ČÍSELNÉ SEKVENCIE

ARITMETICKÉ A GEOMETRICKÉ POSTUPY

Ak pre každé prirodzené číslo n zhodné číslo Xn, potom hovoria, že je to dané číselná postupnosť X 1, X 2, …, Xn, ….

Zápis číselnej postupnosti {X n } .

Zároveň aj čísla X 1, X 2, …, Xn, ... sa volajú členov postupnosti .

Základné metódy určenia číselných radov

1. Jedným z najpohodlnejších spôsobov je nastavenie postupnosti vzorec jeho bežného termínu : Xn = f(n), n Î N.

Napríklad, Xn = n 2 + 2n+ 3 Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Priamy prevod konečný počet prvých členov.

Napríklad https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Recidívny vzťah t.j. vzorec vyjadrujúci n-člen prostredníctvom predchádzajúceho jedného alebo viacerých pojmov.

Napríklad, neďaleko Fibonacciho nazývaná postupnosť čísel

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, ktorý sa určuje opakovane:

X 1 = 1, X 2 = 1, Xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Aritmetické operácie na postupnostiach

1. Súčet (rozdiel) sekvencie ( An) A ( mld cn } = { an ± mld}.

2. Práca sekvencie ( An) A ( mld) sa nazýva postupnosť ( cn } = { an× mld}.

3. Súkromné sekvencie ( An) A ( mld }, mld¹ 0, nazývaná sekvencia ( cn } = { an×/ mld}.

Vlastnosti číselných radov

1. Sekvencia ( Xn) sa nazýva ohraničené vyššie M n nerovnosť je pravdivá Xn £ M.

2. Sekvencia ( Xn) sa nazýva ohraničené nižšie, ak takéto reálne číslo existuje m, ktorý pre všetky prírodné hodnoty n nerovnosť je pravdivá Xn ³ m.

3. Sekvencia ( Xn) sa nazýva zvyšujúci sa n nerovnosť je pravdivá Xn < Xn+1.

4. Sekvencia ( Xn) sa nazýva klesajúci, ak pre všetky prírodné hodnoty n nerovnosť je pravdivá Xn > Xn+1.

5. Sekvencia ( Xn) sa nazýva nerastúce, ak pre všetky prírodné hodnoty n nerovnosť je pravdivá Xn ³ Xn+1.

6. Sekvencia ( Xn) sa nazýva neklesajúci, ak pre všetky prírodné hodnoty n nerovnosť je pravdivá Xn £ Xn+1.

Postupnosti sa nazývajú rastúce, klesajúce, nezvyšujúce sa, neklesajúce monotónna sekvencie, s rastúcim a klesajúcim - prísne monotónne.

Základné techniky používané pri skúmaní sekvencie na monotónnosť

1. Použitie definície.

a) Pre skúmanú sekvenciu ( Xn) je rozdiel

Xn – Xn+1 a potom zistíme, či si tento rozdiel zachováva konštantné znamienko pre ľubovoľný n Î N, a ak áno, ktorý presne. V závislosti od toho sa robí záver o monotónnosti (nemonotónnosti) sekvencie.

b) Pre postupnosti konštantného znamienka ( Xn) možno vytvoriť vzťah Xn+1/Xn a porovnať to s jedným.

Ak je tento postoj pred všetkými n je väčšia ako jedna, potom sa pre striktne kladnú postupnosť urobí záver, že sa zvyšuje, a pre striktne zápornú postupnosť podľa toho klesá.

Ak je tento postoj pred všetkými n nie je menšia ako jedna, potom sa pre striktne kladnú postupnosť urobí záver, že neklesá, a pre striktne zápornú postupnosť teda nerastie.

Ak je to vzťah pri niektorých číslach n väčšie ako jedna a pre iné čísla n menej ako jedna, to naznačuje nemonotónnu povahu sekvencie.

2. Prejdite na funkciu skutočných argumentov.

Nech je potrebné preskúmať číselnú postupnosť pre monotónnosť

An = f(n), n Î N.

Predstavme si skutočnú argumentačnú funkciu X:

f(X) = A(X), X³ 1,

a skúmať, či nie je monotónny.

Ak je funkcia diferencovateľná na uvažovanom intervale, nájdeme jej deriváciu a preskúmame znamienko.

Ak je derivácia kladná, funkcia sa zvyšuje.

Ak je derivácia záporná, funkcia klesá.

