Gödelova veta o neúplnosti, ktorú dokázal v roku 1931, keď mal 25 rokov, zničila základné pravidlá modernej vedy, rovnako ako to urobila Einsteinova všeobecná teória relativity pred pätnástimi rokmi. Gödel ukázal, že elementárna aritmetika je neúplná a taká aj zostane.
Gödelov život a obavy
Kurt Friedrich Gödel (28. apríla 1906 – 14. januára 1978) bol rakúsky logik, matematik a filozof matematiky, známy najmä svojou formuláciou a dôkazom vety o neúplnosti. Kurt Godel sa narodil v rakúsko-uhorskom (moravskom) meste Brunn (dnes Brno, Česká republika) v nemeckej rodine. Kurtov otec Rudolf Gödel bol manažérom textilnej továrne. Kurt Gödel
V 18 rokoch vstúpil Gödel na Viedenskú univerzitu. Tam študoval dva roky fyziku, no potom prešiel na matematiku.
Gödel je zvyčajne považovaný za Rakúšana, ale počas svojho života niekoľkokrát zmenil občianstvo. Narodil sa ako poddaný Rakúsko-Uhorska a ako 12-ročný po zániku Rakúsko-Uhorska prijal občianstvo Československa. Vo veku 23 rokov sa Gödel stal rakúskym občianstvom a v 32 rokoch, po zajatí Rakúska Hitlerom, sa stal automaticky občanom Nemeckej ríše. V roku 1940 odišiel do USA a kvôli nebezpečenstvu cesty cez Atlantik počas vojny prešiel cez ZSSR a Japonsko. V USA sa zamestnal v známom Institute for Advanced Study (Princeton University).
Od 30. rokov 20. storočia sa u Gödela prejavovali príznaky duševných problémov, ktoré boli zvyčajne skryté, prejavovali sa častou úzkosťou a nadmerným podozrievaním, no v obdobiach exacerbácie nadobudli zreteľnejšie, obsedantné formy. Takže v roku 1936 sa u neho vyvinul paranoidný strach z otravy. Oporou v ťažkých chvíľach bola Godlovi manželka Adele, ktorá ho kŕmila lyžičkou a svojho manžela doslova opustila. Z dochovaných záznamov knižničných rešerší z tohto obdobia je známe, že študoval literatúru o duševných poruchách, farmakológii a toxikológii (najmä opakovaný odkaz na technickú príručku otravy oxidom uhoľnatým), čo len skomplikovalo jeho následnú liečbu.
Neskôr, v Princetone (1941), napriek zlepšeniu jeho celkového stavu, Gödel stále pociťoval nepohodlie z prítomnosti jednotiek, ktoré boli podľa jeho názoru schopné vypúšťať jedovaté plyny. Z tohto dôvodu dokonca nariadil, aby z ich bytu s Adele vyniesli chladničku a radiátor. Jeho posadnutosť čerstvým vzduchom a podozrenia z chladničky pretrvávali až do konca života a striedali sa obdobia mierneho zotavovania a zhoršovania psychického stavu. Tie posledné sa však vyskytovali častejšie a boli náročnejšie. Kríza v roku 1970 bola teda oveľa horšia ako v roku 1936 a bola sprevádzaná halucináciami, paranoidným správaním voči lekárom a kolegom. Zdravotný stav Adele sa rapídne zhoršoval, teraz sa oňho nemohla postarať tak, ako kedysi a on sa zasa postará o ňu. Gödelov priateľ Oskar Morgenstern poskytol obrovskú podporu.
Vo februári 1976 sa Gödelova paranoja opäť zhoršila, hmotnosť začala klesať a nechal sa presvedčiť na hospitalizáciu. O týždeň neskôr sa však bez prepustenia vrátil domov. Podozrenia sa teraz týkali aj jeho manželky – Morgensternovi a ďalším ľuďom povedal, že vraj všetky jeho peniaze rozdala v jeho neprítomnosti. Adele bola hospitalizovaná v júni (do augusta). Gödel s ňou vraj trávil pomerne veľa času a slabo sa stravoval. Na jeseň sa nakrátko vrátil do nemocnice, kde sa ho, ako povedal, údajne pokúsili zabiť. Po návrate domov sa stav nezlepšoval. Napriek presviedčaniu kamarátov ďalšiu hospitalizáciu odmietol. Gödel a Einstein
V júli 1977 Adele opäť išla do nemocnice, kde zostala až do decembra. 26. júla Morgenstern zomrel. Táto udalosť a neprítomnosť jeho manželky mali v najbližších mesiacoch rozhodujúci vplyv na Gödelov stav – anorexia a paranoja aktívnejšie postupovali. 29. decembra na naliehanie svojej manželky, ktorá sa vrátila asi pred týždňom, Gödel súhlasil s hospitalizáciou. Lekári však už nedokázali poskytnúť výraznejšiu pomoc. Vedec zomrel na „podvýživu a vyčerpanie“ vyvolané „poruchou osobnosti“ 14. januára 1978 v Princetone v štáte New Jersey.
Gödel bol logikom a filozofom vedy. Gödelovým najslávnejším úspechom sú teorémy neúplnosti, ktoré sformuloval a dokázal, publikované v roku 1931 a priamo súvisia s druhým problémom zo slávneho Hilbertovho zoznamu.
Hilbertov zoznam je zoznam 23 základných problémov v matematike, ktoré predložil David Hilbert na II. medzinárodnom kongrese matematikov v Paríži v roku 1900. Potom tieto problémy (zahŕňajúce základy matematiky, algebry, teórie čísel, geometrie, topológie, algebraickej geometrie, Lieových grup, reálnej a komplexnej analýzy, diferenciálnych rovníc, matematickej fyziky a teórie pravdepodobnosti, ako aj variačného počtu) neboli vyriešené. Doteraz bolo vyriešených 16 z 23 problémov.
Prvá veta hovorí, že ak je formálna aritmetika konzistentná, potom obsahuje nevyvrátiteľný a nevyvrátiteľný vzorec.
Druhá veta tvrdí, že ak je formálna aritmetika konzistentná, potom v nej nemožno odvodiť nejaký vzorec, ktorý zmysluplne potvrdzuje konzistenciu tejto aritmetiky.
Euklidovské axiómy
Kurz geometrie vyučovaný na stredných školách po celom svete je založený na Euklidových prvkoch. Staroveký Grék, ktorý žil už v treťom storočí pred Kristom, sformuloval niekoľko axióm týkajúcich sa vlastností bodov a priamok v rovine, z ktorých vyplýva platnosť mnohých užitočných a dôležitých geometrických viet. Euklidove axiómy sú jednoduché a nedokázateľné. Jeden z nich uvádza, že cez dva body možno nakresliť iba jednu priamku. Druhým je, že rovnobežné čiary sa pretínajú v nekonečne. Tieto vyhlásenia sú akceptované ako niečo zrejmé a nevyžadujúce dôkaz. Euklidovi sa v skutočnosti podarilo znázorniť celú geometriu pomocou malého množstva pravdivých a zásadných tvrdení, vyjadrených veľmi jasne a výstižne.
Matematici sa rozhodli, pomocou „metódy“ Euklida, pokúsiť sa podobným spôsobom predstaviť aj iné odvetvia matematiky. Povedzme vedu o číslach.
(1978-01-14 ) (71 rokov)Československá republika →
Rakúska republika →
USA
Životopis [ | ]
skoré roky [ | ]
Kurt Gödel sa narodil 28. apríla 1906 v rakúsko-uhorskom (moravskom) meste Brunn (dnes Brno, Česká republika) do nemeckej rodiny. Kurtov otec - Rudolf Gödel (1874-1929) - bol spolumajiteľom a manažérom veľkej textilnej továrne. V rodine bol aj starší brat, ktorý dostal meno po otcovi Rudolf. Kurt sa od detstva vyznačoval plachosťou, zaujatosťou, hypochondriou a tiež extrémnou podozrievavosťou - často sa inšpiroval najrôznejšími poverami, ktorých sa do konca života nevedel zbaviť (napríklad aj v horúčave nosil teplé oblečenie a rukavice, pretože bezdôvodne veril, že má slabé srdce).
