NUMERIČKI NIZOVI

ARITMETIČKE I GEOMETRIJSKE PROGRESIJE

Ako za svaki prirodni broj n broj odgovara xn, onda kažu da se daje niz brojeva x 1, x 2, …, xn, ….

Zapis niza brojeva {x n } .

Istovremeno, brojke x 1, x 2, …, xn, ... se zovu članovi niza .

Osnovne metode zadavanja nizova brojeva

1. Jedan od najprikladnijih načina je postavljanje niza formula njegovog zajedničkog člana : xn = f(n), n Î N.

Na primjer, xn = n 2 + 2n+ 3 Þ x 1 = 6, x 2 = 11, x 3 = 18, x 4 = 27, …

2. Izravan prijenos konačan broj prvih članova.

Na primjer, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Relacija ponavljanja , tj. formula koja izražava n-član kroz prethodni jedan ili više članova.

Na primjer, blizu Fibonaccija zove niz brojeva

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, koji se utvrđuje ponavljajuće:

x 1 = 1, x 2 = 1, xn+1 = xn + xn–1 (n = 2, 3, 4, …).

Aritmetičke operacije nad nizovima

1. Zbroj (razlika) nizovi ( An) i ( bn cn } = { an ± bn}.

2. Posao sekvence ( An) i ( bn) naziva se niz ( cn } = { an× bn}.

3. Privatna sekvence ( An) i ( bn }, bn¹ 0, nazvan niz ( cn } = { an×/ bn}.

Svojstva brojevnih nizova

1. Redoslijed ( xn) Zove se omeđen iznad M n nejednakost je istinita xn £ M.

2. Redoslijed ( xn) Zove se omeđeno ispod, ako takav realan broj postoji m, koji za sve prirodne vrijednosti n nejednakost je istinita xn ³ m.

3. Redoslijed ( xn) Zove se povećavajući se n nejednakost je istinita xn < xn+1.

4. Redoslijed ( xn) Zove se smanjujući se, ako za sve prirodne vrijednosti n nejednakost je istinita xn > xn+1.

5. Redoslijed ( xn) Zove se nerastući, ako za sve prirodne vrijednosti n nejednakost je istinita xn ³ xn+1.

6. Redoslijed ( xn) Zove se neopadajući, ako za sve prirodne vrijednosti n nejednakost je istinita xn £ xn+1.

Zovu se nizovi rastući, opadajući, nerastući, neopadajući monoton sekvence, s rastućim i opadajućim - strogo monotono.

Osnovne tehnike koje se koriste pri ispitivanju monotonosti niza

1. Koristeći se definicijom.

a) Za sekvencu koja se proučava ( xn) razlika je napravljena

xn – xn+1, a zatim saznajemo zadržava li ta razlika konstantan predznak za bilo koji n Î N, i ako da, koji točno. Ovisno o tome donosi se zaključak o monotonosti (nemonotonosti) niza.

b) Za nizove konstantnog predznaka ( xn) može se formirati relacija xn+1/xn i usporedite ga s jednim.

Ako je ovaj stav pred svima n veći od jedan, onda se za strogo pozitivan niz zaključuje da raste, a za strogo negativan niz, sukladno tome, opada.

Ako je ovaj stav pred svima n nije manji od jedan, tada se za strogo pozitivan niz zaključuje da je neopadajući, a za strogo negativan niz, prema tome, nerastući.

Ako je to relacija kod nekih brojeva n veći od jedan, a za ostale brojeve n manji od jedan, to ukazuje na nemonotonu prirodu niza.

2. Idite na funkciju stvarnog argumenta.

Neka je potrebno ispitati monotonost niza brojeva

An = f(n), n Î N.

Uvedimo funkciju pravog argumenta x:

f(x) = A(x), x³ 1,

i ispitajte je li monotonija.

Ako je funkcija diferencijabilna na promatranom intervalu, tada nalazimo njezinu derivaciju i ispitujemo predznak.

Ako je izvod pozitivan, tada funkcija raste.

Ako je derivacija negativna, tada funkcija opada.

Vraćajući se prirodnim vrijednostima argumenta, proširujemo ove rezultate na izvorni niz.

