संख्यात्मक अनुक्रम

अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एनसंख्या का मिलान हुआ एक्सएन, तो वे कहते हैं कि दिया गया है संख्या क्रम एक्स 1, एक्स 2, …, एक्सएन, ….

संख्या अनुक्रम संकेतन {एक्स एन } .

उसी समय, संख्याएँ एक्स 1, एक्स 2, …, एक्सएन, ... कहा जाता है अनुक्रम के सदस्य .

संख्या अनुक्रम निर्दिष्ट करने की बुनियादी विधियाँ

1. सबसे सुविधाजनक तरीकों में से एक क्रम निर्धारित करना है इसके सामान्य पद का सूत्र : एक्सएन = एफ(एन), एन Î एन.

उदाहरण के लिए, एक्सएन = एन 2 + 2एन+3 Þ एक्स 1 = 6, एक्स 2 = 11, एक्स 3 = 18, एक्स 4 = 27, …

2. सीधा स्थानांतरण प्रथम सदस्यों की सीमित संख्या.

उदाहरण के लिए, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif' width='87' ऊंचाई='46 src='>

3. पुनरावृत्ति संबंध , यानी, पूर्ववर्ती एक या अधिक पदों के माध्यम से एन-शब्द को व्यक्त करने वाला एक सूत्र।

उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि के पाससंख्याओं का अनुक्रम कहा जाता है

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…, जो बार-बार निर्धारित होता है:

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 1, एक्सएन+1 = xn + xn–1 (एन = 2, 3, 4, …).

अनुक्रमों पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

1. योग (अंतर)) अनुक्रम ( एएन) और ( अरब सीएन } = { एक ± अरब}.

2. कामक्रम ( एएन) और ( अरब) को अनुक्रम कहा जाता है ( सीएन } = { एक× अरब}.

3. निजीक्रम ( एएन) और ( अरब }, अरब¹ 0, जिसे अनुक्रम कहा जाता है ( सीएन } = { एक×/ अरब}.

संख्या अनुक्रमों के गुण

1. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है ऊपर से घिरा हुआ एम एनअसमानता सत्य है एक्सएन £ एम.

2. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है नीचे बंधा हुआ, यदि ऐसी कोई वास्तविक संख्या मौजूद है एम, जो सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए है एनअसमानता सत्य है एक्सएन ³ एम.

3. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है की बढ़ती एनअसमानता सत्य है एक्सएन < एक्सएन+1.

4. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है घटते, यदि सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए एनअसमानता सत्य है एक्सएन > एक्सएन+1.

5. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है गैर बढ़ती, यदि सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए एनअसमानता सत्य है एक्सएन ³ एक्सएन+1.

6. अनुक्रम ( एक्सएन) कहा जाता है गैर घटते, यदि सभी प्राकृतिक मूल्यों के लिए एनअसमानता सत्य है एक्सएन £ एक्सएन+1.

बढ़ते, घटते, न बढ़ने वाले, न घटते क्रम कहलाते हैं नीरसबढ़ते और घटते क्रम - सख्ती से नीरस.

एकरसता के लिए अनुक्रम की जांच करते समय उपयोग की जाने वाली बुनियादी तकनीकें

1. परिभाषा का उपयोग करना.

क) अध्ययनाधीन अनुक्रम के लिए ( एक्सएन) फर्क पड़ गया है

एक्सएन – एक्सएन+1, और फिर हमें पता चलता है कि क्या यह अंतर किसी के लिए स्थिर चिह्न बरकरार रखता है एन Î एन, और यदि हां, तो वास्तव में कौन सा। इसके आधार पर अनुक्रम की एकरसता (गैर-एकरसता) के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है।

बी) स्थिर चिह्न के अनुक्रम के लिए ( एक्सएन) कोई रिश्ता बना सकता है एक्सएन+1/एक्सएनऔर इसकी तुलना एक से करें.

