SEKWENCJE NUMERYCZNE

POSTĘP ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY

Jeśli dla każdej liczby naturalnej N numer się zgadzał XN, to mówią, że jest dane sekwencja liczb X 1, X 2, …, XN, ….

Zapis sekwencji liczb {X N } .

Jednocześnie liczby X 1, X 2, …, XN, ... są nazywane członkowie ciągu .

Podstawowe metody określania ciągów liczbowych

1. Jednym z najwygodniejszych sposobów jest ustawienie sekwencji formułę jego wspólnego terminu : XN = F(N), N Î N.

Na przykład, XN = N 2 + 2N+ 3 Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Przelew bezpośredni skończona liczba pierwszych członków.

Na przykład https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" szerokość="87" wysokość="46 src=">

3. Relacja powtarzalności , tj. formuła wyrażająca n-termin poprzez poprzedni jeden lub więcej terminów.

Na przykład, blisko Fibonacciego zwany ciągiem liczb

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, które ustala się cyklicznie:

X 1 = 1, X 2 = 1, XN+1 = xn + xn–1 (N = 2, 3, 4, …).

Działania arytmetyczne na ciągach

1. Suma (różnica) sekwencje ( AN) I ( miliard cn } = { jakiś ± miliard}.

2. Praca sekwencje ( AN) I ( miliard) nazywa się ciągiem ( cn } = { jakiś× miliard}.

3. Prywatny sekwencje ( AN) I ( miliard }, miliard¹ 0, zwany ciągiem ( cn } = { jakiś×/ miliard}.

Własności ciągów liczbowych

1. Sekwencja ( XN) jest nazywany ograniczony powyżej M N nierówność jest prawdziwa XN £ M.

2. Sekwencja ( XN) jest nazywany ograniczony poniżej, jeśli taka liczba rzeczywista istnieje M, które dla wszystkich walorów przyrodniczych N nierówność jest prawdziwa XN ³ M.

3. Sekwencja ( XN) jest nazywany wzrastający N nierówność jest prawdziwa XN < XN+1.

4. Sekwencja ( XN) jest nazywany malejące, jeśli dla wszystkich wartości przyrodniczych N nierówność jest prawdziwa XN > XN+1.

5. Sekwencja ( XN) jest nazywany nierosnące, jeśli dla wszystkich wartości przyrodniczych N nierówność jest prawdziwa XN ³ XN+1.

6. Sekwencja ( XN) jest nazywany nie malejący, jeśli dla wszystkich wartości przyrodniczych N nierówność jest prawdziwa XN £ XN+1.

Nazywa się ciągi rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące monotonny sekwencje rosnące i malejące - ściśle monotonne.

Podstawowe techniki stosowane przy badaniu monotoniczności sekwencji

1. Korzystanie z definicji.

a) Dla badanej sekwencji ( XN) robi się różnicę

XN – XN+1, a następnie dowiadujemy się, czy dla którejkolwiek różnica ta zachowuje znak stały N Î N, a jeśli tak, to który dokładnie. W zależności od tego wyciąga się wniosek o monotoniczności (niemonotoniczności) sekwencji.

b) Dla ciągów o stałym znaku ( XN) można stworzyć relację XN+1/XN i porównaj z jednym.

Jeśli taka postawa jest przed wszystkimi N jest większa od jedności, to dla ciągu ściśle dodatniego wnioskuje się, że jest on rosnący, a dla ciągu ściśle ujemnego odpowiednio maleje.

Jeśli taka postawa jest przed wszystkimi N jest nie mniejszy niż jeden, wówczas dla sekwencji ściśle dodatniej wyciąga się wniosek, że nie jest ona malejąca, a dla sekwencji ściśle ujemnej odpowiednio nierosnąca.

Jeśli taka jest zależność przy niektórych liczbach N większe niż jeden i dla innych liczb N mniej niż jeden, wskazuje to na niemonotoniczny charakter ciągu.

2. Przejdź do funkcji argumentu rzeczywistego.

Niech będzie konieczne zbadanie ciągu liczbowego pod kątem monotoniczności

AN = F(N), N Î N.

Przedstawmy funkcję argumentu rzeczywistego X:

F(X) = A(X), X³ 1,

i sprawdź, czy nie jest monotonny.