Broj A nazvao granica niza xn, ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj e postoji takav prirodan broj N, što vrijedi za sve brojeve n > N nejednakost zadovoljena | xn – a | < e.

Izračunavanje iznosa n prvi članovi niza

1. Predstavljanje općeg člana niza u obliku razlike dvaju ili više izraza na način da se pri zamjeni većina međučlanova reducira, a zbroj znatno pojednostavi.

2. Za provjeru i dokazivanje postojećih formula za pronalaženje zbroja prvih članova nizova može se koristiti metoda matematičke indukcije.

3. Neki problemi s nizovima mogu se svesti na probleme koji uključuju aritmetičke ili geometrijske progresije.

Aritmetička i geometrijska progresija

Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija xn }, nÎ N, naziva se aritmetička progresija ako je svaki njen član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodan istoj konstanti broja za dati niz d, tj. An+1 = an + d, Gdje d– razlika u progresiji, An– zajednički član ( n ti član)	Definicija Niz brojeva ( xn }, nÎ N, naziva se geometrijska progresija ako je svaki njen član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem konstantnim za dati niz q, tj. bn+1 = bn × q, b 1¹0, q ¹ 0, Gdje q– nazivnik progresije, bn– zajednički član ( n ti član)
Monotonija Ako d> 0, tada progresija raste. Ako d < 0, то прогрессия убывающая.	Monotonija Ako b 1 > 0, q> 1 ili b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Ako b 1 < 0, q> 1 ili b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Ako q < 0, то прогрессия немонотонная
Uobičajena formula pojma An = a 1 + d×( n – 1) Ako 1 £ k £ n– 1, dakle An = ak + d×( n – k)	Uobičajena formula pojma bn = b 1× qn – 1 Ako 1 £ k £ n– 1, dakle bn = bk × qn –k
Karakteristično svojstvo Ako 1 £ k £ n– 1, dakle	Karakteristično svojstvo Ako 1 £ k £ n– 1, dakle
Vlasništvo an + am = ak + al, Ako n + m = k + l	Vlasništvo bn × bm = bk × bl, Ako n + m = k + l
Zbroj prvog n članova S n = a 1 + a 2 + … + an ili	Iznos S n = b 1 + b 2 + … + bn Ako q br. 1, dakle . Ako q= 1, tada S n = b 1× n. Ako | q| < 1 и n® ¥, dakle
Operacije na progresijama 1. Ako ( An) i ( bn) aritmetičke progresije, zatim niz { an ± bn) također je aritmetička progresija. 2. Ako su svi članovi aritmetičke progresije ( An) pomnožite s istim realnim brojem k, tada će rezultirajući niz također biti aritmetička progresija, čija će se razlika sukladno tome promijeniti u k jednom	Operacije na progresijama Ako ( An) i ( bn) geometrijske progresije s nazivnicima q 1 i q 2 prema tome, zatim niz: 1) {an× bn q 1× q 2; 2) {an/bn) također je geometrijska progresija s nazivnikom q 1/q 2; 3) {|an|) također je geometrijska progresija s nazivnikom | q 1|

Osnovne metode rješavanja problema progresije

1. Jedna od najčešćih metoda rješenja problemi aritmetičkih progresija je da su svi članovi progresije uključeni u stanje problema izraženi kroz razliku progresije d a d I A 1.

2. Rasprostranjena i smatrana standardnom metodom rješenja problemi geometrijske progresije , kada su svi članovi geometrijske progresije koji se pojavljuju u tvrdnji problema izraženi kroz nazivnik progresije q i bilo koji od njegovih članova, najčešće prvi b 1. Na temelju uvjeta problema sastavlja se i rješava sustav s nepoznanicama q I b 1.

Primjeri rješavanja problema

Problem 1 .

Dat slijed xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Pronađite iznos S n prvi nčlanova ovog niza.

Riješenje. Transformirajmo izraz za opći član niza:

xn = 4n(n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n+ 1) = n 4 – (n – 1)4.

S n = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Problem 2 .

Dat slijed An = 3n+ 2..gif" width="429" height="45">.

