ลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน nหมายเลขตรงกัน เอ็กซ์nแล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2, …, เอ็กซ์n, ….

สัญกรณ์ลำดับตัวเลข {เอ็กซ์ n } .

ขณะเดียวกันก็มีตัวเลข เอ็กซ์ 1, เอ็กซ์ 2, …, เอ็กซ์n, ... ถูกเรียกว่า สมาชิกของลำดับ .

วิธีการพื้นฐานในการระบุลำดับหมายเลข

1. หนึ่งในวิธีที่สะดวกที่สุดคือการกำหนดลำดับ สูตรของคำศัพท์ทั่วไป : เอ็กซ์n = ฉ(n), n Î เอ็น.

ตัวอย่างเช่น, เอ็กซ์n = n 2 + 2n+ 3 Þ เอ็กซ์ 1 = 6, เอ็กซ์ 2 = 11, เอ็กซ์ 3 = 18, เอ็กซ์ 4 = 27, …

2. โอนตรง สมาชิกคนแรกมีจำนวนจำกัด

ตัวอย่างเช่น https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ กล่าวคือ สูตรที่แสดงพจน์ n ผ่านพจน์หนึ่งหรือหลายพจน์ก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น, ใกล้ฟีโบนัชชีเรียกว่าลำดับเลข

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ซึ่งถูกกำหนดซ้ำ:

เอ็กซ์ 1 = 1, เอ็กซ์ 2 = 1, เอ็กซ์n+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในลำดับ

1. ผลรวม (ส่วนต่าง) ลำดับ ( กn) และ ( พันล้าน CN } = { หนึ่ง ± พันล้าน}.

2. การทำงานลำดับ ( กn) และ ( พันล้าน) เรียกว่าลำดับ ( CN } = { หนึ่ง× พันล้าน}.

3. ส่วนตัวลำดับ ( กn) และ ( พันล้าน }, พันล้าน¹ 0 เรียกว่าลำดับ ( CN } = { หนึ่ง×/ พันล้าน}.

คุณสมบัติของลำดับจำนวน

1. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ขอบเขตด้านบน ม nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n £ ม.

2. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ขอบเขตด้านล่างถ้ามีจำนวนจริงดังกล่าวอยู่ มซึ่งเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n ³ ม.

3. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก เพิ่มขึ้น nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n < เอ็กซ์n+1.

4. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ลดลงถ้าเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n > เอ็กซ์n+1.

5. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ไม่เพิ่มขึ้นถ้าเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n ³ เอ็กซ์n+1.

6. ลำดับ ( เอ็กซ์n) ถูกเรียก ไม่ลดลงถ้าเพื่อคุณค่าทางธรรมชาติทั้งหมด nความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง เอ็กซ์n £ เอ็กซ์n+1.

ลำดับที่เพิ่มขึ้นลดลงไม่เพิ่มขึ้นและไม่ลดลงเรียกว่า ซ้ำซากจำเจลำดับที่มีการเพิ่มขึ้นและลดลง - ซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัด.

เทคนิคพื้นฐานที่ใช้ในการตรวจสอบลำดับความซ้ำซากจำเจ

1. การใช้คำจำกัดความ

ก) สำหรับลำดับที่กำลังศึกษา ( เอ็กซ์n) ทำให้เกิดความแตกต่าง

เอ็กซ์n – เอ็กซ์n+1 แล้วเราจะพบว่าผลต่างนี้ยังมีสัญญาณคงที่สำหรับค่าใดๆ หรือไม่ n Î เอ็นและถ้าเป็นเช่นนั้น อันไหนกันแน่ ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ มีการสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความน่าเบื่อ (ไม่น่าเบื่อ) ของลำดับ

b) สำหรับลำดับของเครื่องหมายคงที่ ( เอ็กซ์n) เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ได้ เอ็กซ์n+1/เอ็กซ์nและเปรียบเทียบกับสิ่งหนึ่ง

หากทัศนคติเช่นนี้อยู่ต่อหน้าทุกคน nมีค่ามากกว่าหนึ่ง ดังนั้นสำหรับลำดับที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด จะมีการสรุปว่ามันเพิ่มขึ้น และสำหรับลำดับที่เป็นลบอย่างเคร่งครัด มันจะลดลงตามไปด้วย