Tento prejav nebol vopred ohlásený a mal ohromujúci účinok, Gödel sa okamžite stal svetovou celebritou a Hilbertov program formalizácie základov matematiky si vyžadoval urgentnú revíziu. Článok s oboma teorémami (" O zásadne neriešiteľných propozíciách v Principia Mathematica a príbuzných systémoch“) bol uverejnený vo vedeckom mesačníku Monatshefte fur Mathematik und Physik v roku 1931. Hoci Gödel podal dôkaz druhej vety iba vo forme myšlienky, jeho výsledok bol taký jasný a nepopierateľný, že o ňom nikto nepochyboval. Hilbert okamžite rozpoznal hodnotu Gödelových objavov; prvé úplné dôkazy oboch teorém boli publikované v Hilbert a Bernays' Foundations of Mathematics (1938). V predslove k druhému zväzku autori uznali, že konečné metódy nestačia na dosiahnutie svojho cieľa, a do zoznamu logických prostriedkov pridali transfinitnú indukciu; v roku 1936 sa Gerhardovi Gentzenovi podarilo dokázať konzistentnosť aritmetiky pomocou tejto axiómy, ale logická úplnosť zostala nedosiahnuteľná.
V roku 1933, už ako Privatdozent na Viedenskej univerzite, dostal Gödel pozvanie na Princetonskú univerzitu (USA), kde mal prednáškový kurz „O nerozhodnuteľných teorémoch formálnych matematických systémov“. V Princetone sa stretol a spriatelil sa s Einsteinom. Neskôr (1934-1939) Gödel navštevoval Princeton takmer každý rok, čo výrazne prispelo k rozvoju americkej školy matematickej logiky (Kleene, Church a iní).
V marci 1938 bolo Rakúsko pripojené k nacistickému Nemecku. V priebehu reformy univerzitného systému, ktorá sa začala, zostal Gödel bez práce, hoci nemal žiadnu „neárijskú krv“. Okrem problémov bol 32-ročný matematik vyhlásený za spôsobilého na vojenskú službu a dostal mobilizačné predvolanie. Od tohto momentu Gödel, predtým ľahostajný k politike, začal uvažovať o emigrácii. V tom istom roku 1938 sa Gödel oženil s o 6 rokov staršou tanečnicou Adele Porkert; manželstvo bolo úspešné. Nemali deti.
V roku 1940 odišiel Gödel do USA a kvôli nebezpečenstvu cesty cez Atlantik počas vypuknutia vojny sa tam dostal cez Sovietsky zväz (cez Transsibírsku magistrálu) a Japonsko, ktoré boli v tom čase priateľské k Nemecku. V Spojených štátoch bez problémov získal miesto na novozaloženej Princetonskej univerzite a v roku 1953 ho tam schválili za profesora. Matka zostala v Brne, Gödel jej pravidelne písal. Od roku 1940 Gödel nepublikoval žiadne ďalšie štúdie o logike, okrem komentárov filozofického charakteru.
V roku 1948 dostal Gödel americké občianstvo. Na rozhovore sa pokúsil dokázať, že ústava USA je formálne a logicky neúplná a nezaručuje nastolenie diktatúry, ale bol zdvorilo zastavený.
Až do smrti Einsteina (1955) spolu trávili veľa času a živo diskutovali o fyzike, politike a filozofii. Výsledkom týchto rozhovorov bolo niekoľko Gödelových článkov o teórii relativity. Gödel sa do Rakúska nevrátil ani po vojne, hoci ho Viedenská univerzita vytrvalo pozývala.
Choroba a smrť[ | ]
Od 30. rokov 20. storočia sa u Gödela prejavovali príznaky duševných problémov, ktoré boli zvyčajne skryté, prejavovali sa častou úzkosťou a nadmerným podozrievaním, no v obdobiach exacerbácie nadobudli zreteľnejšie, obsedantné formy. Takže na pozadí psychologickej prepracovanosti spojenej s udalosťami v roku 1931 nervové zrútenie vyradilo Gödela na niekoľko mesiacov z činnosti. 22. júna 1936 bol zavraždený Moritz Schlick, zakladateľ a stály vodca Viedenského kruhu. Gödel, ktorý vždy obdivoval Schlicka ako svojho vedeckého mentora, utrpel ďalšie nervové zrútenie a po zvyšok roka nemohol pracovať. V roku 1936 sa u neho vyvinul paranoidný strach z otravy. Oporou v ťažkých chvíľach bola Gödelovi manželka Adele, ktorá ho kŕmila lyžičkou a od manžela doslova odišla. Z dochovaných záznamov knižničných rešerší z tohto obdobia je známe, že študoval literatúru o duševných poruchách, farmakológii a toxikológii (charakteristický je najmä opakovaný odkaz na technickú príručku otravy oxidom uhoľnatým), čo len skomplikovalo jeho následnú liečbu.
Neskôr, v Princetone (1941), napriek zlepšeniu jeho celkového stavu, Gödelovi stále nevyhovovala prítomnosť zariadení, ktoré boli podľa jeho názoru schopné vypúšťať jedovaté plyny. Z tohto dôvodu dokonca nariadil, aby z ich bytu s Adele vyniesli chladničku a radiátor. Jeho posadnutosť čerstvým vzduchom a podozrievanie z chladničky pretrvávali až do konca života a striedali sa obdobia mierneho zotavovania a zhoršovania psychického stavu. Obzvlášť tvrdou ranou pre neho bola smrť jeho priateľa Alberta Einsteina v roku 1955. V 60. rokoch Gödel prestal prednášať.
V 70. rokoch sa Gödelov stav začal rapídne zhoršovať. Mal halucinácie, paranoidné správanie voči lekárom a kolegom. Zhoršil sa aj Adelin zdravotný stav, teraz sa oňho nemohla starať ako predtým a on zasa o ňu. Obrovská podpora prišla od Gödelovho priateľa, ekonóma a matematika Oskara Morgensterna.
Hrob Kurta a Adele Gödelových v Princetone
Vo februári 1976 sa Gödelova paranoja opäť zhoršila, hmotnosť začala klesať a nechal sa presvedčiť na hospitalizáciu. O týždeň neskôr sa však bez prepustenia vrátil domov. Podozrenia sa teraz týkali jeho manželky - Morgensterna a ďalších ľudí, povedal, že vraj rozdala všetky jeho peniaze v jeho neprítomnosti. Adele bola hospitalizovaná v júni (do augusta). Gödel s ňou vraj trávil pomerne veľa času a slabo sa stravoval. Na jeseň sa nakrátko vrátil do nemocnice, kde sa ho, ako povedal, údajne pokúsili zabiť. Po návrate domov sa stav nezlepšoval. Napriek presviedčaniu kamarátov ďalšiu hospitalizáciu odmietol.