Odavde, A(3n + 5) +B(3n + 2) = 1,

(3A + 3B)n + (5A + 2B) = 1.

n.

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5 A + 2B = 1.

A = 1/3, U = –1/3.

Dakle, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif " width="39" height="41 src="> An. Je li broj 1980 član ovog niza? Ako da, odredite njegov broj.

Riješenje. Napišimo prve nčlanovi ovog niza:

A 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41"> .gif" width="93" height="41">.

Pomnožimo ove jednakosti:

A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1an = A 1A 2A 3A 4A 5…an-2an-1.

Odavde, an = n(n + 1).

Zatim, 1980 = n(n+ 1) Û n 2 + n– 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n= 44 O N.

Odgovor: Da, n = 44.

Problem 4 .

Pronađite iznos S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An brojevima A 1, A 2, A 3, …,An, koji za bilo koji prirodni n zadovoljiti jednakost S n = A 1 + 2A 2 + 3A 3 + … + nAn = .

Riješenje. S 1 = a 1 = 2/3.

Za n > 1, nan = S n – S n–1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Odavde, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) = 1

(A + B + C)n 2 + (3A + 2B + C)n + 2A = 1,

Izjednačimo koeficijente pri odgovarajućim potencijama n.

n 2 | A + B + C= 0,

n 1 | 3A + 2B+ C = 0,

n0 | 2 A = 1.

Rješavanjem dobivenog sustava dobivamo A = 1/2, U= –1, C = 1/2.

Dakle, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

Gdje , , n > 1,

S¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = A 1 + A 2 + A 3 + … + An = A 1 +=

=A 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">= =

Problem 5 .

Pronađite najveći član niza .

Riješenje. Stavimo bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Neki ljudi s oprezom tretiraju riječ "progresija", kao vrlo složen pojam iz grana više matematike. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksimetra (gdje još uvijek postoje). A razumijevanje suštine (a u matematici nema ništa važnije od "razumijevanja suštine") aritmetičkog niza nije tako teško, nakon analize nekoliko elementarnih koncepata.

Matematički niz brojeva

Numeričkim nizom obično se naziva niz brojeva od kojih svaki ima svoj broj.

a 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas proizvoljan skup brojeva i brojeva. Usredotočit ćemo se na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem odnosom koji se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a je vrijednost člana numeričkog niza;

n je njegov serijski broj;

f(n) je funkcija, gdje je redni broj u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom obično se naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost tekućeg člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sljedećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog i takva aritmetička progresija će biti rastuća.

Na grafikonu ispod lako je vidjeti zašto se niz brojeva naziva "rastući".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Navedena vrijednost člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost bilo kojeg proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To se može učiniti sekvencijalnim izračunavanjem vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, počevši od prvog do željenog. Međutim, ovaj put nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pettisućitog ili osmomilijuntog člana. Tradicionalni izračuni će oduzeti puno vremena. Međutim, određena aritmetička progresija može se proučavati pomoću određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbroj prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnožen s brojem željenog člana, umanjen za jedan.

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti zadanog pojma

Riješimo sljedeći problem pronalaženja vrijednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 članova

Rješenje: za određivanje vrijednosti zadanog pojma koristimo se formulom:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz izjave problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza jednak je 258,6.

Prednosti ove metode izračuna su očite - cijelo rješenje ne zauzima više od 2 retka.

Zbroj zadanog broja članova

Vrlo često, u određenom aritmetičkom nizu, potrebno je odrediti zbroj vrijednosti nekih njegovih segmenata. Da biste to učinili, također nema potrebe izračunavati vrijednosti svakog izraza i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je broj članova čiji zbroj treba pronaći mali. U drugim slučajevima prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbroj članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnožen s brojem člana n i podijeljen s dva. Ako u formuli vrijednost n-tog člana zamijenimo izrazom iz prethodnog stavka članka, dobivamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

Zadatak zahtijeva određivanje zbroja članova niza od 56 do 101.