หากทัศนคติเช่นนี้อยู่ต่อหน้าทุกคน nไม่น้อยกว่าหนึ่ง ดังนั้นสำหรับลำดับที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด จะมีการสรุปว่าไม่ลดลง และสำหรับลำดับที่เป็นลบอย่างเคร่งครัด ดังนั้น ลำดับจะไม่เพิ่มขึ้น

ถ้านี่คือความสัมพันธ์ของตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง nมากกว่าหนึ่งและสำหรับจำนวนอื่นๆ nน้อยกว่าหนึ่ง ซึ่งบ่งบอกถึงธรรมชาติของลำดับที่ไม่ซ้ำซาก

2. ไปที่ฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์จริง

ปล่อยให้จำเป็นต้องตรวจสอบลำดับตัวเลขเพื่อหาความซ้ำซากจำเจ

กn = ฉ(n), n Î เอ็น.

ให้เราแนะนำฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริง เอ็กซ์:

ฉ(เอ็กซ์) = ก(เอ็กซ์), เอ็กซ์ลูกบาศก์ 1,

และตรวจสอบความซ้ำซากจำเจ

หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาที่พิจารณา เราจะหาอนุพันธ์ของมันและตรวจสอบเครื่องหมาย

หากอนุพันธ์เป็นบวก ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น

ถ้าอนุพันธ์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง

เมื่อกลับสู่ค่าธรรมชาติของการโต้แย้งเราจะขยายผลลัพธ์เหล่านี้ไปยังลำดับดั้งเดิม

ตัวเลข กเรียกว่า ขีดจำกัดของลำดับ เอ็กซ์nถ้าจำนวนบวกจำนวนน้อยใดๆ ตามอำเภอใจ e ก็มีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น เอ็นซึ่งใช้สำหรับตัวเลขทั้งหมด n > เอ็นความไม่เท่าเทียมกันพอใจ | xn – ก | < e.

การคำนวณจำนวนเงิน n เทอมแรกของลำดับ

1. การนำเสนอคำศัพท์ทั่วไปของลำดับในรูปแบบของผลต่างของสองนิพจน์ขึ้นไปในลักษณะที่เมื่อแทนที่คำศัพท์ระดับกลางส่วนใหญ่จะลดลงและผลรวมจะง่ายขึ้นอย่างมาก

2. ในการตรวจสอบและพิสูจน์สูตรที่มีอยู่เพื่อหาผลรวมของเทอมที่ 1 ของลำดับ สามารถใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้

3. ปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับลำดับสามารถลดลงเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือเรขาคณิตได้

