biografi Kurt Godel. Teori ketidakkonsistenan keberadaan

Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang ia buktikan pada tahun 1931 ketika ia berusia 25 tahun, menghancurkan aturan dasar sains modern, seperti yang telah dilakukan teori relativitas umum Einstein lima belas tahun sebelumnya. Gödel mendemonstrasikan bahwa aritmetika dasar tidak lengkap dan akan tetap demikian.

Kehidupan dan ketakutan Gödel

Kurt Friedrich Gödel (28 April 1906 – 14 Januari 1978) adalah seorang ahli logika, matematikawan, dan filsuf matematika Austria, yang terkenal karena perumusan dan bukti teorema ketidaklengkapannya. Kurt Godel lahir di kota Brunn Austro-Hongaria (Moravia) (sekarang Brno, Republik Ceko), dari sebuah keluarga Jerman. Ayah Kurt, Rudolf Gödel, adalah seorang manajer pabrik tekstil. Kurt Godel

Pada usia 18, Gödel masuk Universitas Wina. Di sana ia belajar fisika selama dua tahun, tetapi kemudian beralih ke matematika.

Biasanya Gödel dianggap sebagai orang Austria, tetapi dia berganti kewarganegaraan beberapa kali selama hidupnya. Terlahir sebagai subjek Austria-Hongaria, ia mengambil kewarganegaraan Cekoslowakia pada usia 12 tahun setelah Kekaisaran Austro-Hungaria tidak ada lagi. Pada usia 23 tahun, Gödel menjadi warga negara Austria, dan pada usia 32 tahun, setelah Austria direbut oleh Hitler, dia secara otomatis menjadi warga negara Reich Jerman. Pada tahun 1940, dia berangkat ke Amerika Serikat, dan karena bahaya bepergian melintasi Atlantik selama perang, dia melewati Uni Soviet dan Jepang. Di AS, dia mendapat pekerjaan di Institute for Advanced Study (Universitas Princeton) yang terkenal.

Belakangan, di Princeton (1941), meskipun kondisi umumnya membaik, Gödel masih mengalami ketidaknyamanan karena adanya unit yang menurutnya mampu mengeluarkan gas beracun. Karena alasan ini, ia bahkan memerintahkan agar lemari es dan radiator dikeluarkan dari apartemen mereka bersama Adele. Obsesinya dengan udara segar dan kecurigaan tentang lemari es bertahan sampai akhir hidupnya, dan periode pemulihan sedang dan penurunan kondisi mental saling menggantikan. Yang terakhir, bagaimanapun, terjadi lebih sering dan lebih sulit. Jadi, krisis tahun 1970 ternyata jauh lebih buruk dari tahun 1936 dan disertai dengan halusinasi, perilaku paranoid terhadap dokter dan kolega. Kondisi kesehatan Adele memburuk dengan cepat, sekarang dia tidak bisa merawatnya seperti dulu, dan dia, pada gilirannya, akan merawatnya. Teman Gödel, Oskar Morgenstern memberikan dukungan yang luar biasa.

Pada Februari 1976, paranoia Gödel kembali memburuk, berat badan mulai berkurang, dan ia dibujuk untuk dirawat di rumah sakit. Namun, seminggu kemudian, bahkan tanpa dipulangkan, dia kembali ke rumah. Kecurigaan sekarang juga menyangkut istrinya - dia memberi tahu Morgenstern dan orang lain bahwa dia diduga membagikan semua uangnya saat dia tidak ada. Adele dirawat di rumah sakit pada bulan Juni (hingga Agustus). Gödel rupanya menghabiskan banyak waktu bersamanya dan makan dengan buruk. Pada musim gugur, dia kembali sebentar ke rumah sakit, di mana, seperti yang dia katakan, mereka diduga mencoba membunuhnya. Setelah kembali ke rumah, kondisinya tidak membaik. Terlepas dari bujukan teman-temannya, dia menolak rawat inap lagi. Godel dan Einstein

Pada Juli 1977, Adele kembali pergi ke rumah sakit, di mana dia tinggal hingga Desember. Pada 26 Juli, Morgenstern meninggal. Peristiwa ini dan ketidakhadiran istrinya memberikan pengaruh yang menentukan pada kondisi Gödel dalam beberapa bulan berikutnya - anoreksia dan paranoia berkembang lebih aktif. Pada tanggal 29 Desember, atas desakan istrinya yang kembali sekitar seminggu yang lalu, Gödel setuju untuk dirawat di rumah sakit. Namun, dokter tidak dapat lagi memberikan bantuan yang berarti. Ilmuwan itu meninggal karena "malnutrisi dan kelelahan" yang disebabkan oleh "gangguan kepribadian" pada 14 Januari 1978 di Princeton, New Jersey.

Gödel adalah seorang ahli logika dan filsuf sains. Pencapaian Gödel yang paling terkenal adalah teorema ketidaklengkapan yang ia rumuskan dan buktikan, diterbitkan pada tahun 1931, dan terkait langsung dengan masalah kedua dari daftar terkenal Hilbert.

Daftar Hilbert adalah daftar 23 masalah utama dalam matematika yang dipresentasikan oleh David Hilbert pada Kongres Matematikawan Internasional II di Paris pada tahun 1900. Maka soal-soal tersebut (meliputi dasar-dasar matematika, aljabar, teori bilangan, geometri, topologi, geometri aljabar, kelompok Lie, analisis real dan kompleks, persamaan diferensial, fisika matematika dan teori probabilitas, serta kalkulus variasi) tidak terpecahkan . Sejauh ini, 16 dari 23 masalah telah diselesaikan.

Teorema pertama menyatakan bahwa jika aritmatika formal konsisten, maka mengandung rumus yang tak terbantahkan dan tak terbantahkan.

Teorema kedua menegaskan bahwa jika aritmatika formal konsisten, maka beberapa rumus tidak dapat diturunkan di dalamnya yang secara bermakna menegaskan konsistensi aritmatika ini.

aksioma Euclidean

Kursus geometri yang diajarkan di sekolah menengah di seluruh dunia didasarkan pada Elemen Euclid. Orang Yunani kuno, yang hidup pada abad ketiga SM, merumuskan beberapa aksioma mengenai sifat-sifat titik dan garis lurus pada bidang, yang darinya validitas banyak teorema geometris yang berguna dan penting mengikuti. Aksioma Euclid sederhana dan tidak dapat dibuktikan. Salah satunya menyatakan bahwa hanya satu garis lurus yang dapat ditarik melalui dua titik. Yang lainnya adalah bahwa garis sejajar berpotongan di tak terhingga. Pernyataan-pernyataan ini diterima sebagai sesuatu yang jelas dan tidak memerlukan bukti. Euclid, pada kenyataannya, berhasil merepresentasikan keseluruhan geometri dengan bantuan sejumlah kecil pernyataan yang benar dan mendasar, yang diungkapkan dengan sangat jelas dan ringkas.

Matematikawan memutuskan, dengan menggunakan "metode" Euclid, untuk mencoba menyajikan cabang matematika lainnya dengan cara yang serupa. Katakanlah ilmu angka.

(1978-01-14 ) (71 tahun) Negara Kekaisaran Austro-Hungaria →
Republik Cekoslowakia →
Republik Austria →
Amerika Serikat Penghargaan dan hadiah

Biografi [ | ]

tahun-tahun awal [ | ]

Kurt Gödel lahir pada tanggal 28 April 1906 di kota Brunn Austro-Hungaria (Moravia) (sekarang Brno, Republik Ceko) dari sebuah keluarga Jerman. Ayah Kurt - Rudolf Gödel (1874-1929) - adalah salah satu pemilik dan manajer sebuah pabrik tekstil besar. Keluarga itu juga memiliki seorang kakak laki-laki, dinamai menurut nama ayahnya Rudolf. Sejak masa kanak-kanak, Kurt dibedakan oleh rasa malu, mementingkan diri sendiri, hipokondria, serta kecurigaan yang ekstrim - dia sering menginspirasi dirinya sendiri dengan segala macam takhayul yang tidak dapat dia hilangkan sampai akhir hidupnya (misalnya, bahkan di panas dia memakai pakaian hangat dan sarung tangan, karena dia percaya bahwa tanpa alasan mengapa dia memiliki hati yang lemah).