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna na rozpatrywanym przedziale, to znajdujemy jej pochodną i sprawdzamy znak.

Jeżeli pochodna jest dodatnia, to funkcja rośnie.

Jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje.

Wracając do naturalnych wartości argumentu, rozszerzamy te wyniki na pierwotną sekwencję.

Numer A zwany granica ciągu XN, jeśli dla dowolnej dowolnie małej liczby dodatniej e istnieje taka liczba naturalna N, czyli dla wszystkich liczb N > N nierówność spełniona | xn – A | < e.

Obliczanie kwoty N pierwsze wyrazy ciągu

1. Przedstawienie wyrazu ogólnego ciągu w postaci różnicy dwóch lub więcej wyrażeń w taki sposób, że po podstawieniu większość wyrazów pośrednich zostaje zredukowana, a suma znacznie uproszczona.

2. Do sprawdzenia i udowodnienia istniejących wzorów na znajdowanie sum pierwszych wyrazów ciągu można zastosować metodę indukcji matematycznej.

3. Niektóre problemy z ciągami można sprowadzić do problemów obejmujących postępy arytmetyczne lub geometryczne.

Postępy arytmetyczne i geometryczne

Postęp arytmetyczny	Postęp geometryczny
Definicja XN }, NÎ N, nazywa się postępem arytmetycznym, jeśli każdy z jego wyrazów, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodanemu do tej samej stałej liczbowej dla danego ciągu D, tj. AN+1 = jakiś + D, Gdzie D– różnica w progresji, AN– członek wspólny ( N członek)	Definicja Sekwencja numerów ( XN }, NÎ N, nazywa się postępem geometrycznym, jeśli każdy z jego wyrazów, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, pomnożonemu przez tę samą liczbę stałą dla danego ciągu Q, tj. miliard+1 = miliard × Q, B 1¹0, Q ¹ 0, Gdzie Q– mianownik progresji, miliard– członek wspólny ( N członek)
Monotonia Jeśli D> 0, to progresja rośnie. Jeśli D < 0, то прогрессия убывающая.	Monotonia Jeśli B 1 > 0, Q> 1 lub B 1 < 0, 0 < Q < 1, то прогрессия возрастающая. Jeśli B 1 < 0, Q> 1 lub B 1 > 0, 0 < Q < 1, то прогрессия убывающая. Jeśli Q < 0, то прогрессия немонотонная
Wspólna formuła terminów AN = A 1 + D×( N – 1) Jeśli 1 zł k £ N– W takim razie 1 AN = ok + D×( N – k)	Wspólna formuła terminów miliard = B 1× qn – 1 Jeśli 1 zł k £ N– W takim razie 1 miliard = bk × qn –k
Charakterystyczna właściwość Jeśli 1 zł k £ N– W takim razie 1	Charakterystyczna właściwość Jeśli 1 zł k £ N– W takim razie 1
Nieruchomość jakiś + jestem = ok + glin, Jeśli N + M = k + l	Nieruchomość miliard × bm = bk × bł, Jeśli N + M = k + l
Suma pierwszego N członkowie sen = A 1 + A 2 + … + an Lub	Suma sen = B 1 + B 2 + … + miliard Jeśli Q Zatem nr 1. Jeśli Q= 1, zatem sen = B 1× N. Jeśli | Q| < 1 и N® ¥, zatem
Operacje na progresjach 1. Jeśli ( AN) I ( miliard) postępy arytmetyczne, następnie ciąg { jakiś ± miliard) jest również postępem arytmetycznym. 2. Jeśli wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego ( AN) pomnóż przez tę samą liczbę rzeczywistą k, wówczas wynikowy ciąg będzie również postępem arytmetycznym, którego różnica odpowiednio się zmieni k raz	Operacje na progresjach Jeśli ( AN) I ( miliard) postępy geometryczne z mianownikami Q 1 i Q 2 odpowiednio, to kolejność: 1) {jakiś× miliard Q 1× Q 2; 2) {jakiś/miliard) jest także postępem geometrycznym z mianownikiem Q 1/Q 2; 3) {|jakiś|) jest także postępem geometrycznym z mianownikiem | Q 1|

Podstawowe metody rozwiązywania problemów progresji

1. Jedna z najczęstszych metod rozwiązania problemy z postępami arytmetycznymi polega na tym, że wszystkie terminy postępu uwzględnione w stwierdzeniu problemu są wyrażone poprzez różnicę postępu D A D I A 1.