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม เอ็กซ์n }, nÎ เอ็นเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากแต่ละพจน์เริ่มต้นจากวินาทีมีค่าเท่ากับพจน์ก่อนหน้า แล้วบวกเข้ากับค่าคงที่ตัวเลขเดียวกันสำหรับลำดับที่กำหนด ง, เช่น. กn+1 = หนึ่ง + ง, ที่ไหน ง– ความแตกต่างความก้าวหน้า กn– สมาชิกสามัญ ( nสมาชิกท่านนั้น)	คำนิยาม ลำดับหมายเลข ( เอ็กซ์n }, nÎ เอ็นเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าแต่ละพจน์เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าก่อนหน้า คูณด้วยค่าคงที่จำนวนเท่ากันสำหรับลำดับที่กำหนด ถาม, เช่น. พันล้าน+1 = พันล้าน × ถาม, ข 110, ถาม ¹ 0, ที่ไหน ถาม– ส่วนของความก้าวหน้า พันล้าน– สมาชิกสามัญ ( nสมาชิกท่านนั้น)
โมโนโทน ถ้า ง> 0 จากนั้นความก้าวหน้าก็เพิ่มขึ้น ถ้า ง < 0, то прогрессия убывающая.	โมโนโทน ถ้า ข 1 > 0, ถาม> 1 หรือ ข 1 < 0, 0 < ถาม < 1, то прогрессия возрастающая. ถ้า ข 1 < 0, ถาม> 1 หรือ ข 1 > 0, 0 < ถาม < 1, то прогрессия убывающая. ถ้า ถาม < 0, то прогрессия немонотонная
สูตรศัพท์ทั่วไป กn = ก 1 + ง×( n – 1) ถ้า 1 ปอนด์ เค £ n– 1 แล้ว กn = อาก้า + ง×( n – เค)	สูตรศัพท์ทั่วไป พันล้าน = ข 1× qn – 1 ถ้า 1 ปอนด์ เค £ n– 1 แล้ว พันล้าน = บีเค × qn –เค
คุณสมบัติลักษณะ ถ้า 1 ปอนด์ เค £ n– 1 แล้ว	คุณสมบัติลักษณะ ถ้า 1 ปอนด์ เค £ n– 1 แล้ว
คุณสมบัติ หนึ่ง + เช้า = อาก้า + อัล, ถ้า n + ม = เค + ล	คุณสมบัติ พันล้าน × บีเอ็ม = บีเค × บล, ถ้า n + ม = เค + ล
ผลรวมของครั้งแรก n สมาชิก ส = ก 1 + ก 2 + … + อัน หรือ	ผลรวม ส = ข 1 + ข 2 + … + พันล้าน ถ้า ถามอันดับ 1 แล้ว . ถ้า ถาม= 1 แล้ว ส = ข 1× n. ถ้า | ถาม| < 1 и n® ¥ แล้ว
การดำเนินการเกี่ยวกับความก้าวหน้า 1. ถ้า ( กn) และ ( พันล้าน) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตามด้วยลำดับ { หนึ่ง ± พันล้าน) ก็เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เช่นกัน 2. ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( กn) คูณด้วยจำนวนจริงเท่ากัน เคจากนั้นลำดับผลลัพธ์จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย ซึ่งผลต่างจะเปลี่ยนไปตามนั้น เคครั้งหนึ่ง	การดำเนินการเกี่ยวกับความก้าวหน้า ถ้า ( กn) และ ( พันล้าน) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม 1 และ ถาม 2 ตามนั้น ตามด้วยลำดับ: 1) {หนึ่ง× พันล้าน ถาม 1× ถาม 2; 2) {หนึ่ง/พันล้าน) ก็เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเช่นกัน ถาม 1/ถาม 2; 3) {|หนึ่ง|) ยังเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน | ถาม 1|

วิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหาความก้าวหน้า

1. หนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาที่พบบ่อยที่สุด ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าที่เกี่ยวข้องกับสภาพปัญหานั้นแสดงออกมาผ่านความแตกต่างของความก้าวหน้า ง ก งและ ก 1.

2. แพร่หลายและถือเป็นวิธีการแก้ปัญหามาตรฐาน ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เมื่อสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ปรากฏในคำชี้แจงปัญหาแสดงผ่านตัวส่วนของความก้าวหน้า ถามและสมาชิกคนใดคนหนึ่งซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นคนแรก ข 1. ตามเงื่อนไขของปัญหา ระบบจะรวบรวมและแก้ไขระบบที่ไม่ทราบข้อมูล ถามและ ข 1.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ปัญหาที่ 1 .

ลำดับที่ให้มา เอ็กซ์n = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) หาจำนวนเงิน สอันดับแรก nสมาชิกของลำดับนี้

สารละลาย- มาแปลงนิพจน์สำหรับสมาชิกทั่วไปของลำดับกัน:

เอ็กซ์n = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

ส = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

ปัญหาที่ 2 .

ลำดับที่ให้มา กn = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

จากที่นี่, ก(3n + 5) +บี(3n + 2) = 1,

(3ก + 3บี)n + (5ก + 2บี) = 1.

n.

n 1 | 3ก + 3บี = 0,

n0 | 5 ก + 2บี = 1.

ก = 1/3, ใน = –1/3.

ดังนั้น https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " ความกว้าง = "39" ความสูง = "41 src = "> กn- หมายเลข 1980 เป็นสมาชิกของลำดับนี้หรือไม่? ถ้าใช่ให้กำหนดหมายเลขของมัน

สารละลาย- มาเขียนอันแรกกันดีกว่า nสมาชิกของลำดับนี้:

ก 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

ลองคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้:

ก 1ก 2ก 3ก 4ก 5…หนึ่ง-2หนึ่ง-1หนึ่ง = ก 1ก 2ก 3ก 4ก 5…หนึ่ง-2หนึ่ง-1.