Pidato ini tidak diumumkan sebelumnya dan memiliki efek yang mencengangkan, Gödel segera menjadi selebritas dunia, dan program Hilbert untuk memformalkan dasar-dasar matematika memerlukan revisi segera. Sebuah artikel dengan kedua teorema (" Tentang proposisi yang pada dasarnya tidak dapat dipecahkan dalam Principia Mathematica dan sistem terkait”) diterbitkan dalam bulanan ilmiah Monatshefte fur Mathematic und Physik pada tahun 1931. Meski Gödel memberikan pembuktian teorema kedua hanya dalam bentuk ide, namun hasilnya begitu jelas dan tak terbantahkan sehingga tidak ada yang meragukannya. Hilbert segera mengenali nilai penemuan Gödel; bukti lengkap pertama dari kedua teorema diterbitkan dalam Yayasan Matematika Hilbert dan Bernays (1938). Dalam kata pengantar jilid kedua, penulis mengakui bahwa metode terbatas tidak cukup untuk mencapai tujuan mereka, dan menambahkan induksi transfinit ke dalam daftar cara logis; pada tahun 1936, Gerhard Gentzen berhasil membuktikan konsistensi aritmatika menggunakan aksioma ini, tetapi kelengkapan logis tetap tidak dapat dicapai.

Pada tahun 1933, sudah menjabat sebagai Privatdozent di Universitas Wina, Gödel menerima undangan ke Universitas Princeton (AS), di mana dia memberikan kuliah "Tentang teorema yang tidak dapat diputuskan dari sistem matematika formal." Di Princeton dia bertemu dan berteman dengan Einstein. Belakangan (1934-1939) Gödel mengunjungi Princeton hampir setiap tahun, yang memberikan kontribusi besar bagi pengembangan sekolah logika matematika Amerika (Kleene, Church, dan lain-lain).

Pada Maret 1938, Austria dianeksasi ke Nazi Jerman. Dalam perjalanan reformasi sistem universitas yang telah dimulai, Gödel dibiarkan tanpa pekerjaan, meskipun ia tidak memiliki "darah non-Arya". Di atas masalah tersebut, ahli matematika berusia 32 tahun itu dinyatakan layak untuk dinas militer dan menerima panggilan mobilisasi. Sejak saat itu, Gödel, yang sebelumnya acuh tak acuh terhadap politik, mulai memikirkan emigrasi. Di tahun yang sama, 1938, Gödel menikah dengan penari Adele Porkert, 6 tahun lebih tua darinya; pernikahan itu berhasil. Mereka tidak punya anak.

Pada tahun 1940, Gödel berangkat ke Amerika Serikat, dan karena bahaya bepergian melintasi Atlantik selama pecahnya perang, dia pergi ke sana melalui Uni Soviet (melalui Kereta Api Trans-Siberia) dan Jepang, yang bersahabat dengan Jerman di waktu itu. Di Amerika Serikat, dia menerima posisi di Universitas Princeton yang baru didirikan tanpa masalah, dan pada tahun 1953 dia disetujui sebagai profesor di sana. Ibu tetap tinggal di Brno, Gödel menulis surat kepadanya secara teratur. Sejak 1940, Gödel tidak menerbitkan studi lebih lanjut tentang logika, kecuali komentar-komentar yang bersifat filosofis.

Pada tahun 1948 Gödel menerima kewarganegaraan Amerika. Dalam wawancara tersebut, dia mencoba membuktikan bahwa Konstitusi AS secara formal dan logis tidak lengkap dan tidak menjamin pembentukan kediktatoran, tetapi dihentikan dengan sopan.

Hingga kematian Einstein (1955), mereka menghabiskan banyak waktu bersama, mendiskusikan fisika, politik, dan filsafat dengan penuh semangat. Percakapan ini menghasilkan beberapa makalah oleh Gödel tentang teori relativitas. Gödel tidak kembali ke Austria bahkan setelah perang, meskipun Universitas Wina terus mengundangnya.

Penyakit dan kematian[ | ]

Sejak tahun 1930-an, Gödel menunjukkan tanda-tanda masalah mental, yang biasanya tersembunyi, dimanifestasikan dalam kecemasan dan kecurigaan yang berlebihan, tetapi selama periode eksaserbasi mengambil bentuk yang lebih jelas dan obsesif. Jadi, dengan latar belakang kerja paksa psikologis yang terkait dengan peristiwa tahun 1931, gangguan saraf membuat Gödel absen selama beberapa bulan. Pada tanggal 22 Juni 1936, Moritz Schlick, pendiri dan pemimpin tetap Lingkaran Wina, dibunuh. Gödel, yang selalu mengagumi Schlick sebagai mentor ilmiahnya, kembali mengalami gangguan saraf dan tidak dapat bekerja selama sisa tahun itu. Juga pada tahun 1936, dia mengembangkan ketakutan paranoid akan diracuni. Dukungan Gödel di masa-masa sulit adalah istrinya Adele, yang memberinya makan dengan sendok dan benar-benar meninggalkan suaminya. Dari catatan pertanyaan perpustakaan yang masih ada dari periode ini, diketahui bahwa ia mempelajari literatur tentang gangguan mental, farmakologi, dan toksikologi (referensi berulang ke panduan teknis keracunan karbon monoksida merupakan karakteristik khusus), yang hanya memperumit perawatan selanjutnya.

Belakangan, di Princeton (1941), meskipun kondisi umumnya membaik, Gödel masih mengalami ketidaknyamanan karena adanya alat yang menurutnya mampu mengeluarkan gas beracun. Karena alasan ini, ia bahkan memerintahkan agar lemari es dan radiator dikeluarkan dari apartemen mereka bersama Adele. Obsesinya dengan udara segar dan kecurigaan tentang lemari es bertahan sampai akhir hidupnya, dan periode pemulihan sedang dan penurunan kondisi mental bergantian. Pukulan yang sangat berat baginya adalah kematian temannya Albert Einstein pada tahun 1955. Pada 1960-an, Gödel berhenti mengajar.

Pada tahun 1970-an, kondisi Gödel mulai memburuk dengan cepat. Dia mengalami halusinasi, perilaku paranoid terhadap dokter dan rekannya. Kondisi kesehatan Adele juga semakin memburuk, kini dia tidak bisa merawatnya seperti dulu, dan dia, sebaliknya, tidak bisa merawatnya. Dukungan besar datang dari teman Gödel, ekonom dan matematikawan Oskar Morgenstern.

Makam Kurt dan Adele Gödel di Princeton

Pada Februari 1976, paranoia Gödel kembali memburuk, berat badan mulai berkurang, dan ia dibujuk untuk dirawat di rumah sakit. Namun, seminggu kemudian, bahkan tanpa dipulangkan, dia kembali ke rumah. Kecurigaan sekarang menyangkut istrinya - Morgenstern dan orang lain, dia mengatakan bahwa dia diduga membagikan semua uangnya saat dia tidak ada. Adele dirawat di rumah sakit pada bulan Juni (hingga Agustus). Gödel rupanya menghabiskan banyak waktu bersamanya dan makan dengan buruk. Pada musim gugur, dia kembali sebentar ke rumah sakit, di mana, seperti yang dia katakan, mereka diduga mencoba membunuhnya. Setelah kembali ke rumah, kondisinya tidak membaik. Terlepas dari bujukan teman-temannya, dia menolak rawat inap lagi.

Pada Juli 1977, Adele kembali pergi ke rumah sakit, di mana dia tinggal hingga Desember. Pada 26 Juli, Morgenstern meninggal. Peristiwa ini dan ketidakhadiran istrinya memberikan pengaruh yang menentukan pada kondisi Gödel dalam beberapa bulan ke depan - berat badannya turun menjadi 30 kg, paranoianya berkembang. Pada tanggal 29 Desember, atas desakan istrinya, yang telah kembali sekitar seminggu sebelumnya, Gödel setuju untuk dirawat di rumah sakit. Namun, dokter tidak bisa lagi memberikan bantuan yang berarti. Ilmuwan meninggal karena "malnutrisi dan kelelahan" yang disebabkan oleh "

