Twierdzenie Gödla o niezupełności, które udowodnił w 1931 roku, gdy miał 25 lat, zburzyło podstawowe zasady współczesnej nauki, tak jak piętnaście lat wcześniej ogólna teoria względności Einsteina. Gödel wykazał, że elementarna arytmetyka jest niekompletna i taka pozostanie.
Życie i lęki Gödla
Kurt Friedrich Gödel (28 kwietnia 1906 - 14 stycznia 1978) był austriackim logikiem , matematykiem i filozofem matematyki , najbardziej znanym ze sformułowania i dowodu twierdzenia o niezupełności . Kurt Godel urodził się w austro-węgierskim (morawskim) mieście Brunn (obecnie Brno, Republika Czeska) w rodzinie niemieckiej. Ojciec Kurta, Rudolf Gödel, był kierownikiem fabryki włókienniczej. Kurta Godela
W wieku 18 lat Gödel wstąpił na Uniwersytet Wiedeński. Tam studiował fizykę przez dwa lata, ale potem przeszedł na matematykę.
Zwykle Gödel jest uważany za Austriaka, ale w ciągu swojego życia kilkakrotnie zmieniał obywatelstwo. Urodzony jako poddany Austro-Węgier, obywatelstwo Czechosłowacji przyjął w wieku 12 lat po upadku Cesarstwa Austro-Węgierskiego. W wieku 23 lat Gödel został obywatelem Austrii, aw wieku 32 lat, po zdobyciu Austrii przez Hitlera, automatycznie stał się obywatelem Rzeszy Niemieckiej. W 1940 wyjechał do Stanów Zjednoczonych, a ze względu na niebezpieczeństwo przeprawy przez Atlantyk w czasie wojny przedostał się przez ZSRR i Japonię. W USA dostał pracę w słynnym Institute for Advanced Study (Princeton University).
Od lat 30. XX wieku Gödel wykazywał oznaki problemów psychicznych, które zwykle były ukryte, przejawiające się częstym niepokojem i nadmierną podejrzliwością, ale w okresach zaostrzeń przybierały bardziej oczywiste, obsesyjne formy. Tak więc w 1936 roku rozwinął u niego paranoiczny lęk przed zatruciem. Wsparciem Godla w trudnych chwilach była jego żona Adele, która karmiła go łyżeczką i dosłownie odeszła od męża. Z zachowanych zapisów kwerend bibliotecznych z tego okresu wiadomo, że studiował literaturę dotyczącą zaburzeń psychicznych, farmakologii i toksykologii (zwłaszcza wielokrotne odwoływanie się do poradnika technicznego zatrucia tlenkiem węgla), co tylko komplikowało jego późniejsze leczenie.
Później, w Princeton (1941), pomimo poprawy stanu ogólnego, Gödel nadal odczuwał dyskomfort związany z obecnością jednostek, które jego zdaniem były zdolne do wydzielania trujących gazów. Z tego powodu kazał nawet wynieść lodówkę i kaloryfer z ich mieszkania z Adele. Jego obsesja na punkcie świeżego powietrza i podejrzeń co do lodówki utrzymywała się do końca życia, a okresy umiarkowanej rekonwalescencji i pogorszenia stanu psychicznego następowały po sobie. Te drugie zdarzały się jednak częściej i były trudniejsze. Kryzys 1970 roku okazał się więc znacznie gorszy niż ten z 1936 roku i towarzyszyły mu halucynacje, paranoiczne zachowania wobec lekarzy i współpracowników. Stan zdrowia Adele gwałtownie się pogarszał, teraz nie mogła się nim opiekować tak jak kiedyś, a on z kolei zajmował się nią. Ogromnego wsparcia udzielił mu przyjaciel Gödla, Oskar Morgenstern.
W lutym 1976 roku paranoja Gödla ponownie się pogorszyła, waga zaczęła spadać i skłoniono go do hospitalizacji. Jednak tydzień później, nawet nie wypisany ze szpitala, wrócił do domu. Podejrzenia dotyczyły teraz także jego żony – powiedział Morgensternowi i innym osobom, że rzekomo rozdała mu wszystkie pieniądze pod jego nieobecność. Adele była hospitalizowana w czerwcu (do sierpnia). Gödel najwyraźniej spędzał z nią sporo czasu i źle jadł. Jesienią na krótko wrócił do szpitala, gdzie, jak powiedział, rzekomo próbowano go zabić. Po powrocie do domu stan nie uległ poprawie. Mimo namów przyjaciół odmówił kolejnej hospitalizacji. Gödla i Einsteina
W lipcu 1977 roku Adele ponownie trafiła do szpitala, w którym przebywała do grudnia. 26 lipca Morgenstern zmarł. Wydarzenie to oraz nieobecność żony miały decydujący wpływ na stan Gödla w następnych miesiącach – anoreksja i paranoja postępowały aktywniej. 29 grudnia, po namowach żony, która wróciła tydzień temu, Gödel zgodził się na hospitalizację. Jednak lekarze nie mogli już udzielić żadnej znaczącej pomocy. Naukowiec zmarł z powodu „niedożywienia i wyczerpania” wywołanego „zaburzeniami osobowości” 14 stycznia 1978 r. W Princeton w stanie New Jersey.
Gödel był logikiem i filozofem nauki. Najsłynniejszym osiągnięciem Gödla są twierdzenia o niezupełności, które sformułował i udowodnił, opublikowane w 1931 roku i bezpośrednio związane z drugim problemem ze słynnej listy Hilberta.
Lista Hilberta to lista 23 kardynalnych problemów matematycznych, przedstawiona przez Davida Hilberta na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku. Wtedy te problemy (obejmujące podstawy matematyki, algebrę, teorię liczb, geometrię, topologię, geometrię algebraiczną, grupy Liego, analizę rzeczywistą i zespoloną, równania różniczkowe, fizykę matematyczną i teorię prawdopodobieństwa, a także rachunek wariacyjny) nie zostały rozwiązane . Do tej pory rozwiązano 16 z 23 problemów.
Pierwsze twierdzenie mówi, że jeśli arytmetyka formalna jest niesprzeczna, to zawiera niepodważalną i niepodważalną formułę.
Drugie twierdzenie głosi, że jeśli arytmetyka formalna jest niesprzeczna, to nie jest w niej wyprowadzana jakaś formuła, która w sposób sensowny stwierdza spójność tej arytmetyki.
Aksjomaty euklidesowe
Kurs geometrii nauczany w szkołach średnich na całym świecie oparty jest na Elementach Euklidesa. Starożytny Grek, który żył już w III wieku pne, sformułował kilka aksjomatów dotyczących własności punktów i linii prostych na płaszczyźnie, z których wynika ważność wielu użytecznych i ważnych twierdzeń geometrycznych. Aksjomaty Euklidesa są proste i nie do udowodnienia. Jedna z nich mówi, że przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną linię prostą. Po drugie proste równoległe przecinają się w nieskończoności. Twierdzenia te są przyjmowane jako coś oczywistego i nie wymagającego dowodu. W rzeczywistości Euklidesowi udało się przedstawić całą geometrię za pomocą niewielkiej liczby prawdziwych i podstawowych twierdzeń, wyrażonych bardzo jasno i zwięźle.
Matematycy postanowili, posługując się „metodą” Euklidesa, spróbować w podobny sposób przedstawić inne gałęzie matematyki. Powiedzmy, że nauka o liczbach.
(1978-01-14 ) (71 lat)Republika Czechosłowacka →
Republika Austrii →
USA
Biografia [ | ]
wczesne lata [ | ]
Kurt Gödel urodził się 28 kwietnia 1906 roku w austro-węgierskim (morawskim) mieście Brunn (obecnie Brno, Republika Czeska) w niemieckiej rodzinie. Ojciec Kurta - Rudolf Gödel (1874-1929) - był współwłaścicielem i kierownikiem dużej fabryki włókienniczej. Rodzina miała również starszego brata, nazwanego na cześć swojego ojca Rudolfa. Od dzieciństwa Kurta wyróżniała nieśmiałość, zapatrzenie w siebie, hipochondria, a także skrajna podejrzliwość - często inspirował się przeróżnymi przesądami, których nie mógł się pozbyć do końca życia (np. upału nosił ciepłe ubrania i rękawiczki, bo uważał, że bez powodu ma słabe serce).