V júli 1977 Adele opäť išla do nemocnice, kde zostala až do decembra. 26. júla Morgenstern zomrel. Táto udalosť a neprítomnosť manželky mali rozhodujúci vplyv na Gödelov stav v najbližších mesiacoch – jeho hmotnosť klesla na 30 kg, jeho paranoja progredovala. 29. decembra na naliehanie svojej manželky, ktorá sa vrátila asi pred týždňom, Gödel súhlasil s hospitalizáciou. Lekári však už nedokázali výraznejšie pomôcť. Vedec zomrel na „podvýživu a vyčerpanie“ spôsobené „
matematik a logik, člen Národnej akadémie vied USA a Americkej filozofickej spoločnosti, autor zásadného objavu obmedzení axiomatickej metódy a zásadných prác v takých oblastiach matematickej logiky, ako je teória modelov, teória dôkazov a teória množín. V roku 1924 nastúpil na Viedenskú univerzitu. Doktor matematiky (1930). Privatdozent na Viedenskej univerzite, člen Viedenského krúžku (1933-1938). Emigroval do USA (v roku 1940, od roku 1953 - profesor na Princetonskom inštitúte pre pokročilé štúdium). Hlavné diela: "Úplnosť axióm logického funkčného počtu" (doktorská dizertačná práca, 1930), "O formálne nerozhodnuteľných tvrdeniach Principia mathematica a príbuzných systémov" (1931), "O intuicionistickom propozičnom počte" (1932), "O intuicionistickej a číselnej teórii3" aritmetickej interpretácie"190 výrokov“ (1933), „Kompatibilita axiómy výberu a hypotézy zovšeobecneného kontinua s axiómami teórie množín“ (1940), „O jednom ešte nepoužitom rozšírení konečného hľadiska“ (1958). Koncom 20. rokov 20. storočia Hilbert a jeho nasledovníci získali dôkazy o úplnosti niektorých axiomatických systémov. Úplnosť axiomatického systému považovali za vlastnosť systému axióm danej axiomatickej teórie, ktorá charakterizuje šírku pokrytia určitej oblasti matematiky touto teóriou. V matematických teóriách konštruovaných na základe materiálovej axiomatiky sú významy počiatočných pojmov axiomatickej teórie dané od samého začiatku (t. j. predpokladá sa, že určitá interpretácia tejto teórie je ustálená). V rámci takejto teórie sa umožnilo uvažovanie o odvoditeľnosti jej tvrdení z axióm a uvažovanie o pravdivosti takýchto tvrdení. Úplnosť systému axióm v tomto prípade zodpovedala zhode týchto pojmov. (Príkladom tohto druhu axiomatiky je axiomatika Euklidovej geometrie.) V matematických teóriách konštruovaných na základe formálnej axiomatiky zostávajú významy pôvodných pojmov axiomatickej teórie pri odvodzovaní teorém z axióm nedefinované. V tomto prípade sa systém axióm nazýval úplný vzhľadom na danú interpretáciu, ak z nej boli odvodené všetky tvrdenia pravdivé v tejto interpretácii. Spolu s týmto pojmom úplnosti sa definoval aj ďalší pojem úplnosti, ktorý bol vnútornou vlastnosťou axiomatického systému (nezávisle na akejkoľvek jeho interpretácii): systém axióm sa nazýval deduktívne úplný, ak akékoľvek tvrdenie formulované v danej teórii možno buď dokázať (v tomto prípade ide o vetu), alebo vyvrátiť (v zmysle možnosti dokázať jeho negáciu). Navyše, ak je axiomatická teória úplná vzhľadom na nejakú interpretáciu, potom je deduktívne úplná; naopak, ak je teória deduktívne úplná a konzistentná (t.j. všetky vety sú pravdivé) vzhľadom na danú interpretáciu, potom je úplná vzhľadom na túto interpretáciu. Koncept deduktívnej (vnútornej) úplnosti je „vhodnou charakteristikou“ axiomatickej teórie pri jej konštrukcii ako formálneho systému. Na tomto základe Hilbert vybudoval umelý systém, vrátane časti aritmetiky, s dôkazmi o jeho úplnosti a konzistentnosti. G. prístup ako celok patrí ku konštruktívnemu smeru matematiky: v intuicionistickej interpretácii pravdivosti výroku považoval za pravdivý len rekurzívne realizovateľný vzorec (redukovateľný na funkciu čísel prirodzeného radu). Intuicionistická aritmetika sa tak stala rozšírením klasickej aritmetiky. Pri konštrukcii logiky a aritmetiky súčasne bol G. nútený opustiť Fregeho logickú tézu o úplnej redukovateľnosti matematiky na logiku. G. ním rozvinutú podloženú matematiku metódou aritmetizácie metamatematiky, ktorá spočíva v nahradení uvažovania o výrazoch akéhokoľvek logicko-matematického jazykového uvažovania o prirodzených číslach. Túto metódu G. postavil do základu dôkazu "G. vety o úplnosti" predikátového počtu klasickej predikátovej logiky (prvého rádu) a neskôr - v dvoch najdôležitejších vetách o neúplnosti rozšíreného predikátového počtu, známych pod všeobecným názvom "G. veta o neúplnosti." G. vo svojej dizertačnej práci (1930) dokázal vetu o úplnosti kalkulu klasickej predikátovej logiky: ak je predikátová formula pravdivá v akejkoľvek interpretácii, potom je odvoditeľná v predikátovom kalkule (inými slovami, každá formula, ktorej negácia nie je odvoditeľná, je realizovateľná). G. teorém o úplnosti, ktorý je jednou zo základných teorém matematickej logiky, ukazuje, že už klasický predikátový počet obsahuje všetky logické zákony vyjadrené predikátovými vzorcami. Posilnenie teorému o úplnosti klasického predikátového počtu hovorí, že každá spočítateľná postupnosť vzorcov, z ktorej nemožno odvodiť rozpory, je splniteľná. Navyše, ak z množiny predikátových formúl P nemožno v rámci predikátového počtu odvodiť rozpor, tak pre množinu P existuje model, t.j. výklad, v ktorom sú pravdivé všetky vzorce množiny P. Dôkaz úplnosti kalkulu klasickej predikátovej logiky vyvolal v Hilbertovej škole určité nádeje, že bude možné dokázať úplnosť a konzistentnosť celej matematiky. Už v nasledujúcom roku 1931 sa však dokázala G. veta o neúplnosti. Prvá veta o neúplnosti hovorí, že ak je formálny systém aritmetiky konzistentný, potom obsahuje aspoň jednu formálne nerozhodnuteľnú vetu, t.j. formule F takej, že ani ona, ani jej negácia nie sú teorémami tohto systému. Inými slovami, konzistencia rekurzívnej aritmetiky umožňuje zostrojiť deduktívne nerozhodnuteľnú vetu formalizovanú v kalkule, t.j. na existenciu tak nepreukázateľného, ako aj nevyvrátiteľného vzorca. Takýto vzorec, ktorý je návrhom rekurzívnej aritmetiky, je pravdivý, ale nedá sa odvodiť, aj keď by podľa definície mal byť. V dôsledku toho konzistentnosť formalizovaného systému vedie k jeho neúplnosti. Posilnením prvej vety o neúplnosti je druhá veta o neúplnosti, ktorá tvrdí, že je možné zvoliť vzorec F ako vzorec, ktorý prirodzene vyjadruje konzistenciu formálnej aritmetiky, t.j. pre konzistentný formálny počet, ktorý má ako model rekurzívnu aritmetiku, vzorec F výrazu pre túto konzistenciu nie je odvoditeľný v rámci tohto počtu. Podľa G. vety o neúplnosti je napríklad akýkoľvek postup na dokazovanie pravdivých tvrdení elementárnej teórie čísel (aditívne a multiplikatívne operácie na celých číslach) zjavne neúplný. Pre každý systém dôkazov existujú pravdivé tvrdenia, ktoré aj v takej dosť obmedzenej oblasti matematiky zostanú nepreukázateľné. B. V. Birjukov o metodologickom význame G.ovej vety o neúplnosti píše: „... ak je formálna aritmetika konzistentná, potom konzistenciu nemožno dokázať prostriedkami formalizovanými v sebe, t. j. tými konečnými prostriedkami, ktorými chcel Hilbert obmedziť metamatematické štúdie ...