Ou (de manière équivalente) un polyèdre à six faces et chacune d'elles - parallélogramme.

Types de boîte

Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :

• Un cuboïde est un cuboïde dont les faces sont toutes des rectangles.
• Un parallélépipède droit est un parallélépipède dont les 4 faces latérales sont des rectangles.
• Une boîte oblique est une boîte dont les faces latérales ne sont pas perpendiculaires aux bases.

Éléments essentiels

Deux faces d'un parallélépipède qui n'ont pas d'arête commune sont dites opposées, et celles qui ont une arête commune sont dites adjacentes. Deux sommets d'un parallélépipède qui n'appartiennent pas à la même face sont dits opposés. Le segment de droite reliant les sommets opposés est appelé la diagonale du parallélépipède. Les longueurs de trois arêtes d'un cuboïde qui ont un sommet commun sont appelées ses dimensions.

Propriétés

• Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
• Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et passant par le milieu de sa diagonale est divisé par lui en deux ; en particulier, toutes les diagonales du parallélépipède se coupent en un point et le bissectent.
• Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et égales.
• Le carré de la longueur de la diagonale d'un cuboïde est égal à la somme des carrés de ses trois dimensions.

Formules de base

Parallélépipède rectangle

Surface latérale S b \u003d R o * h, où R o est le périmètre de la base, h est la hauteur

Superficie totale S p \u003d S b + 2S o, où S o est l'aire de la base

Volume V=S o *h

cuboïde

Surface latérale S b \u003d 2c (a + b), où a, b sont les côtés de la base, c est le bord latéral du parallélépipède rectangle

Superficie totale S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Volume V=abc, où a, b, c sont les dimensions du cuboïde.

cube

Superficie: $S=6a^2$
Volume: $V=a^3$, Où $un$- le bord du cube.

Boîte arbitraire

Le volume et les rapports dans une boîte asymétrique sont souvent définis à l'aide de l'algèbre vectorielle. Le volume d'un parallélépipède est égal à la valeur absolue du produit mixte de trois vecteurs définis par les trois côtés du parallélépipède issus d'un sommet. Le rapport entre les longueurs des côtés du parallélépipède et les angles qui les séparent donne l'affirmation que le déterminant de Gram de ces trois vecteurs est égal au carré de leur produit mixte : 215 .

En analyse mathématique

En analyse mathématique, sous un parallélépipède rectangle à n dimensions $B$ comprendre de nombreux points $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ type $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

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Remarques

Liens

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Un extrait caractérisant le Parallélépipède