To przemówienie nie było zapowiadane z wyprzedzeniem i odniosło oszałamiający efekt, Gödel natychmiast stał się światową gwiazdą, a program Hilberta sformalizowania podstaw matematyki wymagał pilnej rewizji. Artykuł z obu twierdzeń ( „ O fundamentalnie nierozwiązywalnych twierdzeniach w Principia Mathematica i systemach pokrewnych”) ukazał się w miesięczniku naukowym Monatshefte fur Mathematik und Physik w 1931 roku Chociaż Gödel dał dowód drugiego twierdzenia jedynie w postaci idei, jego wynik był tak jasny i niezaprzeczalny, że nikt w to nie wątpił. Hilbert natychmiast docenił wartość odkryć Gödla; pierwsze kompletne dowody obu twierdzeń zostały opublikowane w Foundations of Mathematics Hilberta i Bernaysa (1938). We wstępie do tomu drugiego autorzy przyznali, że metody skończone nie wystarczą do osiągnięcia celu i do listy środków logicznych dodali indukcję pozaskończoną; w 1936 roku Gerhardowi Gentzenowi udało się udowodnić spójność arytmetyki za pomocą tego aksjomatu, ale logiczna kompletność pozostała nieosiągalna.
W 1933 r., już na stanowisku Privatdozenta na Uniwersytecie Wiedeńskim, Gödel otrzymał zaproszenie na Uniwersytet Princeton (USA), gdzie prowadził kurs wykładów „O twierdzeniach nierozstrzygalnych formalnych systemów matematycznych”. W Princeton poznał i zaprzyjaźnił się z Einsteinem. Później (1934-1939) Gödel prawie co roku odwiedzał Princeton, co w znacznym stopniu przyczyniło się do rozwoju amerykańskiej szkoły logiki matematycznej (Kleene, Church i inni).
W marcu 1938 roku Austria została przyłączona do nazistowskich Niemiec. W trakcie rozpoczętej reformy systemu uniwersyteckiego Gödel został bez pracy, choć nie miał „niearyjskiej krwi”. Na dodatek 32-letni matematyk został uznany za zdolnego do służby wojskowej i otrzymał wezwanie mobilizacyjne. Od tego momentu obojętny dotychczas na politykę Gödel zaczął myśleć o emigracji. W tym samym roku 1938 Gödel poślubił starszą o 6 lat tancerkę Adele Porkert; małżeństwo było udane. Nie mieli dzieci.
W 1940 roku Gödel wyjechał do Stanów Zjednoczonych, a ze względu na niebezpieczeństwo przeprawy przez Atlantyk w czasie wybuchu wojny przedostał się tam przez zaprzyjaźniony z Niemcami Związek Sowiecki (Koleją Transsyberyjską) i Japonię ten czas. W Stanach Zjednoczonych bez problemów otrzymał posadę na nowo powstałym Uniwersytecie Princeton, aw 1953 roku został tam uznany za profesora. Matka została w Brnie, Gödel pisał do niej regularnie. Od 1940 r. Gödel nie publikował żadnych dalszych opracowań z zakresu logiki, z wyjątkiem komentarzy o charakterze filozoficznym.
W 1948 Gödel otrzymał obywatelstwo amerykańskie. Podczas wywiadu próbował udowodnić, że Konstytucja USA jest formalnie i logicznie niekompletna i nie gwarantuje przeciw ustanowieniu dyktatury, ale został grzecznie zatrzymany.
Aż do śmierci Einsteina (1955) spędzali razem dużo czasu, żywo dyskutując o fizyce, polityce i filozofii. Rozmowy te zaowocowały kilkoma artykułami Gödla na temat teorii względności. Gödel nie wrócił do Austrii nawet po wojnie, choć Uniwersytet Wiedeński uporczywie go zapraszał.
Choroba i śmierć[ | ]
Od lat 30. XX wieku Gödel wykazywał oznaki problemów psychicznych, które zwykle były ukryte, przejawiające się częstym niepokojem i nadmierną podejrzliwością, ale w okresach zaostrzeń przybierały bardziej oczywiste, obsesyjne formy. Tak więc na tle psychicznego przepracowania związanego z wydarzeniami 1931 roku załamanie nerwowe wyłączyło Gödla z akcji na kilka miesięcy. 22 czerwca 1936 roku zamordowano Moritza Schlicka, założyciela i stałego przywódcę Koła Wiedeńskiego. Gödel, który zawsze podziwiał Schlicka jako swojego naukowego mentora, przeżył kolejne załamanie nerwowe i przez resztę roku nie mógł pracować. Również w 1936 roku rozwinął u niego paranoiczny lęk przed otruciem. Wsparciem dla Gödla w trudnych chwilach była jego żona Adele, która karmiła go łyżeczką i dosłownie odeszła od męża. Z zachowanych zapisów kwerend bibliotecznych z tego okresu wiadomo, że studiował literaturę z zakresu zaburzeń psychicznych, farmakologii i toksykologii (szczególnie charakterystyczne jest wielokrotne odwoływanie się do poradnika technicznego zatrucia tlenkiem węgla), co tylko komplikowało jego późniejsze leczenie.
Później, w Princeton (1941), pomimo poprawy stanu ogólnego, Gödel nadal odczuwał dyskomfort związany z obecnością urządzeń, które jego zdaniem mogły emitować trujące gazy. Z tego powodu kazał nawet wynieść lodówkę i kaloryfer z ich mieszkania z Adele. Jego obsesja na punkcie świeżego powietrza i podejrzeń co do lodówki utrzymywała się do końca życia, a okresy umiarkowanej rekonwalescencji i pogorszenia stanu psychicznego występowały naprzemiennie. Szczególnie ciężkim ciosem była dla niego śmierć przyjaciela Alberta Einsteina w 1955 roku. W latach 60. Gödel przestał wykładać.
W latach 70. stan Gödla zaczął się gwałtownie pogarszać. Miał halucynacje, paranoiczne zachowania wobec lekarzy i współpracowników. Stan zdrowia Adele również się pogorszył, teraz nie mogła się nim opiekować jak wcześniej, a on z kolei nie mógł się nią opiekować. Ogromne wsparcie przyszło od przyjaciela Gödla, ekonomisty i matematyka Oskara Morgensterna.
Grób Kurta i Adele Gödel w Princeton
W lutym 1976 roku paranoja Gödla ponownie się pogorszyła, waga zaczęła spadać i skłoniono go do hospitalizacji. Jednak tydzień później, nawet nie wypisany ze szpitala, wrócił do domu. Podejrzenia dotyczyły teraz jego żony - Morgensterna i innych osób, powiedział, że rzekomo rozdała mu wszystkie pieniądze pod jego nieobecność. Adele była hospitalizowana w czerwcu (do sierpnia). Gödel najwyraźniej spędzał z nią sporo czasu i źle jadł. Jesienią na krótko wrócił do szpitala, gdzie, jak powiedział, rzekomo próbowano go zabić. Po powrocie do domu stan nie uległ poprawie. Mimo namów przyjaciół odmówił kolejnej hospitalizacji.