ahli matematika dan ahli logika, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS dan Masyarakat Filsafat Amerika, penulis penemuan mendasar tentang keterbatasan metode aksiomatik dan karya mendasar dalam bidang logika matematika seperti teori model, teori bukti, dan teori himpunan. Pada tahun 1924, Mr. masuk ke Universitas Wina. Doktor Matematika (1930). Privatdozent di Universitas Wina, anggota Lingkaran Wina (1933-1938). Dia beremigrasi ke AS (pada 1940, sejak 1953 - profesor di Princeton Institute for Advanced Study). Karya utama: "Kelengkapan aksioma kalkulus fungsional logis" (tesis doktoral, 1930), "Tentang proposisi Principia mathematica dan sistem terkait yang secara formal tidak dapat diputuskan" (1931), "Tentang kalkulus proposisional intuisionistik" (1932), "Tentang teori aritmatika dan bilangan intuisionistik" (1933), "Penafsiran kalkulus proposisional intuisionistik" (1933), "Kompatibilitas aksioma pilihan dan hipotesis kontinum umum dengan aksioma teori himpunan" (1940), "Pada saat namun perluasan yang tidak terpakai dari sudut pandang yang terbatas" (1958). Pada akhir 1920-an, Hilbert dan para pengikutnya memperoleh bukti kelengkapan beberapa sistem aksiomatik. Kelengkapan sistem aksiomatik dianggap oleh mereka sebagai properti dari sistem aksioma dari teori aksioma tertentu, yang mencirikan luasnya cakupan bidang matematika tertentu oleh teori ini. Dalam teori matematika yang dibangun atas dasar aksiomatik material, makna istilah awal teori aksiomatik diberikan sejak awal (yaitu, interpretasi tertentu dari teori ini dianggap tetap). Dalam kerangka teori semacam itu, penalaran tentang deduksi pernyataannya dari aksioma dan penalaran tentang kebenaran pernyataan tersebut menjadi mungkin. Kelengkapan sistem aksioma dalam hal ini sesuai dengan kebetulan konsep-konsep tersebut. (Contoh dari jenis aksiomatik ini adalah aksiomatik dari geometri Euclid.) Dalam teori matematika yang dibangun berdasarkan aksioma formal, arti dari istilah asli teori aksiomatik tetap tidak terdefinisi selama derivasi teorema dari aksioma. Dalam hal ini, sistem aksioma disebut lengkap sehubungan dengan interpretasi tertentu jika semua pernyataan yang benar dalam interpretasi ini disimpulkan darinya. Seiring dengan konsep kelengkapan ini, konsep kelengkapan lain didefinisikan, yang merupakan properti internal dari sistem aksiomatik (terlepas dari interpretasinya): sistem aksioma disebut lengkap secara deduktif jika ada pernyataan yang dirumuskan dalam teori tertentu dapat dibuktikan (dalam kasus seperti itu oleh teorema), atau disangkal (dalam arti kemungkinan membuktikan negasinya). Terlebih lagi, jika sebuah teori aksiomatik lengkap sehubungan dengan beberapa interpretasi, maka teori itu lengkap secara deduktif; sebaliknya, jika sebuah teori lengkap secara deduktif dan konsisten (yaitu, semua teorema benar) sehubungan dengan interpretasi yang diberikan, maka itu lengkap sehubungan dengan interpretasi itu. Konsep kelengkapan deduktif (internal) adalah "karakteristik yang nyaman" dari teori aksiomatik ketika mengkonstruksinya sebagai sistem formal. Atas dasar ini, Hilbert membangun sistem buatan, termasuk bagian dari aritmatika, dengan bukti kelengkapan dan konsistensinya. Pendekatan G. secara keseluruhan termasuk dalam arah konstruktif matematika: dalam interpretasi intuisionistik tentang kebenaran suatu pernyataan, ia menganggap benar hanya formula yang dapat direalisasikan secara rekursif (dapat direduksi menjadi fungsi dari bilangan deret alam). Dengan demikian, aritmatika intuisi menjadi perpanjangan dari aritmatika klasik. Secara bersamaan membangun logika dan aritmatika, G. terpaksa meninggalkan tesis ahli logika Frege tentang reduksi lengkap matematika menjadi logika. G. matematika yang dibuktikan dikembangkan olehnya dengan metode aritmetisasi metamathematics, yang terdiri dari mengganti penalaran tentang ekspresi bahasa logis-matematis penalaran tentang bilangan asli. Metode G. ini ditempatkan di dasar bukti "teorema G. tentang kelengkapan" dari kalkulus predikat logika predikat klasik (urutan pertama), dan kemudian - dalam dua teorema terpenting tentang ketidaklengkapan kalkulus predikat yang diperluas, dikenal dengan nama umum "teorema G. tentang ketidaklengkapan." G. dalam disertasi doktoralnya (1930) membuktikan teorema tentang kelengkapan kalkulus logika predikat klasik: jika rumus predikat benar dalam interpretasi apa pun, maka rumus itu dapat diturunkan dalam kalkulus predikat (dengan kata lain, rumus apa pun yang negasinya adalah tidak dapat dikurangkan adalah layak). Menjadi salah satu teorema dasar logika matematika, teorema kelengkapan G. menunjukkan bahwa kalkulus predikat klasik sudah berisi semua hukum logis yang diungkapkan oleh rumus predikat. Penguatan teorema kelengkapan kalkulus predikat klasik menyatakan bahwa setiap urutan rumus yang dapat dihitung dari mana kontradiksi tidak dapat disimpulkan dapat dipenuhi. Selain itu, jika tidak mungkin untuk menurunkan kontradiksi dari himpunan rumus predikat P dalam kerangka kalkulus predikat, maka untuk himpunan P terdapat model, yaitu. interpretasi di mana semua rumus himpunan P adalah benar.Bukti kelengkapan kalkulus logika predikat klasik memunculkan beberapa harapan di sekolah Hilbert bahwa akan mungkin untuk membuktikan kelengkapan dan konsistensi semua matematika. Namun, pada tahun berikutnya, 1931, teorema ketidaklengkapan G. terbukti. Teorema ketidaklengkapan pertama menyatakan bahwa jika sistem aritmatika formal konsisten, maka itu berisi setidaknya satu kalimat yang secara formal tidak dapat diputuskan, yaitu. rumus F sehingga baik itu maupun negasinya bukan teorema dari sistem ini. Dengan kata lain, konsistensi aritmatika rekursif memungkinkan untuk menyusun kalimat yang secara deduktif tidak dapat diputuskan yang diformalkan dalam kalkulus, yaitu. keberadaan formula yang tidak dapat dibuktikan dan tidak dapat disangkal. Rumus seperti itu, menjadi proposisi aritmatika rekursif, benar tetapi tidak dapat diturunkan, meskipun menurut definisi seharusnya demikian. Akibatnya, konsistensi sistem yang diformalkan mengarah pada ketidaklengkapannya. Penguatan teorema ketidaklengkapan pertama adalah teorema ketidaklengkapan kedua, yang menegaskan bahwa adalah mungkin untuk memilih rumus F sebagai rumus yang secara alami mengungkapkan konsistensi aritmatika formal, yaitu. untuk kalkulus formal yang konsisten yang memiliki aritmatika rekursif sebagai model, rumus F ekspresi untuk konsistensi ini tidak dapat diturunkan dalam kerangka kalkulus ini. Menurut teorema ketidaklengkapan G., misalnya, prosedur apa pun untuk membuktikan pernyataan yang benar dari teori bilangan dasar (operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat) jelas tidak lengkap. Untuk sistem pembuktian apa pun, ada pernyataan benar yang, bahkan dalam bidang matematika yang agak terbatas, akan tetap tidak dapat dibuktikan. B.V. Biryukov menulis tentang signifikansi metodologis teorema ketidaklengkapan G.: "... jika aritmatika formal konsisten, maka konsistensi tidak dapat dibuktikan dengan cara yang diformalkan dalam dirinya sendiri, yaitu. dengan cara terbatas yang digunakan Hilbert untuk membatasi studi metamatematika. ..". Oleh karena itu, konsistensi (intrinsik) dari teori logika-matematika mana pun tidak dapat dibuktikan tanpa menggunakan teori lain (dengan asumsi yang lebih kuat dan karena itu kurang stabil). Von Neumann membaca pada saat publikasi G. kuliah tentang program metamatematika Hilbert, tetapi segera setelah membaca karya ini, dia membangun kembali kursus tersebut, mengabdikan G. sepanjang waktu yang tersisa. Teorema ketidaklengkapan G., meta-teorema terpenting dari logika matematika, menunjukkan ketidakpraktisan program Hilbert dalam hal formalisasi lengkap dari bagian pendefinisian matematika dan pembuktian sistem formal yang dihasilkan dengan membuktikan konsistensinya (dengan metode terbatas) . Namun, teorema ketidaklengkapan G., saat menunjukkan batas penerapan pendekatan terbatas dalam matematika, tidak dapat menunjukkan batasan pengetahuan logis. E. Nagel dan J. Newman menulis tentang pentingnya penemuan G. untuk penilaian komparatif kemampuan seseorang dan komputer bahwa "... untuk setiap tugas khusus kita, pada prinsipnya, dimungkinkan untuk membangun sebuah mesin yang dapat melakukan tugas ini; tetapi tidak mungkin membuat mesin yang cocok untuk menyelesaikan masalah apa pun. Benar, kemampuan otak manusia mungkin terbatas, sehingga seseorang kemudian dapat menyelesaikannya tidak ada masalah Namun demikian, sifat struktural dan fungsional otak manusia masih jauh lebih besar dibandingkan dengan kemampuan mesin tercanggih yang dapat dibayangkan sejauh ini ... Satu-satunya kesimpulan tak terbantahkan yang dapat kita tarik dari G.'s teorema ketidaklengkapan adalah bahwa sifat dan kemampuan pikiran manusia jauh lebih halus dan lebih kaya daripada mesin mana pun yang dikenal sejauh ini ... ". G. juga memberikan kontribusi yang signifikan pada teori aksiomatik himpunan, dua prinsip dasarnya - aksioma pilihan E. Zermelo dan hipotesis kontinum - untuk waktu yang lama tidak dapat dibuktikan, tetapi karena signifikansinya konsekuensi logis, penelitian di bidang ini terus berlanjut. Aksioma pilihan oleh E. Zermelo mendalilkan keberadaan suatu himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang dipilih "satu per satu" dari masing-masing himpunan tidak kosong yang tidak berpotongan,

kesatuan yang merupakan himpunan tertentu. (Dari aksioma pilihan E. Zermelo, konsekuensi disimpulkan yang bertentangan dengan "intuisi akal sehat." Misalnya, menjadi mungkin untuk membagi bola tiga dimensi menjadi sejumlah himpunan bagian yang terbatas, yang darinya dimungkinkan untuk merekonstruksi dua bola yang persis sama dengan gerakan dalam ruang tiga dimensi.) Hipotesis kontinum adalah pernyataan bahwa pangkat kontinum (pangkat yang, misalnya, dimiliki oleh himpunan semua bilangan real) adalah pangkat pertama yang melebihi pangkat himpunan semua bilangan asli. Hipotesis kontinum umum menyatakan bahwa untuk sembarang himpunan M, kardinalitas pertama yang lebih besar dari kardinalitas himpunan ini adalah kardinalitas himpunan dari semua subhimpunan P. Masalah ini (diusulkan oleh Cantor pada tahun 1880-an) dimasukkan dalam daftar terkenal Hilbert tentang 23 masalah. Pada tahun 1936, G. membuktikan bahwa hipotesis kontinum umum kompatibel dengan satu sistem alami teori himpunan aksiomatik dan, oleh karena itu, tidak dapat disangkal dengan metode standar. Pada tahun 1938, G. membuktikan konsistensi aksioma pilihan dan hipotesis kontinum (integrasinya ke dalam sistem aksioma tertentu dari teori himpunan tidak mengarah pada kontradiksi). Untuk mengatasi masalah ini, sistem aksiomatik P. Bernays direduksi, yang atas dasar itu, serta asumsi tentang konstruktibilitas setiap himpunan, G. membangun model yang memadai untuk sistem aksioma tanpa aksioma pilihan, dan sedemikian rupa sehingga semua set di dalamnya memiliki sifat penataan yang lengkap. Dalam model ini, aksioma pilihan ternyata benar (layak) dan, karenanya, kompatibel dengan sistem aksioma asli, karenanya konsisten. Dalam model ini, hipotesis kontinum ternyata juga benar. Pekerjaan lebih lanjut ke arah ini memungkinkan G. mengembangkan desain untuk mempelajari "mekanisme internal" dari teori himpunan aksiomatik. Selain bekerja di bidang ini, G. mengusulkan pada tahun 1949 jenis solusi baru untuk satu kelas penting persamaan relativitas umum, yang dianggap oleh Einstein sebagai "... kontribusi penting bagi teori relativitas umum ... " dan dianugerahi Penghargaan Einstein (1951).

Definisi Hebat

Definisi tidak lengkap ↓

GOEDEL, KURT

(Gdel, Kurt) (1906-1978), ahli logika dan matematikawan Austria, penulis penemuan mendasar yang menunjukkan keterbatasan metode aksiomatik. Lahir 28 April 1906 di Brno. Pada tahun 1924 ia masuk Universitas Wina, pada tahun 1930 ia mempertahankan disertasi doktoralnya di bidang matematika. Pada tahun 1933-1938 dia menjadi Privatdozent di Universitas Wina; beremigrasi ke Amerika Serikat pada tahun 1940. Dari tahun 1953 hingga akhir hidupnya - profesor di Princeton Institute for Advanced Study. Gödel meninggal di Princeton pada 14 Januari 1978.

Disertasi Gödel dikhususkan untuk masalah kelengkapan. Kelengkapan sistem aksioma yang menjadi dasar dari setiap bidang matematika berarti kecukupan aksioma ini dengan bidang yang ditentukan dengan bantuannya, yaitu. berarti kemampuan untuk membuktikan kebenaran atau kesalahan dari setiap pernyataan bermakna yang mengandung konsep-konsep bidang matematika yang dipertimbangkan. Pada tahun 1930-an, diperoleh beberapa hasil tentang kelengkapan berbagai sistem aksiomatik. Dengan demikian, Hilbert membangun sistem buatan yang mencakup sebagian aritmatika dan membuktikan kelengkapan dan konsistensinya. Gödel, dalam disertasinya, membuktikan kelengkapan kalkulus predikat tahap pertama, dan ini memberi harapan kepada para matematikawan bahwa mereka akan mampu membuktikan konsistensi dan kelengkapan semua matematika. Namun, pada tahun 1931 Gödel yang sama membuktikan teorema ketidaklengkapan, yang memberikan pukulan telak bagi harapan ini. Menurut teorema ini, setiap prosedur untuk membuktikan pernyataan yang benar dari teori bilangan elementer akan menemui ketidaklengkapan. Teori bilangan dasar adalah cabang matematika yang berkaitan dengan penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, dan, seperti yang ditunjukkan Godel, dalam sistem pembuktian yang bermakna dan dapat diterapkan secara praktis, beberapa kebenaran, bahkan dalam bidang matematika yang sangat sederhana, akan tetap tidak dapat dibuktikan. Sebagai konsekuensinya, dia menemukan bahwa konsistensi internal dari setiap teori matematika tidak dapat dibuktikan selain dengan mengacu pada teori lain yang menggunakan asumsi yang lebih kuat dan, oleh karena itu, kurang dapat diandalkan.

Metode yang digunakan Gödel dalam membuktikan teorema ketidaklengkapan kemudian berperan penting dalam teori komputer.

Gödel membuat kontribusi penting untuk mengatur teori. Dua prinsip - aksioma pilihan dan hipotesis kontinum - selama beberapa dekade tidak dapat dibuktikan, tetapi minat terhadapnya tidak berkurang: konsekuensi logisnya terlalu menarik. Gödel membuktikan (1938) menambahkan prinsip-prinsip ini ke aksioma biasa teori himpunan tidak mengarah pada kontradiksi. Alasannya berharga tidak hanya untuk hasil yang memungkinkan untuk diperoleh; Gödel mengembangkan konstruksi yang meningkatkan pemahaman tentang cara kerja teori himpunan itu sendiri.

Kapal pengangkut batu bara. Kamus Collier. 2012

Lihat juga interpretasi, sinonim, arti kata dan apa itu GODEL, KURT dalam bahasa Rusia dalam kamus, ensiklopedia, dan buku referensi:

