Bilješka. Ovo je dio lekcije sa zadacima iz geometrije (dio geometrija tijela, zadaci o piramidi). Ako trebate riješiti problem iz geometrije, koji nije ovdje - napišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt () u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√".. pravilni tetraedar je pravilna trokutasta piramida u kojoj su sva lica jednakostranični trokuti.

Za pravilan tetraedar svi kutovi diedra na bridovima i svi kutovi triedra na vrhovima su jednaki

Tetraedar ima 4 lica, 4 vrha i 6 bridova.

Osnovne formule za pravilan tetraedar dane su u tablici.

Gdje:
S - Površina pravilnog tetraedra
V - volumen
h - visina spuštena na bazu
r - polumjer kružnice upisane u tetraedar
R - polumjer opisane kružnice
a - duljina rebra

Praktični primjeri

Zadatak.
Odredite površinu trokutaste piramide sa svakim rubom jednakim √3

Riješenje.
Budući da su svi bridovi trokutaste piramide jednaki, ona je točna. Površina pravilne trokutaste piramide je S = a 2 √3.
Zatim
S = 3√3

Odgovor: 3√3

Zadatak.
Svi bridovi pravilne trokutaste piramide su 4 cm.Nađi volumen piramide

Riješenje.
Kako je u pravilnoj trokutastoj piramidi visina piramide projicirana u središte baze, koja je ujedno i središte opisane kružnice, tada

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Tako se visina piramide OM može pronaći iz pravokutnog trokuta AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Volumen piramide nalazi se po formuli V = 1/3 Sh
U ovom slučaju, područje baze nalazimo formulom S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odgovor: 16√2/3cm

U ovoj lekciji ćemo pogledati tetraedar i njegove elemente (brid tetraedra, ploha, plohe, vrhovi). I riješit ćemo nekoliko problema za konstruiranje presjeka u tetraedru koristeći opću metodu za konstruiranje presjeka.

Tema: Paralelnost pravaca i ravnina

Lekcija: Tetraedar. Problemi konstruiranja presjeka u tetraedru

Kako izgraditi tetraedar? Uzmimo proizvoljni trokut ABC. Proizvoljna točka D ne leži u ravnini ovog trokuta. Dobivamo 4 trokuta. Ploha koju čine ta 4 trokuta naziva se tetraedar (slika 1.). Unutarnje točke omeđene ovom plohom također su dio tetraedra.

Riža. 1. Tetraedar ABCD

Elementi tetraedra
A,B, C, D - vrhovi tetraedra.
AB, AC, OGLAS, PRIJE KRISTA, BD, CD - bridovi tetraedra.
ABC, ABD, bdc, ADC - lica tetraedra.

Komentar: možete uzeti avion ABC iza baza tetraedra, a onda točka D je vrh tetraedra. Svaki brid tetraedra je sjecište dviju ravnina. Na primjer, rebro AB je presjek ravnina ABD I ABC. Svaki vrh tetraedra je sjecište tri ravnine. Vertex A leži u ravninama ABC, ABD, ADS. Točka A je sjecište tri označene ravnine. Ova činjenica je napisana na sljedeći način: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicija tetraedra

Tako, tetraedar je ploha koju čine četiri trokuta.

Brid tetraedra- linija presjeka dviju ravnina tetraedra.

Napravite 4 jednaka trokuta od 6 šibica. Nije moguće riješiti problem u avionu. A u svemiru je to lako učiniti. Uzmimo tetraedar. 6 šibica su njegovi rubovi, četiri lica tetraedra i bit će četiri jednaka trokuta. Problem riješen.

Dan tetraedar ABCD. Točka M pripada rubu tetraedra AB, točka N pripada rubu tetraedra UD i točka R pripada rubu DS(Sl. 2.). Konstruirajte presjek tetraedra ravninom MNP.