Riješenje. Upotrijebimo formulu za određivanje količine progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo odredimo zbroj vrijednosti 101 člana progresije zamjenom zadanih uvjeta našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Očito, da bi se saznao zbroj članova progresije od 56. do 101. potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbroj aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka vratimo se na primjer aritmetičkog niza danog u prvom odlomku - taksimetar (taksimetar). Razmotrimo ovaj primjer.

Ukrcaj u taksi (koji uključuje 3 km putovanja) košta 50 rubalja. Svaki sljedeći kilometar plaća se po stopi od 22 rublja/km. Dužina putovanja je 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Daljnji izračun nije ništa drugo nego raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Članski broj - broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbroj.

Prvi izraz u ovom problemu bit će jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika progresije d = 22 r.

broj koji nas zanima je vrijednost (27+1)-og člana aritmetičke progresije - očitanje brojila na kraju 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Izračuni kalendarskih podataka za proizvoljno dugo razdoblje temelje se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji je duljina orbite geometrijski ovisna o udaljenosti nebeskog tijela od zvijezde. Osim toga, različiti nizovi brojeva uspješno se koriste u statistici i drugim primijenjenim područjima matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijska progresija karakteriziran velikim, u usporedbi s aritmetičkim, stopama promjene. Nije slučajno da se u politici, sociologiji i medicini, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tijekom epidemije, kaže da se proces razvija geometrijskom progresijom.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi s nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je odgovarajući jednak 2, zatim:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sljedećeg člana geometrijske progresije;

q je nazivnik geometrijske progresije (konstantan broj).

Ako je grafikon aritmetičke progresije ravna linija, tada geometrijska progresija daje nešto drugačiju sliku:

Kao i u slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na potenciju n umanjenu za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju s prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Nađimo 5. član progresije

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbroj zadanog broja članova također se izračunava pomoću posebne formule. Zbroj prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen s nazivnikom umanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni pomoću formule koja je gore razmotrena, vrijednost zbroja prvih n članova niza brojeva koji se razmatra poprimit će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje s prvim članom jednakim 1. Nazivnik je postavljen na 3. Nađimo zbroj prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrimo što je niz brojeva, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj niza brojeva.

Niz brojeva je brojčani skup čiji svaki element ima svoj redni broj. Elementi tog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- “n-ti” element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga niz možemo promatrati kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tablice. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, netko se odlučio baviti upravljanjem osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tijekom tjedna. Upisivanjem vremena u tablicu dobit će niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi redak tablice označava broj dana u tjednu, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedjeljak netko proveo 125 minuta na VKontakteu, to jest u četvrtak - 248 minuta, a to jest u petak samo 15.

2 . Niz se može specificirati pomoću formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se izravno u obliku formule.

Na primjer, ako , tada

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa zadanim brojem, zamijenimo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar činimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

Ako npr. , To

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može odrediti pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza broj n o vrijednostima prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvi član ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajući, od latinske riječi ponavljanje- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva.

Aritmetička progresija je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pribrojenom istom broju.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Ako je naslov="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećavajući se.

Na primjer, 2; 5; 8; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je smanjujući se.

Na primjer, 2; -1; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarni.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, a u isto vrijeme

Zbrajanjem ove dvije jednakosti dobivamo:

.

Podijelimo obje strane jednakosti s 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štoviše, budući da

, a u isto vrijeme

, To

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije, počevši s title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da članovi aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće relacije:

i konačno

Dobili smo formula n-tog člana.

VAŽNO! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbroj n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji zbrojevi članova koji su jednako udaljeni od krajnjih međusobno su jednaki:

Razmotrimo aritmetičku progresiju s n članova. Neka zbroj n članova ove progresije bude jednak .

Posložimo uvjete progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim silaznim redoslijedom:

Dodajmo u paru:

Zbroj u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobivamo:

Tako, zbroj n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dan formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Utvrdili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Prema tome, po definiciji, ovaj niz je aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 član progresije.

b) Utvrdite je li broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo da ;

Zapišimo formulu za n-ti član naše progresije.

Općenito

U našem slučaju , Zato

Ako za svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član niza , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja jednako razmaknutih članova te aritmetičke progresije.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