GOEDEL KURT
(Godel) Kurt [b. 28 April 1906, Brunn (Brno)], ahli logika dan matematika Austria. Pada tahun 1933-38 asisten profesor di Universitas Wina. Pada tahun 1940 dia beremigrasi ke AS; …
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) ahli musik Swiss. Bekerja pada karya J. S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, tentang harmoni dan ...
GOEDEL dalam Kamus Ensiklopedia Besar:
(Godel) Kurt (1906-78) ahli logika dan matematika. Lahir di Austria-Hongaria, sejak 1940 di AS. Bekerja pada logika matematika dan teori himpunan. …
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946), Swiss. ahli pengetahuan musik. Tr. tentang pekerjaan I.S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, selaras dan ...
GOEDEL dalam Kamus Ensiklopedis Besar Rusia:
GOdel Kurt (1906-78), ahli logika dan matematika. Marga. di Austria-Hongaria, dari tahun 1940 di AS. Tr. dengan matematika. logika dan teori...
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) ahli musik Swiss. Bekerja pada karya J. S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, tentang harmoni dan ...
GOEDEL dalam Modern Explanatory Dictionary, TSB:
(Godel) Kurt (1906-78), ahli logika dan matematikawan. Lahir di Austria-Hongaria, sejak 1940 di AS. Bekerja pada logika matematika dan teori ...
LEVIN KURT KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Lewin) Kurt (9 September 1890, Poznan - 12 Februari 1947, Newton, Massachusetts, AS), psikolog Jerman dan Amerika. Profesor di Universitas Berlin (1926-33). Pada tahun 1932-44 ...
LOMPAT PALING SULIT; "KURT BROWNING" dalam Guinness Book of Records tahun 1998:
Kurt Browning (Kanada) adalah yang pertama dalam kondisi kompetisi - 25 Maret 1988 di Kejuaraan Dunia di Budapest, Hongaria - yang berhasil menyelesaikan lompatan ...
KURT COBAIN di Wiki Kutipan:
Data: 10-07-2009 Waktu: 09:58:58 Kurt Donald Cobain (1967-1994) Pemimpin, gitaris dan vokalis Nirvana.- *Nama saya Kurt, saya bernyanyi dan…
KURT VONNEGUT di Wiki Kutipan:
Data: 01-09-2009 Waktu: 18:40:46 Kurt Vonnegut adalah seorang penulis dan satiris Amerika. = Kutipan dari karya = * Sirene Titan ...
SCHMITT, KURT
(Schmitt), (1886-1950), Menteri Ekonomi dan Keuangan Reich dalam kabinet pertama Hitler. Lahir 7 Oktober 1886 di Heidelberg dalam keluarga seorang dokter. DI DALAM …
ZEITZLER, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Zeitzler), (1895-1963), jenderal tentara Jerman. Lahir 9 Juni 1895 di Luccau. Petugas personalia. Selama Perang Dunia ke-1 ia memerintahkan ...
HUBER, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Huber), Huber (1893-1943), dosen di Universitas Munich, filsuf dan psikolog Jerman. Lahir 24 Oktober 1893 di Chur, Swiss, dalam keluarga sebuah sekolah ...
DITMAR, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Dittmar) (1891-1959), komentator radio militer. Lahir 5 Maret 1891 di Magdeburg. Petugas personalia, peserta Perang Dunia ke-1. Pada tahun 1941 di pangkat ...
DALUGE, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Daluege), (1897-1946), Wakil Pelindung Kerajaan Bohemia dan Moravia. Insinyur berdasarkan profesi. Lahir 15 September 1897 di Kreuzburg. Setelah Dunia Pertama...
WIL, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
Weill (1900-1950), komposer dan konduktor Jerman. Lahir 2 Maret 1900 di Dessau. Pada 1919-20 ia melakukan produksi opera sebagai konduktor ...
BECHER, KURT dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Becher), asisten Heinrich Himmler. Lahir 12 September 1909 di Hamburg. Mantan pedagang biji-bijian, setelah bergabung dengan NSDAP, dengan cepat menjadi SS Standartenführer ...
TUCHOLSKY, KURT pada tanggal lahir dan kematian orang terkenal:
(1890-1935) - Penulis Jerman dan ...
EISNER KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Eisner) Kurt (14.5.1867, Berlin - 21.2.1919, Munich), pemimpin gerakan buruh Jerman. Wartawan. Sejak 1898 menjadi anggota Partai Sosial Demokrat. Pada tahun 1898-1905 ...
SHUMAKHER KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Schumacher) Kurt (13 Oktober 1895, Kulm, sekarang Chelmno, Polandia, - 20 Agustus 1952, Bonn), pemimpin Partai Sosial Demokrat Jerman (SPD). Bergabung dengan SPD di...
SCHLEICHER KURT VON dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Schleicher) Kurt von (7.4.1882, Brandenburg - 30.6.1934, Neubabelsberg), pemimpin militer dan politik Jerman, jenderal. Pada tahun 1913 ia menjadi perwira Staf Umum. …
TUCHOLSKY KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Tucholsky) Kurt (9 Januari 1890, Berlin - 21 Desember 1935, Hindos, dekat Gothenburg, Swedia), penyair dan humas Jerman. Belajar hukum di Berlin dan Jena ...
MOTES KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Mothes) Kurt (lahir 11/3/1900, Plauen), ahli biokimia Jerman (GDR), anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Jerman di Berlin, presiden Akademi Naturalis Jerman "Leopoldina" di Halle, ...
METZIG KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Maetzig) Kurt (lahir 25 Januari 1911, Berlin), sutradara film Jerman (GDR), anggota Akademi Seni Jerman. Pada tahun 1935 ia lulus dari Sekolah Teknik Tinggi. Ke bioskop …
KOFFKA KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Koffka) Kurt (18 Maret 1886, Berlin - 22 November 1941, Northampton, AS), psikolog Jerman-Amerika, salah satu pendiri psikologi Gestalt. Murid K. Stumpf. Selusin pribadi…
KIESINGER KURT GEORGE dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Kiesinger) Kurt Georg (b. 6.4.1904, Ebingen), negarawan dan tokoh politik Jerman. Pengacara berdasarkan pendidikan. Ia belajar di universitas Berlin dan Tübingen. …
HOFFMANN KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
(Hoffmann) Kurt (b.12.11.1910, Freiberg), sutradara film Jerman (Jerman). Di bioskop sejak 1931, sejak 1938 ia bertindak sebagai sutradara. Beri hiburan…
WEIL KURT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
Weill (Weill) Kurt (2.3.1900, Dessau - 3.4.1950, New York), komposer dan konduktor Jerman. Dia belajar komposisi dengan E. Humperdinck dan F. Busoni. DI DALAM …
KIZIL-KURT dalam Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Euphron:
genus Kirghiz-Kaisaks dari bekas Gerombolan Kecil, milik suku Bayulinsky. Itu dibagi menjadi lima departemen dan pada awal abad ini menyimpulkan ...
KIZIL-KURT dalam Ensiklopedia Brockhaus dan Efron:
? genus Kirghiz-Kaisaks dari bekas Gerombolan Kecil, milik suku Bayulinsky. Itu dibagi menjadi lima departemen dan pada awal abad ini ...
SCHWITTERS, KURT dalam Kamus Collier:
(Schwitters, Kurt) (1887-1948), seorang seniman Jerman yang bekerja terutama dalam teknik kolase dan perakitan dan memiliki pengaruh yang signifikan terhadap perkembangan seni rupa modern. …
POSITIVISME
(lat.positivus - positif) - (1) pengaturan gnoseo-metodologis paradigmatik, yang menurutnya pengetahuan positif dapat diperoleh sebagai hasil dari ...
LINGKARAN WINA dalam Kamus Filsafat Terbaru:
sekelompok ilmuwan dan filsuf yang pada tahun 1920-an menjadi pusat pengembangan gagasan positivisme logis. VC. Lingkaran itu diorganisir pada tahun 1922 oleh Schlick ...
ANARKOTERORISME dalam Direktori Sejarah Terorisme dan Teroris,:
(Rusia) . Gerakan anarkis tidak pernah bersatu, ia bertindak dalam bentuk banyak arus dan kelompok. Di antara mereka yang menggunakan taktik teror di…
EISNER dalam 1000 biografi orang terkenal:
Kurt - S.-D. Jerman Ditangkap setelah Gerakan Januari di Jerman, dia dibebaskan oleh pemerintah Bavaria pada November 1918. ...
HITLER, ADOLF dalam Ensiklopedia Reich Ketiga:
(Hitler), (1889-1945), politisi Jerman, pada 1933-45 Fuhrer (pemimpin) dan kanselir Reich Ketiga. Berasal dari keluarga petani, asal Austria. …
KLEBER dalam Literary Encyclopedia:
Kurt adalah seorang proletar Jerman. R. di Jena, seorang pekerja, seorang peserta aktif dalam revolusi proletar di Jerman. Suatu ketika K...
TINDAKAN dalam Literary Encyclopedia:
[Aksi - aksi] adalah majalah sastra mingguan yang diterbitkan sejak 1911 di Berlin, diterbitkan dan diedit oleh Franz Pfemfert. Majalah ini telah...
LINGKARAN WINA dalam Kamus Ensiklopedia Besar:
lingkaran filosofis yang mengembangkan dasar-dasar positivisme logis. Dibentuk pada tahun 1922 di sekitar fisikawan Austria M. Schlick; peserta utama - O. Neurath, R. ...
AMERIKA SERIKAT dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
Amerika Serikat (AS) (Amerika Serikat, AS). I. Informasi umum USA adalah sebuah negara bagian di Amerika Utara. Luas 9,4 juta...
MENYELESAIKAN dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
properti teori ilmiah yang mencirikan kecukupan sarana ekspresif dan (atau) deduktifnya untuk tujuan tertentu apa pun. Salah satu aspek dari konsep P. ...
KONSISTENSI dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
kompatibilitas, properti dari teori deduktif (atau sistem aksioma yang dengannya sebuah teori diberikan), terdiri dari fakta bahwa itu tidak dapat disimpulkan darinya ...
METAMATIKA dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
teori pembuktian, teori pembuktian, dalam arti luas - sebuah metateori matematika, yang tidak menyiratkan batasan khusus pada sifat metateoritis yang digunakan ...
INTUISI MATEMATIKA dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
intuisionisme, gerakan filosofis dan matematis yang menolak interpretasi set-teoritis matematika dan menganggap intuisi sebagai satu-satunya sumber matematika dan kriteria utama untuk kekakuan konstruksinya. Kenaikan…
MATEMATIKA dalam Ensiklopedia Besar Soviet, TSB:
I. Definisi mata pelajaran matematika, kaitannya dengan ilmu pengetahuan dan teknologi lainnya. Matematika (mathematike Yunani, dari mathema - pengetahuan, sains), ilmu ...