Riža. 2. Crtež za zadatak 2 - Konstruirati presjek tetraedra ravninom

Riješenje:
Razmotrite lice tetraedra DSunce. U ovom rubu točke N I P lica pripadaju DSunce, a time i tetraedar. Ali po uvjetu točke N, P pripadaju reznoj ravnini. Sredstva, NP je linija presjeka dviju ravnina: ravnine lica DSunce i rezna ravnina. Pretpostavimo da su linije NP I Sunce nisu paralelni. Leže u istoj ravnini DSunce. Pronađite točku sjecišta linija NP I Sunce. Označimo to E(Slika 3.).

Riža. 3. Crtež za zadatak 2. Nalaženje točke E

Točka E pripada presječnoj ravnini MNP, budući da leži na liniji NP, i ravna linija NP leži u cijelosti u ravnini presjeka MNP.

Također točka E leži u ravnini ABC jer leži na liniji Sunce izvan aviona ABC.

Shvaćamo to JESTI- linija presjeka ravnina ABC I MNP, jer bodovi E I M leže istovremeno u dvije ravnine - ABC I MNP. Spoji točke M I E, i nastavite niz JESTI do sjecišta s linijom AC. točka sjecišta linija JESTI I AC označiti Q.

Tako i u ovom slučaju NPQM- željeni odjeljak.

Riža. 4. Crtež za zadatak 2. Rješenje zadatka 2

Razmotrimo sada slučaj kada NP paralelno PRIJE KRISTA. Ako je ravno NP paralelan s nekom linijom, na primjer, linijom Sunce izvan aviona ABC, zatim ravna linija NP paralelno s cijelom ravninom ABC.

Željena presječna ravnina prolazi kroz ravnu liniju NP, paralelno s ravninom ABC, i siječe ravninu po pravoj liniji MQ. Dakle, linija presjeka MQ paralelno s ravnom linijom NP. Dobivamo NPQM- željeni odjeljak.

Točka M leži na boku ADU tetraedar ABCD. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom koja prolazi točkom M paralelno s bazom ABC.

Riža. 5. Crtež za zadatak 3. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom

Riješenje:
rezna ravnina φ paralelno s ravninom ABC po stanju, onda ovaj avion φ paralelno s ravnim linijama AB, AC, Sunce.
U avionu ABD kroz točku M povucimo ravnu liniju PQ paralelno AB(slika 5). Ravno PQ leži u ravnini ABD. Slično u ravnini ACD kroz točku R povucimo ravnu liniju PR paralelno AC. dobio bod R. Dvije linije koje se sijeku PQ I PR avion PQR paralelne su s dvije prave koje se sijeku AB I AC avion ABC, dakle avioni ABC I PQR su paralelni. PQR- željeni odjeljak. Problem riješen.

Dan tetraedar ABCD. Točka M- unutarnja točka, točka lica tetraedra ABD. N- unutarnja točka segmenta DS(Slika 6.). Konstruirajte točku sjecišta pravca NM i avion ABC.

Riža. 6. Crtež za zadatak 4

Riješenje:
Za rješavanje konstruiramo pomoćnu ravninu DMN. Neka linija DM siječe pravac AB u točki DO(Sl. 7.). Zatim, SCD je presjek ravnine DMN i tetraedar. U avionu DMN laži i ravno NM, i rezultirajuća linija SC. Pa ako NM ne paralelno SC, onda se u nekoj točki sijeku R. Točka R i bit će željena točka sjecišta linije NM i avion ABC.

Riža. 7. Crtež za zadatak 4. Rješenje zadatka 4

Dan tetraedar ABCD. M- unutarnja točka lica ABD. R- unutarnja točka lica ABC. N- unutarnja točka ruba DS(Sl. 8.). Konstruirajte presjek tetraedra ravninom koja prolazi kroz točke M, N I R.

Riža. 8. Crtež za zadatak 5. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom

Riješenje:
Razmotrimo prvi slučaj, kada linija MN nije paralelna s ravninom ABC. U prethodnom zadatku pronašli smo točku sjecišta pravca MN i avion ABC. Ovo je poanta DO, dobiva se pomoću pomoćne ravnine DMN, tj. radimo DM i dobiti bod F. Mi trošimo CF a na raskrižju MN dobiti bod DO.