W lipcu 1977 roku Adele ponownie trafiła do szpitala, w którym przebywała do grudnia. 26 lipca Morgenstern zmarł. To wydarzenie i nieobecność żony miały decydujący wpływ na stan Gödla w następnych miesiącach - jego waga spadła do 30 kg, postępowała paranoja. 29 grudnia, za namową żony, która wróciła tydzień wcześniej, Gödel zgodził się na hospitalizację. Jednak lekarze nie mogli już udzielać znaczącej pomocy. Naukowiec zmarł z powodu „niedożywienia i wycieńczenia” wywołanego przez „
matematyk i logik, członek Amerykańskiej Narodowej Akademii Nauk i Amerykańskiego Towarzystwa Filozoficznego, autor fundamentalnego odkrycia ograniczeń metody aksjomatycznej oraz fundamentalnych prac z takich dziedzin logiki matematycznej, jak teoria modeli, teoria dowodów i teoria mnogości. W 1924 r. wstąpił na Uniwersytet Wiedeński. doktor matematyki (1930). Privatdozent na Uniwersytecie Wiedeńskim, członek Koła Wiedeńskiego (1933-1938). Wyemigrował do USA (w 1940, od 1953 - profesor w Princeton Institute for Advanced Study). Główne prace: „Zupełność aksjomatów logicznego rachunku funkcyjnego” (praca doktorska, 1930), „O formalnie nierozstrzygalnych twierdzeniach Principia mathematica i systemów pokrewnych” (1931), „O intuicjonistycznym rachunku zdań” (1932), „O intuicjonistyczna arytmetyka i teoria liczb” (1933), „Analiza intuicjonistycznego rachunku zdań” (1933), „Zgodność aksjomatu wyboru i uogólnionej hipotezy kontinuum z aksjomatami teorii mnogości” (1940), „Na as jeszcze niewykorzystane rozszerzenie skończonego punktu widzenia” (1958). Pod koniec lat dwudziestych Hilbert i jego zwolennicy uzyskali dowody kompletności niektórych systemów aksjomatycznych. Kompletność systemu aksjomatycznego była przez nich uważana za właściwość systemu aksjomatów danej teorii aksjomatycznej, charakteryzującą zakres pokrycia przez tę teorię pewnego obszaru matematyki. W teoriach matematycznych konstruowanych na podstawie aksjomatyki materialnej znaczenia wyrazów początkowych teorii aksjomatycznej podawane są od samego początku (tzn. zakłada się, że pewna interpretacja tej teorii jest stała). W ramach takiej teorii możliwe stało się rozumowanie o wyprowadzalności jej twierdzeń z aksjomatów oraz o prawdziwości takich twierdzeń. Kompletność systemu aksjomatów odpowiadała w tym przypadku koincydencji tych pojęć. (Przykładem tego rodzaju aksjomatyki jest aksjomatyka geometrii Euklidesa). W teoriach matematycznych zbudowanych na podstawie aksjomatyki formalnej znaczenia pierwotnych terminów teorii aksjomatycznej pozostają niezdefiniowane podczas wyprowadzania twierdzeń z aksjomatów. W tym przypadku system aksjomatów został nazwany zupełnym w odniesieniu do danej interpretacji, jeśli wydedukowano z niej wszystkie zdania prawdziwe w tej interpretacji. Wraz z tym pojęciem zupełności zdefiniowano inne pojęcie zupełności, które było wewnętrzną właściwością systemu aksjomatycznego (niezależną od jakiejkolwiek jego interpretacji): system aksjomatów został nazwany dedukcyjnie zupełnym, jeśli jakiekolwiek zdanie sformułowane w danej teorii może albo być udowodnione (będąc w takim przypadku przez twierdzenie) lub obalone (w sensie możliwości udowodnienia jego zaprzeczenia). Co więcej, jeśli teoria aksjomatyczna jest kompletna w odniesieniu do jakiejś interpretacji, to jest dedukcyjnie kompletna; odwrotnie, jeśli teoria jest dedukcyjnie kompletna i spójna (tj. wszystkie twierdzenia są prawdziwe) w odniesieniu do danej interpretacji, to jest kompletna w odniesieniu do tej interpretacji. Pojęcie kompletności dedukcyjnej (wewnętrznej) jest „wygodną cechą” teorii aksjomatycznej przy konstruowaniu jej jako systemu formalnego. Na tej podstawie Hilbert zbudował sztuczny system, zawierający część arytmetyki, z dowodami jego kompletności i spójności. Podejście G. jako całość należy do konstruktywnego kierunku matematyki: w intuicjonistycznej interpretacji prawdziwości zdania za prawdziwe uważał jedynie rekurencyjnie wykonalną formułę (sprowadzalną do funkcji liczb szeregu naturalnego). W ten sposób arytmetyka intuicjonistyczna stała się rozszerzeniem arytmetyki klasycznej. Konstruując jednocześnie logikę i arytmetykę, G. został zmuszony do porzucenia tezy logistyki Fregego o całkowitej redukowalności matematyki do logiki. G. rozwinięta przez niego matematyka uzasadniona metodą arytmetyki metamatematyki, która polega na zastąpieniu wnioskowania o wyrażeniach dowolnego języka logiczno-matematycznego rozumowaniem o liczbach naturalnych. Metoda ta G. umieściła w podstawie dowodu „twierdzenia G. o zupełności” rachunku predykatów klasycznej logiki predykatów (pierwszego rzędu), a później – w dwóch najważniejszych twierdzeniach o niezupełności rozszerzony rachunek predykatów, znany pod ogólną nazwą „Twierdzenie G. o niezupełności”. G. w swojej rozprawie doktorskiej (1930) udowodnił twierdzenie o zupełności rachunku klasycznej logiki predykatów: jeśli formuła predykatu jest prawdziwa w dowolnej interpretacji, to jest wyprowadzalna w rachunku predykatów (innymi słowy, każda formuła, której negacją jest niepodlegający odliczeniu jest wykonalny). Będąc jednym z podstawowych twierdzeń logiki matematycznej, twierdzenie G. o zupełności pokazuje, że już klasyczny rachunek predykatów zawiera wszystkie prawa logiczne wyrażone formułami predykatów. Wzmocnienie twierdzenia o zupełności klasycznego rachunku predykatów stwierdza, że każdy policzalny ciąg formuł, z którego nie można wywnioskować sprzeczności, jest spełniony. Co więcej, jeśli niemożliwe jest wyprowadzenie sprzeczności ze zbioru formuł predykatów P w ramach rachunku predykatów, to dla zbioru P istnieje model, tj. interpretacja, w której prawdziwe są wszystkie formuły zbioru P. Dowód zupełności rachunku klasycznej logiki predykatów zrodził w szkole Hilberta pewne nadzieje, że uda się udowodnić zupełność i spójność całej matematyki. Jednak już w następnym roku 1931 udowodniono twierdzenie G. o niezupełności. Pierwsze twierdzenie o niezupełności mówi, że jeśli formalny system arytmetyki jest niesprzeczny, to zawiera co najmniej jedno zdanie formalnie nierozstrzygalne, tj. formuła F taka, że ani ona, ani jej zaprzeczenie nie są twierdzeniami tego systemu. Innymi słowy, spójność arytmetyki rekurencyjnej umożliwia skonstruowanie dedukcyjnie nierozstrzygalnego zdania sformalizowanego w rachunku różniczkowym, tj. do istnienia zarówno niedowodliwej, jak i niepodważalnej formuły. Taka formuła, będąc twierdzeniem arytmetyki rekurencyjnej, jest prawdziwa, ale nie wyprowadzalna, chociaż z definicji powinna. W konsekwencji spójność sformalizowanego systemu prowadzi do jego niekompletności. Wzmocnieniem pierwszego twierdzenia o niezupełności jest drugie twierdzenie o niezupełności, które głosi, że można wybrać formułę F jako formułę, która w naturalny sposób wyraża zgodność arytmetyki formalnej, tj. dla spójnego rachunku formalnego, którego modelem jest arytmetyka rekurencyjna, formuła F wyrażenia dla tej spójności nie jest wyprowadzalna w ramach tego rachunku. Na przykład, zgodnie z twierdzeniem G. o niezupełności, jakakolwiek procedura dowodzenia prawdziwych twierdzeń elementarnej teorii liczb (operacje addytywne i multiplikatywne na liczbach całkowitych) jest oczywiście niezupełna. Dla każdego systemu dowodów istnieją prawdziwe stwierdzenia, które nawet w tak ograniczonej