U ovom članku ćemo govoriti o zbrajanje negativnih brojeva. Prvo ćemo dati pravilo zbrajanja negativnih brojeva i dokazati ga. Nakon toga ćemo analizirati tipične primjere zbrajanja negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Pravilo negativnog zbrajanja
Prije nego što damo formulaciju pravila za dodavanje negativnih brojeva, obratimo se materijalu članka pozitivni i negativni brojevi. Tamo smo spomenuli da se negativni brojevi mogu shvatiti kao dug, iu ovom slučaju određuju iznos tog duga. Prema tome, zbrajanje dva negativna broja je zbrajanje dva duga.
Ovaj zaključak omogućuje razumijevanje pravilo negativnog zbrajanja. Za zbrajanje dva negativna broja potrebno je:
- slagati svoje module;
- stavite znak minus ispred primljenog iznosa.
Zapišimo pravilo zbrajanja negativnih brojeva −a i −b u doslovnom obliku: (−a)+(−b)=−(a+b).
Jasno je da izraženo pravilo svodi zbrajanje negativnih brojeva na zbrajanje pozitivnih brojeva (modul negativnog broja je pozitivan broj). Također je jasno da je rezultat zbrajanja dvaju negativnih brojeva negativan broj, što dokazuje znak minus ispred zbroja modula.
Pravilo zbrajanja negativnih brojeva može se dokazati na temelju svojstva radnji s realnim brojevima(ili ista svojstva operacija s racionalnim ili cijelim brojevima). Za to je dovoljno pokazati da je razlika između lijevog i desnog dijela jednakosti (−a)+(−b)=−(a+b) jednaka nuli.
Budući da je oduzimanje broja isto što i dodavanje suprotnog broja (pogledajte pravilo za oduzimanje cijelih brojeva), tada (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Na temelju komutativnih i asocijativnih svojstava zbrajanja, imamo (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Kako je zbroj suprotnih brojeva jednak nuli, onda je (−a+a)+(−b+b)=0+0 , a 0+0=0 zbog svojstva zbrajanja broja nuli. Time je dokazana jednakost (−a)+(−b)=−(a+b) , a time i pravilo zbrajanja negativnih brojeva.
Ostaje samo naučiti kako primijeniti pravilo zbrajanja negativnih brojeva u praksi, što ćemo učiniti u sljedećem odlomku.
Primjeri zbrajanja negativnih brojeva
Analizirajmo primjeri zbrajanja negativnih brojeva. Počnimo s najjednostavnijim slučajem - zbrajanjem negativnih cijelih brojeva, zbrajanje će se izvršiti prema pravilu razmotrenom u prethodnom odlomku.
Primjer.
Zbrojite negativne brojeve -304 i -18007 .
Riješenje.
Slijedimo sve korake pravila zbrajanja negativnih brojeva.
Prvo pronalazimo module zbrojenih brojeva: i 
. Sada morate dodati rezultirajuće brojeve, ovdje je prikladno izvršiti zbrajanje stupaca: 
Sada stavljamo znak minus ispred rezultirajućeg broja, kao rezultat imamo −18 311 .
Zapišimo cijelo rješenje u skraćenom obliku: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Odgovor:
−18 311 .
Zbrajanje negativnih racionalnih brojeva, ovisno o samim brojevima, može se svesti ili na zbrajanje prirodnih brojeva, ili na zbrajanje običnih razlomaka, ili na zbrajanje decimalnih razlomaka.
Primjer.
Zbrojimo negativan broj i negativan broj −4,(12) .
Riješenje.
Prema pravilu zbrajanja negativnih brojeva prvo treba izračunati zbroj modula. Moduli zbrojenih negativnih brojeva su 2/5 odnosno 4,(12). Zbrajanje dobivenih brojeva može se svesti na zbrajanje običnih razlomaka. Da bismo to učinili, prevodimo periodični decimalni ulomak u obični ulomak:. Dakle, 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Sada izvršimo
Ovladavanje negativnim brojevima je izborna vještina ako želite upiši 5. razred fizikalno-matematičke škole. Međutim, to će uvelike pojednostaviti, što će dodatno utjecati na ukupni rezultat. ulazna olimpijada.