Riža. 9. Crtež za zadatak 5. Nalaženje točke K

Povucimo ravnu liniju KR. Ravno KR leži i u ravnini presjeka i u ravnini ABC. Dobivanje bodova R 1 I R 2. Povezivanje R 1 I M a u nastavku dobivamo bod M 1. Povezivanje točke R 2 I N. Kao rezultat toga dobivamo željeni presjek R 1 R 2 NM 1. Problem u prvom slučaju je riješen.
Razmotrimo drugi slučaj, kada linija MN paralelno s ravninom ABC. Avion MNP prolazi kroz ravnu liniju MN paralelno s ravninom ABC i prelazi ravninu ABC po nekoj liniji R 1 R 2, zatim ravna linija R 1 R 2 paralelno s ovom linijom MN(Slika 10.).

Riža. 10. Crtež za zadatak 5. Željeni presjek

Sada povucimo crtu R 1 M i dobiti bod M 1.R 1 R 2 NM 1- željeni odjeljak.

Dakle, razmotrili smo tetraedar, riješili neke tipične zadatke na tetraedru. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati kutiju.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ilustr. Geometrija. Razred 10-11: udžbenik za učenike općih obrazovnih ustanova (osnovna i profilna razina)

2. Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr. Geometrija. Razred 10-11: Udžbenik za općeobrazovne ustanove

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M. : Bustard, 008. - 233 str. :bolest. Geometrija. Razred 10: Udžbenik za opće obrazovne ustanove s produbljenim i profilnim studijem matematike

Dodatni web resursi

2. Kako konstruirati presjek tetraedra. Matematika ().

3. Festival pedagoških ideja ().

Uraditi domaće zadatke na temu "Tetraedar", kako pronaći brid tetraedra, lica tetraedra, vrhove i plohu tetraedra.

1. Geometrija. Razred 10-11: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova (osnovne i profilne razine) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr. Zadaci 18, 19, 20 str.50

2. Točka E srednje rebro MA tetraedar IAWS. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom koja prolazi kroz točke B, C I E.

3. U tetraedru MAVS točka M pripada plohi AMB, točka P plohi BMC, a točka K bridu AC. Konstruirajte presjek tetraedra ravninom koja prolazi kroz točke M, R, K.

4. Koje se figure mogu dobiti kao rezultat presjeka tetraedra ravninom?

Tetraedar na grčkom znači "tetraedar". Ova geometrijska figura ima četiri lica, četiri vrha i šest bridova. Rubovi su trokuti. Zapravo, tetraedar je prvi spomen poliedara pojavio se mnogo prije postojanja Platona.

Danas ćemo govoriti o elementima i svojstvima tetraedra, a također ćemo naučiti formule za pronalaženje površine, volumena i drugih parametara za te elemente.

Elementi tetraedra

Segment oslobođen od bilo kojeg vrha tetraedra i spušten na točku sjecišta medijana suprotnog lica naziva se medijan.

Visina poligona je normalni segment ispušten sa suprotnog vrha.

Bimedijan je segment koji povezuje središta rubova koji se križaju.

Svojstva tetraedra

1) Paralelne ravnine koje prolaze kroz dva kosa ruba tvore opisani paralelopiped.

2) Posebno svojstvo tetraedra je da se medijane i bimedijane figure sastaju u jednoj točki. Važno je da potonji dijeli medijane u omjeru 3: 1, a bimedijane - na pola.

3) Ravnina dijeli tetraedar na dva dijela jednaka volumena ako prolazi sredinom dva brida koja se križaju.

Vrste tetraedra

Raznolikost vrsta figure je prilično široka. Tetraedar može biti:

• ispravan, to jest, u osnovi je jednakostranični trokut;
• izoedral, u kojem su sva lica iste duljine;
• ortocentrični, kada visine imaju zajedničku sjecišnu točku;
• pravokutni, ako su ravni kutovi na vrhu normalni;
• razmjerno, sve su visine jednake;
• žičani okvir, ako postoji kugla koja dodiruje rubove;
• incentrični, odnosno segmenti spušteni od vrha do središta upisane kružnice suprotnog lica imaju zajedničku sjecišnu točku; ta se točka naziva težištem tetraedra.