- On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à l'angine... [On dit que les rivaux se sont réconciliés grâce à cette maladie.]
Le mot angine fut répété avec grand plaisir.
- Le vieux comte est touchant a ce qu'on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. dit ce cas dangereux.]
Oh, ce serait une perte terrible. C "est une femme ravissante. [Oh, ce serait une grande perte. Une si belle femme.]
« Vous parlez de la pauvre comtesse », dit Anna Pavlovna en s'approchant. - J"ai envoyé le savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde, - dit Anna Pavlovna avec un sourire sur son enthousiasme. - Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de l'estimer, comme elle le mérite. Elle est bien malheureuse, [Tu parles de la pauvre comtesse... que j'ai envoyée s'informer de sa santé. On m'a dit qu'elle allait un peu mieux. Oh, sans aucun doute, c'est la plus belle femme du monde. Nous appartenons à des camps différents, mais cela ne m'empêche pas de la respecter selon ses mérites. Elle est si malheureuse.] Anna Pavlovna a ajouté.
Estimant qu'avec ces mots, Anna Pavlovna a légèrement levé le voile du secret sur la maladie de la comtesse, un jeune homme insouciant s'est permis d'exprimer sa surprise que des médecins célèbres n'aient pas été appelés, mais un charlatan qui pouvait donner des moyens dangereux traitait la comtesse.
"Vos informations peuvent être meilleures que les miennes", a soudainement lancé Anna Pavlovna avec venin au jeune homme inexpérimenté. Mais je sais de bonne source que ce médecin est un homme très savant et très habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vos nouvelles sont peut-être plus précises que les miennes... mais je sais de bonnes sources que ce médecin est une personne très savante et habile. C'est le médecin de la vie de la reine d'Espagne.] - Et détruisant ainsi le jeune homme, Anna Pavlovna se tourna vers Bilibin, qui dans un autre cercle, ramassant la peau et, apparemment, sur le point de la dissoudre, pour dire un mot, parla sur les Autrichiens.
- Je trouve que c'est charmant ! - il a dit à propos d'un papier diplomatique, sous lequel les bannières autrichiennes prises par Wittgenstein étaient envoyées à Vienne, le heros de Petropol [le héros de Petropolis] (comme il a été appelé à Pétersbourg).
- Comment, comment ça va ? Anna Pavlovna se tourna vers lui, suscitant le silence pour entendre mot, ce qu'elle savait déjà.
Et Bilibine répéta les paroles authentiques suivantes de la dépêche diplomatique qu'il avait rédigée :
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," dit Bilibin, "drapes amis et egares qu" il a trouve hors de la route, fini Bilibin en desserrant la peau.
- Charmant, charmant, [Charmant, charmant,] - a déclaré le prince Vasily.
- C'est la route de Varsovie peut être, [C'est la route de Varsovie, peut-être.] - dit le prince Hippolyte à haute voix et de façon inattendue. joyeuse surprise autour de lui. Lui, comme d'autres, ne comprenait pas ce que signifiaient les mots qu'il prononçait. Au cours de sa carrière diplomatique, il a remarqué plus d'une fois que des mots soudainement prononcés de cette manière se sont avérés très spirituels, et juste au cas où, il dit ces mots: "Peut-être que ça se passera très bien", pensa-t-il, "mais si ce n'est pas le cas, ils pourront l'arranger là-bas." Anna Pavlovna, et elle, souriant et agitant son doigt vers Ippolit, invita le prince Vasily à la table, et, lui apportant deux bougies et un manuscrit, lui demanda de commencer.

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Un parallélépipède est un prisme dont les bases sont des parallélogrammes. Dans ce cas, toutes les arêtes seront parallélogrammes.
Chaque parallélépipède peut être considéré comme un prisme de trois manières différentes, puisque toutes les deux faces opposées peuvent être prises comme bases (sur la Fig. 5 les faces ABCD et A "B" C "D", ou ABA "B" et CDC "D" , ou BC "C" et ADA "D").
Le corps considéré a douze arêtes, quatre égales et parallèles entre elles.
Théorème 3 . Les diagonales du parallélépipède se coupent en un point, coïncidant avec le milieu de chacune d'elles.
Le parallélépipède ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) a quatre diagonales AC", BD", CA", DB". Il faut prouver que les milieux de deux d'entre eux, par exemple AC et BD, coïncident, ce qui découle du fait que la figure ABC "D", qui a des côtés égaux et parallèles AB et C "D", est un parallélogramme .
Définition 7 . Un parallélépipède droit est un parallélépipède qui est aussi un prisme droit, c'est-à-dire un parallélépipède dont les bords latéraux sont perpendiculaires au plan de base.
Définition 8 . Un parallélépipède rectangle est un parallélépipède rectangle dont la base est un rectangle. Dans ce cas, toutes ses faces seront des rectangles.
Un parallélépipède rectangle est un prisme droit, quelle que soit celle de ses faces que l'on prenne pour base, puisque chacune de ses arêtes est perpendiculaire aux arêtes issues du même sommet avec lui, et sera donc perpendiculaire aux plans des faces défini par ces arêtes. En revanche, une boîte droite, mais non rectangulaire, ne peut être considérée comme un prisme droit que d'une seule manière.
Définition 9 . Les longueurs de trois arêtes d'un cuboïde, dont deux ne sont pas parallèles entre elles (par exemple, trois arêtes sortant du même sommet), sont appelées ses dimensions. Deux |parallélépipèdes rectangles ayant des dimensions correspondantes égales sont évidemment égaux l'un à l'autre.
Définition 10 Un cube est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont égales entre elles, de sorte que toutes ses faces sont des carrés. Deux cubes dont les arêtes sont égales sont égaux.
Définition 11 . Un parallélépipède incliné dans lequel toutes les arêtes sont égales et les angles de toutes les faces sont égaux ou complémentaires est appelé un rhomboèdre.
Toutes les faces d'un rhomboèdre sont des losanges égaux. (La forme d'un rhomboèdre a des cristaux de grande importance, par exemple, des cristaux de spath d'Islande.) Dans un rhomboèdre, on peut trouver un tel sommet (et même deux sommets opposés) que tous les angles qui lui sont adjacents sont égaux les uns aux autres .
Théorème 4 . Les diagonales d'un parallélépipède rectangle sont égales entre elles. Le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des trois dimensions.
Dans un parallélépipède rectangle ABCDA "B" C "D" (Fig. 6), les diagonales AC "et BD" sont égales, puisque le quadrilatère ABC "D" est un rectangle (la ligne AB est perpendiculaire au plan BC "C" , dans lequel se trouve BC") .
De plus, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 d'après le théorème du carré de l'hypoténuse. Mais d'après le même théorème AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2, d'où :
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