จากที่นี่, หนึ่ง = n(n + 1).

จากนั้น พ.ศ. 2523 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 โอ เอ็น.

คำตอบ:ใช่, n = 44.

ปัญหาที่ 4 .

หาจำนวนเงิน ส = ก 1 + ก 2 + ก 3 + … + กnตัวเลข ก 1, ก 2, ก 3, …,กnซึ่งสำหรับธรรมชาติใดๆ nตอบสนองความเท่าเทียมกัน ส = ก 1 + 2ก 2 + 3ก 3 + … + nกn = .

สารละลาย. ส 1 = ก 1 = 2/3.

สำหรับ n > 1, น่าน = ส – ส–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

จากที่นี่, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

ก(n + 1)(n + 2) + บีเอ็น(n + 2) + ซีเอ็น(n + 1) = 1

(ก + บี + ค)n 2 + (3ก + 2บี + ค)n + 2ก = 1,

ให้เราถือสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังที่สอดคล้องกัน n.

n 2 | ก + บี + ค= 0,

n 1 | 3ก + 2บี+ ค = 0,

n0 | 2 ก = 1.

เราได้รับการแก้ไขระบบผลลัพธ์ ก = 1/2, ใน= –1, ค = 1/2

ดังนั้น https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

ที่ไหน , , n > 1,

ส¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

ส¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

ส = ก 1 + ก 2 + ก 3 + … + กn = ก 1 +=

=ก 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

ปัญหาที่ 5 .

ค้นหาพจน์ที่มากที่สุดของลำดับ .

สารละลาย- เอาล่ะใส่ พันล้าน = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

บางคนปฏิบัติต่อคำว่า "ความก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เนื่องจากเป็นคำที่ซับซ้อนมากจากสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ในขณะเดียวกันความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของมิเตอร์แท็กซี่ (ซึ่งยังคงมีอยู่) และการทำความเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยวิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นบางประการ

ลำดับตัวเลขทางคณิตศาสตร์

ลำดับตัวเลขมักเรียกว่าชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ

และ 2 คือเทอมที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ

และ n เป็นสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ

อย่างไรก็ตามไม่มีชุดตัวเลขและตัวเลขใด ๆ ที่น่าสนใจสำหรับเรา เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของเทอมที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับด้วยความสัมพันธ์ที่สามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของตัวเลขที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

a คือค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข

n คือหมายเลขประจำเครื่อง

f(n) คือฟังก์ชัน โดยที่เลขลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักเรียกว่าลำดับตัวเลข ซึ่งแต่ละเทอมต่อมาจะมากกว่า (น้อยกว่า) กว่าเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

เป็นเรื่องง่ายที่จะตัดสินว่าหากผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกลำดับต่อมาของซีรีส์ที่กำลังพิจารณาจะมีค่ามากกว่าชุดก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเห็นได้ง่ายว่าทำไมลำดับตัวเลขจึงเรียกว่า "การเพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (ง<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ค่าสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งมีความจำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์ใดก็ได้ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามลำดับโดยเริ่มจากค่าแรกไปจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม เส้นทางนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาค่าของเทอมห้าพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถศึกษาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของเทอมใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าด้วยผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวนเทอมที่ต้องการลดลงด้วย หนึ่ง.

สูตรนี้เป็นสูตรสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณค่าของคำที่กำหนด

ให้เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการค้นหาค่าของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

เทอมแรกของลำดับคือ 3;

ผลต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: คุณต้องค้นหาค่าของคำศัพท์ 214 คำ

วิธีแก้ไข: เพื่อระบุค่าของคำที่กำหนด เราใช้สูตร:

ก(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำชี้แจงปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

ก(214) = ก1 + ง(n-1)

ก(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: เทอมที่ 214 ของลำดับมีค่าเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่กำหนด