2. Powszechna i uważana za standardową metodę rozwiązania problemy postępu geometrycznego , gdy wszyscy członkowie postępu geometrycznego występujący w stwierdzeniu problemu są wyrażeni przez mianownik postępu Q i którykolwiek z jego członków, najczęściej pierwszy B 1. Na podstawie warunków problemu kompiluje się i rozwiązuje system z niewiadomymi Q I B 1.

Przykłady rozwiązywania problemów

Problem 1 .

Podana sekwencja XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2 + 1). Znajdź kwotę sen Pierwszy N członkowie tej sekwencji.

Rozwiązanie. Przekształćmy wyrażenie na człon ogólny ciągu:

XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2 + 1) = 4N 3 + 4N – 6N 2 – 1 = N 4 – N 4 + 4N 3 – 6N 2 + 4N – 1 =

= N 4 – (N 4 – 4N 3 + 6N 2 – 4N+ 1) = N 4 – (N – 1)4.

sen = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (N 4 – (N – 1)4) = N 4.

Problem 2 .

Podana sekwencja AN = 3N+ 2..gif" szerokość="429" wysokość="45">.

Stąd, A(3N + 5) +B(3N + 2) = 1,

(3A + 3B)N + (5A + 2B) = 1.

N.

N 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, W = –1/3.

Zatem https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" szerokość="197" wysokość="45">.gif" szerokość="113" wysokość="45">.gif " szerokość="39" wysokość="41 src="> AN. Czy liczba 1980 należy do tego ciągu? Jeśli tak, to określ jego liczbę.

Rozwiązanie. Wypiszmy te pierwsze N elementy tego ciągu:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" szerokość="63" wysokość="41">.gif" szerokość="108" wysokość="41"> .gif" szerokość="93" wysokość="41">.

Pomnóżmy te równości:

A 1A 2A 3A 4A 5…jakiś-2jakiś-1jakiś = A 1A 2A 3A 4A 5…jakiś-2jakiś-1.

Stąd, jakiś = N(N + 1).

Następnie, 1980 = N(N+ 1) Û N 2 + N– 1980 = 0 Û N = –45 < 0, N= 44 O N.

Odpowiedź: Tak, N = 44.

Problem 4 .

Znajdź kwotę S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN liczby A 1, A 2, A 3, …,AN, co dla każdego naturalnego N spełniać równość sen = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + NAN = .

Rozwiązanie. S 1 = A 1 = 2/3.

Dla N > 1, niania = sen – sen–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" szerokość="216" wysokość="48 src=">.

Stąd, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" szerokość="244" wysokość="44">,

A(N + 1)(N + 2) + Bn(N + 2) + Cn(N + 1) = 1

(A + B + C)N 2 + (3A + 2B + C)N + 2A = 1,

Przyrównajmy współczynniki do odpowiednich potęg N.

N 2 | A + B + C= 0,

N 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Rozwiązując powstały układ, otrzymujemy A = 1/2, W= –1, C = 1/2.

Zatem https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" szerokość="139" wysokość="45 src=">.gif" szerokość="73" wysokość="41">,

Gdzie , , N > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" szerokość="233" wysokość="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" szerokość="257" wysokość="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" szerokość="72" wysokość="41 src=">= =

Problem 5 .

Znajdź największy wyraz ciągu .

Rozwiązanie. Włóżmy miliard = –N 2 + 8N – 7 = 9 – (N – 4)2, .

Niektórzy traktują słowo „postęp” z ostrożnością, jako bardzo złożone pojęcie z dziedzin matematyki wyższej. Tymczasem najprostszym postępem arytmetycznym jest praca taksometru (o ile jeszcze istnieją). A zrozumienie istoty (a w matematyce nie ma nic ważniejszego niż „zrozumienie istoty”) ciągu arytmetycznego nie jest takie trudne, po przeanalizowaniu kilku elementarnych pojęć.