Ak sa vrátime k prirodzeným hodnotám argumentu, tieto výsledky rozšírime na pôvodnú postupnosť.

číslo A volal limit postupnosti Xn, ak pre ľubovoľne malé kladné číslo e existuje také prirodzené číslo N, čo je pre všetky čísla n > N nerovnosť uspokojená | xn – a | < e.

Výpočet sumy n prvé členy sekvencie

1. Prezentácia všeobecného člena postupnosti vo forme rozdielu dvoch alebo viacerých výrazov tak, že pri substitúcii sa väčšina medzičlenov zredukuje a súčet sa výrazne zjednoduší.

2. Na kontrolu a dokázanie existujúcich vzorcov na nájdenie súčtov prvých členov postupností možno použiť metódu matematickej indukcie.

3. Niektoré problémy so sekvenciami možno zredukovať na problémy zahŕňajúce aritmetické alebo geometrické postupnosti.

Aritmetické a geometrické postupnosti

Aritmetický postup	Geometrická progresia
Definícia Xn }, nÎ N, sa nazýva aritmetická postupnosť, ak sa každý z jej členov, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, pripočítanému k rovnakej číselnej konštante pre danú postupnosť d, t.j. An+1 = an + d, Kde d- progresívny rozdiel, An– spoločný člen ( nčlen)	Definícia Poradie čísel ( Xn }, nÎ N, sa nazýva geometrická postupnosť, ak každý z jej členov, počnúc druhým, je rovný predchádzajúcemu, vynásobený rovnakou číselnou konštantou pre danú postupnosť q, t.j. mld+1 = mld × q, b 1¹0, q ¹ 0, Kde q– menovateľ progresie, mld– spoločný člen ( nčlen)
Monotónne Ak d> 0, potom sa progresia zvyšuje. Ak d < 0, то прогрессия убывающая.	Monotónne Ak b 1 > 0, q> 1 alebo b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Ak b 1 < 0, q> 1 alebo b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Ak q < 0, то прогрессия немонотонная
Bežný termínový vzorec An = a 1 + d×( n – 1) Ak 1 £ k £ n– 1 teda An = ak + d×( n – k)	Bežný termínový vzorec mld = b 1× qn – 1 Ak 1 £ k £ n– 1 teda mld = bk × qn –k
Charakteristická vlastnosť Ak 1 £ k £ n– 1 teda	Charakteristická vlastnosť Ak 1 £ k £ n– 1 teda
Nehnuteľnosť an + ráno = ak + al, Ak n + m = k + l	Nehnuteľnosť mld × bm = bk × bl, Ak n + m = k + l
Súčet prvého n členov Sn = a 1 + a 2 + … + an alebo	Sum Sn = b 1 + b 2 + … + mld Ak qč. 1, potom . Ak q= 1 teda Sn = b 1× n. Ak | q| < 1 и n® ¥ teda
Operácie na postupnostiach 1. Ak ( An) A ( mld) aritmetické postupnosti, potom postupnosť { an ± mld) je tiež aritmetický postup. 2. Ak všetky členy aritmetického postupu ( An) vynásobte rovnakým reálnym číslom k, potom bude výsledná postupnosť tiež aritmetickou progresiou, ktorej rozdiel sa podľa toho zmení k raz	Operácie na postupnostiach Ak ( An) A ( mld) geometrické postupnosti s menovateľmi q 1 a q 2 podľa toho potom poradie: 1) {an× mld q 1× q 2; 2) {an/mld) je tiež geometrická postupnosť s menovateľom q 1/q 2; 3) {|an|) je tiež geometrická postupnosť s menovateľom | q 1|

Základné metódy riešenia progresívnych problémov

1. Jedna z najbežnejších metód riešenia problémy s aritmetickými postupmi je, že všetky termíny progresie zahrnuté v problémovom stave sú vyjadrené prostredníctvom rozdielu progresie d a d A A 1.

2. Rozšírená a považovaná za štandardnú metódu riešenia problémy s geometrickou progresiou , keď všetky členy geometrickej postupnosti vyskytujúce sa v probléme sú vyjadrené prostredníctvom menovateľa postupnosti q a ktorýkoľvek z jej členov, najčastejšie prvý b 1. Na základe podmienok úlohy sa zostaví a vyrieši systém s neznámymi q A b 1.

Príklady riešenia problémov

Problém 1 .