Ketika sampai pada penemuan paling menonjol di abad ke-20, mereka biasanya menyebut teori relativitas Einstein, mekanika kuantum, prinsip ketidakpastian Heisenberg. Namun, banyak ilmuwan terkemuka - ahli matematika dan filsuf - memasukkan teori Gödel di antara pencapaian terbesar pemikiran ilmiah abad yang lalu. Lagi pula, jika terobosan penting di bidang fisika memungkinkan pikiran manusia untuk memahami hukum alam yang baru, maka karya Gödel memungkinkan untuk lebih memahami prinsip-prinsip kerja pikiran manusia itu sendiri, dan berdampak besar pada pandangan dunia dan budaya zaman kita.

Siapakah Godell?

Kurt Godel lahir pada tanggal 28 April 1906 di Austria-Hongaria, di kota Brno di Moravia (saat itu bernama Brunn). Pada usia 18 tahun, dia masuk Universitas Wina, tempat dia pertama kali belajar fisika, tetapi beralih ke matematika dua tahun kemudian. Diketahui bahwa perubahan kepentingan ilmiah seperti itu sebagian besar terjadi di bawah pengaruh buku Bertrand Russell "Pengantar Filsafat Matematika". Sumber lain yang berdampak signifikan pada pembentukan Gödel sebagai ilmuwan adalah partisipasinya dalam pekerjaan Lingkaran Wina. Di bawah nama ini, kumpulan ilmuwan brilian - ahli matematika, ahli logika, filsuf, yang bertemu secara teratur di Wina dari akhir 1920-an hingga pertengahan 1930-an - memasuki sejarah sains. abad terakhir. Pada waktu yang berbeda, ilmuwan seperti Rudolf Carnap, Otto Neurath, Herbert Feigl, Moritz Schlick berpartisipasi dalam pekerjaan Lingkaran Wina. Pembentukan positivisme filosofis dikaitkan dengan aktivitas mereka. Namun nyatanya, tema lingkaran mencakup pemahaman tentang tempat umum pengetahuan ilmiah dalam pengetahuan tentang alam dan masyarakat. Beberapa konferensi internasional yang diselenggarakan di berbagai pusat ilmiah Eropa memungkinkan kita untuk berbicara tentang peran luar biasa yang dimainkan oleh Lingkaran Wina dalam pengembangan pengetahuan ilmiah mendasar abad ke-20. Kurt Gödel mengambil bagian dalam hampir semua pertemuan lingkaran "Kamis" dan dalam konferensi internasional yang dia selenggarakan. Aktivitas lingkaran di Austria terhenti pada tahun 1936 ketika pemimpinnya Moritz Schlick dibunuh oleh seorang mahasiswa Nazi di tangga Universitas Wina. Sebagian besar anggota lingkaran beremigrasi ke Amerika Serikat. Kurt Gödel juga pindah ke sana. Seiring waktu, ia menerima kewarganegaraan Amerika, bekerja di Institute for Advanced Study di Princeton. Di kota yang sama ia meninggal pada tahun 1978. Begitulah garis luar hidupnya. Teman dan rekan kerja mengingatnya sebagai orang yang tertutup, sangat rentan, terlepas dari dunia luar, benar-benar tenggelam dalam pikirannya.

Fakta bahwa pemahaman logis tentang dunia menempati tempat utama dalam kehidupan seorang ilmuwan dibuktikan dengan detail biografinya yang aneh. Pada tahun 1948, ketika masalah memperoleh kewarganegaraan Amerika diputuskan, Gödel harus lulus, sesuai dengan prosedur yang diterima, seperti ujian lisan tentang dasar-dasar konstitusi Amerika. Mendekati masalah tersebut dengan semua kesadaran ilmiah, dia mempelajari dokumen tersebut secara menyeluruh, dan sampai pada kesimpulan bahwa kediktatoran dapat didirikan di Amerika Serikat secara legal, tanpa melanggar konstitusi. Penemuan semacam itu hampir membuat dia gagal dalam ujian ketika dia berdiskusi dengan pejabat yang mengambil kompensasi, yang, tentu saja, menganggap hukum fundamental negaranya sebagai pencapaian terbesar pemikiran politik. Teman-teman, di antaranya adalah Albert Einstein, yang bertindak sebagai salah satu dari dua penjamin Gödel ketika menerima kewarganegaraan, membujuknya untuk menunda perkembangan argumennya, setidaknya sampai diambil sumpahnya. Belakangan, cerita itu mendapat epilog yang aneh: seperempat abad kemudian, orang Amerika lainnya, Kenneth Arrow, dianugerahi Hadiah Nobel karena secara umum membuktikan pernyataan yang dibuat Gödel dengan mempelajari konstitusi Amerika.

Apa yang dibuktikan Gödel?

Sebelum melanjutkan ke pemaparan teorema yang mengabadikan nama Gödel, setidaknya perlu dibicarakan secara singkat tentang masalah-masalah yang dihadapi matematika pada akhir tahun 20-an abad lalu, lebih tepatnya, bagiannya yang menonjol di pergantian abad 19-20. dan disebut "fondasi matematika".

Tapi pertama-tama, mungkin ada baiknya memikirkan kursus geometri sekolah, yang bahkan sekarang sebagian besar mengulang Elemen Euclid, yang ditulis lebih dari 2 ribu tahun yang lalu. Dalam buku teks tradisional, pertama-tama diberikan beberapa pernyataan (aksioma) tentang sifat-sifat titik dan garis pada bidang, yang darinya, dengan konstruksi logis sesuai dengan aturan logika "Aristoteles", validitas berbagai fakta geometris yang penting dan berguna ( teorema) disimpulkan. Misalnya, salah satu aksioma menyatakan bahwa satu dan hanya satu garis yang melewati dua titik, pernyataan lain - postulat kelima yang terkenal, yang ditinggalkan Lobachevsky dalam geometri non-Euclideannya - menyangkut garis paralel, dll. Kebenaran aksioma diambil sebagai sesuatu yang jelas dan tidak terbukti. Kelebihan ahli geometri Yunani adalah ia mencoba menghadirkan seluruh ilmu tentang penataan ruang figur sebagai sekumpulan konsekuensi yang timbul dari beberapa ketentuan dasar.

Pada akhir abad ke-19, semua celah dalam "Prinsip" Euclidean (dari sudut pandang meningkatnya tuntutan ahli matematika pada ketelitian dan keakuratan penalaran mereka) terisi. Hasil penelitian terbaru adalah buku matematikawan Jerman David Hilbert "Fundamentals of Geometry".

Keberhasilan teknik Euclid mendorong para ilmuwan untuk memperluas prinsipnya ke cabang matematika lainnya. Setelah geometri, giliran aritmatika. Pada tahun 1889, ahli matematika Italia Giuseppe Peano pertama kali merumuskan aksioma aritmatika, yang tampak sangat jelas (ada nol; setiap angka diikuti oleh angka lain, dll.), Tetapi sebenarnya sangat lengkap. Mereka memainkan peran yang sama dengan postulat orang Yunani yang hebat dalam geometri. Berangkat dari pernyataan seperti itu, dengan bantuan penalaran logis, dimungkinkan untuk memperoleh teorema aritmatika dasar.

Pada periode yang sama, ahli matematika Jerman Gottlieb Frege mengajukan masalah yang lebih ambisius. Dia mengusulkan tidak hanya untuk menegaskan secara aksiomatis sifat-sifat dasar dari objek yang diteliti, tetapi juga untuk memformalkan dan mengkodifikasikan metode penalaran itu sendiri, yang memungkinkan untuk menuliskan penalaran matematis apa pun menurut aturan tertentu dalam bentuk rantai simbol. Frege menerbitkan hasilnya dalam Fundamental Laws of Arithmetic, jilid pertama diterbitkan pada tahun 1893, dan jilid kedua membutuhkan kerja keras sepuluh tahun lagi dan belum sepenuhnya selesai hingga tahun 1902.