“. Preto nemožno (vnútornú) konzistentnosť akejkoľvek logicko-matematickej teórie dokázať bez použitia inej teórie (so silnejšími predpokladmi, a teda menej stabilnou). Von Neumann čítal v čase publikovania G. prednášok o Hilbertovom metamatematickom programe, ale hneď po prečítaní tohto diela kurz prebudoval a G. venoval všetok zostávajúci čas. G. veta o neúplnosti, najdôležitejšia metateoréma matematickej logiky, ukázala neuskutočniteľnosť Hilbertovho programu v zmysle úplnej formalizácie definičnej časti matematiky a podloženia výsledného formálneho systému preukázaním jeho konzistencie (konečnými metódami). Avšak G. teorém o neúplnosti, hoci demonštruje hranice použiteľnosti konečného prístupu v matematike, nemôže naznačovať obmedzenia logického poznania. E. Nagel a J. Newman o význame G.ových objavov pre porovnávacie posúdenie schopností človeka a počítača píšu, že „... pre každú našu špecifickú úlohu je v zásade možné postaviť stroj, ktorý by bol schopný tejto úlohy; ale nie je možné vytvoriť stroj vhodný na riešenie akejkoľvek úlohy. Hlavným záverom, ktorý môžeme vyvodiť z G.ových nedokonalostí a schopností, je určite bohatšia a dokonalejšia povaha a nedokonalosť ľudskej mysle. doteraz známe stroje...“. G. významne prispel aj k axiomatickej teórii množín, ktorej dva základné princípy - axióma voľby E. Zermelovej a hypotéza kontinua - sa dlho nedali dokázať, ale pre význam ich logických dôsledkov výskum v týchto oblastiach pokračoval. Axióma výberu E. Zermela postuluje existenciu množiny pozostávajúcej z prvkov vybraných „po jednom“ z každej z nepretínajúcich sa neprázdnych množín,
ktorých spojenie tvorí určitú množinu. (Z axiómy výberu E. Tseremela je vyšetrovanie v rozpore s „intuíciou zdravého rozumu“. Napríklad je možné rozbiť trojrozmernú guľu na konečné množstvo subsured, z ktorého je možné v trojrozmernom priestore zrekonštruovať dve úplne rovnaké gule.) Continuum guipotesis je, že sila prvého má moc, napríklad tam je sila, kontinuum je tam moc prvá mocnina) nadradená mocnine mnohých prirodzených čísel. Zovšeobecnená hypotéza kontinua tvrdí, že pre akúkoľvek množinu M je prvou mohutnosťou väčšou ako mohutnosť tejto množiny mohutnosť množiny všetkých podmnožín P. Tento problém (navrhnutý Cantorom v 80. rokoch 19. storočia) bol zahrnutý do známeho Hilbertovho zoznamu 23 problémov. V roku 1936 G. dokázal, že zovšeobecnená hypotéza kontinua je kompatibilná s jedným prirodzeným systémom axiomatickej teórie množín, a preto ju nemožno vyvrátiť štandardnými metódami. V roku 1938 G. dokázal konzistentnosť axiómy výberu a hypotézy kontinua (ich integrácia do daného systému axióm teórie množín neviedla k rozporu). Na vyriešenie týchto problémov bol zredukovaný axiomatický systém P. Bernaysa, na základe ktorého, ako aj predpokladov o konštruktívnosti každej množiny G. postavil model adekvátny systému axióm bez axiómy výberu a taký, aby všetky množiny v ňom mali vlastnosť úplného usporiadania. V tomto modeli sa axióma výberu ukázala ako pravdivá (realizovateľná), a teda kompatibilná s pôvodným systémom axióm, a teda konzistentná. V tomto modeli sa hypotéza kontinua tiež ukázala ako pravdivá. Ďalšia práca v tomto smere umožnila G. vyvinúť návrhy na štúdium "vnútorných mechanizmov" axiomatickej teórie množín. Okrem práce v týchto oblastiach navrhol G. v roku 1949 nový typ riešenia jednej dôležitej triedy rovníc všeobecnej relativity, ktorú Einstein považoval za „... dôležitý príspevok k všeobecnej teórii relativity...“ a bola ocenená Einsteinovou cenou (1951).
Skvelá definícia
Neúplná definícia ↓
GOEDEL, KURT
(Gdel, Kurt) (1906-1978), rakúsky logik a matematik, autor zásadného objavu, ktorý ukázal obmedzenia axiomatickej metódy. Narodený 28. apríla 1906 v Brne. V roku 1924 nastúpil na Viedenskú univerzitu, v roku 1930 obhájil doktorskú dizertačnú prácu z matematiky. V rokoch 1933-1938 bol Privatdozent na Viedenskej univerzite; v roku 1940 emigroval do USA. Od roku 1953 až do konca života - profesor na Princetonskom inštitúte pre pokročilé štúdium. Gödel zomrel v Princetone 14. januára 1978.
Gödelova dizertačná práca bola venovaná problému úplnosti. Úplnosť systému axióm, ktoré slúžia ako základ ktorejkoľvek oblasti matematiky, znamená primeranosť tejto axiomatiky oblasti, ktorá je s ich pomocou špecifikovaná, t.j. znamená schopnosť dokázať pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek zmysluplného tvrdenia obsahujúceho pojmy zvažovanej oblasti matematiky. V 30. rokoch 20. storočia sa získali určité výsledky o úplnosti rôznych axiomatických systémov. Hilbert tak vybudoval umelý systém pokrývajúci časť aritmetiky a dokázal jej úplnosť a konzistentnosť. Gödel vo svojej dizertačnej práci dokázal úplnosť prvostupňového predikátového počtu a to dávalo matematikom nádej, že budú schopní dokázať konzistentnosť a úplnosť celej matematiky. Už v roku 1931 však ten istý Gödel dokázal vetu o neúplnosti, ktorá týmto nádejam zasadila zdrvujúcu ranu. Podľa tejto vety je každý postup na dokazovanie pravdivých tvrdení elementárnej teórie čísel odsúdený na neúplnosť. Elementárna teória čísel je odvetvím matematiky, ktoré sa zaoberá sčítaním a násobením celých čísel, a ako ukázal Godel, v akomkoľvek zmysluplnom a prakticky použiteľnom systéme dokazovania niektoré pravdy, dokonca aj v takej veľmi skromnej oblasti matematiky, zostanú nepreukázateľné. V dôsledku toho zistil, že vnútorná konzistentnosť akejkoľvek matematickej teórie sa nedá dokázať inak, než odvolaním sa na inú teóriu, ktorá používa silnejšie predpoklady, a preto je menej spoľahlivá.
Metódy používané Gödelom pri dokazovaní vety o neúplnosti neskôr zohrali dôležitú úlohu v teórii počítačov.
Gödel významne prispel k teórii množín. Dva princípy – axióma voľby a hypotéza kontinua – sa desaťročia nedali dokázať, ale záujem o ne neupadol: ich logické dôsledky boli príliš príťažlivé. Gödel dokázal (1938), že pridanie týchto princípov k bežným axiómam teórie množín nevedie k rozporu. Jeho úvahy sú cenné nielen pre výsledky, ktoré umožňujú dosiahnuť; Gödel vyvinul konštrukt, ktorý zlepšuje pochopenie vnútorného fungovania samotnej teórie množín.