dziedzinie matematyki pozostaną nie do udowodnienia. BV Biryukov pisze o metodologicznym znaczeniu twierdzenia G. o niezupełności: „... jeśli arytmetyka formalna jest spójna, to spójności nie można udowodnić środkami sformalizowanymi w sobie, tj. tymi skończonymi środkami, za pomocą których Hilbert chciał ograniczyć badania metamatematyczne. ..” Dlatego (wewnętrznej) spójności jakiejkolwiek teorii logiczno-matematycznej nie można udowodnić bez odwołania się do innej teorii (z silniejszymi założeniami, a zatem mniej stabilnymi). Von Neumann czytał w czasie publikacji G. wykłady na temat programu metamatematycznego Hilberta, ale zaraz po przeczytaniu tej pracy przebudował kurs, poświęcając G. cały pozostały czas. Twierdzenie G. o niezupełności, najważniejsze metatwierdzenie logiki matematycznej, wykazało niewykonalność programu Hilberta w zakresie całkowitego sformalizowania definiującej części matematyki i uzasadnienia powstałego systemu formalnego poprzez udowodnienie jego spójności (metodami skończonymi) . Jednak twierdzenie G. o niezupełności, wykazując granice stosowalności podejścia skończonego w matematyce, nie może jednak wskazywać na ograniczenia wiedzy logicznej. E. Nagel i J. Newman piszą o znaczeniu odkryć G. dla porównawczej oceny możliwości człowieka i komputera, że „... dla każdego z naszych konkretnych zadań w zasadzie możliwe jest zbudowanie maszyny, która byłaby w stanie wykonać to zadanie, ale nie da się stworzyć maszyny odpowiedniej do rozwiązania jakiegokolwiek problemu.To prawda, że możliwości ludzkiego mózgu mogą okazać się ograniczone, tak że człowiek będzie w stanie rozwiązać nie ma problemu. Ale mimo to strukturalne i funkcjonalne właściwości ludzkiego mózgu są wciąż znacznie większe w porównaniu z możliwościami najbardziej wyrafinowanych maszyn, jakie można sobie wyobrazić ... Jedyny niepodważalny wniosek, jaki możemy wyciągnąć z G. Twierdzenie o niezupełności głosi, że natura i możliwości ludzkiego umysłu są niepomiernie subtelniejsze i bogatsze niż jakakolwiek ze znanych dotąd maszyn…”. G. wniósł również znaczący wkład w aksjomatyczną teorię mnogości, której dwie podstawowe zasady – aksjomat wyboru E. Zermelo i hipoteza kontinuum – przez długi czas nie nadawały się do udowodnienia, ale ze względu na znaczenie ich logiczne konsekwencje, kontynuowano badania w tych obszarach. Aksjomat wyboru E. Zermelo postuluje istnienie zbioru składającego się z elementów wybieranych „pojedynczo” z każdego z nieprzecinających się niepustych zbiorów,
których suma stanowi pewien zbiór. (Z aksjomatu wyboru E. Zermelo wyprowadzane są konsekwencje sprzeczne z „intuicją zdrowego rozsądku”. Na przykład możliwe staje się podzielenie trójwymiarowej kuli na skończoną liczbę podzbiorów, z których można zrekonstruować dwa dokładnie te same kulki poprzez ruchy w przestrzeni trójwymiarowej.) Hipoteza kontinuum jest stwierdzeniem, że potęga kontinuum (potęga, jaką posiada na przykład zbiór wszystkich liczb rzeczywistych) jest pierwszą potęgą, która przekracza potęgę zbiór wszystkich liczb naturalnych. Hipoteza uogólnionego kontinuum głosi, że dla dowolnego zbioru M pierwsza liczność większa od liczności tego zbioru jest licznością zbioru wszystkich podzbiorów P. Problem ten (zaproponowany przez Cantora w latach 80. XIX wieku) znalazł się na słynnej liście Hilberta 23 problemy. W 1936 r. G. udowodnił, że hipoteza uogólnionego continuum jest zgodna z jednym naturalnym systemem aksjomatycznej teorii mnogości, a zatem nie może być obalona standardowymi metodami. W 1938 r. G. udowodnił zgodność aksjomatu wyboru z hipotezą kontinuum (ich włączenie w dany system aksjomatów teorii mnogości nie prowadziło do sprzeczności). Aby rozwiązać te problemy, zredukowano system aksjomatyczny P. Bernaysa, na podstawie którego, podobnie jak założenia o konstrukcyjności każdego zbioru, G. zbudował model adekwatny do systemu aksjomatów bez aksjomatu wyboru, i tak, że wszystkie w nim zbiory miały właściwość pełnego uporządkowania. W modelu tym aksjomat wyboru okazał się prawdziwy (wykonalny), a więc zgodny z pierwotnym systemem aksjomatów, a więc spójny. W tym modelu hipoteza continuum również okazała się prawdziwa. Dalsze prace w tym kierunku pozwoliły G. opracować projekty do badania „mechanizmów wewnętrznych” aksjomatycznej teorii mnogości. Oprócz pracy w tych obszarach, G. zaproponował w 1949 r. nowy typ rozwiązania jednej ważnej klasy równań ogólnej teorii względności, którą Einstein uznał za „…ważny wkład do ogólnej teorii względności… " i otrzymał Nagrodę Einsteina (1951).
Świetna definicja
Niepełna definicja ↓
GOEDEL, KURT
(Gdel, Kurt) (1906-1978), austriacki logik i matematyk, autor fundamentalnego odkrycia ukazującego ograniczenia metody aksjomatycznej. Urodzony 28 kwietnia 1906 w Brnie. W 1924 wstąpił na Uniwersytet Wiedeński, w 1930 obronił pracę doktorską z matematyki. W latach 1933-1938 był Privatdozentem na Uniwersytecie Wiedeńskim; wyemigrował do USA w 1940 r. Od 1953 do końca życia profesor w Princeton Institute for Advanced Study. Gödel zmarł w Princeton 14 stycznia 1978 roku.
Rozprawa Gödla była poświęcona problemowi kompletności. Kompletność systemu aksjomatów, które służą jako podstawa dowolnej dziedziny matematyki, oznacza adekwatność tej aksjomatyki do obszaru, który jest określony za ich pomocą, tj. oznacza umiejętność udowodnienia prawdziwości lub fałszywości dowolnego sensownego twierdzenia zawierającego pojęcia z rozpatrywanej dziedziny matematyki. W latach trzydziestych XX wieku uzyskano pewne wyniki dotyczące kompletności różnych systemów aksjomatycznych. W ten sposób Hilbert zbudował sztuczny system obejmujący część arytmetyki i udowodnił jego kompletność i spójność. Gödel w swojej rozprawie udowodnił zupełność rachunku predykatów pierwszego stopnia, co dało matematykom nadzieję, że będą w stanie udowodnić spójność i zupełność całej matematyki. Jednak już w 1931 r. ten sam Gödel udowodnił twierdzenie o niezupełności, które zadało tym nadziejom miażdżący cios. Zgodnie z tym twierdzeniem każda procedura dowodzenia prawdziwości twierdzeń elementarnej teorii liczb jest skazana na niezupełność. Elementarna teoria liczb jest gałęzią matematyki zajmującą się dodawaniem i mnożeniem liczb całkowitych i, jak wykazał Godel, w każdym sensownym i praktycznym systemie dowodowym niektóre prawdy, nawet w tak bardzo skromnej dziedzinie matematyki, będą pozostać nie do udowodnienia. W konsekwencji stwierdził, że wewnętrznej spójności jakiejkolwiek teorii matematycznej nie można udowodnić inaczej niż przez odwołanie się do innej teorii, która wykorzystuje silniejsze założenia, a zatem jest mniej wiarygodna.
Metody zastosowane przez Gödla do udowodnienia twierdzenia o niezupełności odegrały później ważną rolę w teorii komputerów.
Gödel wniósł ważny wkład w teorię mnogości. Dwie zasady - aksjomat wyboru i hipoteza kontinuum - przez dziesięciolecia nie nadawały się do udowodnienia, ale zainteresowanie nimi nie zmalało: ich logiczne konsekwencje były zbyt atrakcyjne. Gödel udowodnił (1938), że dodanie tych zasad do zwykłych aksjomatów teorii mnogości nie prowadzi do sprzeczności. Jego rozumowanie jest cenne nie tylko ze względu na wyniki, które pozwalają uzyskać; Gödel opracował konstrukcję, która poprawia zrozumienie wewnętrznego działania samej teorii mnogości.