บ่อยครั้งในชุดเลขคณิตที่กำหนดมีความจำเป็นต้องกำหนดค่ารวมของค่าของบางเซ็กเมนต์ ในการทำเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วบวกเข้าด้วยกัน วิธีการนี้ใช้ได้หากจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการหาผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นๆ จะสะดวกกว่าถ้าใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของเทอมที่หนึ่งและที่ n คูณด้วยจำนวนของเทอม n แล้วหารด้วยสอง หากในสูตรค่าของเทอมที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความเราจะได้รับ:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น เรามาแก้ปัญหาโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้:

พจน์แรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ปัญหานี้จำเป็นต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมตั้งแต่ 56 ถึง 101

สารละลาย. ลองใช้สูตรเพื่อกำหนดจำนวนความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดค่าผลรวมของเงื่อนไข 101 ของความก้าวหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

วินาที 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าตั้งแต่วันที่ 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 ออกจาก S 101

วินาที 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

ส 101 - ส 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างลำดับเลขคณิตที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท็กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมการเดินทาง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรถัดไปจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล/กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรก ซึ่งราคาดังกล่าวรวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิก - จำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 r

จำนวนที่เราสนใจคือค่าของเทอมที่ (27+1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 เท่ากับ 27.999... = 28 กม.

ก 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานโดยพลการจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะห่างของวัตถุท้องฟ้าถึงดาวฤกษ์ในทางเรขาคณิต นอกจากนี้ ชุดตัวเลขต่างๆ ยังสามารถนำมาใช้ในสถิติและสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์อื่นๆ ได้สำเร็จอีกด้วย

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดดเด่นด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการเมือง สังคมวิทยา และการแพทย์ เพื่อแสดงความเร็วของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคในระหว่างการแพร่ระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เทอมที่ N ของชุดตัวเลขเรขาคณิตแตกต่างจากเทอมก่อนหน้าตรงที่คูณด้วยจำนวนคงที่บางตัว - ตัวส่วนเช่นเทอมแรกคือ 1 ตัวส่วนจะเท่ากับ 2 ตามลำดับดังนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

bn - ค่าของเทอมปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของเทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย:

เช่นเดียวกับในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของคำใดๆ ก็ตาม เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวส่วนของความก้าวหน้ากำลังของ n ลดลง 1:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 มาหาความก้าวหน้าระยะที่ 5 กัน

ข 5 = ข 1 ∙ คิว (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

ผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษด้วย ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและตัวส่วนกับเทอมแรกของความก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

หากแทนที่ bn โดยใช้สูตรที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าของผลรวมของเทอม n แรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกกำหนดให้เป็น 3 ลองหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง- องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ หมายเลขซีเรียลขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ

- องค์ประกอบ “nth” ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n

มีความสัมพันธ์ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดอย่างนั้นได้ ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถตั้งค่าได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ

ตัวอย่างเช่น มีคนตัดสินใจจัดการเวลาส่วนตัว และเริ่มต้นด้วยการนับเวลาที่เขาใช้บน VKontakte ในระหว่างสัปดาห์ โดยการบันทึกเวลาลงในตาราง เขาจะได้รับลำดับที่ประกอบด้วยเจ็ดองค์ประกอบ:

บรรทัดแรกของตารางระบุจำนวนวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สองคือเวลาเป็นนาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีบน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที

2 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรเทอมที่ n

ในกรณีนี้ การพึ่งพาค่าขององค์ประกอบลำดับกับหมายเลขจะแสดงโดยตรงในรูปแบบของสูตร

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว

ในการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด เราจะแทนที่หมายเลของค์ประกอบลงในสูตรของเทอมที่ n

เราทำสิ่งเดียวกันหากเราต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ลงในสมการของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างเช่น หาก , ที่

ฉันขอทราบอีกครั้งว่าในลำดับ ไม่เหมือนกับฟังก์ชันตัวเลขใดๆ อาร์กิวเมนต์สามารถเป็นได้เฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 - ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาค่าของหมายเลขสมาชิกลำดับ n กับค่าของสมาชิกก่อนหน้า ในกรณีนี้ การรู้เพียงจำนวนสมาชิกของลำดับเท่านั้นที่จะหาค่าของมันนั้นไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ ,

เราสามารถหาค่าของสมาชิกลำดับได้ ในลำดับเริ่มจากตัวที่สาม:

นั่นคือ ทุกครั้ง เพื่อค้นหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาค่าสองตัวก่อนหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่า กำเริบมาจากคำภาษาละติน เกิดขึ้นอีก- กลับมา.

ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาทีที่มีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับตัวเลขเดียวกัน

เบอร์นั้นเรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ถ้า title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} เพิ่มขึ้น.

ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; สิบเอ็ด;...

ถ้า แล้วแต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าเทอมก่อนหน้า และความก้าวหน้าก็คือ ลดลง.

ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;...

ถ้า แล้วเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าก็เท่ากับ เครื่องเขียน.

เช่น 2;2;2;2;...

คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามาดูรูปกันดีกว่า

เราเห็นสิ่งนั้น

และในเวลาเดียวกัน

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้:

.

ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2:

ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ติดกัน:

นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

และในเวลาเดียวกัน

, ที่

, และดังนั้นจึง

แต่ละเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วย title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

สูตรของเทอมที่ 3

เราเห็นว่าเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

และในที่สุดก็

เราได้รับ สูตรของเทอมที่ n

สำคัญ!สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่าน และ เมื่อรู้เทอมแรกและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณจะพบคำศัพท์ใดๆ ก็ได้

ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ ผลรวมของคำศัพท์ที่มีระยะห่างจากค่าสุดขั้วเท่ากันจะเท่ากัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเงื่อนไข n ให้ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

เรามาจัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้ากันก่อนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก จากนั้นเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

มาเพิ่มเป็นคู่กัน:

ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n

เราได้รับ:

ดังนั้น, ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ลองพิจารณาดู การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เราพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เราพบว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;...

ก) ค้นหาเงื่อนไขความก้าวหน้า 31 ข้อ

b) พิจารณาว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

ก)เราเห็นแล้วว่า;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าของเรากัน

โดยทั่วไปแล้ว

ในกรณีของเรา นั่นเป็นเหตุผล

ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาก็บอกว่าได้รับ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้นลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า เทอมแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — เทอมที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกคนที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ n — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกสองคนที่อยู่ติดกัน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 สมาชิกลำดับ หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ) อ หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).

ในการกำหนดลำดับ คุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับด้วยตัวเลขใดก็ได้

บ่อยครั้งมีการระบุลำดับโดยใช้ สูตรเทอมที่ n นั่นคือสูตรที่ช่วยให้คุณกำหนดสมาชิกของลำดับตามหมายเลขของมันได้

ตัวอย่างเช่น,

สูตรสามารถกำหนดลำดับของเลขคี่บวกได้

หนึ่ง= 2ไม่มี 1,

และลำดับการสลับกัน 1 และ -1 - สูตร

ข n = (-1)n +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรเกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกของลำดับ โดยเริ่มจากสมาชิกบางส่วนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งคนหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นเจ็ดเทอมแรกของลำดับตัวเลขจะถูกสร้างดังนี้:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับที่เรียกว่า สุดยอด ถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด ลำดับที่เรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามีสมาชิกจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับของจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับที่เรียกว่า เพิ่มขึ้น หากสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ลำดับที่เรียกว่า ลดลง ถ้าสมาชิกแต่ละคนเริ่มตั้งแต่ตัวที่สองน้อยกว่าสมาชิกก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — ลำดับที่เพิ่มขึ้น;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงเมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับแบบโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าโดยบวกด้วยจำนวนเดียวกัน

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างเงื่อนไขที่ตามมาและเงื่อนไขก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจึงเป็นค่าคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเทอมแรกและผลต่างของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ n

หนึ่ง = 1 + (n- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาระยะที่สามสิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (n- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2n- 7 เป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

หนึ่ง = 2n- 7,

n-1 = 2(ไม่มี 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ก 1 แต่ยังรวมถึงก่อนหน้านี้ด้วย เค

หนึ่ง = เค + (n- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนลงไปได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = ไม่เป็นไร + เคดี,