Matematyczny ciąg liczb

Sekwencję liczbową nazywa się zwykle serią liczb, z których każda ma swój własny numer.

a 1 jest pierwszym członkiem sekwencji;

oraz 2 jest drugim wyrazem ciągu;

7 jest siódmym elementem ciągu;

oraz n oznacza n-ty element ciągu;

Jednak nie interesuje nas żaden dowolny zestaw liczb i liczb. Skupimy naszą uwagę na ciągu liczbowym, w którym wartość n-tego wyrazu jest powiązana z jego liczbą porządkową za pomocą dającej się jasno sformułować matematycznie zależności. Innymi słowy: wartość liczbowa n-tej liczby jest jakąś funkcją n.

a jest wartością elementu ciągu liczbowego;

n to numer seryjny;

f(n) jest funkcją, gdzie argumentem jest liczba porządkowa w ciągu numerycznym n.

Definicja

Postęp arytmetyczny nazywa się zwykle ciągiem liczbowym, w którym każdy kolejny wyraz jest większy (mniejszy) od poprzedniego o tę samą liczbę. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest następujący:

a n - wartość bieżącego członka ciągu arytmetycznego;

a n+1 - wzór na następną liczbę;

d - różnica (pewna liczba).

Łatwo ustalić, że jeśli różnica będzie dodatnia (d>0), to każdy kolejny element rozpatrywanego szeregu będzie większy od poprzedniego i taki postęp arytmetyczny będzie rosnący.

Na poniższym wykresie łatwo zrozumieć, dlaczego sekwencja liczb nazywa się „rosnącą”.

W przypadkach, gdy różnica jest ujemna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Określona wartość elementu członkowskiego

Czasami konieczne jest określenie wartości dowolnego dowolnego wyrazu n ciągu arytmetycznego. Można to zrobić, obliczając sekwencyjnie wartości wszystkich członków ciągu arytmetycznego, zaczynając od pierwszego do żądanego. Jednak ta ścieżka nie zawsze jest akceptowalna, jeśli na przykład konieczne jest znalezienie wartości pięciotysięcznego lub ośmiomilionowego wyrazu. Tradycyjne obliczenia zajmą dużo czasu. Jednakże konkretny postęp arytmetyczny można badać za pomocą pewnych wzorów. Istnieje również wzór na n-ty wyraz: wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego można wyznaczyć jako sumę pierwszego wyrazu ciągu z różnicą postępu, pomnożoną przez liczbę żądanego wyrazu, pomniejszoną przez jeden.

Formuła jest uniwersalna dla progresji rosnącej i malejącej.

Przykład obliczenia wartości danego wyrazu

Rozwiążmy następujący problem znalezienia wartości n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego.

Warunek: istnieje postęp arytmetyczny z parametrami:

Pierwszy wyraz ciągu to 3;

Różnica w szeregach liczbowych wynosi 1,2.

Zadanie: musisz znaleźć wartość 214 wyrazów

Rozwiązanie: aby określić wartość danego wyrazu, korzystamy ze wzoru:

a(n) = a1 + d(n-1)

Podstawiając dane ze sformułowania problemu do wyrażenia, mamy:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpowiedź: 214. wyraz ciągu jest równy 258,6.

Zalety tej metody obliczeń są oczywiste – całe rozwiązanie zajmuje nie więcej niż 2 linie.

Suma danej liczby wyrazów

Bardzo często w danym szeregu arytmetycznym konieczne jest wyznaczenie sumy wartości niektórych jego odcinków. Aby to zrobić, nie ma również potrzeby obliczania wartości każdego terminu, a następnie ich dodawania. Metodę tę można zastosować, jeśli liczba wyrazów, których sumę należy znaleźć, jest niewielka. W innych przypadkach wygodniej jest zastosować następującą formułę.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do n jest równa sumie pierwszego i n-tego wyrazu pomnożonej przez liczbę wyrazu n i podzielonej przez dwa. Jeśli we wzorze wartość n-tego wyrazu zastąpimy wyrażeniem z poprzedniego akapitu artykułu, otrzymamy:

Przykład obliczeń

Na przykład rozwiążmy problem z następującymi warunkami:

Pierwszy wyraz ciągu wynosi zero;

Różnica wynosi 0,5.