Górnik. Słownik Colliera. 2012
Zobacz także interpretacje, synonimy, znaczenia tego słowa i czym jest GODEL, KURT w języku rosyjskim w słownikach, encyklopediach i leksykach:
- GOEDEL KURT
(Godel) Kurt [ur. 28 kwietnia 1906, Brunn (Brno)], austriacki logik i matematyk. W latach 1933-38 adiunkt na Uniwersytecie Wiedeńskim. W 1940 wyemigrował do USA; … - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) szwajcarski muzykolog. Prace nad twórczością J. S. Bacha, A. Brucknera, R. Wagnera, nad harmonią i ... - GOEDEL w Wielkim Słowniku Encyklopedycznym:
(Godel) Kurt (1906-78) logik i matematyk. Urodzony w Austro-Węgrzech, od 1940 w USA. Zajmuje się logiką matematyczną i teorią mnogości. … - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946), Szwajcar. muzykolog. Tr. o pracy I.S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, w harmonii i ... - GOEDEL w dużym rosyjskim słowniku encyklopedycznym:
GOdel Kurt (1906-78), logik i matematyk. Rodzaj. w Austro-Węgrzech, od 1940 w USA. Tr. przez matematykę. logika i teoria... - KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) szwajcarski muzykolog. Prace nad twórczością J. S. Bacha, A. Brucknera, R. Wagnera, nad harmonią i ... - GOEDEL we współczesnym słowniku wyjaśniającym, TSB:
(Godel) Kurt (1906-78), logik i matematyk. Urodzony w Austro-Węgrzech, od 1940 w USA. Zajmuje się logiką i teorią matematyczną... - LEWIN KURT KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Lewin) Kurt (9 września 1890, Poznań - 12 lutego 1947, Newton, Massachusetts, USA), niemiecki i amerykański psycholog. profesor uniwersytetu w Berlinie (1926-33). W latach 1932-44... - NAJTRUDNIEJSZE SKOKI; „KURT BROWNING” w Księdze Rekordów Guinnessa z 1998 roku:
Kurt Browning (Kanada) jako pierwszy w warunkach zawodów - 25 marca 1988 na Mistrzostwach Świata w Budapeszcie na Węgrzech - z sukcesem ukończył skok... - KURT COBAIN z Wiki Cytat:
Data: 2009-07-10 Godzina: 09:58:58 Kurt Donald Cobain (1967-1994) Lider, gitarzysta i wokalista Nirvany.- *Nazywam się Kurt, śpiewam i… - KURT VONNEGUT z Wiki Cytat:
Data: 2009-09-01 Godzina: 18:40:46 Kurt Vonnegut to amerykański pisarz i satyryk. = Cytaty z prac = * Syreny Tytana ... - SCHMITT, KURT
(Schmitt), (1886-1950), minister gospodarki i finansów Rzeszy w pierwszym gabinecie Hitlera. Urodzony 7 października 1886 w Heidelbergu w rodzinie lekarza. W … - ZEITZLER, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
(Zeitzler), (1895-1963), generał armii niemieckiej. Urodzony 9 czerwca 1895 w Luccau. Oficer personelu. W czasie I wojny światowej dowodził 72. - HUBER, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
(Huber), Huber (1893-1943), wykładowca Uniwersytetu w Monachium, niemiecki filozof i psycholog. Urodzony 24 października 1893 w Chur w Szwajcarii, w rodzinie szkol... - DITMAR, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
(Dittmar) (1891-1959), wojskowy komentator radiowy. Urodzony 5 marca 1891 w Magdeburgu. Oficer personalny, uczestnik I wojny światowej. W 1941 w randze... - DALUGE, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
(Daluege), (1897-1946), zastępca cesarskiego protektora Czech i Moraw. Z zawodu inżynier. Urodzony 15 września 1897 w Kreuzburgu. Po I wojnie światowej... - WEIL, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
Weill (1900-1950), niemiecki kompozytor i dyrygent. Urodzony 2 marca 1900 w Dessau. W latach 1919-20 prowadził inscenizacje operowe jako dyrygent... - BECHER, KURT w Encyklopedii III Rzeszy:
(Becher), asystent Heinricha Himmlera. Urodzony 12 września 1909 w Hamburgu. Były handlarz zbożem, po wstąpieniu do NSDAP, szybko został SS Standartenführerem… - TUCHOLSKI, KURT w datach urodzin i śmierci znanych osób:
(1890-1935) – niemiecki pisarz i ... - KURTA EISNERA w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Eisner) Kurt (14.5.1867, Berlin - 21.2.1919, Monachium), przywódca niemieckiego ruchu robotniczego. Dziennikarz. Od 1898 członek Partii Socjaldemokratycznej. W latach 1898-1905 główny... - SHUMAKHER KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Schumacher) Kurt (13 października 1895, Kulm, obecnie Chełmno, Polska, - 20 sierpnia 1952, Bonn), przywódca Socjaldemokratycznej Partii Niemiec (SPD). Wstąpił do SPD w... - SCHLEICHER KURT VON w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Schleicher) Kurt von (7.4. 1882, Brandenburgia - 30.6.1934, Neubabelsberg), niemiecki przywódca wojskowy i polityczny, generał. W 1913 został oficerem Sztabu Generalnego. … - KURT TUCHOLSKI w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Tucholsky) Kurt (9 stycznia 1890, Berlin - 21 grudnia 1935, Hindusi, niedaleko Göteborga, Szwecja), niemiecki poeta i publicysta. Studiował prawoznawstwo na Uniwersytecie w Berlinie i Jenie... - MOTY KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Mothes) Kurt (ur. 3.11.1900, Plauen), biochemik niemiecki (NRD), członek Niemieckiej Akademii Nauk w Berlinie, prezes Niemieckiej Akademii Przyrodników „Leopoldina” w Halle, ... - METZIG KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Maetzig) Kurt (ur. 25 stycznia 1911 w Berlinie), niemiecki reżyser filmowy (NRD), członek Niemieckiej Akademii Sztuk. W 1935 ukończył Wyższą Szkołę Techniczną. Do kina … - KOFFKA KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Koffka) Kurt (18 marca 1886, Berlin - 22 listopada 1941, Northampton, USA), niemiecko-amerykański psycholog, jeden z twórców psychologii Gestalt. Uczeń K. Stumpfa. Prywatny… - KIESINGER KURT GEORGE w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Kiesinger) Kurt Georg (ur. 6.4.1904, Ebingen), mąż stanu i polityk Niemiec. Z wykształcenia prawnik. Studiował na uniwersytetach w Berlinie i Tybindze. … - KURT HOFFMANNA w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
(Hoffmann) Kurt (ur. 12.11.1910, Freiberg), niemiecki reżyser filmowy (Niemcy). W kinie od 1931, od 1938 pełni funkcję reżysera. Umieść zabawne… - WIELKI KURT w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
Weill (Weill) Kurt (2.3.1900, Dessau - 3.4.1950, Nowy Jork), niemiecki kompozytor i dyrygent. Studiował kompozycję u E. Humperdincka i F. Busoniego. W … - KIZIL-KURT w Słowniku encyklopedycznym Brockhausa i Euphron:
rodzaj Kirghiz-Kaisaków z dawnej Małej Hordy, należący do plemienia Bayulinsky. Został podzielony na pięć departamentów i na początku tego stulecia zakończył ... - KIZIL-KURT w Encyklopedii Brockhausa i Efrona:
? rodzaj Kirghiz-Kaisaków z dawnej Małej Hordy, należący do plemienia Bayulinsky. Został podzielony na pięć departamentów i na początku tego wieku ... - SCHWITTERS, KURT w słowniku Colliera:
(Schwitters, Kurt) (1887-1948), niemiecki artysta, który tworzył przede wszystkim w technice kolażu i asamblażu i miał znaczący wpływ na rozwój sztuki nowoczesnej. … - POZYTYWIZM
(łac. positivus - pozytywny) - (1) paradygmatyczne ustawienie gnoseo-metodologiczne, zgodnie z którym pozytywną wiedzę można uzyskać w wyniku czysto naukowego ... - KOŁO WIEDEŃSKIE w Najnowszym Słowniku Filozoficznym:
grupa naukowców i filozofów, która w latach dwudziestych XX wieku stała się ośrodkiem rozwoju idei pozytywizmu logicznego. WK. Koło zostało zorganizowane w 1922 roku przez Schlicka... - ANARCHOTERRORYZM w Katalogu Historycznym Terroryzmu i Terrorystów:
(Rosja) . Ruch anarchistyczny nigdy nie był zjednoczony, działał w formie wielu nurtów i grup. Wśród tych, którzy stosowali taktykę terroru w… - EISNERA w 1000 biografiach sławnych ludzi:
Kurt - niemiecki S.-D. Aresztowany po ruchu styczniowym w Niemczech, został zwolniony przez rząd Bawarii w listopadzie 1918 r. Błysnął ... - HITLERA, ADOLFA w Encyklopedii III Rzeszy:
(Hitler), (1889-1945), polityk Niemiec, w latach 1933-45 Führer (przywódca) i kanclerz III Rzeszy. Pochodzi z rodziny chłopskiej, z pochodzenia Austriak. … - KLEBER w Encyklopedii Literackiej:
Kurt jest niemieckim proletariuszem. R. w Jenie, robotnik, aktywny uczestnik rewolucji proletariackiej w Niemczech. W pewnym momencie K... - DZIAŁANIE w Encyklopedii Literackiej:
[Akcja - akcja] to tygodnik literacki wydawany od 1911 roku w Berlinie, wydawany i redagowany przez Franza Pfemferta. Ten magazyn ma... - KOŁO WIEDEŃSKIE w Wielkim Słowniku Encyklopedycznym:
koło filozoficzne, które stworzyło podstawy pozytywizmu logicznego. Powstał w 1922 roku wokół austriackiego fizyka M. Schlicka; główni uczestnicy - O. Neurath, R. ... - STANY ZJEDNOCZONE AMERYKI w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
Stany Ameryki (USA) (Stany Zjednoczone Ameryki, USA). I. Informacje ogólne USA to stan w Ameryce Północnej. Powierzchnia 9,4 mln... - KOMPLETNY w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
właściwość teorii naukowej charakteryzująca wystarczalność jej środków ekspresyjnych i (lub) dedukcyjnych do określonego celu. Jednym z aspektów koncepcji P. ... - KONSYSTENCJA w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
zgodność, właściwość teorii dedukcyjnej (lub systemu aksjomatów, za pomocą których dana teoria jest dana), polegająca na tym, że nie można z niej wydedukować ... - METAMATEMATYKA w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
teoria dowodu, teoria dowodu, w szerokim znaczeniu tego słowa - metateoria matematyki, która nie implikuje żadnych specjalnych ograniczeń co do natury stosowanej metateoretycznej ... - INTUICJONIZM MATEMATYCZNY w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
intuicjonizm, ruch filozoficzny i matematyczny, który odrzuca interpretację matematyki opartą na teorii mnogości i uważa intuicję za jedyne źródło matematyki i główne kryterium rygoru jej konstrukcji. Rosnący… - MATEMATYKA w Wielkiej Sowieckiej Encyklopedii TSB:
I. Definicja przedmiotu matematyka, związek z innymi naukami i techniką. Matematyka (grecki mathematike, od matematyka - wiedza, nauka), nauka o ...