अगर ये रवैया सबके सामने हो एनएक से अधिक है, तो कड़ाई से सकारात्मक अनुक्रम के लिए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह बढ़ रहा है, और सख्ती से नकारात्मक अनुक्रम के लिए, तदनुसार, यह घट रहा है।

अगर ये रवैया सबके सामने हो एनएक से कम नहीं है, तो कड़ाई से सकारात्मक अनुक्रम के लिए यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह घट नहीं रहा है, और सख्ती से नकारात्मक अनुक्रम के लिए, तदनुसार, यह गैर-बढ़ रहा है।

यदि कुछ संख्याओं पर यह संबंध है एनएक से अधिक और अन्य संख्याओं के लिए एनएक से कम, यह अनुक्रम की गैर-मोनोटोनिक प्रकृति को इंगित करता है।

2. वास्तविक तर्क फ़ंक्शन पर जाएं।

मान लीजिए कि एकरसता के लिए किसी संख्या अनुक्रम की जांच करना आवश्यक है

एएन = एफ(एन), एन Î एन.

आइए हम वास्तविक तर्क फ़ंक्शन का परिचय दें एक्स:

एफ(एक्स) = ए(एक्स), एक्स³ 1,

और एकरसता के लिए इसकी जांच करें।

यदि फ़ंक्शन विचाराधीन अंतराल पर भिन्न है, तो हम इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं और चिह्न की जांच करते हैं।

यदि व्युत्पन्न धनात्मक है, तो फलन बढ़ जाता है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट जाता है।

तर्क के प्राकृतिक मूल्यों पर लौटते हुए, हम इन परिणामों को मूल अनुक्रम तक विस्तारित करते हैं।

संख्या एबुलाया अनुक्रम की सीमा एक्सएन, यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिए ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या है एन, जो सभी नंबरों के लिए है एन > एनअसमानता संतुष्ट | xn – ए | < e.

राशि की गणना एन अनुक्रम के प्रथम पद

1. अनुक्रम के सामान्य पद को दो या दो से अधिक भावों के अंतर के रूप में इस प्रकार प्रस्तुत करना कि प्रतिस्थापित करने पर अधिकांश मध्यवर्ती पद कम हो जाएँ और योग काफी सरल हो जाए।

2. अनुक्रमों के प्रथम पदों का योग ज्ञात करने के लिए मौजूदा सूत्रों को जांचने और सिद्ध करने के लिए गणितीय आगमन की विधि का उपयोग किया जा सकता है।

3. अनुक्रमों से जुड़ी कुछ समस्याओं को अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति से जुड़ी समस्याओं तक कम किया जा सकता है।

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा एक्सएन }, एनÎ एन, को एक अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, किसी दिए गए अनुक्रम के लिए समान संख्या स्थिरांक में जोड़ा जाता है डी, अर्थात। एएन+1 = एक + डी, कहाँ डी– प्रगति अंतर, एएन– सामान्य सदस्य ( एनवां सदस्य)	परिभाषा संख्या क्रम ( एक्सएन }, एनÎ एन, को एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर है, किसी दिए गए अनुक्रम के लिए समान संख्या स्थिरांक से गुणा किया जाता है क्यू, अर्थात। अरब+1 = अरब × क्यू, बी 1¹0, क्यू ¹ 0, कहाँ क्यू– प्रगति का भाजक, अरब– सामान्य सदस्य ( एनवां सदस्य)
एक लय अगर डी> 0, तो प्रगति बढ़ रही है। अगर डी < 0, то прогрессия убывающая.	एक लय अगर बी 1 > 0, क्यू> 1 या बी 1 < 0, 0 < क्यू < 1, то прогрессия возрастающая. अगर बी 1 < 0, क्यू> 1 या बी 1 > 0, 0 < क्यू < 1, то прогрессия убывающая. अगर क्यू < 0, то прогрессия немонотонная
सामान्य पद सूत्र एएन = ए 1 + डी×( एन – 1) यदि 1 £ क £ एन– 1, फिर एएन = एके + डी×( एन – क)	सामान्य पद सूत्र अरब = बी 1× क्यू.एन – 1 यदि 1 £ क £ एन– 1, फिर अरब = बीके × क्यू.एन –क
विशेषता संपत्ति यदि 1 £ क £ एन– 1, फिर	विशेषता संपत्ति यदि 1 £ क £ एन– 1, फिर
संपत्ति एक + पूर्वाह्न = एके + अल, अगर एन + एम = क + एल	संपत्ति अरब × बी.एम. = बीके × नीला, अगर एन + एम = क + एल
प्रथम का योग एन सदस्यों एस.एन. = ए 1 + ए 2 + … +एक या	जोड़ एस.एन. = बी 1 + बी 2 + … + अरब अगर क्यूनंबर 1, फिर . अगर क्यू= 1, फिर एस.एन. = बी 1× एन. यदि | क्यू| < 1 и एन® ¥, फिर
प्रगति पर संचालन 1. यदि ( एएन) और ( अरब) अंकगणितीय प्रगति, फिर क्रम { एक ± अरब) भी एक अंकगणितीय प्रगति है। 2. यदि एक अंकगणितीय प्रगति के सभी पद ( एएन) उसी वास्तविक संख्या से गुणा करें क, तो परिणामी अनुक्रम भी एक अंकगणितीय प्रगति होगी, जिसका अंतर तदनुसार बदल जाएगा कएक बार	प्रगति पर संचालन अगर ( एएन) और ( अरब) हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू 1 और क्यू 2 तदनुसार, फिर क्रम: 1) {एक× अरब क्यू 1× क्यू 2; 2) {एक/अरब) हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति भी है क्यू 1/क्यू 2; 3) {|एक|) हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति भी है | क्यू 1|