Mungkin salah satu kisah paling dramatis dalam perkembangan ilmu bilangan dikaitkan dengan nama dan penelitian ilmiah Frege. Ketika jilid kedua sudah dicetak, ilmuwan tersebut menerima sepucuk surat dari matematikawan muda Inggris Bertrand Russell. Memberi selamat kepada rekannya atas hasil yang luar biasa, Russell menunjukkan satu keadaan yang luput dari perhatian penulis. "Keadaan" yang berbahaya adalah "paradoks Russell", yang kemudian dikenal luas, yang menjadi pertanyaan: apakah himpunan semua himpunan yang bukan elemennya akan menjadi elemennya? Frege tidak dapat segera memecahkan teka-teki itu. Dia tidak punya pilihan selain menambahkan kata-kata pahit di kata penutup pada volume 2 bukunya yang sudah tidak dicetak lagi: “Hampir tidak ada yang lebih tidak diinginkan bagi seorang ilmuwan daripada menemukan bahwa fondasi dari pekerjaan yang hampir selesai telah runtuh. Surat yang saya terima dari Bertrand Russell menempatkan saya pada posisi seperti itu ... ”Ahli matematika yang tertekan itu mengambil cuti akademik dari universitasnya, menghabiskan banyak energi untuk mencoba mengoreksi teorinya, tetapi semuanya sia-sia. Dia hidup lebih dari dua puluh tahun, tetapi tidak menulis karya lain tentang aritmatika.

Namun, Russell berhasil menurunkan varian dari sistem formal yang akan mencakup semua matematika dan bebas dari semua paradoks yang dikenal saat itu, dengan mengandalkan secara khusus ide dan karya Frege. Hasilnya, diterbitkan pada tahun 1902 dalam buku tersebut Principia Mathematica(ditulis bersama dengan Alfred North Whitehead) secara efektif menjadi aksiomisasi logika, dan David Hilbert percaya bahwa ini "dapat dianggap sebagai puncak pencapaian semua upaya untuk mengaksiomisasi sains."

Ada alasan lain untuk minat matematikawan yang begitu dekat pada dasar disiplin mereka. Faktanya adalah bahwa pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, kontradiksi ditemukan dalam teori himpunan, di mana "paradoks teori himpunan" eufemisme diciptakan. Yang paling terkenal di antara mereka - paradoks Russell yang terkenal - sayangnya, bukan satu-satunya. Selain itu, bagi sebagian besar ilmuwan, jelas bahwa penemuan keanehan baru tidak akan terjadi. Penampilan mereka memiliki "efek bencana" pada dunia matematika, dalam kata-kata Hilbert, karena teori himpunan memainkan peran fondasi di mana seluruh bangunan ilmu bilangan didirikan. “Menghadapi paradoks ini, kita harus mengakui bahwa situasi kita saat ini sudah lama tidak tertahankan. Pikirkan: dalam matematika - model keandalan dan kebenaran itu - konsep dan kesimpulan, seperti yang dipelajari, diajarkan, dan diterapkan oleh siapa pun, mengarah pada absurditas. Lalu, di mana mencari keandalan dan kebenaran, jika bahkan pemikiran matematis itu sendiri tidak gagal? ”, keluh Hilbert dalam laporannya di kongres matematikawan pada bulan Juni 1925.

Jadi, untuk pertama kalinya dalam tiga milenium, ahli matematika hampir mempelajari dasar-dasar terdalam dari disiplin mereka. Sebuah gambaran yang aneh muncul: pecinta angka belajar menjelaskan dengan jelas dengan aturan apa mereka melakukan perhitungan mereka, mereka hanya perlu membuktikan "legalitas" alasan yang mereka terima untuk menghilangkan keraguan yang ditimbulkan oleh paradoks yang tidak menguntungkan. Dan pada paruh pertama tahun 1920-an, Hilbert yang agung, yang di sekitarnya telah berkembang sekolah pengikut yang brilian pada saat itu, dalam serangkaian karya menguraikan rencana penelitian di bidang dasar-dasar matematika, yang kemudian dikenal. sebagai "Program Göttingen". Dalam bentuk yang paling sederhana, dapat dinyatakan sebagai berikut: matematika dapat direpresentasikan sebagai sekumpulan konsekuensi yang diturunkan dari beberapa sistem aksioma, dan dapat dibuktikan bahwa:

Matematika selesai, yaitu. setiap pernyataan matematika dapat dibuktikan atau disangkal berdasarkan aturan disiplin itu sendiri.
Matematika itu konsisten, yaitu. tidak mungkin membuktikan dan pada saat yang sama menyangkal pernyataan apa pun tanpa melanggar aturan penalaran yang diterima.
Matematika dapat diputuskan, yaitu, dengan menggunakan aturan, seseorang dapat mengetahui pernyataan matematika apa pun apakah itu dapat dibuktikan atau disangkal.

Faktanya, program Hilbert berusaha mengembangkan beberapa prosedur umum untuk menjawab semua pertanyaan matematika, atau setidaknya membuktikan keberadaannya. Ilmuwan itu sendiri yakin dengan jawaban afirmatif atas ketiga pertanyaan yang dia rumuskan: menurutnya, matematika memang lengkap, konsisten, dan dapat dipecahkan. Tinggal membuktikannya.

Selain itu, Hilbert percaya bahwa metode aksiomatik tidak hanya dapat menjadi dasar matematika, tetapi juga sains secara keseluruhan. Pada tahun 1930, dalam artikel “Kognisi Alam dan Logika,” dia menulis: “... bahkan di bidang pengetahuan yang paling luas dalam cakupannya, seringkali terdapat sejumlah kecil proposisi awal, biasanya disebut aksioma, di mana seluruh bangunan teori dianggap.

Apa konsekuensi dari keberhasilan Hilbert dan sekolahnya untuk pengembangan ilmu pengetahuan lebih lanjut? Jika, seperti yang dia yakini, semua matematika (dan sains pada umumnya) direduksi menjadi sistem aksioma, maka mereka dapat dimasukkan ke dalam komputer yang mampu mendukung pernyataan apa pun (yaitu, membuktikan teori) menurut program yang mengikuti logika umum. aturan, mengikuti dari pernyataan asli.

Jika teori Hilbert direalisasikan, superkomputer yang bekerja sepanjang waktu akan terus membuktikan semakin banyak teorema baru, mempostingnya di situs World Wide Web yang tak terhitung jumlahnya. Mengikuti matematika, "era aksiomatik" akan datang dalam fisika, kimia, biologi, dan, akhirnya, giliran ilmu kesadaran manusia. Setuju, dunia di sekitar kita, dan kita sendiri, akan terlihat agak berbeda dalam kasus seperti itu.

Namun, "atisasi aksioma universal" tidak terjadi. Seluruh program yang sangat ambisius dan megah, yang telah dikerjakan oleh ahli matematika terhebat di dunia selama beberapa dekade, dibantah oleh satu teorema. Penulisnya adalah Kurt Godel, yang saat itu baru berusia 25 tahun.

Pada tahun 1930, pada sebuah konferensi yang diselenggarakan oleh "Lingkaran Wina" di Koenigsberg, dia membuat laporan "Tentang kelengkapan kalkulus logis", dan pada awal tahun berikutnya dia menerbitkan sebuah artikel "Tentang posisi yang secara fundamental tidak dapat dipecahkan dalam sistem Principia Mathematica dan sistem terkait. Titik sentral karyanya adalah perumusan dan pembuktian teorema yang memainkan peran mendasar dalam seluruh perkembangan matematika lebih lanjut, dan bukan hanya itu. Kita berbicara tentang teori ketidaklengkapan Gödel yang terkenal. Rumusannya yang paling umum, meskipun tidak terlalu ketat, menyatakan bahwa "untuk setiap sistem aksioma yang konsisten, ada pernyataan bahwa, dalam kerangka sistem aksioma yang diterima, tidak dapat dibuktikan atau disangkal." Gödel dengan demikian memberikan jawaban negatif terhadap pernyataan pertama yang dirumuskan oleh Hilbert.

Anehnya, pada konferensi yang sama, Werner Heisenberg membuat presentasi tentang "Pengetahuan Kausal dan Mekanika Kuantum". Dalam laporan ini, pendekatan pertama untuk "hubungan ketidakpastian" yang terkenal itu diuraikan.