Collier. Collierov slovník. 2012
Pozri tiež interpretácie, synonymá, významy slova a čo je GODEL, KURT v ruštine v slovníkoch, encyklopédiách a referenčných knihách:
- GOEDEL KURT
(Godel) Kurt [nar. 28. apríla 1906, Brunn (Brno)], rakúsky logik a matematik. V rokoch 1933-38 odborný asistent na Viedenskej univerzite. V roku 1940 emigroval do USA; … - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) Švajčiarsky muzikológ. Diela o diele J. S. Bacha, A. Brucknera, R. Wagnera, o harmónii a ... - GOEDEL vo Veľkom encyklopedickom slovníku:
(Godel) Kurt (1906-78) logik a matematik. Narodený v Rakúsko-Uhorsku, od roku 1940 v USA. Pracuje na matematickej logike a teórii množín. … - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946), Švajčiar. muzikológ. Tr. o práci I.S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, v harmónii a ... - GOEDEL vo Veľkom ruskom encyklopedickom slovníku:
GOdel Kurt (1906-78), logik a matematik. Rod. v Rakúsko-Uhorsku, od roku 1940 v USA. Tr. podľa matematiky. logika a teoria... - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) Švajčiarsky muzikológ. Diela o diele J. S. Bacha, A. Brucknera, R. Wagnera, o harmónii a ... - GOEDEL v Modernom výkladovom slovníku, TSB:
(Godel) Kurt (1906-78), logik a matematik. Narodený v Rakúsko-Uhorsku, od roku 1940 v USA. Pracuje na matematickej logike a teórii... - LEVIN KURT KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Lewin) Kurt (9. 9. 1890 Poznaň – 12. 2. 1947 Newton, Massachusetts, USA), nemecký a americký psychológ. Profesor na univerzite v Berlíne (1926-33). V rokoch 1932-44... - NAJŤAŽŠIE SKOKY; "KURT BROWNING" v roku 1998 v Guinessovej knihe rekordov:
Kurt Browning (Kanada) ako prvý v súťažných podmienkach - 25. marca 1988 na majstrovstvách sveta v maďarskej Budapešti - úspešne dokončil zoskok ... - KURT COBAIN na Wiki Citát:
Údaje: 2009-07-10 Čas: 09:58:58 Kurt Donald Cobain (1967-1994) Líder, gitarista a spevák skupiny Nirvana.- *Volám sa Kurt, spievam a… - KURT VONNEGUT na Wiki Citát:
Údaje: 2009-09-01 Čas: 18:40:46 Kurt Vonnegut je americký spisovateľ a satirik. = Citáty z diel = * Sirens of Titan ... - SCHMITT, KURT
(Schmitt), (1886-1950), ríšsky minister hospodárstva a financií v prvom Hitlerovom kabinete. Narodil sa 7. októbra 1886 v Heidelbergu v rodine lekára. V… - ZEITZLER, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
(Zeitzler), (1895-1963), generál nemeckej armády. Narodil sa 9. júna 1895 v Luccau. Personalista. Počas 1. svetovej vojny velil 72. ... - HUBER, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
(Huber), Huber (1893-1943), prednášajúci na univerzite v Mníchove, nemecký filozof a psychológ. Narodil sa 24. októbra 1893 v Chure vo Švajčiarsku v rodine školy ... - DITMAR, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
(Dittmar) (1891-1959), vojenský rozhlasový komentátor. Narodil sa 5. marca 1891 v Magdeburgu. Personálny dôstojník, účastník 1. svetovej vojny. V roku 1941 v hodnosti ... - DALUGE, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
(Daluege), (1897-1946), zastupujúci ríšsky protektor Čiech a Moravy. Povolaním inžinier. Narodil sa 15. septembra 1897 v Kreuzburgu. Po 1. svetovej... - WEIL, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
Weill (1900-1950), nemecký skladateľ a dirigent. Narodil sa 2. marca 1900 v Dessau. V rokoch 1919-20 realizoval operné inscenácie ako dirigent ... - BECHER, KURT v Encyklopédii Tretej ríše:
(Becher), asistent Heinricha Himmlera. Narodil sa 12. septembra 1909 v Hamburgu. Bývalý obchodník s obilím, ktorý sa pripojil k NSDAP, sa rýchlo stal SS Standartenführer ... - TUCHOLSKY, KURT v dátumoch narodenia a úmrtia známych ľudí:
(1890-1935) - nemecký spisovateľ a ... - EISNER KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Eisner) Kurt (14.5.1867, Berlín - 21.2.1919, Mníchov), vodca nemeckého robotníckeho hnutia. Novinár. Od roku 1898 člen sociálnodemokratickej strany. V rokoch 1898-1905 hlavná ... - ŠUMAKHER KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Schumacher) Kurt (13. 10. 1895 Kulm, dnes Chelmno, Poľsko - 20. 8. 1952 Bonn), vodca Sociálnodemokratickej strany Nemecka (SPD). Vstúpil do SPD v... - SCHLEICHER KURT VON vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Schleicher) Kurt von (7.4. 1882, Brandenbursko - 30.6.1934, Neubabelsberg), nemecký vojenský a politický vodca, generál. V roku 1913 sa stal dôstojníkom generálneho štábu. … - TUCHOLSKY KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Tucholsky) Kurt (9. 1. 1890 Berlín – 21. 12. 1935 Hindos, pri Göteborgu, Švédsko), nemecký básnik a publicista. Vyštudoval právo v Berlíne a Jene... - MOTES KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Mothes) Kurt (nar. 3. 11. 1900, Plauen), nemecký biochemik (NDR), člen Nemeckej akadémie vied v Berlíne, prezident Nemeckej akadémie prírodovedcov "Leopoldina" v Halle, ... - METZIG KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Maetzig) Kurt (nar. 25. januára 1911, Berlín), nemecký filmový režisér (NDR), člen Nemeckej akadémie umení. V roku 1935 zmaturoval na Vyššej technickej škole. Do kina … - KOFFKA KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Koffka) Kurt (18. 3. 1886 Berlín – 22. 11. 1941 Northampton, USA), nemecko-americký psychológ, jeden zo zakladateľov Gestalt psychológie. Žiak K. Stumpfa. Privatdozent… - KIESINGER KURT GEORGE vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Kiesinger) Kurt Georg (nar. 6.4.1904, Ebingen), štátnik a politická osobnosť Nemecka. Vzdelaním právnik. Študoval na univerzitách v Berlíne a Tübingene. … - HOFFMANN KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
(Hoffmann) Kurt (12.11. 1910, Freiberg), nemecký filmový režisér (Nemecko). V kine od roku 1931, od roku 1938 pôsobí ako režisér. Dajte nejaké zábavné… - WEIL KURT vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
Weill (Weill) Kurt (2.3.1900, Dessau - 3.4.1950, New York), nemecký hudobný skladateľ a dirigent. Kompozíciu študoval u E. Humperdincka a F. Busoniho. V… - KIZIL-KURT v Encyklopedickom slovníku Brockhausa a Eufrona:
rod Kirgiz-Kaisakov bývalej Malej hordy, patriaci ku kmeňu Bayulinsky. Bola rozdelená do piatich oddelení a začiatkom tohto storočia bola uzavretá ... - KIZIL-KURT v Encyklopédii Brockhausa a Efrona:
? rod Kirgiz-Kaisakov bývalej Malej hordy, patriaci ku kmeňu Bayulinsky. Bolo rozdelené do piatich oddelení a začiatkom tohto storočia ... - SCHWITTERS, KURT v Collierovom slovníku:
(Schwitters, Kurt) (1887-1948), nemecký umelec, ktorý pracoval predovšetkým v technike koláže a asambláže a mal významný vplyv na vývoj moderného umenia. … - POZITIVIZMUS
(lat. positivus - pozitívny) - (1) paradigmatické gnozeometodologické prostredie, podľa ktorého možno získať pozitívne poznatky ako výsledok čisto vedeckých ... - VIEDENSKÝ KRUH v najnovšom filozofickom slovníku:
skupina vedcov a filozofov, ktorí sa v 20. rokoch stali centrom rozvoja myšlienok logického pozitivizmu. VC. Krúžok zorganizoval v roku 1922 Schlick ... - ANARCHOTERORIZMUS v Historickom adresári terorizmu a teroristov:
(Rusko) . Anarchistické hnutie nebolo nikdy jednotné, pôsobilo vo forme početných prúdov a skupín. Medzi tými, ktorí použili teroristickú taktiku v… - EISNER v 1000 životopisoch slávnych ľudí:
Kurt - nemecký S.-D. Po januárovom hnutí v Nemecku bol zatknutý a v novembri 1918 bol prepustený bavorskou vládou. - HITLER, ADOLF v Encyklopédii Tretej ríše:
(Hitler), (1889-1945), politik Nemecka, v rokoch 1933-45 Führer (vodca) a kancelár Tretej ríše. Pochádza z roľníckej rodiny, pôvodom Rakúšan. … - KLEBER v Literárnej encyklopédii:
Kurt je nemecký proletár. R. v Jene, robotník, aktívny účastník proletárskej revolúcie v Nemecku. Svojho času K... - AKCIA v Literárnej encyklopédii:
[Action - action] je týždenný literárny časopis vychádzajúci od roku 1911 v Berlíne, ktorý vydáva a rediguje Franz Pfemfert. Tento časopis má... - VIEDENSKÝ KRUH vo Veľkom encyklopedickom slovníku:
filozofický kruh, ktorý rozvinul základy logického pozitivizmu. Vznikol v roku 1922 okolo rakúskeho fyzika M. Schlicka; hlavní účastníci - O. Neurath, R. ... - SPOJENÉ ŠTÁTY AMERICKÉ vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
States of America (USA) (Spojené štáty americké, USA). I. Všeobecné informácie USA je štát v Severnej Amerike. Rozloha 9,4 milióna ... - KOMPLET vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
vlastnosť vedeckej teórie, ktorá charakterizuje dostatočnosť jej výrazových a (alebo) deduktívnych prostriedkov na akýkoľvek konkrétny účel. Jedným z aspektov konceptu P. ... - KONZISTENTNOSŤ vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
kompatibilita, vlastnosť deduktívnej teórie (alebo systému axióm, ktorými je teória daná), spočívajúca v tom, že ju z nej nemožno odvodiť ... - METAMATEMATIKA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
teória dôkazov, teória dôkazov, v širšom zmysle slova - metateória matematiky, z ktorej nevyplývajú žiadne špeciálne obmedzenia na povahu použitej metateoretickej ... - MATEMATICKÝ INTUICIONIZMUS vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
intuicionizmus, filozofické a matematické hnutie, ktoré odmieta množinovú interpretáciu matematiky a považuje intuíciu za jediný zdroj matematiky a hlavné kritérium pre prísnosť jej konštrukcií. Na vzostupe… - MATEMATIKA vo Veľkej sovietskej encyklopédii, TSB:
I. Vymedzenie predmetu matematika, prepojenie s inými vedami a technikou. Matematika (grécka matematika, z matematiky - vedomosti, veda), veda o ...