प्रगति समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी तरीके

1. सबसे आम समाधान विधियों में से एक अंकगणितीय प्रगति पर समस्याएं समस्या की स्थिति में शामिल प्रगति की सभी शर्तों को प्रगति के अंतर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है डी ए डीऔर ए 1.

2. व्यापक एवं मानक समाधान विधि मानी गयी ज्यामितीय प्रगति की समस्याएं , जब समस्या कथन में प्रदर्शित ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों को प्रगति के हर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है क्यूऔर इसके सदस्यों में से कोई एक, प्रायः पहला बी 1. समस्या की स्थितियों के आधार पर, अज्ञात के साथ एक प्रणाली संकलित और हल की जाती है क्यूऔर बी 1.

समस्या समाधान के उदाहरण

समस्या 1 .

अनुक्रम दिया गया एक्सएन = 4एन(एन 2 + 1) – (6एन 2+1). राशि ज्ञात कीजिये एस.एन.पहला एनइस क्रम के सदस्य.

समाधान. आइए अनुक्रम के सामान्य सदस्य के लिए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

एक्सएन = 4एन(एन 2 + 1) – (6एन 2 + 1) = 4एन 3 + 4एन – 6एन 2 – 1 = एन 4 – एन 4 + 4एन 3 – 6एन 2 + 4एन – 1 =

= एन 4 – (एन 4 – 4एन 3 + 6एन 2 – 4एन+ 1) = एन 4 – (एन – 1)4.

एस.एन. = एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (एन 4 – (एन – 1)4) = एन 4.

समस्या 2 .

अनुक्रम दिया गया एएन = 3एन+ 2..gif" चौड़ाई = "429" ऊंचाई = "45">।

यहाँ से, ए(3एन + 5) +बी(3एन + 2) = 1,

(3ए + 3बी)एन + (5ए + 2बी) = 1.

एन.

एन 1 | 3ए + 3बी = 0,

n0 | 5 ए + 2बी = 1.

ए = 1/3, में = –1/3.

इस प्रकार, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width=”197″ ऊंचाई=”45”>.gif” width=”113” ऊंचाई=”45”>.gif “ चौड़ाई='39' ऊंचाई='41 स्रोत=> एएन. क्या संख्या 1980 इस अनुक्रम का सदस्य है? यदि हां तो इसकी संख्या ज्ञात करें।

समाधान. आइए पहले वाले को लिखें एनइस क्रम के सदस्य:

ए 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width=”63” ऊंचाई=”41”>.gif” width=”108” ऊंचाई=”41”> .gif" चौड़ाई = "93" ऊँचाई = "41">।

आइए इन समानताओं को गुणा करें:

ए 1ए 2ए 3ए 4ए 5…एक-2एक-1एक = ए 1ए 2ए 3ए 4ए 5…एक-2एक-1.

यहाँ से, एक = एन(एन + 1).

फिर, 1980= एन(एन+1) Û एन 2 + एन– 1980 = 0 Û एन = –45 < 0, एन= 44 ओ एन.

उत्तर:हाँ, एन = 44.

समस्या 4 .