Pa krenimo.
Prvo morate shvatiti da postoje brojevi manji od nule, koji se nazivaju negativni: na primjer, jedan manji od ovoga 
, jedan više manje od 1, zatim , a zatim, itd. Svaki prirodni broj ima svog "negativnog brata", broj koji, zajedno s izvornim brojem, daje . 
Svi prirodni, "minus prirodni" brojevi i "0" zajedno čine skup cijelih brojeva.
Zbrajanje i oduzimanje
Ako zamislite brojevnu crtu, lako ćete svladati pravila zbrajanje i oduzimanje negativnih brojeva:
Najprije na retku pronađite broj kojem ili od kojeg ćete oduzeti/dodati. Dalje, ako trebate:
- Dodajte negativan broj, a zatim se trebate pomaknuti ulijevo
- Dodajte pozitivan broj - pomaknite udesno
- Oduzmi negativno - pomakni udesno
- Oduzmi pozitivno - pomakni ulijevo
Naravno, zadaci za za upis u 5. razred bit će moguće riješiti bez korištenja negativnih brojeva, ali to će poboljšati vašu razinu matematike općenito. S vremenom nećete crtati niti predstavljati brojevnu liniju, već ćete to raditi "na stroju", ali za to vrijedi vježbati: smislite bilo koju brojeva (negativnih ili pozitivnih) i pokušajte ih prvo zbrojiti, a zatim oduzeti. Ponavljajući ovu vježbu jednom dnevno, za jedan dan ćete osjetiti da ste u potpunosti naučili zbrajati i oduzimati bilo koje cijele brojeve.
Množenje i dijeljenje
Ovdje je situacija još jednostavnija: samo trebate zapamtiti kako se znakovi mijenjaju prilikom množenja ili dijeljenja:
Umjesto riječi "on" može biti i množenje i dijeljenje.Sa znakom ćemo odlučiti, a sam broj je rezultat odnosno množenja ili dijeljenja izvornih brojeva bez znakova.
Počnimo s jednostavnim primjerom. Odredimo čemu je jednak izraz 2-5. S točke +2 spustimo pet podjela, dva na nulu i tri ispod nule. Zaustavimo se na točki -3. To je 2-5=-3. Sada primijetite da 2-5 uopće nije jednako 5-2. Ako u slučaju zbrajanja brojeva njihov redoslijed nije bitan, onda je u slučaju oduzimanja sve drugačije. Redoslijed brojeva je važan.
Sada prijeđimo na negativno područje mjerila. Pretpostavimo da trebate dodati +5 na -2. (Od sada ćemo stavljati znakove "+" ispred pozitivnih brojeva i stavljati u zagrade i pozitivne i negativne brojeve kako ne bismo brkali znakove ispred brojeva sa znakovima zbrajanja i oduzimanja.) Sada se naš problem može napisati kao (-2)+ (+5). Da bismo to riješili, od točke -2 popeti ćemo se pet podeljaka i naći ćemo se na točki +3.
Ima li ovaj zadatak ikakvog praktičnog smisla? Naravno da jesu. Recimo da imate 2 dolara duga, a zaradili ste 5 dolara. Tako će vam nakon otplate duga ostati 3 dolara.
Također se možete pomaknuti prema dolje u negativnom području ljestvice. Pretpostavimo da trebate oduzeti 5 od -2, ili (-2)-(+5). Od točke -2 na ljestvici položimo pet podjela i nađemo se na točki -7. Koje je praktično značenje ovog zadatka? Pretpostavimo da ste imali 2 USD duga i morali ste posuditi još 5 USD. Sada je Vaš dug 7 USD.
Vidimo da se s negativnim brojevima može izvesti isto operacije zbrajanja i oduzimanja, kao i kod pozitivnih.