Uvedená postupnosť Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Nájdite sumu Sn najprv nčlenov tejto postupnosti.

Riešenie. Transformujme výraz pre všeobecný člen postupnosti:

Xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Problém 2 .

Uvedená postupnosť An = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Odtiaľ, A(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3A + 3B)n + (5A + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, IN = –1/3.

Teda https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> An. Je číslo 1980 členom tejto postupnosti? Ak áno, určite jeho počet.

Riešenie. Vypíšeme tie prvé nčlenovia tejto postupnosti:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Vynásobme tieto rovnosti:

A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1an = A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1.

Odtiaľ, an = n(n + 1).

Potom, 1980 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 О N.

odpoveď:Áno, n = 44.

Problém 4 .

Nájdite sumu S = A 1 + A 2 + A 3 + … + Ančísla A 1, A 2, A 3, …,An, čo pre každého prirodzené n uspokojiť rovnosť Sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + nAn = .

Riešenie. S 1 = a 1 = 2/3.

Pre n > 1, nan = Sn – Sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Odtiaľ, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(A + B + C)n 2 + (3A + 2B + C)n + 2A = 1,

Dajme rovnítko medzi koeficienty pri príslušných mocninách n.

n 2 | A + B + C= 0,

n 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Vyriešením výsledného systému získame A = 1/2, IN= -1, C = 1/2.

Takže, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Kde , , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problém 5 .

Nájdite najväčší člen postupnosti .

Riešenie. Položme mld = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým termínom z oblastí vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a je hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „rastúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen sekvencie je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 r.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.

Iný typ číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia charakterizované veľkými mierami zmien v porovnaní s aritmetickými. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, uvažujme, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálny prípad postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je množina čísel, ktorej každý prvok má svoje poradové číslo. Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Sériové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- „n-tý“ prvok postupnosti, t.j. prvok „stojaci v rade“ pri čísle n.

Existuje vzťah medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, môžeme to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné nastaviť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol pre osobný manažment času a na začiatok spočíta, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zaznamenaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky označuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a to znamená v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého členu.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo vo forme vzorca.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca n-tého člena.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkcie:

Ak napr. , To

Dovoľte mi ešte raz poznamenať, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné zadať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty čísla sekvenčného člena n od hodnôt predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že zakaždým, aby sme našli hodnotu n-tého člena postupnosti, sa vrátime k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob určenia sekvencie sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo rovný nule.

Ak title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; 8; jedenásť;...

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je klesajúci.

Napríklad 2; -1; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy progresie rovnajú rovnakému číslu a progresia je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľme obe strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, To

, a preto

Každý člen aritmetického postupu počnúc title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetickej progresie spĺňajú nasledujúce vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a. Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktorýkoľvek z jeho výrazov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov, ktoré sú rovnako vzdialené od extrémnych, navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Zoraďme podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Pridajme do párov:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Uvažujme riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je do tohto postupu zahrnuté číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen našej postupnosti.

Všeobecne

V našom prípade , Preto

Ak pre každé prirodzené číslo n zodpovedať skutočnému číslu a n , potom hovoria, že je to dané číselná postupnosť :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Takže postupnosť čísel je funkciou prirodzeného argumentu.

číslo a 1 volal prvý člen sekvencie , číslo a 2 — druhý člen sekvencie , číslo a 3 — tretí a tak ďalej. číslo a n volal n-tý člen postupnosti a prirodzené číslo n — jeho číslo .

Od dvoch susedných členov a n A a n +1 člen sekvencie a n +1 volal následné (smerom k a n ), A a n — predchádzajúce (smerom k a n +1 ).

Ak chcete definovať postupnosť, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena postupnosti s ľubovoľným číslom.

Často sa postupnosť špecifikuje pomocou vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen postupnosti podľa jeho čísla.

Napríklad,

postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom

a n= 2n- 1,

a postupnosť striedania 1 A -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.

Napríklad,

Ak a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti stanoví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvencie môžu byť Konečný A nekonečné .

Sekvencia sa nazýva konečný , ak má konečný počet členov. Sekvencia sa nazýva nekonečné , ak má nekonečne veľa členov.

Napríklad,

postupnosť dvojciferných prirodzených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Konečný.

Poradie prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečné. ◄

Sekvencia sa nazýva zvyšujúci sa , ak je každý z jeho členov, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.