राशि ज्ञात कीजिये एस = ए 1 + ए 2 + ए 3 + … + एएननंबर ए 1, ए 2, ए 3, …,एएन, जो किसी भी प्राकृतिक के लिए एनसमानता को संतुष्ट करें एस.एन. = ए 1 + 2ए 2 + 3ए 3 + … + एनएएन = .

समाधान. एस 1 = ए 1 = 2/3.

के लिए एन > 1, नेन = एस.एन. – एस.एन.–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width=”216″ ऊंचाई=”48 src=”>.

यहाँ से, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width=”244” ऊंचाई=”44”>,

ए(एन + 1)(एन + 2) + बटालियन(एन + 2) + सीएन(एन + 1) = 1

(ए + बी + सी)एन 2 + (3ए + 2बी + सी)एन + 2ए = 1,

आइए हम गुणांकों को संबंधित घातों पर बराबर करें एन.

एन 2 | ए + बी + सी= 0,

एन 1 | 3ए + 2बी+ सी = 0,

n0 | 2 ए = 1.

परिणामी प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं ए = 1/2, में= -1, सी = 1/2.

तो, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width=”139” ऊंचाई=”45 src=”>.gif” width=”73” ऊंचाई=”41”>,

कहाँ , , एन > 1,

एस¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width='233' ऊंचाई='45 src='>=.

एस¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width=”257” ऊंचाई=”45 src=”>=.

एस = ए 1 + ए 2 + ए 3 + … + एएन = ए 1 +=

=ए 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width=”72″ ऊंचाई=”41 src=”>= =

समस्या 5 .

अनुक्रम का सबसे बड़ा पद ज्ञात कीजिए .

समाधान. चलो रखो अरब = –एन 2 + 8एन – 7 = 9 – (एन – 4)2, .

कुछ लोग "प्रगति" शब्द को उच्च गणित की शाखाओं से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में सावधानी से लेते हैं। इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी मीटर (जहां वे अभी भी मौजूद हैं) का काम है। और कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण करने के बाद, अंकगणित अनुक्रम के सार को समझना (और गणित में "सार को समझने" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) इतना मुश्किल नहीं है।

गणितीय संख्या क्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को आमतौर पर संख्याओं की एक श्रृंखला कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

a 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा पद है;

और 7 अनुक्रम का सातवाँ सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालाँकि, संख्याओं और संख्याओं का कोई भी मनमाना सेट हमें दिलचस्पी नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें nवें पद का मान उसके क्रमिक संख्या से एक संबंध द्वारा संबंधित होता है जिसे स्पष्ट रूप से गणितीय रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवीं संख्या का संख्यात्मक मान n का कुछ फलन है।

a संख्यात्मक अनुक्रम के एक सदस्य का मान है;

n इसका क्रमांक है;

f(n) एक फ़ंक्शन है, जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमिक संख्या तर्क है।

परिभाषा

अंकगणितीय प्रगति को आम तौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद वाला पद उसी संख्या से पिछले एक से अधिक (कम) होता है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें पद का सूत्र इस प्रकार है:

ए एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

a n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर सकारात्मक (d>0) है, तो विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक से बड़ा होगा और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती रहेगी।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में यह देखना आसान है कि संख्या अनुक्रम को "बढ़ना" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य मान

कभी-कभी अंकगणितीय प्रगति के किसी मनमाने पद a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। यह अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके किया जा सकता है, जो पहले से वांछित तक शुरू होता है। हालाँकि, यह पथ हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पाँच-हज़ारवें या आठ-मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में बहुत समय लगेगा. हालाँकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति का अध्ययन किया जा सकता है। nवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी पद का मान प्रगति के पहले पद के योग के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, जिसमें प्रगति के अंतर को वांछित पद की संख्या से गुणा करके घटाया जाता है। एक।

प्रगति को बढ़ाने और घटाने के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए पद के मान की गणना का एक उदाहरण

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

शर्त: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला पद 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: आपको 214 पदों का मान ज्ञात करना होगा

समाधान: किसी दिए गए पद का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एन) = ए1 + डी(एन-1)

समस्या कथन से डेटा को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

ए(214) = ए1 + डी(एन-1)

ए(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वाँ पद 258.6 के बराबर है।

गणना की इस पद्धति के लाभ स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान में 2 से अधिक पंक्तियाँ नहीं लगती हैं।

पदों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी दी गई अंकगणितीय श्रृंखला में, उसके कुछ खंडों के मानों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक पद के मानों की गणना करने और फिर उन्हें जोड़ने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है यदि उन पदों की संख्या जिनका योग ज्ञात करना आवश्यक है, कम है। अन्य मामलों में, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग पहले और nवें पदों के योग के बराबर होता है, जिसे पद n की संख्या से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में nवें पद का मान लेख के पिछले पैराग्राफ की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है, तो हमें मिलता है:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ एक समस्या का समाधान करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है.