Istina, još nismo savladali sve operacije. Zbrajali smo samo negativne brojeve i oduzimali samo pozitivne od negativnih brojeva. Ali što učiniti ako negativnim brojevima trebate dodati negativne brojeve ili oduzeti negativne?
U praksi je to slično rješavanju dugova. Recimo da vam je naplaćeno 5 dolara duga, što znači isto kao da ste primili 5 dolara. S druge strane, ako te nekako natjeram da prihvatiš odgovornost za nečiji dug od 5 dolara, to je isto kao da ti oduzmem tih 5 dolara. Odnosno, oduzimanje -5 je isto što i dodavanje +5. A dodavanje -5 je isto što i oduzimanje +5.
To nam omogućuje da se riješimo operacije oduzimanja. Doista, "5-2" je isto što i (+5)-(+2) ili prema našem pravilu (+5)+(-2). U oba slučaja dobivamo isti rezultat. S točke +5 na ljestvici treba se spustiti dva podjeljka niže i dobijemo +3. U slučaju 5-2, to je očito, jer je oduzimanje kretanje prema dolje.
U slučaju (+5)+(-2) to je manje očito. Dodamo broj, što znači pomicanje na ljestvici, ali dodamo negativan broj, odnosno radimo suprotnu radnju, a ova dva faktora zajedno znače da se ne trebamo pomaknuti na ljestvici, već u suprotnom smjeru , to jest dolje.
Tako opet dobivamo odgovor +3.
Zašto je to stvarno potrebno oduzimanje zamijeniti zbrajanjem? Zašto se kretati gore "unatrag"? Nije li lakše samo se pomaknuti prema dolje? Razlog je što kod zbrajanja redoslijed članova nije bitan, dok je kod oduzimanja vrlo bitan.
Već smo ranije ustanovili da (+5)-(+2) uopće nije isto što i (+2)-(+5). U prvom slučaju odgovor je +3, au drugom -3. S druge strane, (-2)+(+5) i (+5)+(-2) rezultiraju +3. Dakle, prelaskom na zbrajanje i napuštanjem operacija oduzimanja možemo izbjeći slučajne pogreške povezane s preuređivanjem članova.
Slično, možete djelovati kada oduzimate negativ. (+5)-(-2) je isto što i (+5)+(+2). U oba slučaja dobivamo odgovor +7. Počinjemo od točke +5 i krećemo se "dolje u suprotnom smjeru", odnosno prema gore. Na isti način postupili bismo i pri rješavanju izraza (+5) + (+2).
Zamjenu oduzimanja zbrajanjem aktivno koriste učenici kada počnu proučavati algebru, pa se ova operacija naziva "algebarsko zbrajanje". Zapravo, to nije sasvim pošteno, jer je takva operacija očito aritmetička, a ne algebarska.
Ovo znanje je nepromijenjeno za sve, pa čak i ako se školujete u Austriji preko www.salls.ru, iako se studiranje u inozemstvu više cijeni, tamo i dalje možete primijeniti ova pravila.
Ciljevi i zadaci lekcije:
- Opći sat matematike u 6. razredu „Zbrajanje i oduzimanje pozitivni i negativni brojevi
- Sažeti i sistematizirati znanje učenika o ovoj temi.
- Razvijati predmetne i općeobrazovne vještine i sposobnosti, sposobnost korištenja stečenog znanja za postizanje cilja; uspostaviti obrasce raznolikosti veza za postizanje razine sustavnog znanja.
- Obrazovanje vještina samokontrole i međusobne kontrole; razvijati želje i potrebe za generaliziranjem dobivenih činjenica; razvijati neovisnost, interes za predmet.
Tijekom nastave
I. Organizacijski trenutak
Dečki, putujemo po zemlji "Racionalnih brojeva", gdje žive pozitivni, negativni brojevi i nula. Putujući doznajemo puno zanimljivih stvari o njima, upoznajemo se s pravilima i zakonima po kojima žive. To znači da se moramo pridržavati ovih pravila i poštivati njihove zakone.