Zadanie wymaga wyznaczenia sumy wyrazów szeregu od 56 do 101.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na określenie wielkości progresji:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najpierw wyznaczamy sumę wartości 101 wyrazów progresji, podstawiając podane warunki naszego problemu do wzoru:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Oczywiście, aby znaleźć sumę warunków progresji od 56. do 101., należy odjąć S 55 od S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Zatem suma postępu arytmetycznego w tym przykładzie wynosi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Przykład praktycznego zastosowania postępu arytmetycznego

Na koniec artykułu wróćmy do przykładu ciągu arytmetycznego podanego w pierwszym akapicie – taksometru (licznik taksówki). Rozważmy ten przykład.

Wejście na taksówkę (co obejmuje 3 km przejazdu) kosztuje 50 rubli. Każdy kolejny kilometr płatny jest według stawki 22 rubli/km. Odległość dojazdu 30 km. Oblicz koszt podróży.

1. Odrzućmy pierwsze 3 km, których cena jest wliczona w koszt lądowania.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalsze obliczenia to nic innego jak analizowanie szeregu liczb arytmetycznych.

Numer członkowski – liczba przejechanych kilometrów (minus pierwsze trzy).

Wartość elementu jest sumą.

Pierwszy człon tego problemu będzie równy 1 = 50 rubli.

Różnica w progresji d = 22 r.

interesująca nas liczba to wartość (27+1)-tego wyrazu ciągu arytmetycznego - stan licznika na końcu 27. kilometra wynosi 27,999... = 28 km.

za 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Obliczenia danych kalendarzowych dla dowolnie długiego okresu opierają się na wzorach opisujących określone ciągi liczbowe. W astronomii długość orbity jest geometrycznie zależna od odległości ciała niebieskiego od gwiazdy. Ponadto różne szeregi liczbowe są z powodzeniem stosowane w statystyce i innych stosowanych obszarach matematyki.

Innym rodzajem ciągu liczbowego jest ciąg geometryczny

Postęp geometryczny charakteryzują się dużymi w porównaniu z arytmetyką szybkościami zmian. To nie przypadek, że w polityce, socjologii i medycynie, aby pokazać dużą prędkość rozprzestrzeniania się konkretnego zjawiska, na przykład choroby w czasie epidemii, mówi się, że proces ten rozwija się w postępie geometrycznym.

N-ty wyraz geometrycznej serii liczb różni się od poprzedniego tym, że jest mnożony przez jakąś stałą liczbę - mianownik, na przykład, pierwszy wyraz wynosi 1, mianownik jest odpowiednio równy 2, a następnie:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - wartość bieżącego wyrazu postępu geometrycznego;

b n+1 - wzór na kolejny wyraz ciągu geometrycznego;

q jest mianownikiem postępu geometrycznego (liczba stała).

Jeśli wykres postępu arytmetycznego jest linią prostą, to postęp geometryczny przedstawia nieco inny obraz:

Podobnie jak w przypadku arytmetyki, postęp geometryczny ma wzór na wartość dowolnego wyrazu. Dowolny n-ty wyraz postępu geometrycznego jest równy iloczynowi pierwszego wyrazu i mianownika postępu do potęgi n pomniejszonej o jeden:

Przykład. Mamy postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 3, a mianownik postępu jest równy 1,5. Znajdźmy piąty wyraz progresji

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Sumę danej liczby wyrazów oblicza się również za pomocą specjalnego wzoru. Suma n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest równa różnicy między iloczynem n-tego wyrazu postępu i jego mianownika a pierwszym wyrazem postępu, podzielonej przez mianownik pomniejszony o jeden:

Jeżeli b n zastąpimy wzorem omówionym powyżej, wartość sumy pierwszych n wyrazów rozpatrywanego szeregu liczbowego będzie miała postać:

Przykład. Postęp geometryczny rozpoczyna się od pierwszego wyrazu równego 1. Mianownik jest ustawiony na 3. Znajdźmy sumę pierwszych ośmiu wyrazów.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Zanim zaczniemy decydować problemy z postępem arytmetycznym, zastanówmy się, czym jest ciąg liczb, ponieważ postęp arytmetyczny jest szczególnym przypadkiem ciągu liczbowego.

Sekwencja numerów to zbiór liczb, którego każdy element ma swój własny numer seryjny. Elementy tego zbioru nazywane są elementami ciągu. Numer seryjny elementu sekwencji jest oznaczony indeksem:

Pierwszy element ciągu;

Piąty element ciągu;

- „n-ty” element ciągu, tj. element „stojący w kolejce” pod numerem n.

