenosť medzi bodmi- toto je dĺžka segmentu, ktorý ich spája, v existujúcej mierke. Je potrebné nastaviť mierku, aby ste mali jednotku dĺžky na meranie. Preto sa v podstate problém zisťovania vzdialenosti medzi bodmi rieši pomocou ich súradníc na súradnicovej čiare, v súradnicovej rovine alebo v trojrozmernom priestore.

Počiatočné údaje: súradnicová priamka O x a na nej ležiaci ľubovoľný bod A. Každému bodu priamky je vlastné jedno reálne číslo: nech je to isté číslo pre bod A xA, je to súradnica bodu A.

Vo všeobecnosti môžeme povedať, že k odhadu dĺžky určitého segmentu dochádza v porovnaní s segmentom braným ako jednotka dĺžky v danej mierke.

Ak bod A zodpovedá celému číslu reálnemu číslu, pričom sa postupne z bodu O do bodu pozdĺž priamky vyčleňujú segmenty O A – jednotky dĺžky, dĺžku segmentu O A môžeme určiť podľa celkového počtu čakajúcich segmentov jednotiek.

Napríklad bod A zodpovedá číslu 3 - aby ste sa k nemu dostali z bodu O, bude potrebné vyčleniť tri jednotkové segmenty. Ak má bod A súradnicu -4, jednotlivé segmenty sa vykreslia podobným spôsobom, ale v inom negatívnom smere. V prvom prípade je teda vzdialenosť O A 3; v druhom prípade O A \u003d 4.

Ak má bod A racionálne číslo ako súradnicu, tak z počiatku (bod O) vyčleníme celé číslo jednotkových segmentov a potom jeho nevyhnutnú časť. Ale geometricky nie je vždy možné vykonať meranie. Napríklad sa zdá ťažké odložiť súradnicový priamy zlomok 4 111 .

Vyššie uvedeným spôsobom je úplne nemožné odložiť iracionálne číslo na priamke. Napríklad, keď súradnica bodu A je 11 . V tomto prípade je možné prejsť na abstrakciu: ak je daná súradnica bodu A väčšia ako nula, potom O A \u003d x A (číslo sa berie ako vzdialenosť); ak je súradnica menšia ako nula, potom O A = - x A . Vo všeobecnosti tieto tvrdenia platia pre akékoľvek reálne číslo x A .

Zhrnutie: vzdialenosť od začiatku k bodu, ktorá zodpovedá skutočnému číslu na súradnicovej čiare, sa rovná:

• 0, ak je bod rovnaký ako počiatok;

• x A ak x A > 0;

• - x A, ak x A< 0 .

V tomto prípade je zrejmé, že dĺžka samotného segmentu nemôže byť záporná, preto pomocou znamienka modulu zapíšeme vzdialenosť od bodu O do bodu A so súradnicou x A: O A = x A

Správne tvrdenie by bolo: vzdialenosť od jedného bodu k druhému sa bude rovnať modulu rozdielu súradníc. Tie. pre body A a B ležiace na rovnakej súradnicovej čiare v ľubovoľnom mieste a majúce súradnice x A A x B: A B = x B - x A.

Počiatočné údaje: body A a B ležiace v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme O x y s danými súradnicami: A (x A , y A) a B (x B , y B) .

Nakreslime kolmice na súradnicové osi O x a O y cez body A a B a získajme body premietania ako výsledok: A x , A y , B x , B y . Na základe polohy bodov A a B sú možné ďalšie možnosti:

Ak sa body A a B zhodujú, potom je vzdialenosť medzi nimi nulová;

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os O x (os x), potom sa body a zhodujú a | A B | = | A y B y | . Pretože vzdialenosť medzi bodmi sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, potom A y B y = y B - y A , a teda A B = A y B y = y B - y A .

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os y (os y) - analogicky s predchádzajúcim odsekom: A B = A x B x = x B - x A

Ak body A a B neležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí, zistíme vzdialenosť medzi nimi odvodením výpočtového vzorca:

Vidíme, že trojuholník A B C je konštrukciou pravouhlý. V tomto prípade AC = A x B x a B C = A y By. Pomocou Pytagorovej vety zostavíme rovnosť: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a potom ju transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Zo získaného výsledku urobme záver: vzdialenosť z bodu A do bodu B v rovine je určená výpočtom pomocou vzorca pomocou súradníc týchto bodov

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec tiež potvrdzuje skôr vytvorené tvrdenia pre prípady zhody bodov alebo situácie, keď body ležia na priamkach kolmých na osi. Takže pre prípad zhody bodov A a B bude platiť rovnosť: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pre situáciu, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pre prípad, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Východiskové údaje: pravouhlý súradnicový systém O x y z s ľubovoľnými bodmi ležiacimi na ňom s danými súradnicami A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) . Je potrebné určiť vzdialenosť medzi týmito bodmi.

Zoberme si všeobecný prípad, keď body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Nakreslite body A a B roviny kolmé na súradnicové osi a získajte zodpovedajúce projekčné body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka výsledného boxu. Podľa konštrukcie merania tohto boxu: A x B x , A y B y a A z B z

Z priebehu geometrie je známe, že druhá mocnina uhlopriečky rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho rozmerov. Na základe tohto tvrdenia získame rovnosť: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základe vyššie získaných záverov píšeme nasledovné:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformujme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finálny vzorec na určenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore bude vyzerať takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí aj pre prípady, keď:

Bodky sa zhodujú;

Ležia na rovnakej súradnicovej osi alebo na priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí.

Príklady riešenia úloh na zistenie vzdialenosti medzi bodmi

Príklad 1

Počiatočné údaje: je uvedená súradnicová čiara a body na nej ležiace s danými súradnicami A (1 - 2) a B (11 + 2). Je potrebné nájsť vzdialenosť od referenčného bodu O k bodu A a medzi bodmi A a B.

Riešenie

1. Vzdialenosť od referenčného bodu k bodu sa rovná modulu súradnice tohto bodu, respektíve O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Vzdialenosť medzi bodmi A a B je definovaná ako modul rozdielu medzi súradnicami týchto bodov: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpoveď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Príklad 2

Počiatočné údaje: daný pravouhlý súradnicový systém a dva body na ňom ležiace A (1, - 1) a B (λ + 1, 3) ​​. λ je nejaké reálne číslo. Je potrebné nájsť všetky hodnoty tohto čísla, pre ktoré bude vzdialenosť A B rovná 5.

Riešenie

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi bodmi A a B, musíte použiť vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Nahrádzanie skutočné hodnoty súradnice, dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A tiež použijeme existujúcu podmienku, že A B = 5 a potom bude platiť rovnosť:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpoveď: A B \u003d 5, ak λ \u003d ± 3.

Príklad 3

Počiatočné údaje: sú uvedené trojrozmerný priestor v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z a v ňom ležiace body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosadením reálnych hodnôt dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpoveď: | A B | = 9

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter