Biographie de Kurt Godel. Théorie de l'incohérence de l'être

Le théorème d'incomplétude de Gödel, qu'il a prouvé en 1931 alors qu'il avait 25 ans, a détruit les règles fondamentales de la science moderne, tout comme la théorie générale de la relativité d'Einstein l'avait fait quinze ans plus tôt. Gödel a démontré que l'arithmétique élémentaire est incomplète et le restera.

La vie et les peurs de Gödel

Kurt Friedrich Gödel (28 avril 1906 - 14 janvier 1978) était un logicien, mathématicien et philosophe autrichien des mathématiques, surtout connu pour sa formulation et sa preuve du théorème d'incomplétude. Kurt Godel est né dans la ville austro-hongroise (morave) de Brunn (aujourd'hui Brno, République tchèque), dans une famille allemande. Le père de Kurt, Rudolf Gödel, était directeur d'usine textile. Kurt Godel

A 18 ans, Gödel entre à l'Université de Vienne. Là, il a étudié la physique pendant deux ans, mais est ensuite passé aux mathématiques.

Habituellement, Gödel est considéré comme un Autrichien, mais il a changé plusieurs fois de nationalité au cours de sa vie. Né sujet d'Autriche-Hongrie, il a pris la nationalité tchécoslovaque à l'âge de 12 ans après la disparition de l'empire austro-hongrois. A 23 ans, Gödel devient citoyen autrichien, et à 32 ans, après la prise de l'Autriche par Hitler, il devient automatiquement citoyen du Reich allemand. En 1940, il part pour les États-Unis, et en raison du danger de traverser l'Atlantique pendant la guerre, il passe par l'URSS et le Japon. Aux États-Unis, il a obtenu un emploi au célèbre Institute for Advanced Study (Princeton University).

Plus tard, à Princeton (1941), malgré l'amélioration de son état général, Gödel ressentait encore l'inconfort de la présence d'appareils qui, selon lui, étaient capables d'émettre des gaz toxiques. Pour cette raison, il a même ordonné qu'un réfrigérateur et un radiateur soient retirés de leur appartement avec Adele. Son obsession de l'air frais et ses soupçons sur le réfrigérateur ont persisté jusqu'à la fin de sa vie, et des périodes de récupération modérée et de détérioration de l'état mental se sont succédées. Ces derniers, cependant, se produisaient plus souvent et étaient plus difficiles. Ainsi, la crise de 1970 s'est avérée bien pire que celle de 1936 et s'est accompagnée d'hallucinations, de comportements paranoïaques envers les médecins et les collègues. L'état de santé d'Adele se détériorait rapidement, maintenant elle ne pouvait plus s'occuper de lui comme avant, et lui, à son tour, s'occuperait d'elle. L'ami de Gödel, Oskar Morgenstern, a fourni un soutien considérable.

En février 1976, la paranoïa de Gödel s'est à nouveau aggravée, le poids a commencé à diminuer et il a été persuadé d'être hospitalisé. Cependant, une semaine plus tard, sans même être libéré, il est rentré chez lui. Les soupçons concernaient désormais également sa femme - il a dit à Morgenstern et à d'autres personnes qu'elle aurait distribué tout son argent en son absence. Adele a été hospitalisée en juin (jusqu'en août). Gödel passait apparemment beaucoup de temps avec elle et mangeait mal. À l'automne, il est brièvement retourné à l'hôpital où, comme il l'a dit, ils auraient tenté de le tuer. Après son retour à la maison, l'état ne s'est pas amélioré. Malgré la persuasion d'amis, il a refusé une nouvelle hospitalisation. Godel et Einstein

En juillet 1977, Adele est de nouveau allée à l'hôpital, où elle est restée jusqu'en décembre. Le 26 juillet, Morgenstern décède. Cet événement et l'absence de sa femme ont eu une influence décisive sur l'état de Gödel au cours des mois suivants - l'anorexie et la paranoïa ont progressé plus activement. Le 29 décembre, suite à l'insistance de sa femme, revenue il y a environ une semaine, Gödel a accepté d'être hospitalisé. Cependant, les médecins ne pouvaient plus fournir d'aide significative. Le scientifique est décédé de "malnutrition et d'épuisement" induits par un "trouble de la personnalité" le 14 janvier 1978 à Princeton, New Jersey.

Gödel était un logicien et philosophe des sciences. La réalisation la plus célèbre de Gödel est les théorèmes d'incomplétude qu'il a formulés et prouvés, publiés en 1931, et sont directement liés au deuxième problème de la célèbre liste de Hilbert.

La liste Hilbert est une liste de 23 problèmes cardinaux en mathématiques présentée par David Hilbert au II Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900. Puis ces problèmes (couvrant les fondements des mathématiques, l'algèbre, la théorie des nombres, la géométrie, la topologie, la géométrie algébrique, les groupes de Lie, l'analyse réelle et complexe, les équations différentielles, la physique mathématique et la théorie des probabilités, ainsi que le calcul des variations) n'ont pas été résolus. Jusqu'à présent, 16 problèmes sur 23 ont été résolus.

Le premier théorème stipule que si l'arithmétique formelle est cohérente, alors elle contient une formule irréfutable et irréfutable.

Le deuxième théorème affirme que si une arithmétique formelle est cohérente, alors une formule est non dérivable en elle qui affirme de manière significative la cohérence de cette arithmétique.

axiomes euclidiens

Le cours de géométrie enseigné dans les écoles secondaires du monde entier est basé sur les éléments d'Euclide. Le Grec ancien, qui a vécu dès le troisième siècle avant JC, a formulé plusieurs axiomes concernant les propriétés des points et des lignes droites dans un plan, d'où découle la validité de nombreux théorèmes géométriques utiles et importants. Les axiomes d'Euclide sont simples et indémontrables. L'un d'eux stipule qu'une seule ligne droite peut être tracée à travers deux points. L'autre est que les lignes parallèles se coupent à l'infini. Ces déclarations sont acceptées comme quelque chose d'évident et ne nécessitant pas de preuve. Euclide, en effet, a réussi à représenter l'ensemble de la géométrie à l'aide d'un petit nombre d'énoncés vrais et fondamentaux, exprimés de manière très claire et concise.

Les mathématiciens ont décidé, en utilisant la "méthode" d'Euclide, d'essayer de présenter d'autres branches des mathématiques d'une manière similaire. Disons la science des nombres.

(1978-01-14 ) (71 ans) Un pays Empire austro-hongrois →
République tchécoslovaque →
République d'Autriche →
Etats-Unis Récompenses et prix

Biographie [ | ]

premières années [ | ]

Kurt Gödel est né le 28 avril 1906 dans la ville austro-hongroise (morave) de Brunn (aujourd'hui Brno, République tchèque) dans une famille allemande. Le père de Kurt - Rudolf Gödel (1874-1929) - était copropriétaire et directeur d'une grande usine textile. La famille avait également un frère aîné, nommé d'après son père Rudolf. Dès l'enfance, Kurt se distinguait par la timidité, l'auto-absorption, l'hypocondrie et aussi une méfiance extrême - il s'inspirait souvent de toutes sortes de superstitions dont il ne pouvait se débarrasser qu'à la fin de sa vie (par exemple, même dans la chaleur, il portait des vêtements et des gants chauds, car il croyait, sans aucune raison, qu'il avait un cœur faible).

Ce discours n'a pas été annoncé à l'avance et a eu un effet stupéfiant, Gödel est immédiatement devenu une célébrité mondiale et le programme de Hilbert pour formaliser les fondements des mathématiques a nécessité une révision urgente. Un article avec les deux théorèmes (" Sur les propositions fondamentalement insolubles dans les Principia Mathematica et les systèmes associés”) a été publié dans le mensuel scientifique Monatshefte fur Mathematik und Physik en 1931. Bien que Gödel n'ait donné la preuve du deuxième théorème que sous la forme d'une idée, son résultat était si clair et indéniable que personne n'en doutait. Hilbert reconnut immédiatement la valeur des découvertes de Gödel ; les premières preuves complètes des deux théorèmes ont été publiées dans Foundations of Mathematics de Hilbert et Bernays (1938). Dans la préface du deuxième volume, les auteurs ont reconnu que les méthodes finies ne suffisent pas pour atteindre leur objectif et ont ajouté l'induction transfinie à la liste des moyens logiques ; en 1936, Gerhard Gentzen réussit à prouver la cohérence de l'arithmétique en utilisant cet axiome, mais la complétude logique resta inaccessible.

En 1933, déjà en poste de Privatdozent à l'Université de Vienne, Gödel reçut une invitation à l'Université de Princeton (USA), où il donna un cours de conférences "Sur les théorèmes indécidables des systèmes mathématiques formels". À Princeton, il a rencontré et s'est lié d'amitié avec Einstein. Plus tard (1934-1939), Gödel visita Princeton presque chaque année, ce qui contribua grandement au développement de l'école américaine de logique mathématique (Kleene, Church et autres).

En mars 1938, l'Autriche est annexée à l'Allemagne nazie. Au cours de la réforme du système universitaire qui avait commencé, Gödel s'est retrouvé sans travail, bien qu'il n'ait pas de «sang non aryen». En plus des ennuis, le mathématicien de 32 ans a été déclaré apte au service militaire et a reçu une convocation à la mobilisation. À partir de ce moment, Gödel, auparavant indifférent à la politique, commence à penser à l'émigration. La même année 1938, Gödel épouse la danseuse Adele Porkert, de 6 ans son aînée; le mariage a réussi. Ils n'avaient pas d'enfants.

En 1940, Gödel partit pour les États-Unis, et en raison du danger de voyager à travers l'Atlantique lors du déclenchement de la guerre, il s'y rendit par l'Union soviétique (via le chemin de fer transsibérien) et le Japon, qui étaient alors amis de l'Allemagne. Aux États-Unis, il obtint sans problème un poste à la nouvelle université de Princeton et, en 1953, il y fut approuvé comme professeur. Mère est restée à Brno, Gödel lui écrivait régulièrement. À partir de 1940, Gödel ne publie plus d'études sur la logique, à l'exception de commentaires de nature philosophique.

En 1948, Gödel a reçu la nationalité américaine. Lors de l'interview, il a tenté de prouver que la Constitution américaine est formellement et logiquement incomplète et ne garantit pas contre l'établissement d'une dictature, mais a été poliment arrêté.

Jusqu'à la mort d'Einstein (1955), ils passèrent beaucoup de temps ensemble, discutant avec animation de physique, de politique et de philosophie. Ces conversations ont abouti à plusieurs articles de Gödel sur la théorie de la relativité. Gödel n'est pas retourné en Autriche même après la guerre, bien que l'Université de Vienne l'ait invité avec insistance.

Maladie et mort[ | ]

Depuis les années 1930, Gödel a montré des signes de problèmes mentaux, qui étaient généralement cachés, se manifestant par une anxiété fréquente et une suspicion excessive, mais pendant les périodes d'exacerbation, ils ont pris des formes plus évidentes et obsessionnelles. Ainsi, sur fond de surmenage psychologique lié aux événements de 1931, une dépression nerveuse met Gödel hors de combat pendant plusieurs mois. Le 22 juin 1936, Moritz Schlick, fondateur et dirigeant permanent du Cercle de Vienne, est assassiné. Gödel, qui avait toujours admiré Schlick comme son mentor scientifique, a subi une autre dépression nerveuse et a été incapable de travailler pour le reste de l'année. Toujours en 1936, il développa une peur paranoïaque d'être empoisonné. Le soutien de Gödel dans les moments difficiles était sa femme Adele, qui l'a nourri avec une cuillère et a littéralement quitté son mari. D'après les archives survivantes des enquêtes de bibliothèque de cette période, on sait qu'il a étudié la littérature sur les troubles mentaux, la pharmacologie et la toxicologie (la référence répétée à un guide technique sur l'intoxication au monoxyde de carbone est particulièrement caractéristique), ce qui n'a fait que compliquer son traitement ultérieur.

Plus tard, à Princeton (1941), malgré une amélioration de son état général, Gödel était toujours mal à l'aise avec la présence d'appareils qui, selon lui, étaient capables d'émettre des gaz toxiques. Pour cette raison, il a même ordonné qu'un réfrigérateur et un radiateur soient retirés de leur appartement avec Adele. Son obsession de l'air frais et ses soupçons sur le réfrigérateur ont persisté jusqu'à la fin de sa vie, et des périodes de récupération modérée et de détérioration de l'état mental ont alterné. Un coup particulièrement dur pour lui fut la mort de son ami Albert Einstein en 1955. Dans les années 1960, Gödel a cessé de donner des conférences.

Dans les années 1970, l'état de Gödel a commencé à se détériorer rapidement. Il avait des hallucinations, un comportement paranoïaque envers les médecins et ses collègues. L'état de santé d'Adele s'est également aggravé, maintenant elle ne pouvait plus s'occuper de lui comme avant, et lui, à son tour, ne pouvait plus s'occuper d'elle. Un énorme soutien est venu de l'ami de Gödel, l'économiste et mathématicien Oskar Morgenstern.

Tombe de Kurt et Adele Gödel à Princeton

En février 1976, la paranoïa de Gödel s'est à nouveau aggravée, le poids a commencé à diminuer et il a été persuadé d'être hospitalisé. Cependant, une semaine plus tard, sans même être libéré, il est rentré chez lui. Les soupçons concernent maintenant sa femme - Morgenstern et d'autres personnes, il a dit qu'elle aurait distribué tout son argent en son absence. Adele a été hospitalisée en juin (jusqu'en août). Gödel passait apparemment beaucoup de temps avec elle et mangeait mal. À l'automne, il est brièvement retourné à l'hôpital où, comme il l'a dit, ils auraient tenté de le tuer. Après son retour à la maison, l'état ne s'est pas amélioré. Malgré la persuasion d'amis, il a refusé une autre hospitalisation.

En juillet 1977, Adele est de nouveau allée à l'hôpital, où elle est restée jusqu'en décembre. Le 26 juillet, Morgenstern décède. Cet événement et l'absence de sa femme ont eu une influence décisive sur l'état de Gödel au cours des mois suivants - son poids est tombé à 30 kg, sa paranoïa a progressé. Le 29 décembre, suite à l'insistance de sa femme, qui était revenue environ une semaine plus tôt, Gödel a accepté d'être hospitalisé. Cependant, les médecins ne pouvaient plus apporter une aide significative. Le scientifique est mort de "malnutrition et d'épuisement" induits par "

mathématicien et logicien, membre de l'Académie nationale des sciences des États-Unis et de l'American Philosophical Society, auteur de la découverte fondamentale des limites de la méthode axiomatique et des travaux fondamentaux dans des domaines de la logique mathématique tels que la théorie des modèles, la théorie de la preuve et la théorie des ensembles. En 1924, M.. entre à l'Université de Vienne. Docteur en mathématiques (1930). Privatdozent à l'Université de Vienne, membre du Cercle de Vienne (1933-1938). Il a émigré aux États-Unis (en 1940, depuis 1953 - professeur au Princeton Institute for Advanced Study). Principaux travaux : "Complétude des axiomes du calcul fonctionnel logique" (thèse de doctorat, 1930), "Sur les propositions formellement indécidables des Principia mathematica et des systèmes apparentés" (1931), "Sur le calcul propositionnel intuitionniste" (1932), "Sur l'arithmétique intuitionniste et la théorie des nombres" (1933), "Une interprétation du calcul intuitionniste" des propositions" (1933), " Compatibilité de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu généralisé avec les axiomes de la théorie des ensembles" (1940), "Sur une extension non encore utilisée du point de vue fini" (1958). À la fin des années 1920, Hilbert et ses partisans ont obtenu des preuves de l'exhaustivité de certains systèmes axiomatiques. L'exhaustivité d'un système axiomatique était considérée par eux comme une propriété du système d'axiomes d'une théorie axiomatique donnée, caractérisant l'étendue de la couverture d'un certain domaine des mathématiques par cette théorie. Dans les théories mathématiques construites sur la base de l'axiomatique matérielle, les significations des termes initiaux de la théorie axiomatique sont données dès le début (c'est-à-dire qu'une certaine interprétation de cette théorie est supposée fixée). Dans le cadre d'une telle théorie, le raisonnement sur la déductibilité de ses énoncés à partir d'axiomes et le raisonnement sur la vérité de tels énoncés sont devenus possibles. La complétude du système d'axiomes dans ce cas correspondait à la coïncidence de ces concepts. (Un exemple de ce type d'axiomatique est l'axiomatique de la géométrie d'Euclide.) Dans les théories mathématiques construites sur la base de l'axiomatique formelle, la signification des termes originaux de la théorie axiomatique reste indéfinie lors de la dérivation des théorèmes à partir des axiomes. Dans ce cas, un système d'axiomes était dit complet par rapport à une interprétation donnée si tous les énoncés vrais dans cette interprétation en étaient déduits. Parallèlement à ce concept de complétude, un autre concept de complétude a été défini, qui était une propriété interne d'un système axiomatique (indépendant de l'une ou l'autre de ses interprétations) : un système d'axiomes était dit déductivement complet si tout énoncé formulé dans une théorie donnée peut soit être prouvé (étant dans ce cas un théorème) soit réfuté (au sens de la possibilité de prouver sa négation). De plus, si une théorie axiomatique est complète par rapport à une interprétation, alors elle est déductivement complète ; à l'inverse, si une théorie est déductivement complète et cohérente (c'est-à-dire que tous les théorèmes sont vrais) par rapport à une interprétation donnée, alors elle est complète par rapport à cette interprétation. Le concept de complétude déductive (interne) est une «caractéristique pratique» d'une théorie axiomatique lors de sa construction en tant que système formel. Sur cette base, Hilbert a construit un système artificiel, comprenant une partie d'arithmétique, avec des preuves de sa complétude et de sa cohérence. L'ensemble de la démarche de G. appartient au sens constructif des mathématiques : dans une interprétation intuitionniste de la vérité d'un énoncé, il ne considérait comme vraie qu'une formule récursivement réalisable (réductible à une fonction des nombres de la série naturelle). Ainsi, l'arithmétique intuitionniste est devenue une extension de l'arithmétique classique. Construisant simultanément la logique et l'arithmétique, G. a été contraint d'abandonner la thèse logiciste de Frege sur la réductibilité complète des mathématiques à la logique. G. mathématiques étayées développées par lui par la méthode d'arithmétisation des métamathématiques, qui consiste à remplacer le raisonnement sur les expressions de tout raisonnement logique-mathématique sur les nombres naturels. Cette méthode G. placée dans la base de la preuve du "théorème de G. sur l'exhaustivité" du calcul des prédicats de la logique classique des prédicats (du premier ordre), et plus tard - dans les deux théorèmes les plus importants sur l'incomplétude du calcul des prédicats étendu, connu sous le nom général de "théorème de G. sur l'incomplétude". G. dans sa thèse de doctorat (1930) a prouvé un théorème sur la complétude du calcul de la logique classique des prédicats : si une formule de prédicat est vraie dans toute interprétation, alors elle est dérivable dans le calcul des prédicats (en d'autres termes, toute formule dont la négation n'est pas déductible est réalisable). Étant l'un des théorèmes de base de la logique mathématique, le théorème de complétude de G. montre que déjà le calcul classique des prédicats contient toutes les lois logiques exprimées par des formules de prédicats. Un renforcement du théorème de complétude du calcul des prédicats classique stipule que toute séquence dénombrable de formules à partir de laquelle des contradictions ne peuvent être déduites est satisfaisable. De plus, s'il est impossible de dériver une contradiction de l'ensemble des formules de prédicats P dans le cadre du calcul des prédicats, alors pour l'ensemble P il existe un modèle, c'est-à-dire une interprétation dans laquelle toutes les formules de l'ensemble P sont vraies. La preuve de l'exhaustivité du calcul de la logique classique des prédicats a donné lieu à l'école de Hilbert à certains espoirs qu'il serait possible de prouver l'exhaustivité et la cohérence de toutes les mathématiques. Cependant, déjà l'année suivante, 1931, le théorème d'incomplétude de G. a été prouvé. Le premier théorème d'incomplétude stipule que si un système formel d'arithmétique est cohérent, alors il contient au moins une phrase formellement indécidable, c'est-à-dire une formule F telle que ni elle ni sa négation ne soient des théorèmes de ce système. En d'autres termes, la consistance de l'arithmétique récursive permet de construire une phrase déductivement indécidable formalisée dans le calcul, c'est-à-dire à l'existence à la fois d'une formule improuvable et d'une formule irréfutable. Une telle formule, étant une proposition d'arithmétique récursive, est vraie mais non dérivable, même si par définition elle devrait l'être. Par conséquent, la cohérence d'un système formalisé conduit à son incomplétude. Un renforcement du premier théorème d'incomplétude est le deuxième théorème d'incomplétude, qui affirme qu'il est possible de choisir une formule F comme formule qui exprime naturellement la cohérence de l'arithmétique formelle, c'est-à-dire pour un calcul formel cohérent qui a l'arithmétique récursive comme modèle, la formule F de l'expression de cette cohérence n'est pas dérivable dans le cadre de ce calcul. D'après le théorème d'incomplétude de G., par exemple, toute procédure pour prouver des énoncés vrais de la théorie élémentaire des nombres (opérations additives et multiplicatives sur des nombres entiers) est évidemment incomplète. Pour tout système de preuves, il existe des affirmations vraies qui, même dans un domaine mathématique aussi limité, resteront indémontrables. BV Biryukov écrit à propos de la signification méthodologique du théorème d'incomplétude de G. : "... si l'arithmétique formelle est cohérente, alors la cohérence ne peut pas être prouvée par des moyens formalisés en soi, c'est-à-dire par ces moyens finis par lesquels Hilbert voulait limiter les études métamathématiques ...". Par conséquent, la cohérence (intrinsèque) de toute théorie logico-mathématique ne peut être prouvée sans recourir à une autre théorie (avec des hypothèses plus fortes et donc moins stable). Von Neumann a lu au moment de la publication des conférences de G. sur le programme métamathématique de Hilbert, mais immédiatement après avoir lu cet ouvrage, il a reconstruit le cours, consacrant à G. tout le temps restant. Le théorème d'incomplétude de G., le méta-théorème le plus important de la logique mathématique, a montré l'impraticabilité du programme de Hilbert en termes de formalisation complète de la partie définissante des mathématiques et de justification du système formel résultant en prouvant sa cohérence (par des méthodes finies). Cependant, le théorème d'incomplétude de G., tout en démontrant les limites d'applicabilité de l'approche finie en mathématiques, ne peut pas indiquer les limites de la connaissance logique. E. Nagel et J. Newman écrivent sur l'importance des découvertes de G. pour une évaluation comparative des capacités d'une personne et d'un ordinateur que "... pour chacune de nos tâches spécifiques, en principe, il est possible de construire une machine qui serait capable de cette tâche ; mais il est impossible de créer une machine adaptée à la résolution de n'importe quelle tâche. La principale conclusion que nous pouvons tirer du théorème d'incomplétude de G. est que la nature et les capacités de l'esprit humain sont incommensurablement plus fines et plus riches que n'importe laquelle des machines connues jusqu'à présent ... ". G. a également apporté une contribution significative à la théorie axiomatique des ensembles, dont les deux principes de base - l'axiome du choix d'E. Zermelo et l'hypothèse du continuum - ne se sont longtemps pas prêtés à preuve, mais en raison de l'importance de leurs conséquences logiques, les recherches dans ces domaines se sont poursuivies. L'axiome du choix d'E. Zermelo postule l'existence d'un ensemble constitué d'éléments choisis "un à un" dans chacun des ensembles non vides non sécants,

dont l'union constitue un certain ensemble. (De l'axiome du choix d'E. Tseremelo, l'investigation contredit "l'intuition du sens commun". Par exemple, il devient possible de décomposer la boule tridimensionnelle en une quantité finie de subsurbed, à partir de laquelle il est possible de reconstruire exactement deux boules identiques dans l'espace tridimensionnel.) Guipothèse du continuum - c'est l'affirmation que la puissance du continuum (puissance qui a, par exemple, plusieurs nombres réels) est la première puissance, il y a la première puissance) supérieure à la puissance de plusieurs nombres naturels. L'hypothèse du continuum généralisé stipule que pour tout ensemble M, la première cardinalité supérieure à la cardinalité de cet ensemble est la cardinalité de l'ensemble de tous les sous-ensembles de P. Ce problème (proposé par Cantor dans les années 1880) a été inclus dans la célèbre liste de 23 problèmes de Hilbert. En 1936, G. a prouvé que l'hypothèse du continuum généralisé est compatible avec un système naturel de théorie axiomatique des ensembles et, par conséquent, ne peut être réfutée par des méthodes standard. En 1938, G. prouve la cohérence de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu (leur intégration dans un système donné d'axiomes de la théorie des ensembles ne conduit pas à une contradiction). Pour résoudre ces problèmes, le système axiomatique de P. Bernays a été réduit, sur la base duquel, ainsi que les hypothèses sur la constructibilité de chaque ensemble, G. a construit un modèle adéquat au système d'axiomes sans l'axiome de choix, et tel que tous les ensembles qu'il contient avaient la propriété d'un ordre complet. Dans ce modèle, l'axiome de choix s'est avéré vrai (réalisable) et donc compatible avec le système d'axiomes d'origine, donc cohérent. Dans ce modèle, l'hypothèse du continuum s'est également avérée vraie. Des travaux supplémentaires dans cette direction ont permis à G. de développer des modèles pour l'étude des "mécanismes internes" de la théorie axiomatique des ensembles. En plus de travailler dans ces domaines, G. a proposé en 1949 un nouveau type de solution à une classe importante d'équations de la relativité générale, considérée par Einstein comme "... une contribution importante à la théorie générale de la relativité..." et a reçu le prix Einstein (1951).

Grande définition

Définition incomplète ↓

GOEDEL, KURT

(Gdel, Kurt) (1906-1978), logicien et mathématicien autrichien, auteur d'une découverte fondamentale qui a montré les limites de la méthode axiomatique. Né le 28 avril 1906 à Brno. En 1924, il entre à l'Université de Vienne, en 1930, il soutient sa thèse de doctorat en mathématiques. En 1933-1938, il était Privatdozent à l'Université de Vienne ; émigré aux États-Unis en 1940. De 1953 jusqu'à la fin de sa vie - professeur au Princeton Institute for Advanced Study. Gödel est décédé à Princeton le 14 janvier 1978.

La thèse de Gödel était consacrée au problème de la complétude. L'exhaustivité du système d'axiomes qui sert de base à tout domaine des mathématiques signifie l'adéquation de cette axiomatique au domaine spécifié avec leur aide, c'est-à-dire signifie la capacité de prouver la véracité ou la fausseté de toute déclaration significative contenant les concepts du domaine mathématique considéré. Dans les années 1930, quelques résultats ont été obtenus sur la complétude de divers systèmes axiomatiques. Ainsi, Hilbert a construit un système artificiel couvrant une partie de l'arithmétique et a prouvé son exhaustivité et sa cohérence. Gödel, dans sa thèse, a prouvé l'exhaustivité du calcul des prédicats de la première étape, ce qui a donné aux mathématiciens l'espoir qu'ils seraient en mesure de prouver la cohérence et l'exhaustivité de toutes les mathématiques. Cependant, déjà en 1931, le même Gödel a prouvé le théorème d'incomplétude, qui a porté un coup écrasant à ces espoirs. Selon ce théorème, toute procédure pour prouver des énoncés vrais de la théorie élémentaire des nombres est vouée à l'incomplétude. La théorie élémentaire des nombres est la branche des mathématiques concernée par l'addition et la multiplication des nombres entiers et, comme l'a montré Godel, dans tout système de preuve significatif et pratiquement applicable, certaines vérités, même dans un domaine mathématique aussi modeste, resteront improuvables. En conséquence, il a constaté que la cohérence interne de toute théorie mathématique ne pouvait être prouvée autrement qu'en se référant à une autre théorie qui utilise des hypothèses plus fortes et, par conséquent, est moins fiable.

Les méthodes utilisées par Gödel pour prouver le théorème d'incomplétude ont ensuite joué un rôle important dans la théorie des ordinateurs.

Gödel a apporté d'importantes contributions à la théorie des ensembles. Pendant des décennies, deux principes - l'axiome du choix et l'hypothèse du continuum - ne se sont pas prêtés à preuve, mais leur intérêt ne s'est pas démenti : leurs conséquences logiques étaient trop attrayantes. Gödel a prouvé (1938) que l'ajout de ces principes aux axiomes usuels de la théorie des ensembles ne conduit pas à une contradiction. Ses raisonnements sont précieux non seulement pour les résultats qu'ils permettent d'obtenir ; Gödel a développé une construction qui améliore la compréhension du fonctionnement interne de la théorie des ensembles elle-même.

Charbonnier. Dictionnaire de Collier. 2012

Voir aussi les interprétations, les synonymes, les significations du mot et ce qu'est GODEL, KURT en russe dans les dictionnaires, encyclopédies et ouvrages de référence :

GOEDEL KURT
(Godel) Kurt [n. 28 avril 1906, Brunn (Brno)], logicien et mathématicien autrichien. En 1933-38 professeur assistant à l'Université de Vienne. En 1940, il émigre aux États-Unis ; …
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) musicologue suisse. Ouvrage sur l'oeuvre de J. S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, sur l'harmonie et ...
GÔDEL dans le Grand Dictionnaire Encyclopédique :
(Godel) Kurt (1906-78) logicien et mathématicien. Né en Autriche-Hongrie, depuis 1940 aux USA. Travaille sur la logique mathématique et la théorie des ensembles. …
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946), Suisse. musicologue. Tr. sur le travail d'I.S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, en harmonie et ...
GÔDEL dans le grand dictionnaire encyclopédique russe :
GOdel Kurt (1906-78), logicien et mathématicien. Genre. en Autriche-Hongrie, à partir de 1940 aux USA. Tr. par les maths. logique et théorie...
KURT
(Kurth) Ernst (1886-1946) musicologue suisse. Ouvrage sur l'oeuvre de J. S. Bach, A. Bruckner, R. Wagner, sur l'harmonie et ...
GÔDEL dans le dictionnaire explicatif moderne, TSB :
(Godel) Kurt (1906-78), logicien et mathématicien. Né en Autriche-Hongrie, depuis 1940 aux USA. Travaux sur la logique mathématique et la théorie ...
LEVIN KURT KURT dans la Grande Encyclopédie soviétique, TSB :
(Lewin) Kurt (9 septembre 1890, Poznan - 12 février 1947, Newton, Massachusetts, États-Unis), psychologue allemand et américain. Professeur à l'Université de Berlin (1926-1933). En 1932-44...
LES SAUTS LES PLUS DIFFICILES ; "KURT BROWNING" dans le livre Guinness des records 1998 :
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Lorsqu'il s'agit des découvertes les plus remarquables du XXe siècle, ils nomment généralement la théorie de la relativité d'Einstein, la mécanique quantique, le principe d'incertitude de Heisenberg. Cependant, de nombreux scientifiques éminents - mathématiciens et philosophes - incluent la théorie de Gödel parmi les plus grandes réalisations de la pensée scientifique du siècle dernier. Après tout, si des percées historiques dans le domaine de la physique ont permis à l'esprit humain de comprendre de nouvelles lois de la nature, les travaux de Gödel ont permis de mieux comprendre les principes de fonctionnement de l'esprit humain lui-même et ont eu un impact profond sur la vision du monde et les cultures de notre époque.

Qui est Godel ?

Kurt Godel est né le 28 avril 1906 en Autriche-Hongrie, dans la ville morave de Brno (à l'époque elle s'appelait Brunn). À 18 ans, il entre à l'Université de Vienne, où il étudie d'abord la physique, mais passe aux mathématiques deux ans plus tard. On sait qu'un tel changement dans les intérêts scientifiques s'est produit en grande partie sous l'influence du livre de Bertrand Russell "Introduction à la philosophie des mathématiques". Une autre source qui a eu un impact significatif sur la formation de Gödel en tant que scientifique a été sa participation aux travaux du Cercle de Vienne. Sous ce nom, un ensemble de scientifiques brillants - mathématiciens, logiciens, philosophes, qui se sont régulièrement rencontrés à Vienne de la fin des années 1920 au milieu des années 1930 - sont entrés dans l'histoire des sciences. le siècle dernier. À différentes époques, des scientifiques tels que Rudolf Carnap, Otto Neurath, Herbert Feigl, Moritz Schlick ont participé aux travaux du Cercle de Vienne. La formation du positivisme philosophique est associée à leurs activités. Mais en fait, le thème du cercle couvrait la compréhension du lieu commun des connaissances scientifiques dans la connaissance de la nature et de la société. Plusieurs conférences internationales organisées dans divers centres scientifiques européens permettent de parler du rôle éminent joué par le Cercle de Vienne dans le développement des connaissances scientifiques fondamentales du XXe siècle. Kurt Gödel a participé à presque toutes les réunions « du jeudi » du cercle et aux conférences internationales qu'il a organisées. L'activité du cercle en Autriche a été interrompue en 1936 lorsque son chef Moritz Schlick a été tué par un étudiant nazi sur les marches de l'Université de Vienne. La plupart des membres du cercle ont émigré aux États-Unis. Kurt Gödel s'y est également installé. Au fil du temps, il a obtenu la citoyenneté américaine, a travaillé à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Dans la même ville, il est mort en 1978. Tel était le contour extérieur de sa vie. Amis et collègues de travail se souvenaient de lui comme d'une personne fermée, douloureusement vulnérable, détachée du monde extérieur, complètement plongée dans ses pensées.

Le fait que la compréhension logique du monde occupe la place principale dans la vie d'un scientifique est attesté par un détail curieux de sa biographie. En 1948, lorsque fut décidée la question de l'obtention de la citoyenneté américaine, Gödel dut passer, conformément à la procédure admise, une sorte d'examen oral sur les bases de la constitution américaine. Abordant la question avec toute la conscience scientifique, il a soigneusement étudié le document et est arrivé à la conclusion qu'une dictature peut être établie légalement aux États-Unis, sans violer la constitution. Une telle découverte faillit lui coûter un échec aux épreuves lorsqu'il entra en discussion avec le fonctionnaire qui prit le décalage, qui, bien sûr, considérait la loi fondamentale de son État comme la plus grande réussite de la pensée politique. Des amis, parmi lesquels Albert Einstein, qui a agi comme l'un des deux garants de Gödel lorsqu'il a reçu la citoyenneté, l'ont persuadé de reporter le développement de son argumentation, au moins jusqu'à ce que le serment soit prêté. Plus tard, l'histoire reçut un curieux épilogue : un quart de siècle plus tard, un autre Américain, Kenneth Arrow, reçut le prix Nobel pour avoir prouvé de manière générale l'affirmation à laquelle Gödel était arrivé en étudiant la constitution américaine.

Qu'est-ce que Gödel a prouvé ?

Avant de procéder à la présentation du théorème qui a immortalisé le nom de Gödel, il est nécessaire de parler au moins brièvement des problèmes auxquels les mathématiques ont été confrontées à la fin des années 20 du siècle dernier, plus précisément de sa section, qui s'est démarquée au tournant des XIXe et XXe siècles. et appelé les "fondements des mathématiques".

Mais d'abord, il vaut peut-être la peine de s'attarder sur le cours de géométrie de l'école, qui répète encore largement les éléments d'Euclide, écrits il y a plus de 2 000 ans. Dans les manuels traditionnels, on donne d'abord quelques affirmations (axiomes) sur les propriétés des points et des lignes dans le plan, à partir desquelles, par construction logique conformément aux règles de la logique "aristotélicienne", la validité de divers faits géométriques importants et utiles (théorèmes) est déduite. Par exemple, l'un des axiomes énonce qu'une et une seule droite passe par deux points, un autre énoncé - le fameux cinquième postulat a, que Lobachevsky a abandonné dans sa géométrie non euclidienne - concerne les droites parallèles, etc. La vérité des axiomes est acceptée comme une évidence et ne nécessite pas de preuve. Le mérite du géomètre grec est d'avoir tenté de présenter toute la science de l'agencement spatial des figures comme un ensemble de conséquences découlant de quelques dispositions fondamentales.

A la fin du XIXe siècle, toutes les lacunes des "Principes" euclidiens (du point de vue des exigences accrues des mathématiciens sur la rigueur et l'exactitude de leur raisonnement) étaient comblées. Le résultat des dernières recherches a été le livre du mathématicien allemand David Hilbert "Fundamentals of Geometry".

Le succès de la technique d'Euclide a incité les scientifiques à étendre ses principes à d'autres branches des mathématiques. Après la géométrie, c'est au tour de l'arithmétique. En 1889, le mathématicien italien Giuseppe Peano a formulé pour la première fois les axiomes de l'arithmétique, qui semblaient ridiculement évidents (il y a un zéro ; chaque nombre est suivi d'un autre nombre, etc.), mais qui sont en fait absolument exhaustifs. Ils ont joué le même rôle que les postulats du grand grec en géométrie. À partir de telles déclarations, à l'aide d'un raisonnement logique, il a été possible d'obtenir les théorèmes arithmétiques de base.

A la même époque, le mathématicien allemand Gottlieb Frege pose un problème encore plus ambitieux. Il proposait non seulement d'affirmer axiomatiquement les propriétés fondamentales des objets étudiés, mais aussi de formaliser et de codifier les méthodes de raisonnement elles-mêmes, ce qui permettait d'écrire tout raisonnement mathématique selon certaines règles sous la forme d'une chaîne de symboles. Frege a publié ses résultats dans Fundamental Laws of Arithmetic , dont le premier volume a été publié en 1893, et le second a nécessité encore dix ans de travail acharné et n'a été entièrement achevé qu'en 1902.

L'une des histoires les plus dramatiques du développement de la science des nombres est peut-être associée au nom et à la recherche scientifique de Frege. Alors que le deuxième volume était déjà imprimé, le scientifique reçut une lettre du jeune mathématicien anglais Bertrand Russell. Félicitant son collègue pour les résultats exceptionnels, Russell a néanmoins souligné une circonstance qui avait passé l'attention de l'auteur. La "circonstance" insidieuse était le "paradoxe de Russell", qui devint plus tard largement connu, qui était la question : l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas leurs éléments sera-t-il leur élément ? Frege n'a pas été en mesure de résoudre l'énigme immédiatement. Il n'a eu d'autre choix que d'ajouter des mots amers dans la postface du volume 2 épuisé de son livre : « Rien ne peut être plus indésirable pour un scientifique que de constater que les fondations d'un travail à peine achevé se sont effondrées. La lettre que j'ai reçue de Bertrand Russell m'a mis dans une telle position ... "Le mathématicien en détresse a pris un congé académique de son université, a dépensé beaucoup d'énergie pour essayer de corriger sa théorie, mais tout était en vain. Il a vécu plus de vingt ans, mais n'a pas écrit un autre ouvrage sur l'arithmétique.

Cependant, Russell a réussi à dériver une variante du système formel qui couvrirait toutes les mathématiques et serait exempte de tous les paradoxes connus à cette époque, en s'appuyant spécifiquement sur les idées et les travaux de Frege. Son résultat, publié en 1902 dans le livre Principia Mathematica(écrit conjointement avec Alfred North Whitehead) est effectivement devenu une axiomisation de la logique, et David Hilbert a estimé qu'il "peut être considéré comme le couronnement de tous les efforts pour axiomiser la science".

Il y avait une autre raison à un tel intérêt des mathématiciens pour les fondements de leur discipline. Le fait est qu'au tournant des XIXe et XXe siècles, des contradictions ont été découvertes dans la théorie des ensembles, pour lesquelles l'euphémisme « paradoxes de la théorie des ensembles » a été inventé. Le plus célèbre d'entre eux - le fameux paradoxe de Russell - n'était, hélas, pas le seul. De plus, pour la plupart des scientifiques, il était évident que la découverte de nouvelles bizarreries ne serait pas le cas. Leur apparition eut un « effet catastrophique » sur le monde mathématique, selon les mots de Hilbert, puisque la théorie des ensembles joua le rôle de fondation sur laquelle fut érigé tout l'édifice de la science des nombres. « Face à ces paradoxes, force est d'admettre que la situation dans laquelle nous nous trouvons actuellement est insupportable pour longtemps. Pensez : en mathématiques - ce modèle de fiabilité et de vérité - les concepts et les inférences, comme quiconque les étudie, les enseigne et les applique, conduisent à des absurdités. Où donc chercher la fiabilité et la vérité, si même la pensée mathématique elle-même ne ratait pas son coup ? », se lamentait Hilbert dans son rapport au congrès des mathématiciens de juin 1925.

Ainsi, pour la première fois depuis trois millénaires, des mathématiciens ont failli étudier les fondements les plus profonds de leur discipline. Un curieux tableau se dessine : les amoureux des chiffres ont appris à expliquer clairement selon quelles règles ils conduisent leurs calculs, ils n'ont qu'à prouver la « légalité » des motifs qu'ils acceptent pour lever les doutes générés par les malheureux paradoxes. Et dans la première moitié des années 1920, le grand Hilbert, autour duquel une école de brillants adeptes s'était alors développée, esquissa dans toute une série d'ouvrages un plan de recherche dans le domaine des fondements des mathématiques, qui devint plus tard connu sous le nom de "Programme de Göttingen". Sous sa forme la plus simplifiée, on peut l'énoncer comme suit : les mathématiques peuvent être représentées comme un ensemble de conséquences dérivées d'un système d'axiomes, et on peut prouver que :

Les mathématiques sont complètes, c'est-à-dire tout énoncé mathématique peut être prouvé ou réfuté sur la base des règles de la discipline elle-même.
Les mathématiques sont cohérentes, c'est-à-dire il est impossible de prouver et en même temps de réfuter une affirmation sans violer les règles de raisonnement acceptées.
Les mathématiques sont décidables, c'est-à-dire qu'en utilisant les règles, on peut savoir pour tout énoncé mathématique s'il est démontrable ou réfutable.

En fait, le programme de Hilbert cherchait à développer une procédure générale pour répondre à toutes les questions mathématiques, ou du moins en prouver l'existence. Le scientifique lui-même était confiant dans la réponse affirmative aux trois questions qu'il a formulées: à son avis, les mathématiques étaient en effet complètes, cohérentes et solubles. Il ne restait plus qu'à le prouver.

De plus, Hilbert croyait que la méthode axiomatique pourrait devenir la base non seulement des mathématiques, mais de la science dans son ensemble. En 1930, dans l'article "Cognition de la nature et de la logique", il écrit : "... même dans les domaines de connaissance les plus étendus dans leur domaine, il existe souvent un assez petit nombre de propositions initiales, généralement appelées axiomes, sur lesquelles s'édifie ensuite de manière purement logique tout l'édifice de la théorie considérée."

Quelles seraient les conséquences du succès de Hilbert et de son école pour le développement ultérieur de la science ? Si, comme il le croyait, toutes les mathématiques (et la science en général) étaient réduites à un système d'axiomes, alors elles pourraient être introduites dans un ordinateur capable de justifier n'importe quel énoncé (c'est-à-dire de prouver une théorie) suivant les énoncés originaux selon un programme suivant des règles logiques générales.

Si la théorie de Hilbert se réalisait, les superordinateurs fonctionnant 24 heures sur 24 prouveraient continuellement de plus en plus de nouveaux théorèmes, les publiant sur d'innombrables sites Web. Après les mathématiques, « l'ère axiomatique » viendrait en physique, en chimie, en biologie et, enfin, viendrait le tour de la science de la conscience humaine. D'accord, le monde qui nous entoure, et nous-mêmes, serions quelque peu différents dans un tel cas.

Cependant, "l'axiom atisation universelle" n'a pas eu lieu. Tout le programme super ambitieux, grandiose, sur lequel les plus grands mathématiciens du monde ont travaillé pendant plusieurs décennies, a été réfuté par un seul théorème. Son auteur était Kurt Godel, qui avait alors à peine 25 ans.

En 1930, lors d'une conférence organisée par le "Cercle de Vienne" à Koenigsberg, il fait un rapport "Sur la complétude du calcul logique", et au début de l'année suivante il publie un article "Sur les positions fondamentalement insolubles dans le système Principia Mathematica et les systèmes associés. Le point central de son travail était la formulation et la preuve d'un théorème qui a joué un rôle fondamental dans tout le développement ultérieur des mathématiques, et pas seulement. Nous parlons de la fameuse théorie de l'incomplétude de Gödel. Sa formulation la plus courante, bien que pas tout à fait rigoureuse, stipule que "pour tout système cohérent d'axiomes, il existe un énoncé qui, dans le cadre du système axiomatique accepté, ne peut être ni prouvé ni réfuté". Gödel a donc donné une réponse négative à la première affirmation formulée par Hilbert.

Curieusement, lors de la même conférence, Werner Heisenberg a fait une présentation sur "La connaissance causale et la mécanique quantique". Dans ce rapport, les premières approches de ses fameuses "relations d'incertitude" ont été esquissées.

Les conclusions de Gödel produisirent l'effet d'une bombe intellectuelle dans la communauté mathématique. D'autant plus que bientôt la réfutation des deux autres points du programme de Hilbert fut obtenue sur leur base. Il s'est avéré que les mathématiques sont incomplètes, indécidables et que leur cohérence ne peut être prouvée (dans le cadre même du système dont la cohérence est prouvée).

