URUTAN NUMERIK

PROGRESI ARITMETIK DAN GEOMETRIK

Jika untuk setiap bilangan asli N nomor cocok XN, lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor X 1, X 2, …, XN, ….

Notasi urutan angka {X N } .

Pada saat yang sama, angkanya X 1, X 2, …, XN, ... disebut anggota urutan .

Metode dasar menentukan urutan angka

1. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengatur urutan rumus suku umumnya : XN = F(N), N Î N.

Misalnya, XN = N 2 + 2N+ 3Þ X 1 = 6, X 2 = 11, X 3 = 18, X 4 = 27, …

2. Pemindahan langsung jumlah anggota pertama yang terbatas.

Misalnya, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Hubungan pengulangan , yaitu rumus yang menyatakan suku ke-n melalui satu suku atau lebih sebelumnya.

Misalnya, dekat Fibonacci disebut barisan angka

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…, yang ditentukan secara berulang:

X 1 = 1, X 2 = 1, XN+1 = xn + xn–1 (N = 2, 3, 4, …).

Operasi aritmatika pada barisan

1. Jumlahnya (selisih) urutan ( AN) Dan ( bn cn } = { sebuah ± bn}.

2. Pekerjaan urutan ( AN) Dan ( bn) disebut barisan ( cn } = { sebuah× bn}.

3. Pribadi urutan ( AN) Dan ( bn }, bn¹ 0, disebut barisan ( cn } = { sebuah×/ bn}.

Sifat-sifat barisan bilangan

1. Urutan ( XN) disebut dibatasi di atas M N ketimpangan memang benar adanya XN £ M.

2. Urutan ( XN) disebut dibatasi di bawah, jika bilangan real tersebut ada M, yang untuk semua nilai alam N ketimpangan memang benar adanya XN ³ M.

3. Urutan ( XN) disebut meningkat N ketimpangan memang benar adanya XN < XN+1.

4. Urutan ( XN) disebut menurun, jika untuk semua nilai alami N ketimpangan memang benar adanya XN > XN+1.

5. Urutan ( XN) disebut tidak meningkat, jika untuk semua nilai alami N ketimpangan memang benar adanya XN ³ XN+1.

6. Urutan ( XN) disebut tidak menurun, jika untuk semua nilai alami N ketimpangan memang benar adanya XN £ XN+1.

Barisan yang menaik, menurun, tidak bertambah, dan tidak menurun disebut membosankan urutan, dengan kenaikan dan penurunan - sangat monoton.

Teknik dasar yang digunakan saat memeriksa barisan untuk monotonisitas

1. Menggunakan definisi.

a) Untuk barisan yang diteliti ( XN) perbedaannya terjadi

XN – XN+1, dan kemudian kita mencari tahu apakah perbedaan ini mempunyai tanda konstan untuk setiap N Î N, dan jika ya, yang mana sebenarnya. Bergantung pada ini, kesimpulan dibuat tentang monotonisitas (non-monotonisitas) barisan tersebut.

b) Untuk barisan yang bertanda konstan ( XN) seseorang dapat membentuk suatu relasi XN+1/XN dan bandingkan dengan yang satu.

Jika sikap ini ada di depan semua orang N lebih besar dari satu, maka untuk barisan yang sangat positif diambil kesimpulan bahwa barisan tersebut meningkat, dan untuk barisan yang sangat negatif, barisan tersebut menurun.

Jika sikap ini ada di depan semua orang N tidak kurang dari satu, maka untuk barisan yang benar-benar positif diambil kesimpulan bahwa barisan tersebut tidak berkurang, dan untuk barisan yang benar-benar negatif, maka barisan tersebut tidak bertambah.

Jika ini adalah hubungan pada beberapa bilangan N lebih besar dari satu, dan untuk bilangan lainnya N kurang dari satu, hal ini menunjukkan sifat barisan yang tidak monoton.

2. Pergi ke fungsi argumen sebenarnya.

Biarkan barisan bilangan perlu diperiksa untuk mengetahui kemonotonan

AN = F(N), N Î N.

Mari kita perkenalkan fungsi argumen sebenarnya X:

F(X) = A(X), X³ 1,

dan periksa apakah monoton.