Souvent, les étudiants demandent avec indignation: "En quoi cela me sera-t-il utile dans la vie?". Sur n'importe quel sujet de chaque sujet. Le sujet du volume d'un parallélépipède ne fait pas exception. Et ici, il est juste possible de dire: "Cela sera utile."

Comment, par exemple, savoir si un colis rentrera dans une boîte aux lettres ? Bien sûr, vous pouvez choisir le bon par essais et erreurs. Et s'il n'y a pas une telle possibilité? Ensuite, les calculs viendront à la rescousse. Connaissant la capacité de la boîte, vous pouvez calculer le volume du colis (au moins approximativement) et répondre à la question.

Parallélépipède et ses types

Si nous traduisons littéralement son nom du grec ancien, il s'avère qu'il s'agit d'une figure composée de plans parallèles. Il existe de telles définitions équivalentes d'un parallélépipède :

• un prisme à base en forme de parallélogramme ;
• polyèdre dont chaque face est un parallélogramme.

Ses types se distinguent en fonction de la figure qui se trouve à sa base et de la direction des nervures latérales. En général, on parle de parallélépipède oblique dont la base et toutes les faces sont des parallélogrammes. Si les faces latérales de la vue précédente deviennent des rectangles, il faudra alors l'appeler déjà direct. Et à rectangulaire et la base a également des angles de 90º.

De plus, en géométrie, ils essaient de représenter ce dernier de manière à ce que l'on remarque que toutes les arêtes sont parallèles. Ici, soit dit en passant, la principale différence entre les mathématiciens et les artistes est observée. Il est important pour ce dernier de véhiculer le corps dans le respect de la loi de la perspective. Et dans ce cas, le parallélisme des arêtes est totalement invisible.

À propos de la notation introduite

Dans les formules ci-dessous, les désignations indiquées dans le tableau sont valables.

Formules pour une boîte oblique

Le premier et le second pour les zones :

Le troisième sert à calculer le volume de la boîte :

Puisque la base est un parallélogramme, pour calculer son aire, vous devrez utiliser les expressions appropriées.

Formules pour un cuboïde

De même au premier paragraphe - deux formules pour les zones :

Et un de plus pour le volume :

Première tâche

Condition. Soit un parallélépipède rectangle dont on cherche le volume. La diagonale est connue - 18 cm - et le fait qu'elle forme des angles de 30 et 45 degrés avec le plan de la face latérale et du bord latéral, respectivement.

Solution. Pour répondre à la question du problème, vous devez connaître tous les côtés de trois triangles rectangles. Ils donneront les valeurs de bord nécessaires pour lesquelles vous devez calculer le volume.

Vous devez d'abord déterminer où se trouve l'angle de 30º. Pour ce faire, vous devez dessiner une diagonale de la face latérale à partir du même sommet à partir duquel la diagonale principale du parallélogramme a été dessinée. L'angle entre eux sera ce dont vous avez besoin.

Le premier triangle, qui donnera un des côtés de la base, sera le suivant. Il contient le côté souhaité et deux diagonales dessinées. Il est rectangulaire. Maintenant, vous devez utiliser le rapport entre la jambe opposée (côté de la base) et l'hypoténuse (diagonale). Il est égal au sinus de 30º. C'est-à-dire que le côté inconnu de la base sera déterminé comme la diagonale multipliée par le sinus de 30º ou ½. Qu'il soit marqué de la lettre "a".