समस्या के लिए श्रृंखला के पदों का योग 56 से 101 तक निर्धारित करने की आवश्यकता है।

समाधान। आइए प्रगति की मात्रा निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 शब्दों के मानों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

जाहिर है, 56वें ​​से 101वें तक की प्रगति के पदों का योग ज्ञात करने के लिए, एस 101 से एस 55 को घटाना आवश्यक है।

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

इस प्रकार, इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

एस 101 - एस 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, आइए पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटें - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए इस उदाहरण पर विचार करें.

टैक्सी में चढ़ने (जिसमें 3 किमी की यात्रा शामिल है) की लागत 50 रूबल है। प्रत्येक अगले किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल/किमी की दर से किया जाता है। यात्रा की दूरी 30 किमी है. यात्रा की लागत की गणना करें.

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग की लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 किमी.

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या - यात्रा किए गए किलोमीटर की संख्या (पहले तीन को घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है.

इस समस्या में पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर d = 22 r.

जिस संख्या में हमारी रुचि है वह अंकगणितीय प्रगति के (27+1)वें पद का मान है - 27वें किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग 27.999... = 28 किमी है।

ए 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से आकाशीय पिंड से तारे की दूरी पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित के अन्य व्यावहारिक क्षेत्रों में विभिन्न संख्या श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या क्रम ज्यामितीय है

ज्यामितीय अनुक्रमअंकगणित की तुलना में परिवर्तन की दर बड़ी है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र और चिकित्सा में, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति को दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया ज्यामितीय प्रगति में विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का Nवां पद पिछले एक से इस मायने में भिन्न है कि इसे कुछ स्थिर संख्या - हर से गुणा किया जाता है, उदाहरण के लिए, पहला पद 1 है, हर संगत रूप से 2 के बराबर है, फिर:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति की वर्तमान अवधि का मूल्य;

b n+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का सूत्र;

q ज्यामितीय प्रगति (एक स्थिर संख्या) का हर है।

यदि अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय प्रगति थोड़ी अलग तस्वीर पेश करती है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में होता है, ज्यामितीय प्रगति में एक मनमाने पद के मान का एक सूत्र होता है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी nवाँ पद पहले पद और प्रगति के हर के गुणनफल के बराबर होता है, जो कि n की घात से एक कम हो जाता है:

उदाहरण। हमारे पास एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद 3 के बराबर है और प्रगति का हर 1.5 के बराबर है। आइए प्रगति का 5वाँ पद ज्ञात करें

बी 5 = बी 1 ∙ क्यू (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

दी गई संख्या के पदों के योग की गणना भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके की जाती है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग प्रगति के nवें पद और उसके हर के गुणनफल और प्रगति के पहले पद के बीच के अंतर के बराबर होता है, जिसे एक से कम किए गए हर से विभाजित किया जाता है:

यदि b n को ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है, तो विचाराधीन संख्या श्रृंखला के पहले n पदों के योग का मान इस प्रकार होगा:

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति 1 के बराबर पहले पद से शुरू होती है। हर को 3 पर सेट किया गया है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

एस8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

इससे पहले कि हम निर्णय लेना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएंआइए विचार करें कि संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि अंकगणितीय प्रगति संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

संख्या अनुक्रम एक संख्या समूह है, जिसके प्रत्येक तत्व की अपनी क्रम संख्या होती है. इस समुच्चय के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रम संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "एनवां" तत्व, यानी। संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