Jika suatu fungsi terdiferensiasi pada interval yang ditinjau, maka kita mencari turunannya dan memeriksa tandanya.

Jika turunannya positif, maka fungsinya bertambah.

Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.

Kembali ke nilai alami argumen, kami memperluas hasil ini ke urutan aslinya.

Nomor A ditelepon batas barisan tersebut XN, jika untuk sembarang bilangan positif kecil e terdapat bilangan asli tersebut N, yang untuk semua nomor N > N ketimpangan terpenuhi | xn – A | < e.

Menghitung jumlahnya N suku pertama barisan tersebut

1. Penyajian suku umum suatu barisan dalam bentuk selisih dua atau beberapa persamaan sedemikian rupa sehingga, ketika disubstitusi, sebagian besar suku perantaranya dikurangi dan jumlahnya disederhanakan secara signifikan.

2. Untuk memeriksa dan membuktikan rumus-rumus yang ada dalam mencari jumlah suku pertama barisan dapat digunakan metode induksi matematika.

3. Beberapa soal barisan dapat direduksi menjadi soal yang melibatkan barisan aritmatika atau geometri.

Perkembangan aritmatika dan geometri

Kemajuan aritmatika	Kemajuan geometris
Definisi XN }, NÎ N, disebut barisan aritmatika jika setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, ditambah konstanta bilangan yang sama untuk suatu barisan tertentu. D, yaitu. AN+1 = sebuah + D, Di mana D– perbedaan perkembangan, AN– anggota biasa ( N anggota ke-)	Definisi Urutan nomor ( XN }, NÎ N, disebut barisan geometri jika setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, dikalikan dengan konstanta bilangan yang sama untuk suatu barisan tertentu. Q, yaitu. bn+1 = bn × Q, B 1¹0, Q ¹ 0, Di mana Q– penyebut perkembangan, bn– anggota biasa ( N anggota ke-)
Nada datar Jika D> 0, maka progresnya semakin meningkat. Jika D < 0, то прогрессия убывающая.	Nada datar Jika B 1 > 0, Q> 1 atau B 1 < 0, 0 < Q < 1, то прогрессия возрастающая. Jika B 1 < 0, Q> 1 atau B 1 > 0, 0 < Q < 1, то прогрессия убывающая. Jika Q < 0, то прогрессия немонотонная
Rumus istilah umum AN = A 1 + D×( N – 1) Jika 1 £ k £ N– 1, lalu AN = aku + D×( N – k)	Rumus istilah umum bn = B 1× qn – 1 Jika 1 £ k £ N– 1, lalu bn = bk × qn –k
Properti karakteristik Jika 1 £ k £ N– 1, lalu	Properti karakteristik Jika 1 £ k £ N– 1, lalu
Properti sebuah + saya = aku + Al, Jika N + M = k + aku	Properti bn × bm = bk × hal, Jika N + M = k + aku
Jumlah yang pertama N anggota sn = A 1 + A 2 + … +sebuah atau	Jumlah sn = B 1 + B 2 + … + bn Jika Q Nomor 1, kalau begitu. Jika Q= 1, maka sn = B 1× N. Jika | Q| < 1 и N® ¥, lalu
Operasi pada perkembangan 1. Jika ( AN) Dan ( bn) barisan aritmatika, lalu barisan { sebuah ± bn) juga merupakan perkembangan aritmatika. 2. Jika semua suku suatu barisan aritmatika ( AN) kalikan dengan bilangan real yang sama k, maka barisan yang dihasilkan juga merupakan barisan aritmatika, yang selisihnya akan berubah k sekali	Operasi pada perkembangan Jika ( AN) Dan ( bn) barisan geometri dengan penyebut Q 1 dan Q 2 sesuai, maka urutannya: 1) {sebuah× bn Q 1× Q 2; 2) {sebuah/bn) juga merupakan barisan geometri yang penyebutnya Q 1/Q 2; 3) {|sebuah|) juga merupakan barisan geometri dengan penyebut | Q 1|

Metode dasar untuk memecahkan masalah perkembangan

1. Salah satu metode penyelesaian yang paling umum permasalahan pada perkembangan aritmatika adalah bahwa semua ketentuan perkembangan yang terlibat dalam kondisi masalah dinyatakan melalui perbedaan perkembangan D A D Dan A 1.