Istnieje związek pomiędzy wartością elementu sekwencji a jego numerem sekwencyjnym. Zatem sekwencję możemy traktować jako funkcję, której argumentem jest liczba porządkowa elementu ciągu. Inaczej mówiąc, możemy tak powiedzieć sekwencja jest funkcją argumentu naturalnego:

Kolejność można ustawić na trzy sposoby:

1 . Kolejność można określić za pomocą tabeli. W tym przypadku po prostu ustawiamy wartość każdego elementu sekwencji.

Na przykład Ktoś postanowił zająć się zarządzaniem czasem osobistym i na początek policzyć, ile czasu spędza na VKontakte w ciągu tygodnia. Zapisując czas w tabelce otrzyma sekwencję składającą się z siedmiu elementów:

Pierwszy wiersz tabeli wskazuje numer dnia tygodnia, drugi - czas w minutach. Widzimy to, czyli w poniedziałek Ktoś spędził na VKontakte 125 minut, czyli w czwartek - 248 minut, a czyli w piątek tylko 15.

2 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru na n-ty wyraz.

W tym przypadku zależność wartości elementu ciągu od jego liczby wyraża się bezpośrednio w postaci wzoru.

Na przykład, jeśli , to

Aby znaleźć wartość elementu ciągu o podanej liczbie, podstawiamy numer elementu do wzoru na n-ty wyraz.

To samo robimy, jeśli chcemy znaleźć wartość funkcji, jeśli znana jest wartość argumentu. Podstawiamy wartość argumentu do równania funkcji:

Jeśli na przykład , To

Jeszcze raz zauważę, że w ciągu, w przeciwieństwie do dowolnej funkcji numerycznej, argumentem może być tylko liczba naturalna.

3 . Sekwencję można określić za pomocą wzoru wyrażającego zależność wartości członka sekwencji o numerze n od wartości poprzednich członków. W tym przypadku nie wystarczy znać tylko numer elementu ciągu, aby znaleźć jego wartość. Musimy określić pierwszego członka lub kilka pierwszych członków sekwencji.

Rozważmy na przykład sekwencję ,

Możemy znaleźć wartości członków sekwencji kolejno, zaczynając od trzeciego:

Oznacza to, że za każdym razem, aby znaleźć wartość n-tego wyrazu ciągu, wracamy do dwóch poprzednich. Ta metoda określania sekwencji nazywa się nawracający, od słowa łacińskiego powtarzalne- Wróć.

Teraz możemy zdefiniować postęp arytmetyczny. Postęp arytmetyczny to prosty przypadek specjalny ciągu liczbowego.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem liczbowym, którego każdy element, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu dodanemu do tej samej liczby.

Numer jest wywoływany różnica postępu arytmetycznego. Różnica ciągu arytmetycznego może być dodatnia, ujemna lub równa zeru.

Jeśli tytuł="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} wzrastający.

Na przykład 2; 5; 8; jedenaście;...

Jeśli , to każdy wyraz postępu arytmetycznego jest mniejszy od poprzedniego i postęp jest malejące.

Na przykład 2; -1; -4; -7;...

Jeśli , to wszystkie wyrazy progresji są równe tej samej liczbie i progresja jest taka stacjonarny.

Na przykład 2;2;2;2;...

Główna właściwość postępu arytmetycznego:

Spójrzmy na zdjęcie.

Widzimy to

, i w tym samym czasie

Dodając te dwie równości, otrzymujemy:

.

Podziel obie strony równości przez 2:

Zatem każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich:

Co więcej, od

, i w tym samym czasie

, To

, i dlatego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego rozpoczynający się od title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formuła wyrazu VII.

Widzimy, że wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają następujące zależności:

i w końcu

Mamy wzór na n-ty wyraz.

WAŻNY! Dowolny element ciągu arytmetycznego można wyrazić za pomocą i. Znając pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, możesz znaleźć dowolny jego wyraz.

Suma n wyrazów postępu arytmetycznego.

W dowolnym postępie arytmetycznym sumy wyrazów w jednakowej odległości od skrajnych są sobie równe:

Rozważmy postęp arytmetyczny z n wyrazami. Niech suma n warunków tego postępu będzie równa .

Uporządkujmy warunki progresji najpierw w kolejności rosnącej liczb, a następnie w kolejności malejącej:

Dodajmy parami:

Suma w każdym nawiasie wynosi , liczba par wynosi n.