Jeśli chodzi o najwybitniejsze odkrycia XX wieku, to najczęściej wymienia się teorię względności Einsteina, mechanikę kwantową, zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Jednak wielu wybitnych naukowców – matematyków i filozofów – zalicza teorię Gödla do największych osiągnięć myśli naukowej minionego stulecia. Wszakże jeśli epokowe przełomy w dziedzinie fizyki umożliwiły umysłowi ludzkiemu zrozumienie nowych praw przyrody, to praca Gödla umożliwiła lepsze zrozumienie zasad działania samego umysłu ludzkiego i wywarła głęboki wpływ na światopogląd i kulturę naszej epoki.
Kim jest Godel?
Kurt Godel urodził się 28 kwietnia 1906 roku w Austro-Węgrzech, w morawskim mieście Brno (wówczas nazywało się ono Brunn). W wieku 18 lat wstąpił na Uniwersytet Wiedeński, gdzie najpierw studiował fizykę, ale dwa lata później przeniósł się na matematykę. Wiadomo, że taka zmiana zainteresowań naukowych nastąpiła w dużej mierze pod wpływem książki Bertranda Russella „Wstęp do filozofii matematyki”. Kolejnym źródłem, które miało znaczący wpływ na kształtowanie się Gödla jako naukowca, był jego udział w pracach Koła Wiedeńskiego. Pod tą nazwą do historii nauki wszedł zbiór genialnych naukowców – matematyków, logików, filozofów, którzy regularnie spotykali się w Wiedniu od końca lat 20. do połowy lat 30. XX wieku. ostatni wiek. W różnych okresach w pracach Koła Wiedeńskiego uczestniczyli tacy naukowcy jak Rudolf Carnap, Otto Neurath, Herbert Feigl, Moritz Schlick. Z ich działalnością wiąże się kształtowanie się filozoficznego pozytywizmu. Ale tak naprawdę temat koła obejmował zrozumienie powszechnego miejsca wiedzy naukowej w wiedzy o przyrodzie i społeczeństwie. Kilka międzynarodowych konferencji organizowanych w różnych europejskich ośrodkach naukowych pozwala mówić o wybitnej roli Koła Wiedeńskiego w rozwoju fundamentalnej wiedzy naukowej XX wieku. Kurt Gödel brał udział prawie we wszystkich „czwartkowych” spotkaniach koła oraz w organizowanych przez siebie konferencjach międzynarodowych. Działalność koła w Austrii została przerwana w 1936 r., gdy jego lider Moritz Schlick został zabity przez nazistowskiego studenta na schodach Uniwersytetu Wiedeńskiego. Większość członków koła wyemigrowała do Stanów Zjednoczonych. Przeprowadził się tam również Kurt Gödel. Z czasem otrzymał obywatelstwo amerykańskie, pracował w Institute for Advanced Study w Princeton. W tym samym mieście zmarł w 1978 roku. Taki był zewnętrzny zarys jego życia. Przyjaciele i współpracownicy zapamiętali go jako osobę zamkniętą, boleśnie bezbronną, oderwaną od świata zewnętrznego, całkowicie pogrążoną w swoich myślach.
O tym, że logiczne rozumienie świata zajmowało główne miejsce w życiu naukowca, świadczy ciekawy szczegół jego biografii. W 1948 roku, gdy rozstrzygano kwestię uzyskania obywatelstwa amerykańskiego, Gödel musiał zdać, zgodnie z przyjętą procedurą, coś w rodzaju egzaminu ustnego z podstaw amerykańskiej konstytucji. Podchodząc do sprawy z całą naukową sumiennością, dokładnie przestudiował dokument i doszedł do wniosku, że w Stanach Zjednoczonych można ustanowić dyktaturę legalnie, bez naruszania konstytucji. Takie odkrycie prawie kosztowało go porażkę w testach, gdy wdał się w dyskusję z urzędnikiem, który wziął offset, który oczywiście uważał fundamentalne prawo swojego państwa za największe osiągnięcie myśli politycznej. Przyjaciele, wśród których był Albert Einstein, który był jednym z dwóch poręczycieli Gödla, gdy otrzymał obywatelstwo, przekonali go, by odłożył rozwój swojej argumentacji przynajmniej do złożenia przysięgi. Później historia doczekała się ciekawego epilogu: ćwierć wieku później inny Amerykanin, Kenneth Arrow, otrzymał Nagrodę Nobla za ogólne udowodnienie twierdzenia, do którego Gödel doszedł, studiując amerykańską konstytucję.
Co udowodnił Gödel?
Zanim przejdziemy do prezentacji twierdzenia, które uwieczniło imię Gödla, należy choćby pokrótce omówić problemy, z jakimi borykała się matematyka do końca lat 20. przełom XIX-XX wieku. i nazywany „podstawami matematyki”.
Ale najpierw być może warto zatrzymać się na szkolnym kursie geometrii, który nawet teraz w dużej mierze powtarza Elementy Euklidesa, napisane ponad 2 tysiące lat temu. W tradycyjnych podręcznikach podaje się najpierw pewne twierdzenia (aksjomaty) o właściwościach punktów i linii na płaszczyźnie, z których za pomocą logicznej konstrukcji zgodnej z regułami logiki „arystotelesowskiej” ważność różnych ważnych i użytecznych faktów geometrycznych ( twierdzenia) jest wydedukowane. Na przykład jeden z aksjomatów mówi, że jedna i tylko jedna prosta przechodzi przez dwa punkty, inne stwierdzenie - słynny piąty postulat, który Łobaczewski porzucił w swojej geometrii nieeuklidesowej - dotyczy linii równoległych itp. Prawdziwość aksjomatów jest przyjmowana jako coś oczywistego i nieudowodnionego. Zasługą greckiego geometra jest to, że całą naukę o przestrzennym rozmieszczeniu figur starał się przedstawić jako zbiór konsekwencji wynikających z kilku podstawowych przepisów.
Pod koniec XIX wieku wszystkie luki w „Zasadach” euklidesowych (z punktu widzenia wzmożonych wymagań matematyków co do rygoru i dokładności rozumowania) zostały wypełnione. Wynikiem najnowszych badań była książka niemieckiego matematyka Davida Hilberta „Podstawy geometrii”.
Sukces techniki Euklidesa skłonił naukowców do rozszerzenia jego zasad na inne gałęzie matematyki. Po geometrii przyszła kolej na arytmetykę. W 1889 roku włoski matematyk Giuseppe Peano po raz pierwszy sformułował aksjomaty arytmetyki, które wydawały się absurdalnie oczywiste (jest zero; po każdej liczbie następuje inna liczba itd.), ale w rzeczywistości są absolutnie wyczerpujące. Pełniły one taką samą rolę jak postulaty wielkiego Greka w geometrii. Wychodząc z takich stwierdzeń, przy pomocy logicznego wnioskowania, można było otrzymać podstawowe twierdzenia arytmetyczne.