Ak ide o najvýraznejšie objavy 20. storočia, zvyčajne menujú Einsteinovu teóriu relativity, kvantovú mechaniku, Heisenbergov princíp neurčitosti. Mnohí významní vedci – matematici a filozofi – však Gödelovu teóriu zaraďujú medzi najväčšie úspechy vedeckého myslenia minulého storočia. Koniec koncov, ak epochálne prelomy v oblasti fyziky umožnili ľudskej mysli pochopiť nové zákony prírody, potom Gödelova práca umožnila lepšie pochopiť princípy fungovania samotnej ľudskej mysle a mala hlboký vplyv na svetonázor a kultúry našej doby.
Kto je Godel?
Kurt Godel sa narodil 28. apríla 1906 v Rakúsko-Uhorsku v moravskom meste Brno (vtedy sa volalo Brunn). V 18 rokoch vstúpil na Viedenskú univerzitu, kde najskôr študoval fyziku, ale o dva roky neskôr prešiel na matematiku. Je známe, že k takejto zmene vedeckých záujmov došlo najmä pod vplyvom knihy Bertranda Russella „Úvod do filozofie matematiky“. Ďalším zdrojom, ktorý mal významný vplyv na formovanie Gödela ako vedca, bola jeho účasť na práci Viedenského kruhu. Pod týmto názvom sa do dejín vedy zapísala zbierka brilantných vedcov – matematikov, logikov, filozofov, ktorí sa pravidelne stretávali vo Viedni od konca 20. do polovice 30. rokov 20. storočia. posledné storočie. V rôznych časoch sa na práci Viedenského kruhu podieľali vedci ako Rudolf Carnap, Otto Neurath, Herbert Feigl, Moritz Schlick. S ich činnosťou sa spája formovanie filozofického pozitivizmu. V skutočnosti však téma krúžku pokrývala pochopenie spoločného miesta vedeckého poznania v poznaní prírody a spoločnosti. Viaceré medzinárodné konferencie organizované v rôznych európskych vedeckých centrách nám umožňujú hovoriť o významnej úlohe, ktorú zohral Viedenský kruh vo vývoji základných vedeckých poznatkov 20. storočia. Kurt Gödel sa zúčastnil takmer všetkých „štvrtkových“ stretnutí krúžku a medzinárodných konferencií, ktoré organizoval. Činnosť krúžku v Rakúsku bola prerušená v roku 1936, keď jeho vodcu Moritza Schlicka zabil nacistický študent na schodoch Viedenskej univerzity. Väčšina členov krúžku emigrovala do Spojených štátov amerických. Presťahoval sa tam aj Kurt Gödel. Postupom času dostal americké občianstvo, pracoval v Inštitúte pre pokročilé štúdium v Princetone. V tom istom meste zomrel v roku 1978. Taký bol vonkajší obrys jeho života. Priatelia a kolegovia z práce si ho pamätali ako uzavretého, bolestne zraniteľného človeka, odtrhnutého od vonkajšieho sveta, úplne ponoreného do svojich myšlienok.
Skutočnosť, že logické chápanie sveta zaujímalo hlavné miesto v živote vedca, dokazuje zvláštny detail jeho biografie. V roku 1948, keď sa rozhodovalo o otázke získania amerického občianstva, musel Gödel v súlade s prijatým postupom absolvovať niečo ako ústnu skúšku zo základov americkej ústavy. K problému pristupoval so všetkou vedeckou svedomitosťou, dôkladne si preštudoval dokument a dospel k záveru, že diktatúra môže byť v Spojených štátoch nastolená legálne, bez porušenia ústavy. Takýto objav ho takmer stál neúspech v testoch, keď vstúpil do diskusie s úradníkom, ktorý urobil ofset, ktorý, samozrejme, považoval základný zákon svojho štátu za najväčší úspech politického myslenia. Priatelia, medzi ktorými bol aj Albert Einstein, ktorý vystupoval ako jeden z dvoch Gödelových garantov, keď dostal občianstvo, ho presvedčili, aby vývoj svojej argumentácie odložil, aspoň do zloženia prísahy. Neskôr príbeh dostal kuriózny epilóg: o štvrťstoročie neskôr dostal Nobelovu cenu ďalší Američan Kenneth Arrow za to, že vo všeobecnosti dokázal tvrdenie, ku ktorému Gödel dospel štúdiom americkej ústavy.
Čo Gödel dokázal?
Predtým, ako pristúpime k prezentácii vety, ktorá zvečnila meno Gödel, je potrebné aspoň stručne porozprávať o problémoch, ktorým matematika čelila koncom 20. rokov minulého storočia, presnejšie o jej časti, ktorá vynikla na prelome 19.-20. a nazývali sa „základy matematiky“.
Najprv však možno stojí za to zastaviť sa v kurze školskej geometrie, ktorý aj teraz do značnej miery opakuje Euklidove prvky, napísané pred viac ako 2 000 rokmi. V tradičných učebniciach sa najprv uvádzajú niektoré tvrdenia (axiómy) o vlastnostiach bodov a priamok v rovine, z ktorých sa logickou konštrukciou v súlade s pravidlami „aristotelovskej“ logiky vyvodzuje platnosť rôznych dôležitých a užitočných geometrických faktov (vety). Napríklad jedna z axióm hovorí, že jedna a len jedna priamka prechádza cez dva body, ďalšie tvrdenie – slávny piaty postulát a, od ktorého Lobačevskij vo svojej neeuklidovskej geometrii upustil – sa týka rovnobežných priamok atď. Pravdivosť axióm sa prijíma ako niečo zrejmé a nevyžaduje dôkaz. Zásluha gréckeho geometra je v tom, že sa snažil prezentovať celú vedu o priestorovom usporiadaní obrazcov ako súbor dôsledkov vyplývajúcich z niekoľkých základných ustanovení.
Koncom 19. storočia sa všetky medzery v euklidovských „Princípoch“ (z pohľadu zvýšených nárokov matematikov na prísnosť a presnosť ich uvažovania) vyplnili. Výsledkom najnovšieho výskumu bola kniha nemeckého matematika Davida Hilberta „Základy geometrie“.
Úspech Euklidovej techniky podnietil vedcov, aby rozšírili jeho princípy do iných odvetví matematiky. Po geometrii prišla na rad aritmetika. V roku 1889 taliansky matematik Giuseppe Peano prvýkrát sformuloval axiómy aritmetiky, ktoré sa zdali smiešne zrejmé (je tam nula, za každým číslom nasleduje ďalšie číslo atď.), ale v skutočnosti sú úplne vyčerpávajúce. Zohrali rovnakú úlohu ako postuláty veľkého Gréka v geometrii. Vychádzajúc z takýchto tvrdení, pomocou logického uvažovania, bolo možné získať základné aritmetické vety.
V tom istom období predložil nemecký matematik Gottlieb Frege ešte ambicióznejší problém. Navrhol nielen axiomaticky potvrdiť základné vlastnosti skúmaných objektov, ale aj formalizovať a kodifikovať samotné metódy uvažovania, čo umožnilo zapísať akékoľvek matematické uvažovanie podľa určitých pravidiel vo forme reťazca symbolov. Frege publikoval svoje výsledky v knihe Fundamental Laws of Aritmetic, ktorej prvý diel vyšiel v roku 1893 a druhý si vyžiadal ďalších desať rokov tvrdej práce a bol úplne dokončený až v roku 1902.