2. Meluas dan dianggap sebagai metode solusi standar masalah deret geometri , ketika semua anggota barisan geometri yang muncul dalam rumusan masalah dinyatakan melalui penyebut barisan tersebut Q dan salah satu anggotanya, paling sering yang pertama B 1. Berdasarkan kondisi permasalahan, suatu sistem yang tidak diketahui dikompilasi dan diselesaikan Q Dan B 1.

Contoh pemecahan masalah

Masalah 1 .

Urutan diberikan XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2+1). Temukan jumlahnya sn Pertama N anggota urutan ini.

Larutan. Mari kita ubah ekspresi untuk anggota umum barisan tersebut:

XN = 4N(N 2 + 1) – (6N 2 + 1) = 4N 3 + 4N – 6N 2 – 1 = N 4 – N 4 + 4N 3 – 6N 2 + 4N – 1 =

= N 4 – (N 4 – 4N 3 + 6N 2 – 4N+ 1) = N 4 – (N – 1)4.

sn = X 1 + X 2 + X 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (N 4 – (N – 1)4) = N 4.

Masalah 2 .

Urutan diberikan AN = 3N+ 2..gif" lebar = "429" tinggi = "45">.

Dari sini, A(3N + 5) +B(3N + 2) = 1,

(3A + 3B)N + (5A + 2B) = 1.

N.

N 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, DI DALAM = –1/3.

Jadi, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " lebar="39" tinggi="41 src="> AN. Apakah angka 1980 termasuk dalam barisan ini? Jika ya, tentukan nomornya.

Larutan. Mari kita tuliskan yang pertama N anggota urutan ini:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" lebar = "93" tinggi = "41">.

Mari kalikan persamaan ini:

A 1A 2A 3A 4A 5…sebuah-2sebuah-1sebuah = A 1A 2A 3A 4A 5…sebuah-2sebuah-1.

Dari sini, sebuah = N(N + 1).

Kemudian, 1980 = N(N+ 1) Û N 2 + N– 1980 = 0Û N = –45 < 0, N= 44О N.

Menjawab: Ya, N = 44.

Masalah 4 .

Temukan jumlahnya S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN angka A 1, A 2, A 3, …,AN, yang alami N memenuhi kesetaraan sn = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + NAN = .

Larutan. S 1 = A 1 = 2/3.

Untuk N > 1, nan = sn – sn–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Dari sini, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(N + 1)(N + 2) + Bn(N + 2) + Cn(N + 1) = 1

(A + B + C)N 2 + (3A + 2B + C)N + 2A = 1,

Mari kita samakan koefisien pada pangkat yang bersesuaian N.

N 2 | A + B + C= 0,

N 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Memecahkan sistem yang dihasilkan, kita memperoleh A = 1/2, DI DALAM= –1, C = 1/2.

Jadi, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Di mana , , N > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + AN = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Masalah 5 .

Temukan suku terbesar dari barisan tersebut .

Larutan. Ayo taruh bn = –N 2 + 8N – 7 = 9 – (N – 4)2, .

Beberapa orang memperlakukan kata “perkembangan” dengan hati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks dari cabang matematika yang lebih tinggi. Sedangkan barisan aritmatika yang paling sederhana adalah kerja meteran taksi (yang masih ada). Dan memahami esensi (dan dalam matematika tidak ada yang lebih penting daripada "memahami esensi") dari suatu barisan aritmatika tidaklah begitu sulit, setelah menganalisis beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Barisan bilangan biasanya disebut barisan bilangan yang masing-masing mempunyai bilangan tersendiri.

a 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;

dan 2 adalah suku kedua barisan tersebut;

a 7 adalah anggota ketujuh dari barisan tersebut;

dan n adalah anggota barisan ke-n;

Namun, tidak ada kumpulan angka dan angka yang menarik minat kami. Kita akan memusatkan perhatian kita pada suatu barisan bilangan yang nilai suku ke-nnya dihubungkan dengan bilangan urutnya melalui suatu hubungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik dari bilangan ke-n adalah suatu fungsi dari n.

a adalah nilai anggota barisan bilangan;

n adalah nomor serinya;

f(n) adalah suatu fungsi, dimana bilangan urut dalam barisan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Barisan aritmatika biasanya disebut barisan bilangan yang setiap suku berikutnya lebih besar (lebih kecil) dari suku sebelumnya dengan bilangan yang sama. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota perkembangan aritmatika saat ini;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - selisih (angka tertentu).

Mudah untuk menentukan bahwa jika selisihnya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang ditinjau akan lebih besar dari suku sebelumnya dan barisan aritmatika tersebut akan meningkat.

Pada grafik di bawah ini mudah untuk melihat mengapa barisan bilangan disebut “bertambah”.

Dalam hal perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai suatu suku sembarang a n dari suatu barisan aritmatika. Hal ini dapat dilakukan dengan menghitung nilai seluruh anggota barisan aritmatika secara berurutan, mulai dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, jalur ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu mencari nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan banyak waktu. Namun, barisan aritmatika tertentu dapat dipelajari dengan menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai suatu suku suatu barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah suku pertama barisan tersebut dengan selisih barisan tersebut, dikalikan dengan banyaknya suku yang diinginkan, dikurangi dengan satu.

Rumusnya bersifat universal untuk menaikkan dan menurunkan perkembangan.

Contoh penghitungan nilai suatu suku tertentu

Mari kita selesaikan soal mencari nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika berikut ini.

Kondisi: terdapat barisan aritmatika dengan parameter:

Suku pertama barisan tersebut adalah 3;

Selisih deret bilangan tersebut adalah 1,2.

Tugas: Anda perlu mencari nilai 214 suku

Penyelesaian: untuk menentukan nilai suatu suku, kita menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kita mendapatkan:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Jawab: Suku ke-214 barisan tersebut sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode penghitungan ini jelas - seluruh solusi membutuhkan tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah sejumlah suku tertentu

Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, perlu untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Untuk melakukan ini, juga tidak perlu menghitung nilai setiap suku lalu menjumlahkannya. Cara ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlah perlu dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah menggunakan rumus berikut.

Jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah suku pertama dan suku ke-n, dikalikan banyaknya suku n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai suku ke-n diganti dengan ekspresi paragraf artikel sebelumnya, kita peroleh:

Contoh perhitungan

Misalnya, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Soal tersebut memerlukan penentuan jumlah suku deret tersebut dari 56 hingga 101.

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan besarnya perkembangan:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kita menentukan jumlah nilai 101 suku perkembangan dengan mensubstitusi kondisi tertentu dari masalah kita ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Tentunya, untuk mengetahui jumlah suku-suku barisan dari ke-56 ke ke-101, S 55 perlu dikurangkan dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi, jumlah perkembangan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Contoh penerapan praktis perkembangan aritmatika

Di akhir artikel, mari kita kembali ke contoh barisan aritmatika yang diberikan di paragraf pertama - Argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh ini.

Naik taksi (yang mencakup perjalanan sejauh 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel/km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Ayo buang 3 km pertama yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Perhitungan selanjutnya tidak lebih dari penguraian suatu deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota - jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga kilometer pertama).

Nilai anggota adalah penjumlahannya.

Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Perbedaan perkembangan d = 22 r.

bilangan yang kita minati adalah nilai suku ke (27+1) barisan aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke 27 adalah 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda langit ke bintang. Selain itu, berbagai deret bilangan berhasil digunakan dalam statistik dan bidang matematika terapan lainnya.

Jenis barisan bilangan lainnya adalah geometri

Kemajuan geometris dicirikan oleh tingkat perubahan yang besar, dibandingkan dengan aritmatika. Bukan suatu kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, dan kedokteran, untuk menunjukkan tingginya kecepatan penyebaran suatu fenomena tertentu, misalnya penyakit pada masa epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Suku ke-N suatu deret bilangan geometri berbeda dengan suku sebelumnya karena dikalikan dengan suatu bilangan konstan - penyebutnya, misalnya suku pertama adalah 1, maka penyebutnya juga sama dengan 2, maka:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - nilai suku saat ini dari barisan geometri;

b n+1 - rumus suku berikutnya dari barisan geometri;

q adalah penyebut barisan geometri (bilangan konstan).

Jika grafik barisan aritmatika berbentuk garis lurus, maka barisan geometri memberikan gambaran yang sedikit berbeda:

Seperti halnya aritmatika, barisan geometri memiliki rumus untuk nilai suatu suku sembarang. Suku ke-n suatu barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut barisan tersebut pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kita mempunyai barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan 3 dan penyebut barisan tersebut sama dengan 1,5. Mari kita cari suku ke-5 dari perkembangan tersebut

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Jumlah sejumlah suku tertentu juga dihitung menggunakan rumus khusus. Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali suku ke-n barisan tersebut dan penyebutnya dan suku pertama barisan tersebut, dibagi dengan penyebutnya dikurangi satu:

Jika b n diganti dengan rumus yang dibahas di atas, maka nilai jumlah n suku pertama deret bilangan yang ditinjau akan berbentuk:

Contoh. Perkembangan geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya ditetapkan menjadi 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Sebelum kita mulai memutuskan masalah perkembangan aritmatika, mari kita perhatikan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.

Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang setiap unsurnya mempunyai nomor urut tersendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor seri elemen urutan ditunjukkan dengan indeks:

Elemen pertama dari barisan;

Elemen kelima dari barisan;

- elemen "ke-n" dari barisan tersebut, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.

Terdapat hubungan antara nilai suatu elemen barisan dengan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap suatu barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari elemen barisan tersebut. Dengan kata lain, kita dapat mengatakan demikian urutannya adalah fungsi dari argumen natural:

Urutannya dapat diatur dalam tiga cara:

1 . Urutannya dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup menetapkan nilai setiap anggota barisan.

Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukan manajemen waktu pribadi, dan pertama-tama, hitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan mencatat waktu dalam tabel, ia akan memperoleh urutan yang terdiri dari tujuh unsur:

Baris pertama tabel menunjukkan jumlah hari dalam seminggu, baris kedua menunjukkan waktu dalam menit. Kita melihat bahwa pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat hanya 15 menit.

2 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus suku ke-n.

Dalam hal ini, ketergantungan nilai suatu unsur barisan terhadap bilangannya dinyatakan langsung dalam bentuk rumus.

Misalnya, jika , maka

Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus suku ke-n.

Kita melakukan hal yang sama jika kita perlu mencari nilai suatu fungsi jika nilai argumennya diketahui. Kami mengganti nilai argumen ke dalam persamaan fungsi:

Jika, misalnya, , Itu

Izinkan saya mencatat sekali lagi bahwa dalam suatu barisan, tidak seperti fungsi numerik sembarang, argumennya hanya dapat berupa bilangan asli.

3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai bilangan anggota barisan n terhadap nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, kita tidak cukup hanya mengetahui banyaknya anggota barisan untuk mencari nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan tersebut.

Misalnya, perhatikan urutannya ,

Kita dapat menemukan nilai-nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:

Artinya, setiap kali mencari nilai suku ke-n barisan tersebut, kita kembali ke dua suku sebelumnya. Metode menentukan urutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.

Sekarang kita dapat mendefinisikan barisan aritmatika. Perkembangan aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari suatu barisan bilangan.

Kemajuan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya dijumlahkan dengan bilangan yang sama.

Nomor tersebut dipanggil perbedaan perkembangan aritmatika. Selisih barisan aritmatika bisa positif, negatif, atau sama dengan nol.

Jika judul="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.

Misalnya, 2; 5; 8; sebelas;...

Jika , maka setiap suku suatu barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah menurun.

Misalnya, 2; -1; -4; -7;...

Jika , maka semua suku barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah tidak bergerak.

Misalnya, 2;2;2;2;...

Sifat utama barisan aritmatika:

Mari kita lihat gambarnya.

Kami melihatnya

, dan pada saat yang sama

Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:

.

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 2:

Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari barisan aritmatika kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua barisan aritmatika yang bertetangga:

Apalagi sejak itu

, dan pada saat yang sama

, Itu

, dan maka dari itu

Setiap suku suatu barisan aritmatika, dimulai dengan title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Rumus suku ke-th.

Kita melihat bahwa suku-suku barisan aritmatika memenuhi hubungan berikut:

dan akhirnya

Kita punya rumus suku ke-n.

PENTING! Setiap anggota barisan aritmatika dapat dinyatakan melalui dan. Mengetahui suku pertama dan perbedaan suatu barisan aritmatika, Anda dapat menemukan suku-sukunya.

Jumlah n suku suatu barisan aritmatika.

Dalam barisan aritmatika sembarang, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:

Pertimbangkan barisan aritmatika dengan n suku. Misalkan jumlah n suku barisan tersebut sama dengan .

Mari kita susun suku-suku perkembangannya terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, dan kemudian dalam urutan menurun:

Mari kita tambahkan secara berpasangan:

Jumlah tiap tanda kurung adalah , banyaknya pasangan adalah n.

Kita mendapatkan:

Jadi, jumlah n suku suatu barisan aritmatika dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Mari kita pertimbangkan memecahkan masalah perkembangan aritmatika.

1 . Barisan tersebut diberikan dengan rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan tersebut merupakan barisan aritmatika.

Mari kita buktikan bahwa selisih dua suku yang berdekatan pada barisan tersebut sama dengan bilangan yang sama.

Kami menemukan bahwa perbedaan antara dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlahnya dan merupakan konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah barisan aritmatika.

2 . Diketahui barisan aritmatika -31; -27;...

a) Tentukan 31 suku barisan tersebut.

b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam barisan ini.

A) Kami melihat itu;

Mari kita tuliskan rumus suku ke-n untuk perkembangan kita.

Secara umum

Dalam kasus kami , Itu sebabnya

Jika untuk setiap bilangan asli N cocok dengan bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon anggota pertama dari barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.

Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh suku pertama barisan bilangan tersebut ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir , jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.

Misalnya,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Barisan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.

Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .

Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.

Kemajuan aritmatika

Kemajuan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - nomor tertentu.

Jadi, selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya dari suatu perkembangan aritmatika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.

Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + dan,

maka jelas

sebuah=	n-1 + n+1
	2

Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satu dari bilangan tersebut sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat dituliskan

sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,

sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄

sebuah = sebuah nk + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

sebuah=	A nk + sebuah n+k
	2

setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika yang berjarak sama.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:

am + an = a k + a l,

m + n = k + aku.

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,

sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:

Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka besarannya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang bersesuaian dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Di mana:

• Jika D > 0 , kemudian meningkat;
• Jika D < 0 , maka menurun;
• Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

bn +1 = bn · Q,

Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.

Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:

bn = B 1 · qn -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

maka jelas

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku berurutan suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satu bilangan tersebut sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dua bilangan lainnya.

Misalnya,

Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 · 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

bn= -3 · 2 N,

bn -1 = -3 · 2 N -1 ,

bn +1 = -3 · 2 N +1 .

Karena itu,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri dapat dicari tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja

bn = bk · qn - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat dituliskan

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · pertanyaan 3,

b 5 = b 3 · pertanyaan 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

maka jelas

bn 2 = bn - k· bn + k

kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku barisan tersebut yang berjarak sama dari suku tersebut.

Selain itu, untuk setiap barisan geometri, persamaannya berlaku:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ aku.

Misalnya,

dalam deret geometri

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus

S n= catatan 1

Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya

bk, bk +1 , . . . , bn,

maka rumus yang digunakan adalah:

S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Misalnya,

dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu barisan geometri diberikan, maka besarannya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :

• kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

• Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk yang pertama N anggota barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Misalnya,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara barisan aritmatika dan geometri

Perkembangan aritmatika dan geometri berkaitan erat. Mari kita lihat dua contoh saja.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misalnya,

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - barisan geometri dengan penyebut Q , Itu

catatan ab 1, catatan ab 2, catatan ab 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan catatan aQ .

Misalnya,

2, 12, 72, . . . - barisan geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