W tym samym okresie niemiecki matematyk Gottlieb Frege przedstawił jeszcze bardziej ambitny problem. Zaproponował nie tylko aksjomatyczną afirmację podstawowych właściwości badanych obiektów, ale także sformalizowanie i skodyfikowanie samych metod wnioskowania, które umożliwiły zapisanie dowolnego rozumowania matematycznego według określonych reguł w postaci łańcucha symboli. Frege opublikował swoje wyniki w Fundamental Laws of Arithmetic, którego pierwszy tom ukazał się w 1893 roku, a drugi wymagał kolejnych dziesięciu lat ciężkiej pracy i został w pełni ukończony dopiero w 1902 roku.
Być może jedna z najbardziej dramatycznych historii w rozwoju nauki o liczbach związana jest z nazwiskiem i badaniami naukowymi Fregego. Kiedy drugi tom był już w druku, naukowiec otrzymał list od młodego angielskiego matematyka Bertranda Russella. Gratulując swojemu koledze znakomitych wyników, Russell zwrócił jednak uwagę na jedną okoliczność, która umknęła uwadze autora. Podstępną „okolicznością” był „paradoks Russella”, który później stał się powszechnie znany, czyli pytanie: czy zbiór wszystkich zbiorów, które nie są ich elementami, będzie ich elementem? Frege nie był w stanie od razu rozwiązać zagadki. Nie miał innego wyboru, jak tylko dodać gorzkie słowa w posłowiu do wyczerpanego nakładu drugiego tomu swojej książki: „Prawie nic nie może być bardziej niepożądane dla naukowca niż stwierdzenie, że zawaliły się fundamenty ledwie ukończonej pracy. List, który otrzymałem od Bertranda Russella, postawił mnie właśnie w takiej sytuacji... „Zrozpaczony matematyk wziął urlop naukowy na swojej uczelni, poświęcił dużo energii na poprawianie swojej teorii, ale wszystko poszło na marne. Żył ponad dwadzieścia lat, ale nie napisał kolejnej pracy o arytmetyce.
Jednak Russellowi udało się wyprowadzić wariant systemu formalnego, który obejmowałby całą matematykę i byłby wolny od wszystkich znanych wówczas paradoksów, opierając się w szczególności na ideach i pracach Fregego. Jego wynik, opublikowany w 1902 roku w książce Principia Mathematica(napisany wspólnie z Alfredem North Whiteheadem) skutecznie stał się aksjomatyzacją logiki, a David Hilbert uważał, że „można to uznać za ukoronowanie wszystkich wysiłków zmierzających do aksjomizacji nauki”.
Był jeszcze jeden powód tak bliskiego zainteresowania matematyków podstawami ich dyscypliny. Faktem jest, że na przełomie XIX i XX wieku w teorii mnogości odkryto sprzeczności, dla których ukuto eufemizm „paradoksy teorii mnogości”. Najsłynniejszy z nich - słynny paradoks Russella - niestety nie był jedyny. Co więcej, dla większości naukowców było oczywiste, że odkrycie nowych osobliwości nie nastąpi. Ich pojawienie się miało „katastrofalny wpływ” na świat matematyczny, mówiąc słowami Hilberta, gdyż teoria mnogości pełniła rolę fundamentu, na którym wzniesiono cały gmach nauki o liczbach. „W obliczu tych paradoksów musimy przyznać, że sytuacja, w której się teraz znajdujemy, jeszcze długo będzie nie do zniesienia. Pomyśl: w matematyce - tym modelu rzetelności i prawdy - koncepcje i wnioski, jak ktoś je studiuje, naucza i stosuje, prowadzą do absurdów. Gdzie więc szukać rzetelności i prawdy, jeśli nawet samo myślenie matematyczne nie zawodzi? ”- lamentował Hilbert w swoim raporcie na zjeździe matematyków w czerwcu 1925 roku.
W ten sposób po raz pierwszy od trzech tysiącleci matematycy zbliżyli się do zbadania najgłębszych podstaw swojej dyscypliny. Wyłonił się ciekawy obraz: miłośnicy liczb nauczyli się jasno wyjaśniać, według jakich zasad dokonują swoich obliczeń, musieli tylko udowodnić „legalność” przyjętych podstaw, by rozwiać wszelkie wątpliwości wywołane przez niefortunne paradoksy. A w pierwszej połowie lat dwudziestych wielki Hilbert, wokół którego rozwinęła się już wówczas szkoła genialnych naśladowców, w całym cyklu prac nakreślił plan badań w dziedzinie podstaw matematyki, który później stał się znany jako „Program z Getyngi”. W najbardziej uproszczonej formie można stwierdzić, że matematykę można przedstawić jako zbiór konsekwencji wyprowadzonych z jakiegoś systemu aksjomatów i można dowieść, że:
- Matematyka jest kompletna, tj. każde twierdzenie matematyczne można udowodnić lub obalić w oparciu o reguły samej dyscypliny.
- Matematyka jest spójna, tj. nie da się udowodnić i jednocześnie obalić żadnego twierdzenia bez naruszenia przyjętych reguł rozumowania.
- Matematyka jest rozstrzygalna, tj. korzystając z reguł, można dowiedzieć się o dowolnym stwierdzeniu matematycznym, czy jest ono możliwe do udowodnienia, czy obalenia.
W rzeczywistości program Hilberta miał na celu opracowanie ogólnej procedury odpowiedzi na wszystkie pytania matematyczne lub przynajmniej udowodnienie istnienia jednego z nich. Sam naukowiec był pewny twierdzącej odpowiedzi na wszystkie trzy sformułowane przez siebie pytania: jego zdaniem matematyka była rzeczywiście kompletna, spójna i rozwiązywalna. Pozostało tylko to udowodnić.
Ponadto Hilbert uważał, że metoda aksjomatyczna może stać się podstawą nie tylko matematyki, ale całej nauki. W 1930 roku w artykule „Poznanie przyrody i logika” pisał: „…nawet w najrozleglejszych w swoim zakresie dziedzinach wiedzy często występuje dość niewielka liczba twierdzeń początkowych, zwanych zwykle aksjomatami, nad którymi cały budynek rozważanej teorii.
Jakie byłyby konsekwencje sukcesu Hilberta i jego szkoły dla dalszego rozwoju nauki? Gdyby, jak wierzył, całą matematykę (i naukę w ogóle) sprowadzić do systemu aksjomatów, to można by je wprowadzić do komputera zdolnego uzasadnić dowolne stwierdzenie (czyli udowodnić teorię) zgodnie z programem zgodnym z ogólną logiką zasady, wynikające z oryginalnych oświadczeń.
Gdyby teoria Hilberta została zrealizowana, pracujące przez całą dobę superkomputery nieustannie dowodziłyby coraz to nowych twierdzeń, zamieszczając je na niezliczonych witrynach WWW. Po matematyce miała nadejść „era aksjomatyczna” w fizyce, chemii, biologii i wreszcie przyszła kolej na naukę o ludzkiej świadomości. Zgadzam się, świat wokół nas i my sami wyglądalibyśmy w takim przypadku nieco inaczej.
Jednak „uniwersalna aksjomatyzacja” nie miała miejsca. Cały superambitny, imponujący program, nad którym przez kilkadziesiąt lat pracowali najwięksi matematycy świata, został obalony przez jedno twierdzenie. Jego autorem był Kurt Godel, który miał wówczas zaledwie 25 lat.
W 1930 roku na konferencji zorganizowanej przez „Krąg Wiedeński” w Królewcu wygłosił referat „O zupełności rachunku logicznego”, a na początku następnego roku opublikował artykuł „O zasadniczo nierozwiązywalnych pozycjach w systemie Principia Mathematica i powiązanych systemów. Centralnym punktem jego pracy było sformułowanie i udowodnienie twierdzenia, które odegrało fundamentalną rolę w całym dalszym rozwoju matematyki i nie tylko. Mówimy o słynnej teorii niezupełności Gödla. Najpowszechniejsze, choć nie do końca rygorystyczne, jego sformułowanie głosi, że „dla każdego spójnego systemu aksjomatów istnieje stwierdzenie, którego w ramach przyjętego systemu aksjomatycznego nie da się ani udowodnić, ani obalić”. Gödel dał więc negatywną odpowiedź na pierwsze sformułowane przez Hilberta stwierdzenie.
Co ciekawe, na tej samej konferencji Werner Heisenberg wygłosił prezentację na temat „Wiedzy przyczynowej i mechaniki kwantowej”. W tym raporcie nakreślono pierwsze podejścia do jego słynnych „relacji niepewności”.