Možno jeden z najdramatickejších príbehov vo vývoji vedy o číslach je spojený s menom a vedeckým výskumom Frege. Keď už bol druhý diel v tlači, vedec dostal list od mladého anglického matematika Bertranda Russella. Russell blahoželal svojmu kolegovi k vynikajúcim výsledkom a napriek tomu poukázal na jednu okolnosť, ktorá ušla autorovi pozornosti. Zákernou „okolnosťou“ bol neskôr všeobecne známy „Russellov paradox“, ktorým bola otázka: bude množina všetkých množín, ktoré nie sú ich prvkami, ich prvkom? Frege nedokázal vyriešiť hádanku okamžite. Nezostávalo mu nič iné, len pridať trpké slová v doslove k vypredanému zväzku 2 svojej knihy: „Sotva môže byť niečo pre vedca nežiaduce ako zistenie, že základy sotva dokončeného diela sa zrútili. List, ktorý som dostal od Bertranda Russella, ma postavil do takej pozície... “Utrápený matematik si vzal akademickú dovolenku na univerzite, vynaložil veľa energie na opravu svojej teórie, ale všetko bolo márne. Žil viac ako dvadsať rokov, ale ďalšiu prácu o aritmetike nenapísal.
Russellovi sa však podarilo odvodiť variant formálneho systému, ktorý by pokrýval celú matematiku a bol oslobodený od všetkých vtedy známych paradoxov, pričom sa konkrétne spoliehal na myšlienky a prácu Fregeho. Jeho výsledok, publikovaný v roku 1902 v knihe Principia Mathematica(napísané spoločne s Alfredom North Whiteheadom) sa v skutočnosti stala axiomizáciou logiky a David Hilbert veril, že „môže byť považovaná za vrcholný úspech všetkých snáh o axiomizáciu vedy“.
Taký blízky záujem matematikov o základy ich disciplíny mal aj iný dôvod. Faktom je, že na prelome 19. a 20. storočia boli v teórii množín objavené rozpory, pre ktoré bol vytvorený eufemizmus „paradoxy teórie množín“. Najslávnejší z nich - slávny paradox Russella - nebol, bohužiaľ, jediný. Navyše, pre väčšinu vedcov bolo zrejmé, že objavenie nových zvláštností nebude ten prípad. Ich vzhľad mal „katastrofálny vplyv“ na matematický svet, povedané Hilbertovými slovami, pretože teória množín zohrala úlohu základu, na ktorom bola postavená celá budova vedy o číslach. „Vzhľadom na tieto paradoxy musíme priznať, že situácia, v ktorej sa teraz nachádzame, je dlhodobo neúnosná. Zamyslite sa: v matematike – v tomto modeli spoľahlivosti a pravdy – koncepty a závery, ako ich ktokoľvek študuje, učí a aplikuje, vedú k absurdnostiam. Kde teda hľadať spoľahlivosť a pravdu, ak ani samotné matematické myslenie nesklame? “, sťažoval sa Hilbert vo svojej správe na kongrese matematikov v júni 1925.
Matematici sa tak prvýkrát za tri tisícročia priblížili k štúdiu najhlbších základov svojej disciplíny. Objavil sa kuriózny obraz: milovníci čísel sa naučili jasne vysvetľovať, podľa akých pravidiel počítajú, stačilo im dokázať „zákonnosť“ akceptovaných základov, aby sa odstránili akékoľvek pochybnosti vyvolané nešťastnými paradoxmi. A v prvej polovici 20. rokov 20. storočia veľký Hilbert, okolo ktorého sa v tom čase vyvinula škola vynikajúcich nasledovníkov, v celej sérii prác načrtol plán výskumu v oblasti základov matematiky, ktorý sa neskôr stal známym ako „Göttingenský program“. V najzjednodušenejšej forme sa to dá povedať takto: matematiku možno znázorniť ako súbor dôsledkov odvodených z nejakého systému axióm, pričom sa dá dokázať, že:
- Matematika je kompletná, t.j. akékoľvek matematické tvrdenie možno dokázať alebo vyvrátiť na základe pravidiel samotnej disciplíny.
- Matematika je konzistentná, t.j. je nemožné dokázať a zároveň vyvrátiť akékoľvek tvrdenie bez porušenia prijatých pravidiel uvažovania.
- Matematika je rozhodnuteľná, t.j. pomocou pravidiel sa dá pri akomkoľvek matematickom tvrdení zistiť, či je dokázateľné alebo vyvrátiteľné.
V skutočnosti sa Hilbertov program snažil vyvinúť nejaký všeobecný postup na zodpovedanie všetkých matematických otázok alebo aspoň dokázanie existencie jednej. Samotný vedec bol presvedčený o kladnej odpovedi na všetky tri otázky, ktoré sformuloval: podľa jeho názoru bola matematika skutočne úplná, konzistentná a riešiteľná. Zostávalo to len dokázať.
Hilbert navyše veril, že axiomatická metóda sa môže stať základom nielen matematiky, ale aj vedy ako celku. V roku 1930 v článku „Poznanie prírody a logiky“ napísal: „...aj v tých najrozsiahlejších oblastiach poznania v ich rozsahu existuje často pomerne malý počet počiatočných tvrdení, zvyčajne nazývaných axiómy, na ktorých je potom čisto logickým spôsobom postavená celá budova uvažovanej teórie.
Aké by boli dôsledky úspechu Hilberta a jeho školy pre ďalší rozvoj vedy? Ak by sa, ako veril, celá matematika (a veda vo všeobecnosti) zredukovala na systém axióm, potom by sa dali zaviesť do počítača schopného podložiť akékoľvek tvrdenie (teda dokázať teóriu) vyplývajúce z pôvodných tvrdení podľa programu podľa všeobecných logických pravidiel.
Ak by sa Hilbertova teória realizovala, superpočítače pracujúce 24 hodín denne by neustále dokazovali stále nové a nové teorémy a zverejňovali by ich na nespočetných World Wide Web stránkach. Po matematike by „axiomatická éra“ prišla vo fyzike, chémii, biológii a nakoniec by sa mala obrátiť na vedu o ľudskom vedomí. Súhlasíte, svet okolo nás a my sami by sme v takom prípade vyzerali trochu inak.
K „univerzálnej axiómatizácii“ však nedošlo. Celý superambiciózny, grandiózny program, na ktorom niekoľko desaťročí pracovali najväčší matematici sveta, vyvrátila jediná veta. Jeho autorom bol Kurt Godel, ktorý mal v tom čase sotva 25 rokov.
V roku 1930 na konferencii organizovanej „Viedenským kruhom“ v Koenigsbergu vypracoval správu „O úplnosti logického počtu“ a začiatkom nasledujúceho roku uverejnil článok „O zásadne neriešiteľných pozíciách v systéme Principia Mathematica a súvisiace systémy. Ústredným bodom jeho práce bola formulácia a dôkaz vety, ktorá zohrala zásadnú úlohu v celom ďalšom vývoji matematiky, a nielen jej. Hovoríme o slávnej Gödelovej teórii neúplnosti. Jeho najbežnejšia, aj keď nie celkom rigorózna formulácia uvádza, že „pre každý konzistentný systém axióm existuje tvrdenie, ktoré v rámci akceptovaného axiomatického systému nemožno ani dokázať, ani vyvrátiť“. Gödel tak dal negatívnu odpoveď na prvé Hilbertovo vyjadrenie.
Je zvláštne, že na tej istej konferencii Werner Heisenberg vystúpil s prezentáciou na tému „Kauzálne znalosti a kvantová mechanika“. V tejto správe boli načrtnuté prvé prístupy k jeho slávnym „vzťahom neistoty“.
Gödelove závery vyvolali v matematickej komunite efekt intelektuálnej bomby. O to viac, že na ich základe bolo čoskoro získané vyvrátenie ďalších dvoch bodov v Hilbertovom programe. Ukázalo sa, že matematika je neúplná, nerozhodnuteľná a jej konzistentnosť sa nedá dokázať (v rámci samotného systému, ktorého konzistencia sa dokazuje).