Otrzymujemy:

Więc, sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można obliczyć korzystając ze wzorów:

Rozważmy rozwiązywanie problemów z postępem arytmetycznym.

1 . Sekwencję podaje wzór na n-ty wyraz: . Udowodnić, że ciąg ten jest postępem arytmetycznym.

Udowodnijmy, że różnica między dwoma sąsiednimi wyrazami ciągu jest równa tej samej liczbie.

Odkryliśmy, że różnica między dwoma sąsiednimi elementami ciągu nie zależy od ich liczby i jest stała. Zatem z definicji ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym.

2 . Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny -31; -27;...

a) Znajdź 31 wyrazów progresji.

b) Ustal, czy liczba 41 wchodzi w tę progresję.

A) Widzimy to ;

Zapiszmy wzór na n-ty wyraz naszej progresji.

Ogólnie

W naszym przypadku , Dlatego

Jeśli dla każdej liczby naturalnej N dopasować liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że jest dane sekwencja liczb :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś , . . . .

Zatem sekwencja liczb jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer A 1 zwany pierwszy wyraz ciągu , numer A 2 — drugi wyraz ciągu , numer A 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś zwany n-ty element ciągu i liczba naturalna N — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś I jakiś +1 członek sekwencji jakiś +1 zwany późniejszy (w kierunku jakiś ), A jakiś — poprzedni (w kierunku jakiś +1 ).

Aby zdefiniować ciąg, należy określić metodę, która pozwoli znaleźć element ciągu o dowolnym numerze.

Często kolejność jest określana za pomocą n-te formuły wyrazowe , czyli formuła pozwalająca określić element ciągu na podstawie jego numeru.

Na przykład,

Za pomocą wzoru można podać ciąg dodatnich liczb nieparzystych

jakiś= 2N- 1,

i kolejność naprzemienności 1 I -1 - formuła

B N = (-1)N +1 . ◄

Można ustalić kolejność powtarzalna formuła, to znaczy formuła wyrażająca dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, a kończąc na poprzednich (jednym lub większej liczbie) elementów.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 1 , A jakiś +1 = jakiś + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wówczas pierwsze siedem wyrazów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał I nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny , jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony , jeśli ma nieskończenie wiele elementów.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się malejące , jeśli każdy z jego członków, zaczynając od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — ciąg rosnący;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — ciąg malejący. ◄

Nazywa się ciąg, którego elementy nie zmniejszają się wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie monotonna sekwencja .

W szczególności ciągi monotoniczne to ciągi rosnące i malejące.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy człon, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodawana jest ta sama liczba.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , jakiś, . . .

jest postępem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + D,

Gdzie D - pewna liczba.

Zatem różnica między kolejnymi i poprzednimi wyrazami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - A 1 = 3 - A 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = D.

Numer D zwany różnica postępu arytmetycznego.

Aby zdefiniować postęp arytmetyczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i różnicę.

Na przykład,

Jeśli A 1 = 3, D = 4 , to znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + D = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + D= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Dla postępu arytmetycznego z pierwszym wyrazem A 1 i różnica D jej N

jakiś = 1 + (N- 1)D.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, D = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)D,

jakiś= 1 + (N- 1)D,

jakiś +1 = A 1 + II,

wtedy oczywiście

jakiś=	za n-1 + za n+1
	2

Każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzednich i kolejnych elementów.

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2N- 7 , jest postępem arytmetycznym.

Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Stąd,

za n+1 + za n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = jakiś,
2		2

◄

Zauważ to N Wyraz dziewiątego ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez A 1 , ale także wszelkie poprzednie k

jakiś = k + (N- k)D.

Na przykład,

Dla A 5 można zapisać

5 = 1 + 4D,

5 = 2 + 3D,

5 = 3 + 2D,

5 = 4 + D. ◄

jakiś = nk + kd,

jakiś = n+k - kd,

wtedy oczywiście

jakiś=	A nie wiem + za n+k
	2

każdy element ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy połowie sumy równo rozmieszczonych elementów tego postępu arytmetycznego.