Zadržimo se detaljno na pravilnom tetraedru, čija se svojstva praktički ne razlikuju.

Na temelju imena možete shvatiti da se tako zove jer su lica pravilni trokuti. Svi su bridovi ovog lika sukladni po duljini, a plohe su sukladne po površini. Pravilni tetraedar je jedan od pet sličnih poliedara.

Formule tetraedra

Visina tetraedra jednaka je umnošku korijena od 2/3 i duljine brida.

Volumen tetraedra nalazi se na isti način kao i volumen piramide: kvadratni korijen iz 2 podijeljen s 12 i pomnožen s duljinom kubnog ruba.

Preostale formule za izračunavanje površine i polumjera krugova prikazane su gore.

Tetraedar je najjednostavniji poligonalni lik. Sastoji se od četiri lica, od kojih je svako jednakostraničnog trokuta, a svaka stranica povezana s drugom samo jednim licem. Kada proučavate svojstva ove trodimenzionalne geometrijske figure, radi jasnoće, najbolje je napraviti model tetraedra od papira.

Kako zalijepiti papirni tetraedar?

Za izradu jednostavnog papirnatog tetraedra trebamo:

• sam papir (debeo, možete koristiti karton);
• kutomjer;
• vladar;
• škare;
• ljepilo;
• papirni tetraedar, shema.

Napredak

• ako je papir vrlo gust, tada mjesta nabora treba držati čvrstim predmetom, na primjer, rubom ravnala;
• da biste dobili raznobojni tetraedar, možete slikati lica ili skenirati na listovima papira u boji.

Kako napraviti tetraedar od papira bez lijepljenja?

Predstavljamo vam majstorsku klasu koja govori kako sastaviti 6 papirnatih tetraedara u jedan modul tehnikom origamija.

Mi ćemo trebati:

• 5 pari kvadratnih listova papira u raznim bojama;
• škare.

Napredak

1. Svaki list papira podijelimo na tri jednaka dijela, izrežemo ga i dobijemo trake, čiji je omjer 1 do 3. Kao rezultat, dobivamo 30 traka, od kojih ćemo dodati modul.
2. Položimo traku ispred sebe licem prema dolje, istežući je vodoravno. Presavijte na pola, otklopite i preklopite do sredine ruba.

3. Na krajnjem desnom rubu savijte kut tako da napravite strelicu, pomičući je 2-3 cm od ruba.

4. Slično, savijamo lijevi kut (fotografija kako napraviti tetraedar 3 od papira).

5. Savijamo gornji desni kut malog trokuta, koji je rezultat prethodne operacije. Tako će stranice presavijenog ruba biti pod istim kutom.

6. Proširite dobiveni nabor.
7. Razvijamo lijevi kut i, duž postojećih linija savijanja, omotamo kut prema unutra kao što je prikazano na fotografiji.

8. U desnom kutu savijte gornji rub prema dolje tako da se križa s naborom napravljenim tijekom operacije br. 3.

9. Vanjski rub je ponovno zamotan udesno, koristeći nabor napravljen kao rezultat operacije br. 3.
10. Prethodne radnje ponavljamo s drugog kraja trake, ali tako da mali nabori budu na paralelnim krajevima trake.

11. Dobivenu traku preklopimo na pola po dužini i ostavimo da se tiho spontano otvori. Točan kut otvaranja bit će jasan kasnije, tijekom završne montaže modela. Element je spreman, sada radimo još 29 na isti način.
12. Kariku okrenemo tako da se tijekom montaže vidi njezina vanjska strana. Spojimo dvije karike umetanjem jezika u džep koji čini mali unutarnji kut.

13. Spojene veze trebaju formirati kut od 60 ⁰, pod kojim će se spojiti druge veze (fotografija kako napraviti tetraedar 13 od papira).