Godelova veta
Odvtedy prešlo trištvrte storočie, no debata o tom, čo vlastne Gödel dokázal, neutícha. Mimoriadne búrlivé debaty prebiehajú v takmer vedeckých kruhoch. „Gödelova veta o neúplnosti je skutočne jedinečná. Hovorí sa o ňom vždy, keď chcú dokázať „všetko na svete“ – od prítomnosti bohov až po absenciu rozumu,“ píše vynikajúci moderný matematik V. A. Uspenskij.
Ak ponecháme bokom početné takéto špekulácie, treba poznamenať, že vedci sa pri posudzovaní úlohy Gödela delia na dve skupiny. Niektorí, nasledujúc Russella, veria, že slávna veta, ktorá tvorila základ modernej matematickej logiky, však mala veľmi zanedbateľný vplyv na ďalšiu prácu mimo tejto disciplíny - matematici, ako dokázali svoje teorémy v „pre-Goedelovej“ ére, ich dokazujú dodnes.
Čo sa týka fantazmagorického videnia počítačov neustále dokazujúcich nové teórie, zmysel takejto činnosti je pre mnohých odborníkov veľmi pochybný. Pre matematiku je skutočne dôležitá nielen formulácia dokázanej vety, ale aj jej pochopenie, pretože práve to umožňuje odhaliť súvislosť medzi rôznymi objektmi a pochopiť, akým smerom sa možno ďalej pohybovať. Bez takéhoto pochopenia sú teorémy generované na základe formalizovaných pravidiel odvodzovania len akýmsi „matematickým spamom“ - to je názor Alexandra Shena, člena Katedry matematickej logiky a teórie algoritmov mechaniky a matematiky Moskovskej štátnej univerzity.
Podobne zdôvodnil aj samotný Gödel. Tým, ktorí mu vyčítali, že zničil integritu základov matematiky, odpovedal, že v podstate sa nič nezmenilo, základy zostali neotrasiteľné a jeho veta viedla len k prehodnoteniu úlohy intuície a osobnej iniciatívy v tejto oblasti vedy, ktorá sa riadi železnými zákonmi logiky, pričom, zdá sa, je pre takéto cnosti málo miesta.
Niektorí vedci však majú iný názor. Ak totiž za hlavnú charakteristiku ľudskej mysle alebo aspoň jej hlavný nástroj považujeme schopnosť logického uvažovania, potom Gödelova veta priamo poukazuje na obmedzené možnosti nášho mozgu. Súhlaste, že pre človeka vychovaného vo viere v nekonečnú silu myšlienky je veľmi ťažké prijať tézu o hraniciach jej sily.
Skôr môžeme hovoriť o obmedzeniach našich predstáv o vlastných mentálnych schopnostiach. Mnohí odborníci sa domnievajú, že formálne výpočtové, „aristotelovské“ procesy, ktoré sú základom logického myslenia, tvoria iba časť ľudského vedomia. Jeho ďalšia oblasť, v podstate „nevýpočtová“, je zodpovedná za také prejavy ako intuícia, tvorivé vhľady a porozumenie. A ak prvá polovica mysle spadá pod Gödelove obmedzenia, potom druhá je oslobodená od takýchto rámcov.
Najdôslednejší zástanca tohto pohľadu – najväčší špecialista v oblasti matematiky a teoretickej fyziky Roger Penrose – zašiel ešte ďalej. Navrhol existenciu niektorých nevýpočtových kvantových efektov, ktoré zabezpečujú realizáciu tvorivých aktov vedomia. A hoci mnohí z jeho kolegov kritizujú myšlienku vybaviť ľudský mozog hypotetickými kvantovými mechanizmami, Penrose a jeho spolupracovníci už vyvinuli experimentálny dizajn, ktorý by podľa ich názoru mal potvrdiť ich existenciu.
Jedným z početných dôsledkov Penrosovej hypotézy môže byť najmä záver, že je principiálne nemožné vytvoriť umelú inteligenciu založenú na moderných výpočtových zariadeniach, aj keď nástup kvantových počítačov vedie k grandióznemu prelomu v oblasti výpočtovej techniky. Faktom je, že každý počítač môže len čoraz podrobnejšie modelovať prácu formálno-logickej, „výpočtovej“ činnosti ľudského vedomia, ale „nevýpočtové“ schopnosti intelektu sú preň nedostupné.
To je len malá časť prírodovedných a filozofických sporov, ktoré vyvolala pred 75 rokmi publikovaná matematická veta mladého Gödela. Spolu s ďalšími veľkými súčasníkmi prinútil človeka pozrieť sa inak na svet okolo seba i na seba. Najväčšie objavy prvej tretiny 20. storočia, vrátane Godelovej vety, ako aj vytvorenie teórie relativity a kvantovej teórie, ukázali obmedzenia mechanisticko-deterministického obrazu prírody, vytvoreného na základe vedeckých výskumov predchádzajúcich dvoch storočí. Ukázalo sa, že tak spôsoby vývoja vesmíru, ako aj morálne imperatívy podliehajú zásadne odlišným zákonom, kde existuje aj neodstrániteľná zložitosť, aj neistota, náhoda a nezvratnosť.
Dôsledky veľkej vedeckej revolúcie sa však neobmedzujú len na tie, ktoré už boli spomenuté. Začiatkom 20. storočia mali myšlienky laplaciovsko-newtonovského determinizmu obrovský vplyv na rozvoj spoločenských vied. Kňazi spoločenských vied v nadväznosti na osobnosti klasickej prírodnej vedy, ktorí predstavovali prírodu ako pevnú mechanickú štruktúru, v ktorej sa všetky prvky riadia prísnymi zákonmi a budúcnosť možno jednoznačne predpovedať, ak je známy súčasný stav, nakreslili ľudskú spoločnosť, ktorá podlieha nemenným zákonom a vyvíja sa vopred určeným smerom. Jedným z posledných pokusov zachovať takýto obraz sveta bol zrejme marxizmus-leninizmus, oddaný konceptu „jedinej skutočnej vedeckej doktríny“, ktorej integrálnou súčasťou bolo „materialistické chápanie dejín“. Stačí pripomenúť Leninovu myšlienku vybudovať socialistickú spoločnosť podľa vzoru „veľkej továrne“.
Postupne s veľkými ťažkosťami začali do spoločenských a humanitných vied prenikať myšlienky zložitosti, náhodnosti, neistoty, ustálené v prírodovednom obraze vesmíru. V spoločnosti sa neistota realizuje cez fenomén osobnej slobody jednotlivca. Práve prítomnosť človeka v prírode ako subjektu, ktorý sa slobodne a nepredvídateľne rozhoduje, robí historický proces zložitým a nepodlieha žiadnym nemenným zákonom univerzálneho vývoja.
Nemožno si však nevšimnúť, že získanie nového obrazu zložitého sveta u nás prebiehalo veľmi ťažko. Ideológia, ktorá dominovala sedem desaťročí, smerovala k determinizmu Laplaciánskeho typu ako filozofii univerzálneho autoritárskeho poriadku. Práve tento princíp predurčenia bol základom sna, ktorý nikdy neopustil vládnucu sovietsku byrokraciu, o spoločnosti – továrni riadenej prísnymi zákonmi hierarchie. A preto vždy, keď išlo o zložitosť, pluralitu, diverzitu, či už išlo o teóriu relativity, kvantovú mechaniku, genetiku, kybernetiku, sociologický výskum, psychoanalýzu atď., okamžite sa spustil mechanizmus ideologickej cenzúry, ktorá mala za cieľ vyhnať z prírody aj zo spoločnosti všetky odkazy na slobodu. Bohužiaľ, inertné dedičstvo stále ovláda mysle mnohých našich krajanov a súčasníkov ako pochmúrny tieň. Dôkazom toho je bolestné pátranie iniciované úradmi po novej „národnej ideológii“, ktorá by mohla zaujať miesto uvoľnené smrťou komunistickej doktríny.
Kurt Gödel a jeho veľkí súčasníci nás teda prinútili znovu sa pozrieť na „hviezdne nebo nad našimi hlavami a na morálny zákon v nás“ a na spoločnosť, v ktorej žijeme.