Wnioski Gödla wywołały efekt bomby intelektualnej w środowisku matematycznym. Tym bardziej, że wkrótce na ich podstawie uzyskano obalenie pozostałych dwóch punktów programu Hilberta. Okazało się, że matematyka jest niezupełna, nierozstrzygalna, a jej spójności nie da się udowodnić (w ramach samego systemu, którego zgodności się dowodzi).
Twierdzenie Godla
Od tego czasu minęły trzy czwarte wieku, ale debata na temat tego, co faktycznie udowodnił Gödel, nie cichnie. Szczególnie gorące dyskusje toczą się w kręgach niemal naukowych. „Twierdzenie Gödla o niezupełności jest naprawdę wyjątkowe. Mówi się o tym, ilekroć chcą udowodnić „wszystko na świecie” - od obecności bogów po brak rozumu ”- pisze wybitny współczesny matematyk V. A. Uspienski.
Pomijając liczne tego typu spekulacje, należy zauważyć, że naukowcy dzielą się na dwie grupy w ocenie roli Gödla. Niektórzy, idąc za Russellem, uważają, że słynne twierdzenie, które stanowiło podstawę współczesnej logiki matematycznej, miało jednak bardzo niewielki wpływ na dalsze prace poza tą dyscypliną - matematyków, ponieważ udowodnili swoje twierdzenia w epoce „przed Goedlem”, rób to dalej, udowodnij je do dziś.
Jeśli chodzi o fantasmagoryczną wizję komputerów nieustannie udowadniających nowe teorie, sens takiej działalności jest dla wielu specjalistów wysoce wątpliwy. Rzeczywiście, dla matematyki ważne jest nie tylko sformułowanie udowodnionego twierdzenia, ale także jego zrozumienie, ponieważ właśnie to pozwala ujawnić związek między różnymi obiektami i zrozumieć, w jakim kierunku można iść dalej. Bez takiego zrozumienia twierdzenia generowane na podstawie sformalizowanych reguł wnioskowania są swego rodzaju „spamem matematycznym” – uważa Alexander Shen, członek Katedry Logiki Matematycznej i Teorii Algorytmów Mechaniki i Matematyka Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego.
W podobny sposób rozumował sam Gödel. Tym, którzy zarzucali mu zniszczenie integralności podstaw matematyki, odpowiadał, że w gruncie rzeczy nic się nie zmieniło, podstawy pozostały niewzruszone, a jego twierdzenie doprowadziło jedynie do przewartościowania roli intuicji i osobistej inicjatywy w tej dziedzinie nauki. rządziły się żelaznymi prawami, logiką, pozostawiając, jak się wydaje, niewiele miejsca na takie cnoty.
Jednak niektórzy uczeni mają inne zdanie. Rzeczywiście, jeśli uznamy zdolność logicznego rozumowania za główną cechę ludzkiego umysłu, a przynajmniej jego główne narzędzie, to twierdzenie Gödla bezpośrednio wskazuje na ograniczenia naszego mózgu. Zgadzam się, że osobie wychowanej na wierze w nieskończoną moc myśli bardzo trudno jest przyjąć tezę o granicach jej mocy.
Możemy raczej mówić o ograniczeniach naszych wyobrażeń o własnych możliwościach umysłowych. Wielu ekspertów uważa, że formalne, obliczeniowe, „arystotelesowskie” procesy leżące u podstaw logicznego myślenia stanowią tylko część ludzkiej świadomości. Drugi jej obszar, zasadniczo „nieobliczeniowy”, odpowiada za takie przejawy, jak intuicja, twórcze wglądy i rozumienie. A jeśli pierwsza połowa umysłu podlega ograniczeniom Gödla, to druga jest wolna od takich ram.
Najbardziej konsekwentny zwolennik tego punktu widzenia – największy specjalista w dziedzinie matematyki i fizyki teoretycznej Roger Penrose – poszedł jeszcze dalej. Zasugerował istnienie pewnych nieobliczeniowych efektów kwantowych, które zapewniają realizację twórczych aktów świadomości. I choć wielu jego kolegów krytycznie odnosi się do idei wyposażenia ludzkiego mózgu w hipotetyczne mechanizmy kwantowe, Penrose i jego współpracownicy opracowali już eksperymentalny projekt, który ich zdaniem powinien potwierdzić ich istnienie.
Jedną z licznych konsekwencji hipotezy Penrose'a może być w szczególności wniosek, że stworzenie sztucznej inteligencji w oparciu o nowoczesne urządzenia obliczeniowe jest z gruntu niemożliwe, nawet jeśli pojawienie się komputerów kwantowych doprowadzi do wielkiego przełomu w dziedzinie technologii komputerowej . Faktem jest, że każdy komputer może jedynie coraz bardziej szczegółowo modelować pracę formalno-logicznej, „obliczeniowej” aktywności ludzkiej świadomości, ale „nieobliczeniowe” zdolności intelektu są dla niego niedostępne.
To tylko niewielka część sporów przyrodniczych i filozoficznych, jakie wywołało opublikowane 75 lat temu twierdzenie matematyczne młodego Gödla. Wraz z innymi wielkimi współczesnymi mu sprawił, że człowiek inaczej spojrzał na otaczający go świat i na siebie. Największe odkrycia pierwszej tercji XX wieku, w tym twierdzenie Godla, a także powstanie teorii względności i teorii kwantowej, ukazały ograniczenia mechanistyczno-deterministycznego obrazu przyrody, stworzonego na podstawie badań naukowych m.in. poprzednie dwa stulecia. Okazało się, że zarówno sposoby rozwoju wszechświata, jak i imperatywy moralne podlegają zasadniczo różnym prawom, w których występuje zarówno nieusuwalna złożoność, jak i niepewność, przypadek i nieodwracalność.
Konsekwencje wielkiej rewolucji naukowej nie ograniczają się jednak do wymienionych. Na początku XX wieku idee determinizmu laplacowsko-newtonowskiego wywarły ogromny wpływ na rozwój nauk społecznych. Idąc za luminarzami klasycznego przyrodoznawstwa, którzy przedstawiali naturę w postaci sztywnej, mechanicznej konstrukcji, w której wszystkie elementy podlegają ścisłym prawom, a przyszłość można jednoznacznie przewidzieć, znając obecny stan, kapłani nauk społecznych narysowali człowieka społeczeństwo podlegające niezmiennym prawom i rozwijające się w określonym kierunku. Jedną z ostatnich prób zachowania takiego obrazu świata był najwyraźniej marksizm-leninizm, oddany idei „jedynej prawdziwej doktryny naukowej”, której integralną częścią było „materialistyczne rozumienie historii”. Wystarczy przypomnieć Leninowską ideę budowy społeczeństwa socjalistycznego na wzór „wielkiej fabryki”.
Stopniowo, z wielkim trudem, idee złożoności, przypadkowości, niepewności, ugruntowane w przyrodoznawczym obrazie wszechświata, zaczęły przenikać do nauk społecznych i humanistycznych. W społeczeństwie niepewność realizuje się poprzez zjawisko wolności osobistej jednostki. To właśnie obecność w przyrodzie człowieka jako podmiotu dokonującego wolnego i nieprzewidywalnego wyboru sprawia, że proces historyczny jest złożony i nie podlega żadnym niezmiennym prawom uniwersalnego rozwoju.
Nie sposób jednak nie zauważyć, że wyrobienie sobie nowego obrazu złożonego świata w naszym kraju odbywało się z wielkim trudem. Ideologia, która dominowała przez siedem dekad, skłaniała się ku determinizmowi typu Laplace'a jako filozofii uniwersalnego porządku autorytarnego. To właśnie ta zasada predestynacji leżała u podstaw marzenia, które nigdy nie opuściło rządzącej sowieckiej biurokracji, o społeczeństwie-fabryce rządzonej surowymi prawami hierarchii. I tak, ilekroć dochodziło do złożoności, pluralizmu, różnorodności, czy to teorii względności, mechaniki kwantowej, genetyki, cybernetyki, badań socjologicznych, psychoanalizy itp. odniesienia do wolności pochodzą zarówno z natury, jak i społeczeństwa. Niestety, bezwładne dziedzictwo nadal dominuje w umysłach wielu naszych rodaków i współczesnych jako ponury cień. Dowodem na to są zainicjowane przez władze bolesne poszukiwania nowej „ideologii narodowej”, która mogłaby zająć miejsce zwolnione przez śmierć doktryny komunistycznej.
Tak więc Kurt Gödel i jego wielcy współcześni zmusili nas do świeżego spojrzenia na "niebo gwiaździste nad naszymi głowami i na prawo moralne w nas" oraz na społeczeństwo, w którym żyjemy.