หนึ่ง = เอ็น+เค - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก นะเค + ก ไม่มี+เค
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ โดยเริ่มจากวินาที จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของสมาชิกที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ลิตร

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, เพราะ

ก 2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ส= ก 1 + ก 2 + ก 3 + - -+ หนึ่ง,

อันดับแรก n เงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเงื่อนไขสุดขั้วและจำนวนเงื่อนไข:

จากนี้โดยเฉพาะจะตามมาว่าหากคุณต้องการรวมคำศัพท์

เค, เค +1 , . . . , หนึ่ง,

ดังนั้นสูตรก่อนหน้านี้จะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, nและส n เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณเหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่ซ้ำซากจำเจ โดยที่:

• ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้า ง < 0 ก็กำลังลดลง;
• ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับก็จะหยุดนิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับที่สมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากตัวที่สองมีค่าเท่ากับตัวก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , บีเอ็น, . . .

คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ n ตรงตามเงื่อนไข:

บีเอ็น +1 = บีเอ็น · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของเทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดต่อเทอมก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = บีเอ็น +1 / บีเอ็น = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต การระบุเทอมแรกและตัวส่วนก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นเราจะพบพจน์ห้าคำแรกของลำดับดังนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ n คำที่ 3 สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาเทอมที่ 7 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

บีเอ็น-1 = ข 1 · qn -2 ,

บีเอ็น = ข 1 · qn -1 ,

บีเอ็น +1 = ข 1 · qn,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (สัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากการสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความต่อไปนี้จึงถือเป็น:

ตัวเลข a, b และ c เป็นพจน์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าหากกำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ หนึ่งในตัวเลขนั้นเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร บีเอ็น= -3 2 n คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้ข้อความข้างต้น เรามี:

บีเอ็น= -3 2 n,

บีเอ็น -1 = -3 2 n -1 ,

บีเอ็น +1 = -3 2 n +1 .

เพราะฉะนั้น,

บีเอ็น 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = บีเอ็น -1 · บีเอ็น +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่ต้องการ ◄

โปรดทราบว่า n เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงแต่ผ่านเท่านั้น ข 1 แต่ยังรวมถึงสมาชิกคนก่อนหน้าด้วย ข ซึ่งก็เพียงพอที่จะใช้สูตร

บีเอ็น = ข · qn - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนลงไปได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · คำถามที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

บีเอ็น = ข · qn - เค,

บีเอ็น = บีเอ็น - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

บีเอ็น 2 = บีเอ็น - เค· บีเอ็น + เค

กำลังสองของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยเริ่มจากวินาทีนั้น จะเท่ากับผลคูณของเทอมที่มีระยะห่างเท่ากันของความก้าวหน้านี้

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

ข ม· บีเอ็น= ข· ข,

ม+ n= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + บีเอ็น

อันดับแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ ถาม = 1 - ตามสูตร

ส= ไม่มี 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปข้อกำหนด

ข, ข +1 , . . . , บีเอ็น,

จากนั้นจึงใช้สูตร:

ส- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + บีเอ็น = ข ·	1 - qn - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แสดงว่าปริมาณ ข 1 , บีเอ็น, ถาม, nและ ส เชื่อมต่อกันด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากให้ค่าของสามปริมาณใด ๆ เหล่านี้จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของปริมาณอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :

• ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

• ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเดียวกันกับเทอมแรก และเทอมที่มีเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เห็นได้ชัดว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับกันนั้นไม่ใช่เรื่องซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

พี= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · บีเอ็น = (ข 1 · บีเอ็น) n / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ซึ่งมีโมดูลัสตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง มันเหมาะกับโอกาส

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขที่ผลรวมของหมายเลขแรกเข้าใกล้โดยไม่มีขีดจำกัด n สมาชิกของความก้าวหน้าโดยเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัด n - จำนวนนี้มีจำกัดเสมอและแสดงเป็นสูตร

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . =	ข 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองดูเพียงสองตัวอย่าง

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . ข .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน ถาม , ที่

เข้าสู่ระบบ ข 1, เข้าสู่ระบบ ข 2, เข้าสู่ระบบ ข 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตพร้อมตัวส่วน 6 และ

แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