Le second sera un triangle contenant une diagonale connue et une arête avec laquelle il forme 45º. Il est également rectangulaire et vous pouvez à nouveau utiliser le rapport de la jambe à l'hypoténuse. En d'autres termes, le bord latéral à la diagonale. Il est égal au cosinus de 45º. C'est-à-dire que "c" est calculé comme le produit de la diagonale et du cosinus de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Dans le même triangle, vous devez trouver une autre jambe. Ceci est nécessaire pour calculer ensuite la troisième inconnue - "in". Qu'il soit marqué de la lettre "x". Il est facile de calculer en utilisant le théorème de Pythagore :

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Maintenant, nous devons considérer un autre triangle rectangle. Il contient les côtés déjà connus "c", "x" et celui qui doit être compté, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Les trois grandeurs sont connues. Vous pouvez utiliser la formule pour le volume et le calculer :

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Répondre: le volume du parallélépipède est de 729√2 cm 3 .

Deuxième tâche

Condition. Trouver le volume du parallélépipède. Il connaît les côtés du parallélogramme qui se trouve à la base, 3 et 6 cm, ainsi que son angle aigu - 45º. La nervure latérale a une inclinaison à la base de 30º et est égale à 4 cm.

Solution. Pour répondre à la question du problème, vous devez prendre la formule qui a été écrite pour le volume d'un parallélépipède incliné. Mais les deux quantités y sont inconnues.

L'aire de la base, c'est-à-dire le parallélogramme, sera déterminée par la formule dans laquelle vous devez multiplier les côtés connus et le sinus de l'angle aigu entre eux.

Donc o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

La deuxième inconnue est la hauteur. Il peut être tiré de n'importe lequel des quatre sommets au-dessus de la base. Il peut être trouvé à partir d'un triangle rectangle, dans lequel la hauteur est la jambe et le bord latéral est l'hypoténuse. Dans ce cas, un angle de 30º est opposé à la hauteur inconnue. Ainsi, vous pouvez utiliser le rapport de la jambe à l'hypoténuse.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Maintenant toutes les valeurs sont connues et vous pouvez calculer le volume :

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Répondre: le volume est de 18 √2 cm 3 .

Troisième tâche

Condition. Trouver le volume du parallélépipède s'il est connu pour être une droite. Les côtés de sa base forment un parallélogramme et sont égaux à 2 et 3 cm, l'angle aigu entre eux est de 60º. La plus petite diagonale du parallélépipède est égale à la plus grande diagonale de la base.

Solution. Pour connaître le volume d'un parallélépipède, on utilise la formule avec l'aire de base et la hauteur. Les deux quantités sont inconnues, mais elles sont faciles à calculer. Le premier est la hauteur.

Puisque la plus petite diagonale du parallélépipède a la même taille que la plus grande base, elles peuvent être désignées par la même lettre d. Le plus grand angle d'un parallélogramme est de 120º, puisqu'il forme 180º avec un aigu. Soit la deuxième diagonale de la base désignée par la lettre "x". Maintenant, pour les deux diagonales de la base, les théorèmes du cosinus peuvent s'écrire :

d 2 \u003d un 2 + en 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d un 2 + en 2 - 2ab cos 60º.

Trouver des valeurs sans carrés n'a pas de sens, car elles seront alors à nouveau élevées à la deuxième puissance. Après substitution des données, il s'avère :

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d un 2 + en 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Maintenant, la hauteur, qui est aussi le bord latéral du parallélépipède, sera la jambe du triangle. L'hypoténuse sera la diagonale connue du corps et la deuxième jambe sera "x". Vous pouvez écrire le théorème de Pythagore :

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

D'où : n = √12 = 2√3 (cm).

Maintenant, la deuxième quantité inconnue est l'aire de la base. Il peut être calculé en utilisant la formule mentionnée dans le deuxième problème.

Donc o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

En combinant le tout dans une formule de volume, nous obtenons :

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Réponse : V \u003d 18 cm 3.