Sekvencia sa nazýva klesajúci , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.

Napríklad,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — zvyšovanie poradia;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — klesajúca postupnosť. ◄

Postupnosť, ktorej prvky pri zvyšovaní čísla neklesajú, alebo naopak nerastú, sa nazýva monotónna postupnosť .

Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.

Aritmetický postup

Aritmetický postup je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

a n +1 = a n + d,

Kde d - určitý počet.

Rozdiel medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi členmi danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.

Na definovanie aritmetickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a rozdiel.

Napríklad,

Ak a 1 = 3, d = 4 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n

a n = 1 + (n- 1)d.

Napríklad,

nájdite tridsiaty člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potom samozrejme

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.

Napríklad,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

teda

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Poznač si to n Termín aritmetického postupu možno nájsť nielen prostredníctvom a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k

a n = a k + (n- k)d.

Napríklad,

Pre a 5 dá sa zapísať

a 5 = 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potom samozrejme

a n=	a n-k + a n+k
	2

ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná polovici súčtu rovnako vzdialených členov tejto aritmetickej postupnosti.

Okrem toho pre každý aritmetický postup platí nasledujúca rovnosť:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Napríklad,

v aritmetickej progresii

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, pretože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprv n členy aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov a počtu členov:

Odtiaľto najmä vyplýva, že ak potrebujete zrátať termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:

Napríklad,

v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n AS n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty troch z týchto veličín, zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Aritmetický postup je monotónna postupnosť. kde:

• Ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
• Ak d < 0 , potom sa znižuje;
• Ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.

Geometrická progresia

Geometrická progresia je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu vynásobenému rovnakým číslom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

b n +1 = b n · q,

Kde q ≠ 0 - určitý počet.

Pomer nasledujúceho člena danej geometrickej postupnosti k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

číslo q volal menovateľ geometrickej progresie.

Na definovanie geometrickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a menovateľ.

Napríklad,

Ak b 1 = 1, q = -3 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a menovateľ q jej n Termín možno nájsť pomocou vzorca:

b n = b 1 · qn -1 .

Napríklad,

nájdite siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potom samozrejme

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:

čísla a, b a c sú po sebe nasledujúce členy určitej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.

Napríklad,

Dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

teda

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

čo dokazuje želané tvrdenie. ◄

Poznač si to n Termín geometrickej progresie možno nájsť nielen prostredníctvom b 1 , ale aj ktorýkoľvek predchádzajúci člen b k , na čo stačí použiť vzorec

b n = b k · qn - k.

Napríklad,

Pre b 5 dá sa zapísať

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potom samozrejme

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu členov tejto postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú postupnosť platí rovnosť:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Napríklad,

v geometrickom postupe

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , pretože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprv n členy geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:

A kedy q = 1 - podľa vzorca

S n= nb 1

Všimnite si, že ak potrebujete zhrnúť podmienky

b k, b k +1 , . . . , b n,

potom sa použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Napríklad,

v geometrickom postupe 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ak je daná geometrická postupnosť, potom množstvá b 1 , b n, q, n A S n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :

• progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A q> 1;

b 1 < 0 A 0 < q< 1;

• Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A 0 < q< 1;

b 1 < 0 A q> 1.

Ak q< 0 , potom sa geometrická postupnosť strieda: jej členy s nepárnymi číslami majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a členy s párnymi číslami majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.

Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať pomocou vzorca:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Napríklad,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečne klesajúca geometrická progresia

Nekonečne klesajúca geometrická progresia nazývaná nekonečná geometrická progresia, ktorej menovateľný modul je menší 1 , teda

|q| < 1 .

Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Hodí sa k príležitosti

1 < q< 0 .

S takýmto menovateľom sa postupnosť strieda. Napríklad,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému sa súčet prvých bez obmedzenia približuje n členov progresie s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjadrené vzorcom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Napríklad,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami

Aritmetické a geometrické postupnosti spolu úzko súvisia. Pozrime sa len na dva príklady.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Napríklad,

1, 3, 5, . . . - aritmetický postup s rozdielom 2 A

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrická postupnosť s menovateľom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrická postupnosť s menovateľom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetický postup s rozdielom log aq .

Napríklad,

2, 12, 72, . . . - geometrická postupnosť s menovateľom 6 A

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetický postup s rozdielom lg 6 . ◄