A s kojim pravilima i zakonima smo se upoznali? (pravila zbrajanja i oduzimanja racionalnih brojeva, zakoni zbrajanja)
I tako je tema naše lekcije "Zbrajanje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva."(Učenici zapisuju broj i temu sata u svoje bilježnice)
II. Provjera domaće zadaće
III. Ažuriranje znanja.
Započnimo sat usmenim radom. Pred sobom imate niz brojeva.
8,6; 21,8; -0,5; 6,6; 4,7; 7; -18; 0.
Odgovori na pitanja:
Koji je najveći broj u nizu?
Koji broj ima najveći modul?
Koji je najmanji broj u nizu?
Koji broj ima najmanji modul?
Kako usporediti dva pozitivna broja?
Kako usporediti dva negativna broja?
Kako usporediti brojeve s različitim predznacima?
Koji su suprotni brojevi u nizu?
Navedite brojeve u rastućem redoslijedu.
IV. pronaći grešku
a) -47 + 25+ (-18) = 30
c) - 7,2+(- 3,5) + 10,6= - 0,1
d) - 7,2+ (- 2,9) + 7,2= 2,4
V.Zadatak "Pogodi riječ"
U svakoj sam skupini podijelila zadatke u kojima su riječi bile šifrirane.
Nakon što završite sve zadatke, pogodit ćete ključne riječi (cvijeće, poklon, djevojke)
| 1 red | Odgovor | Pismo |
|
| Odgovor | Pismo |
||
| 54-(-74) | |||
| 2,5-3,6 | |||
| 23,7+23,7 | |||
| 11,2+10,3 | |||
| 3 reda | Odgovor | Pismo |
|
| 2,03-7,99 | |||
| 67,34-45,08 | |||
| 10,02 | 112,42 | 50,94 | 50,4 |
Vja. Fizmunutka
Bravo, dobro ste obavili posao, mislim da je vrijeme da se opustite, koncentrirate, oslobodite umora, a jednostavne vježbe pomoći će vam da vratite duševni mir
FIZMINUTA (Ako je tvrdnja točna, pljesnite rukama, ako nije, odmahnite glavom s jedne na drugu stranu):
Kada zbrajate dva negativna broja, moduli članova moraju se oduzeti -
Zbrojevi dvaju negativnih brojeva uvijek su negativni +
Zbrajanje dva suprotna broja uvijek rezultira 0 +
Kada zbrajate brojeve s različitim predznacima, morate dodati njihove module -
Zbroj dvaju negativnih brojeva uvijek je manji od svakog člana +
Kada zbrajate brojeve s različitim predznacima, trebate oduzeti manji modul od većeg modula +
VII.Rješavanje zadataka iz udžbenika.
br. 1096 (a,e,i)
VIII. Domaća zadaća
1. razina "3" - №1132
Razina 2 - "4" - br. 1139, 1146
jaX. Samostalni rad na opcijama.
Razina 1, "3"
| 1 opcija | opcija 2 |
2. razina, "4"
| 1 opcija | opcija 2 |
| 1 - (- 3 )+(- 2 ) |
3. razina, "5"
| 1 opcija | 2 opcija |
| 4,2-3,25-(-0,6) | 2,4-1,75-(-2,6) |
Međusobna provjera na tabli, mijenjanje susjeda na stolu
X. Sažimanje lekcije. Odraz
Prisjetimo se početka naše lekcije, dečki.
Koji su ciljevi lekcije?
Mislite li da smo postigli svoje ciljeve?
Dečki, sada procijenite svoj rad u lekciji. Ispred vas je kartica sa slikom planine. Ako mislite da ste dobro obavili sat, sve je u redu za vas.U redu, onda nacrtaj sebe na vrhu planine. Ako vam nešto nije jasno nacrtajte sebe ispod, pa sami odlučite lijevo ili desno.
Pošaljite mi svoje crteže uz karticu s ocjenama, konačnu ocjenu rada saznat ćete na sljedećem satu.