La quatrième tâche

Condition. Il s'agit de connaître le volume d'un parallélépipède remplissant les conditions suivantes : la base est un carré de 5 cm de côté ; les faces latérales sont des losanges ; l'un des sommets au-dessus de la base est équidistant de tous les sommets situés à la base.

Solution. Vous devez d'abord faire face à la condition. Il n'y a pas de questions avec le premier paragraphe sur le carré. La seconde, sur les losanges, précise que le parallélépipède est incliné. De plus, toutes ses arêtes sont égales à 5 cm, puisque les côtés du losange sont les mêmes. Et à partir du troisième, il devient clair que les trois diagonales qui en sont tirées sont égales. Ce sont deux qui se trouvent sur les faces latérales, et le dernier est à l'intérieur du parallélépipède. Et ces diagonales sont égales au bord, c'est-à-dire qu'elles ont également une longueur de 5 cm.

Pour déterminer le volume, vous aurez besoin d'une formule écrite pour un parallélépipède incliné. Encore une fois, il n'y a pas de quantités connues dedans. Cependant, l'aire de la base est facile à calculer car c'est un carré.

So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Un peu plus difficile est le cas avec la hauteur. Il sera tel en trois figures : un parallélépipède, une pyramide quadrangulaire et un triangle isocèle. La dernière circonstance doit être utilisée.

Comme c'est une hauteur, c'est une jambe dans un triangle rectangle. L'hypoténuse y sera un bord connu et la deuxième jambe est égale à la moitié de la diagonale du carré (la hauteur est également la médiane). Et la diagonale de la base est facile à trouver :

ré = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

La hauteur devra être calculée comme la différence du deuxième degré du bord et du carré de la moitié de la diagonale et n'oubliez pas d'extraire la racine carrée :

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Répondre: 62,5 √2 (cm3).

ou (de manière équivalente) un polyèdre à six faces qui sont des parallélogrammes. Hexagone.

Les parallélogrammes qui composent le parallélépipède sont visages ce parallélépipède, les côtés de ces parallélogrammes sont arêtes parallélépipédiques, et les sommets des parallélogrammes sont pics parallélépipède. Chaque face d'un parallélépipède est parallélogramme.

En règle générale, toutes les 2èmes faces opposées sont distinguées et appelées les bases du parallélépipède, et les faces restantes faces latérales du parallélépipède. Les arêtes du parallélépipède qui n'appartiennent pas aux bases sont côtes latérales.

Les 2 faces d'un cuboïde qui partagent une arête sont en rapport, et ceux qui n'ont pas d'arêtes communes - contraire.

Un segment qui relie 2 sommets qui n'appartiennent pas à la 1ère face est la diagonale du parallélépipède.

Les longueurs des bords d'un cuboïde qui ne sont pas parallèles sont cotes linéaires (des mesures) un parallélépipède. Un parallélépipède rectangle a 3 dimensions linéaires.

Types de parallélépipèdes.

Il existe plusieurs types de parallélépipèdes :

Direct est un parallélépipède dont l'arête est perpendiculaire au plan de la base.

Un cuboïde dont les 3 dimensions ont la même grandeur est cube. Chacune des faces du cube est égale carrés .

Parallélépipède arbitraire. Le volume et les rapports dans une boîte asymétrique sont principalement définis à l'aide de l'algèbre vectorielle. Le volume de la boîte est égal à la valeur absolue du produit mixte de 3 vecteurs, qui sont déterminés par les 3 côtés de la boîte (qui proviennent du même sommet). Le rapport entre les longueurs des côtés du parallélépipède et les angles entre eux montre l'affirmation selon laquelle le déterminant de Gram des 3 vecteurs donnés est égal au carré de leur produit mixte.

Propriétés d'un parallélépipède.

• Le parallélépipède est symétrique par rapport au milieu de sa diagonale.
• Tout segment dont les extrémités appartiennent à la surface du parallélépipède et qui passe par le milieu de sa diagonale est divisé par celui-ci en deux parties égales. Toutes les diagonales du parallélépipède se coupent au 1er point et sont divisées par celui-ci en deux parties égales.
• Les faces opposées d'un parallélépipède sont parallèles et ont des dimensions égales.
• Le carré de la longueur de la diagonale d'un cuboïde est