14. Dodamo treću kariku drugoj, a drugu spojimo s prvom. Ispada kraj figure, na čijem su vrhu sve tri veze povezane.

15. Na isti način dodajte još tri veze. Prvi tetraedar je spreman.

16. Kutovi gotove figure možda neće biti potpuno isti, pa za točnije pristajanje ostavite otvorene pojedinačne kutove svih sljedećih tetraedra.

17. Tetraedre treba međusobno spojiti tako da ugao jednog prolazi kroz rupu u drugom.

18. Tri međusobno povezana tetraedra.

19. Četiri međusobno povezana tetraedra.

20. Modul od pet tetraedara je spreman.

Ako ste se nosili s tetraedrom, možete nastaviti i napraviti

TEKST OBJAŠNJENJE LEKCIJE:

Dobar dan Nastavljamo proučavati temu: "Paralelizam linija i ravnina."

Mislim da je već jasno da ćemo danas govoriti o poliedrima – plohama geometrijskih tijela sastavljenih od poligona.

Naime, tetraedar.

Proučavat ćemo poliedre prema planu:

1. definicija tetraedra

2. elementi tetraedra

3. razvoj tetraedra

4. slika na ravnini

1. izgraditi trokut ABC

2. točka D koja ne leži u ravnini tog trokuta

3. spojite odsječke točku D s vrhovima trokuta ABC. Dobivamo trokute DAB, DBC i DCA.

Definicija: Ploha sastavljena od četiri trokuta ABC, DAB, DBC i DCA naziva se tetraedar.

Oznaka: DABC.

Elementi tetraedra

Trokuti koji čine tetraedar nazivaju se plohama, stranice su im bridovi, a vrhovi su vrhovi tetraedra.

Koliko stranica, bridova i vrhova ima tetraedar?

Tetraedar ima četiri lica, šest rubova i četiri vrha.

Dva brida tetraedra koji nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotnim.

Na slici su rubovi AD i BC, BD i AC, CD i AB suprotni.

Ponekad se jedna od strana tetraedra izdvaja i naziva njegovom bazom, a ostale tri se nazivaju bočne strane.

Tetraedar se odvija.

Da biste napravili tetraedar od papira, trebat će vam sljedeće skeniranje,

mora se prenijeti na debeli papir, izrezati, saviti duž isprekidanih linija i zalijepiti.

Tetraedar je prikazan na ravnini

U obliku konveksnog ili nekonveksnog četverokuta s dijagonalama. Isprekidane linije predstavljaju nevidljive rubove.

Na prvoj slici AC je nevidljivi rub,

na drugom - EK, LK i KF.

Riješimo nekoliko tipičnih problema na tetraedru:

Pronađite područje razvoja pravilnog tetraedra s rubom od 5 cm.

Riješenje. Nacrtajmo mrežu tetraedra

(tetraedron se pojavljuje na ekranu)

Ovaj tetraedar sastoji se od četiri jednakostrana trokuta, stoga je područje razvoja pravilnog tetraedra jednako ukupnoj površini tetraedra ili površini četiri pravilna trokuta.

Tražimo površinu pravilnog trokuta pomoću formule:

Tada dobivamo površinu tetraedra jednaku:

Zamijenite u formuli duljinu ruba a \u003d 5 cm,

ispada

Odgovor: Površina pravilnog tetraedra

Konstruirajte presjek tetraedra ravninom koja prolazi kroz točke M, N i K.

a) Doista, spojimo točke M i N (pripadaju plohi ADC), točke M i K (pripadaju plohi ADB), točke N i K (plohi DBC). Odsječak tetraedra je trokut MKN.

b) Spojite točke M i K (pripadaju plohi ADB), točke K i N (pripadaju plohi DCB), zatim nastavite pravce MK i AB do sjecišta i stavite točku P. Pravac PN i točka T leže u istoj ravnini ABC i sada možemo konstruirati sjecište pravca MK sa svakom plohom. Rezultat je četverokut MKNT, što je traženi presjek.