U ovom ćemo članku analizirati kako oduzimanje negativnih brojeva od proizvoljnih brojeva. Ovdje ćemo dati pravilo za oduzimanje negativnih brojeva, te razmotriti primjere primjene tog pravila.
Navigacija po stranici.
Pravilo za oduzimanje negativnih brojeva
Događa se sljedeće pravilo za oduzimanje negativnih brojeva: da biste od broja a oduzeli negativan broj b, potrebno je smanjenom a dodati broj −b, suprotno oduzetom b.
U doslovnom obliku, pravilo za oduzimanje negativnog broja b od proizvoljnog broja a izgleda ovako: a−b=a+(−b) .
Dokažimo valjanost ovog pravila za oduzimanje brojeva.
Prvo se prisjetimo značenja oduzimanja brojeva a i b. Naći razliku brojeva a i b znači pronaći broj c čiji je zbroj s brojem b jednak a (vidi vezu između oduzimanja i zbrajanja). To jest, ako se nađe broj c takav da je c+b=a , tada je razlika a−b jednaka c .
Dakle, da bi se dokazalo najavljeno pravilo oduzimanja, dovoljno je pokazati da će dodavanjem broja b zbroju a+(−b) dobiti broj a . Da bismo to pokazali, pogledajmo svojstva operacija s realnim brojevima. Na temelju asocijativnog svojstva zbrajanja, jednakost (a+(−b))+b=a+((−b)+b) je istinita. Budući da je zbroj suprotnih brojeva jednak nuli, tada je a+((−b)+b)=a+0 , a zbroj a+0 jednak je a, jer dodavanje nule ne mijenja broj. Time je dokazana jednakost a−b=a+(−b), što znači da je dokazana valjanost gornjeg pravila za oduzimanje negativnih brojeva.
To smo pravilo dokazali za realne brojeve a i b . Međutim, ovo pravilo vrijedi i za bilo koje racionalne brojeve a i b , kao i za bilo koje cijele brojeve a i b , budući da i operacije s racionalnim i cijelim brojevima imaju svojstva koja smo koristili u dokazu. Imajte na umu da je uz pomoć raščlanjenog pravila moguće oduzeti negativan broj i od pozitivnog broja i od negativnog broja, kao i od nule.
Ostaje razmotriti kako se izvodi oduzimanje negativnih brojeva korištenjem raščlanjenog pravila.
Primjeri oduzimanja negativnih brojeva
Smatrati primjeri oduzimanja negativnih brojeva. Započnimo s rješavanjem jednostavnog primjera kako bismo razumjeli sve zamršenosti procesa bez mučenja s izračunima.
Primjer.
Oduzmite negativnih -13 od negativnih -7.
Riješenje.
Broj nasuprot oduzetom −7 je broj 7 . Tada po pravilu oduzimanja negativnih brojeva imamo (−13)−(−7)=(−13)+7 . Preostaje još izvesti zbrajanje brojeva s različitim predznacima, dobivamo (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Evo cijelog rješenja: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Odgovor:
(−13)−(−7)=−6 .
Oduzimanje razlomačkih negativnih brojeva može se izvršiti prelaskom na odgovarajuće obične razlomke, mješovite brojeve ili decimale. Ovdje vrijedi krenuti od brojeva s kojima je prikladnije raditi.
Primjer.
Od broja 3,4 oduzmite negativan broj.
Riješenje.
Primjenom pravila za oduzimanje negativnih brojeva imamo 
. Sada zamijenite decimalu 3.4 mješovitim brojem: 
(vidi prijevod decimalnih razlomaka u obične razlomke), dobivamo 
. Ostaje još izvršiti zbrajanje mješovitih brojeva: .
Time je završeno oduzimanje negativnog broja od broja 3.4. Zapišimo ukratko rješenje: .
Odgovor:
.
Primjer.
Oduzmite negativni broj −0,(326) od nule.
Riješenje.
Po pravilu oduzimanja negativnih brojeva imamo 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Posljednji prijelaz je valjan zbog svojstva dodavanja broja nuli.