किसी अनुक्रम तत्व के मान और उसकी अनुक्रम संख्या के बीच एक संबंध होता है। इसलिए, हम अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में हम ऐसा कह सकते हैं अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से सेट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम बस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले, गणना करें कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। तालिका में समय रिकॉर्ड करने पर, उसे सात तत्वों से युक्त एक अनुक्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति सप्ताह के दिन की संख्या को इंगित करती है, दूसरी - मिनटों में समय को। हम देखते हैं कि, सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15 मिनट।

2 . अनुक्रम को nवें पद सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस स्थिति में किसी अनुक्रम तत्व के मान की उसकी संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो

किसी दिए गए नंबर के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम वही कार्य करते हैं। हम तर्क के मान को फ़ंक्शन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , वह

मुझे एक बार फिर से ध्यान देना चाहिए कि एक अनुक्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, तर्क केवल एक प्राकृतिक संख्या हो सकता है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्यों पर अनुक्रम सदस्य संख्या n के मान की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए अनुक्रम सदस्य का मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल उसकी संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, क्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम सदस्यों के मान पा सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार, अनुक्रम के nवें पद का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने की इस विधि को कहा जाता है आवर्ती, लैटिन शब्द से पुनरावृत्ति- वापस आओ।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। अंकगणितीय प्रगति किसी संख्या अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

नंबर पर कॉल किया जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है।

यदि शीर्षक='d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; 8; ग्यारह;...

यदि, तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले एक से कम है, और प्रगति है घटते.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि, तो प्रगति के सभी पद एक ही संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए ड्राइंग को देखें.

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:

.

आइए समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, तब से

, और उस समय पर ही

, वह

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद, title='k>l) से शुरू होता है">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें पद का सूत्र.

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति की शर्तें निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करती हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र.

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पद और अंतर को जानकर आप उसका कोई भी पद ज्ञात कर सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n पदों वाली एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। माना कि इस प्रगति के n पदों का योग बराबर है।

आइए प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए जोड़ियों में जोड़ें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़ों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n पदों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

चलो गौर करते हैं अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न पदों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 को देखते हुए; -27;...

ए) प्रगति के 31 पद खोजें।

बी) निर्धारित करें कि संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है या नहीं।

ए)हमने देखा कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया है संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, संख्या अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला पद , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा पद , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का nवाँ सदस्य , और एक प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो निकटवर्ती सदस्यों से एक और एक +1 अनुक्रम सदस्य एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम को परिभाषित करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है nवाँ पद सूत्र , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम के एक सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सूत्र द्वारा सकारात्मक विषम संख्याओं का अनुक्रम दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तब संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात पद निम्नानुसार स्थापित किए जाते हैं:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम , यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत , यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हों।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्याओं का क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घटते , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . — बढ़ता क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . -घटता क्रम. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्वों की संख्या बढ़ने पर घटती नहीं है, या, इसके विपरीत, बढ़ती नहीं है, कहलाता है नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले पदों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-1 + ए एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c कुछ अंकगणितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

ए एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-के + ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के समान दूरी वाले सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए निम्नलिखित समानता है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के पद चरम पदों के आधे योग और पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होते हैं:

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले सदस्य के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - एक निश्चित संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो हम अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन वां पद सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बी एन-1 = बी 1 · क्यू.एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू.एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू.एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन सत्य है:

संख्याएँ a, b और c किसी ज्यामितीय प्रगति के क्रमिक पद हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) · (-3 · 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो वांछित कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला सदस्य भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू.एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्रश्न 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू.एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

किसी ज्यामितीय प्रगति के किसी भी पद का वर्ग, दूसरे से प्रारंभ करके, इस प्रगति के उससे समदूरस्थ पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस एन- एस के -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी एन = बी के ·	1 - क्यू.एन - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति में 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जिन्हें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में जोड़ा जाता है।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता के गुण :

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: विषम संख्याओं वाले इसके पदों का चिह्न इसके पहले पद के समान होता है, और सम संख्याओं वाले पदों का विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

पीएन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह अवसर के अनुकूल है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, क्रम बदल रहा है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिस तक प्रथम संख्याओं का योग बिना किसी सीमा के पहुंचता है एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ एक प्रगति के सदस्य एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

एस= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . =	बी 1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , वह

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू , वह

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