Kesimpulan Gödel menghasilkan efek bom intelektual dalam komunitas matematika. Terlebih lagi sejak sanggahan dari dua poin lainnya dalam program Hilbert diperoleh atas dasar mereka. Ternyata matematika tidak lengkap, tidak dapat ditentukan, dan konsistensinya tidak dapat dibuktikan (dalam kerangka sistem yang konsistensinya dibuktikan).

teorema Godel

Tiga perempat abad telah berlalu sejak itu, tetapi perdebatan tentang apa yang sebenarnya dibuktikan oleh Gödel tidak mereda. Perdebatan yang sangat panas terjadi di kalangan yang hampir ilmiah. “Teorema ketidaklengkapan Gödel benar-benar unik. Itu dirujuk kapan pun mereka ingin membuktikan "segala sesuatu di dunia" - dari kehadiran dewa hingga ketiadaan akal, "tulis ahli matematika modern terkemuka V. A. Uspensky.

Mengesampingkan banyak spekulasi semacam itu, perlu dicatat bahwa para ilmuwan dibagi menjadi dua kelompok dalam menilai peran Gödel. Beberapa, mengikuti Russell, percaya bahwa teorema terkenal, yang menjadi dasar logika matematika modern, bagaimanapun, memiliki pengaruh yang sangat kecil pada pekerjaan lebih lanjut di luar disiplin ini - matematikawan, karena mereka membuktikan teorema mereka di era "pra-Goedel", lakukan terus.buktikan sampai hari ini.

Adapun visi fantastik komputer yang terus membuktikan teori-teori baru, arti dari aktivitas semacam itu sangat diragukan bagi banyak spesialis. Memang, untuk matematika, tidak hanya perumusan teorema yang terbukti itu penting, tetapi juga pemahamannya, karena justru inilah yang memungkinkan seseorang untuk mengungkapkan hubungan antara berbagai objek dan memahami ke arah mana seseorang dapat melangkah lebih jauh. Tanpa pemahaman seperti itu, teorema yang dihasilkan berdasarkan aturan inferensi formal hanyalah semacam "spam matematika", - demikian pendapat Alexander Shen, anggota Departemen Logika Matematika dan Teori Algoritma Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow.

Gödel sendiri beralasan dengan cara yang sama. Kepada mereka yang mencela dia karena menghancurkan integritas fondasi matematika, dia menjawab bahwa pada dasarnya tidak ada yang berubah, fondasinya tetap tak tergoyahkan, dan teoremanya hanya mengarah pada penilaian ulang peran intuisi dan inisiatif pribadi dalam bidang sains itu. diperintah oleh hukum besi logika, meninggalkan, tampaknya, sedikit ruang untuk kebajikan seperti itu.

Namun sebagian ulama memiliki pendapat yang berbeda. Memang, jika kita menganggap kemampuan bernalar secara logis sebagai ciri utama pikiran manusia, atau setidaknya alat utamanya, maka teorema Gödel langsung menunjuk pada keterbatasan otak kita. Setuju bahwa sangat sulit bagi seseorang yang dibesarkan dengan keyakinan akan kekuatan pikiran yang tak terbatas untuk menerima tesis tentang batas kekuatannya.

Sebaliknya, kita dapat berbicara tentang keterbatasan ide kita tentang kemampuan mental kita sendiri. Banyak ahli percaya bahwa komputasi formal, proses "Aristoteles" yang mendasari pemikiran logis hanya merupakan bagian dari kesadaran manusia. Area lainnya, pada dasarnya "non-komputasi", bertanggung jawab atas manifestasi seperti intuisi, wawasan kreatif, dan pemahaman. Dan jika paruh pertama pikiran berada di bawah batasan Gödel, maka paruh kedua bebas dari kerangka kerja seperti itu.

Pendukung paling konsisten dari sudut pandang ini - spesialis terbesar di bidang matematika dan fisika teoretis Roger Penrose - melangkah lebih jauh. Dia menyarankan adanya beberapa efek kuantum non-komputasi yang memastikan realisasi tindakan kreatif kesadaran. Dan meskipun banyak dari rekan-rekannya mengkritik gagasan memberikan otak manusia mekanisme kuantum hipotetis, Penrose dan kolaboratornya telah mengembangkan desain eksperimental yang, menurut pendapat mereka, harus mengkonfirmasi keberadaan mereka.

Salah satu dari banyak konsekuensi dari hipotesis Penrose mungkin, khususnya, kesimpulan bahwa pada dasarnya tidak mungkin menciptakan kecerdasan buatan berdasarkan perangkat komputasi modern, bahkan jika kemunculan komputer kuantum mengarah pada terobosan besar di bidang teknologi komputer. . Faktanya adalah bahwa komputer mana pun hanya dapat memodelkan pekerjaan aktivitas "komputasi" formal-logis dari kesadaran manusia secara lebih rinci, tetapi kemampuan "non-komputasi" dari intelek tidak dapat diakses olehnya.

Ini hanya sebagian kecil dari perselisihan ilmiah-alam dan filosofis yang disebabkan oleh teorema matematika Gödel muda yang diterbitkan 75 tahun lalu. Bersama dengan orang-orang sezaman lainnya, dia membuat seseorang memandang dunia di sekitarnya dan dirinya sendiri secara berbeda. Penemuan terbesar sepertiga pertama abad ke-20, termasuk teorema Godel, serta penciptaan teori relativitas dan teori kuantum, menunjukkan keterbatasan gambaran alam mekanistik-deterministik, yang dibuat berdasarkan penelitian ilmiah tentang dua abad sebelumnya. Ternyata cara perkembangan alam semesta dan keharusan moral tunduk pada hukum yang berbeda secara fundamental, di mana ada kompleksitas yang tidak dapat dipindahkan, dan ketidakpastian, dan kebetulan, dan tidak dapat diubah.

Namun, konsekuensi dari revolusi ilmiah besar tidak terbatas pada apa yang telah disebutkan. Pada awal abad ke-20, gagasan determinisme Laplacian-Newtonian berdampak besar pada perkembangan ilmu sosial. Mengikuti tokoh-tokoh ilmu alam klasik, yang mewakili alam dalam bentuk struktur mekanis yang kaku, di mana semua elemen mematuhi hukum yang ketat, dan masa depan dapat diprediksi dengan jelas jika keadaan saat ini diketahui, para pendeta ilmuwan sosial menggambar manusia. masyarakat yang tunduk pada hukum yang tidak dapat diubah dan berkembang ke arah yang telah ditentukan sebelumnya. Salah satu upaya terakhir untuk melestarikan gambaran dunia seperti itu, tampaknya, adalah Marxisme-Leninisme, yang berkomitmen pada konsep "satu-satunya doktrin ilmiah yang benar", yang bagian integralnya adalah "pemahaman materialistis tentang sejarah". Cukuplah mengingat gagasan Lenin untuk membangun masyarakat sosialis di sepanjang garis "pabrik besar".

Lambat laun, dengan susah payah, gagasan tentang kompleksitas, keacakan, ketidakpastian, yang tertanam dalam gambaran ilmu alam semesta, mulai merambah ke dalam ilmu sosial dan manusia. Dalam masyarakat, ketidakpastian diwujudkan melalui fenomena kebebasan pribadi individu. Kehadiran manusia dalam kodratnya sebagai subjek yang membuat pilihan bebas dan tidak dapat diprediksilah yang membuat proses sejarah menjadi rumit dan tidak tunduk pada hukum perkembangan universal yang tidak dapat diubah.

Namun, tidak mungkin untuk tidak memperhatikan bahwa perolehan gambaran baru tentang dunia yang kompleks di negara kita terjadi dengan susah payah. Ideologi yang mendominasi selama tujuh dekade condong ke arah determinisme tipe Laplacian sebagai filosofi tatanan otoriter universal. Prinsip predestinasi inilah yang mendasari impian, yang tidak pernah meninggalkan birokrasi Soviet yang berkuasa, akan sebuah pabrik masyarakat yang diatur oleh hukum hierarki yang ketat. Dan karena itu, setiap kali sampai pada kompleksitas, pluralisme, keragaman, apakah itu teori relativitas, mekanika kuantum, genetika, sibernetika, penelitian sosiologis, psikoanalisis, dll., mekanisme sensor ideologis segera dihidupkan, yang bertujuan untuk mengusir semua referensi untuk kebebasan datang dari alam dan masyarakat. Sayangnya, warisan lembam masih mendominasi pikiran banyak rekan dan orang sezaman kita sebagai bayangan yang suram. Buktinya adalah pencarian menyakitkan yang diprakarsai oleh pihak berwenang untuk "ideologi nasional" baru yang dapat menggantikan tempat yang ditinggalkan oleh kematian doktrin komunis.

Jadi Kurt Gödel dan orang-orang sezamannya yang hebat memaksa kita untuk melihat kembali "langit berbintang di atas kepala kita, dan pada hukum moral di dalam diri kita", dan pada masyarakat tempat kita hidup.

Portal Wanita Flero