Ponadto dla dowolnego postępu arytmetycznego zachodzi równość:

za m + za n = za k + za l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) za 2 + za 12 = za 5 + za 9, ponieważ

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= za 1 + za 2 + za 3 + . . .+ jakiś,

Pierwszy N wyrazy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów i liczby wyrazów:

Stąd w szczególności wynika, że ​​jeśli trzeba podsumować warunki

k, k +1 , . . . , jakiś,

wówczas poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podany jest postęp arytmetyczny, to ilości A 1 , jakiś, D, N IS N połączone dwoma wzorami:

Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiadające im wartości dwóch pozostałych wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny jest ciągiem monotonicznym. W której:

• Jeśli D > 0 , to rośnie;
• Jeśli D < 0 , to maleje;
• Jeśli D = 0 , to ciąg będzie stacjonarny.

Postęp geometryczny

Postęp geometryczny to ciąg, w którym każdy element, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej N warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · Q,

Gdzie Q ≠ 0 - pewna liczba.

Zatem stosunek kolejnego wyrazu danego ciągu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numer Q zwany mianownik postępu geometrycznego.

Aby zdefiniować postęp geometryczny, wystarczy wskazać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

Jeśli B 1 = 1, Q = -3 , to znajdujemy pierwsze pięć wyrazów ciągu w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 i mianownik Q jej N Termin ten można znaleźć korzystając ze wzoru:

b n = B 1 · qn -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) elementów poprzedzających i kolejnych.

Ponieważ prawdą jest również sytuacja odwrotna, zachodzi następujące stwierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi wyrazami pewnego postępu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną dwóch pozostałych.

Na przykład,

Udowodnimy, że ciąg określony wzorem b n= -3 · 2 N , jest postępem geometrycznym. Skorzystajmy z powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 · 2 N,

b n -1 = -3 · 2 N -1 ,

b n +1 = -3 · 2 N +1 .

Stąd,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co dowodzi pożądanego stwierdzenia. ◄

Zauważ to N Termin ciągu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez B 1 , ale także każdego poprzedniego członka b k , dla czego wystarczy skorzystać ze wzoru

b n = b k · qn - k.

Na przykład,

Dla B 5 można zapisać

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

wtedy oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego, zaczynając od drugiego, jest równy iloczynowi równo rozmieszczonych wyrazów tego ciągu.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego prawdziwa jest równość:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Na przykład,

w postępie geometrycznym

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , ponieważ

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Pierwszy N elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem Q ≠ 0 obliczane według wzoru:

I kiedy Q = 1 - zgodnie ze wzorem

S n= uwaga 1

Pamiętaj, że jeśli chcesz zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wówczas stosuje się wzór:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Na przykład,

w postępie geometrycznym 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podany jest postęp geometryczny, to ilości B 1 , b n, Q, N I S n połączone dwoma wzorami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas z tych wzorów zostaną określone odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości, połączone w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym wyrazem B 1 i mianownik Q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

• progresja wzrasta, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I Q> 1;

B 1 < 0 I 0 < Q< 1;

• Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

B 1 > 0 I 0 < Q< 1;

B 1 < 0 I Q> 1.

Jeśli Q< 0 , to postęp geometryczny jest naprzemienny: jego wyrazy o liczbach nieparzystych mają ten sam znak, co pierwszy wyraz, a wyrazy o liczbach parzystych mają znak przeciwny. Jest oczywiste, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszy N członków ciągu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie malejący postęp geometryczny

Nieskończenie malejący postęp geometryczny nazywany nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy 1 , to jest

|Q| < 1 .

Należy zauważyć, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być sekwencją malejącą. Pasuje do okazji

1 < Q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego podaj liczbę, do której suma pierwszych zbliża się bez ograniczeń N członkowie progresji o nieograniczonym zwiększeniu liczby N . Liczba ta jest zawsze skończona i wyrażana jest wzorem

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek pomiędzy postępem arytmetycznym i geometrycznym

Postęp arytmetyczny i geometryczny są ze sobą ściśle powiązane. Spójrzmy tylko na dwa przykłady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , To

b.a 1 , b.a 2 , b.a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - postęp geometryczny z mianownikiem Q , To

zaloguj a b 1, zaloguj a b 2, zaloguj a b 3, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięQ .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . - postęp geometryczny z mianownikiem 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - postęp arytmetyczny z różnicą lg 6 . ◄