Théorème de Godel

Trois quarts de siècle se sont écoulés depuis lors, mais le débat sur ce que Gödel a réellement prouvé ne se calme pas. Des débats particulièrement houleux se déroulent dans les milieux quasi scientifiques. « Le théorème d'incomplétude de Gödel est vraiment unique. On y fait référence chaque fois qu'ils veulent prouver «tout dans le monde» - de la présence de dieux à l'absence de raison », écrit le remarquable mathématicien moderne V. A. Uspensky.

Laissant de côté de nombreuses spéculations de ce type, il convient de noter que les scientifiques sont divisés en deux groupes pour évaluer le rôle de Gödel. Certains, à la suite de Russell, pensent que le célèbre théorème, qui a formé la base de la logique mathématique moderne, a néanmoins eu un impact très insignifiant sur les travaux ultérieurs en dehors de cette discipline - les mathématiciens, comme ils ont prouvé leurs théorèmes à l'époque "pré-Goedel", continuent de les prouver à ce jour.

Quant à la vision fantasmagorique d'ordinateurs prouvant continuellement de nouvelles théories, le sens d'une telle activité est hautement douteux pour de nombreux spécialistes. En effet, pour les mathématiques, non seulement la formulation du théorème démontré est importante, mais aussi sa compréhension, puisque c'est précisément cela qui permet de révéler le lien entre divers objets et de comprendre dans quelle direction on peut aller plus loin. Sans une telle compréhension, les théorèmes générés sur la base de règles d'inférence formalisées ne sont qu'une sorte de «spam mathématique», - c'est l'avis d'Alexander Shen, membre du Département de logique mathématique et de théorie des algorithmes de la mécanique et des mathématiques de l'Université d'État de Moscou.

Gödel lui-même raisonnait de la même manière. A ceux qui lui reprochaient de détruire l'intégrité des fondements des mathématiques, il répondait qu'au fond rien n'avait changé, que les fondements restaient inébranlables, et que son théorème ne conduisait qu'à réévaluer le rôle de l'intuition et de l'initiative personnelle dans ce domaine de la science, régi par les lois d'airain de la logique, laissant, semble-t-il, peu de place à de telles vertus.

Cependant, certains savants ont une opinion différente. En effet, si l'on considère la capacité de raisonner logiquement comme la principale caractéristique de l'esprit humain, ou du moins son principal outil, alors le théorème de Gödel pointe directement vers les limites de notre cerveau. Convenez qu'il est très difficile pour une personne élevée dans la croyance au pouvoir infini de la pensée d'accepter la thèse sur les limites de son pouvoir.

Nous pouvons plutôt parler des limites de nos idées sur nos propres capacités mentales. De nombreux experts pensent que les processus informatiques formels "aristotéliciens" qui sous-tendent la pensée logique ne constituent qu'une partie de la conscience humaine. Son autre domaine, fondamentalement "non informatique", est responsable de manifestations telles que l'intuition, les idées créatives et la compréhension. Et si la première moitié de l'esprit tombe sous les restrictions de Gödel, alors la seconde est libre de tels cadres.

Le partisan le plus constant de ce point de vue - le plus grand spécialiste dans le domaine des mathématiques et de la physique théorique Roger Penrose - est allé encore plus loin. Il a suggéré l'existence de certains effets quantiques non computationnels qui assurent la réalisation d'actes créatifs de conscience. Et bien que nombre de ses collègues critiquent l'idée de doter le cerveau humain d'hypothétiques mécanismes quantiques, Penrose et ses collaborateurs ont déjà mis au point un dispositif expérimental qui, selon eux, devrait confirmer leur existence.

L'une des nombreuses conséquences de l'hypothèse de Penrose pourrait être, en particulier, la conclusion qu'il est fondamentalement impossible de créer une intelligence artificielle basée sur des dispositifs informatiques modernes, même si l'avènement des ordinateurs quantiques conduit à une percée grandiose dans le domaine de la technologie informatique. Le fait est que tout ordinateur ne peut que modéliser de plus en plus en détail le travail de l'activité formelle-logique « informatique » de la conscience humaine, mais les capacités « non informatiques » de l'intellect lui sont inaccessibles.

Ce n'est qu'une petite partie des disputes naturalo-scientifiques et philosophiques causées par le théorème mathématique du jeune Gödel publié il y a 75 ans. Avec d'autres grands contemporains, il a amené une personne à porter un regard différent sur le monde qui l'entoure et sur elle-même. Les plus grandes découvertes du premier tiers du XXe siècle, dont le théorème de Godel, ainsi que la création de la théorie de la relativité et de la théorie quantique, ont montré les limites de l'image mécaniste-déterministe de la nature, créée sur la base des recherches scientifiques des deux siècles précédents. Il s'est avéré que les modes de développement de l'univers et les impératifs moraux sont soumis à des lois fondamentalement différentes, où il y a à la fois complexité inamovible, incertitude, hasard et irréversibilité.

Cependant, les conséquences de la grande révolution scientifique ne se limitent pas à celles déjà évoquées. Au début du XXe siècle, les idées du déterminisme laplacien-newtonien ont eu un impact énorme sur le développement des sciences sociales. À la suite des sommités des sciences naturelles classiques, qui représentaient la nature comme une structure mécanique rigide, où tous les éléments obéissent à des lois strictes et où l'avenir peut être prédit sans équivoque si l'état actuel est connu, les prêtres des sciences sociales ont dessiné une société humaine, soumise à des lois immuables et se développant dans une direction prédéterminée. L'une des dernières tentatives pour préserver une telle image du monde était, apparemment, le marxisme-léninisme, attaché au concept de "la seule véritable doctrine scientifique", dont une partie intégrante était la "compréhension matérialiste de l'histoire". Qu'il suffise de rappeler l'idée de Lénine de construire une société socialiste sur le modèle d'une "grande usine".

Peu à peu, avec beaucoup de difficulté, les idées de complexité, d'aléatoire, d'incertitude, établies dans l'image de l'univers des sciences naturelles, ont commencé à pénétrer dans les sciences sociales et humaines. Dans la société, l'incertitude se réalise à travers le phénomène de la liberté personnelle de l'individu. C'est la présence dans la nature de l'homme en tant que sujet faisant un choix libre et imprévisible qui rend le processus historique complexe et non soumis aux lois immuables du développement universel.

Cependant, il est impossible de ne pas remarquer que l'acquisition d'une nouvelle image du monde complexe dans notre pays s'est déroulée avec beaucoup de difficulté. L'idéologie qui a dominé pendant sept décennies gravitait autour du déterminisme de type laplacien en tant que philosophie de l'ordre autoritaire universel. C'est ce principe de prédestination qui sous-tend le rêve, qui n'a jamais quitté la bureaucratie soviétique dirigeante, d'une société-usine régie par les lois strictes de la hiérarchie. Et donc, dès qu'il s'agit de complexité, de pluralisme, de diversité, qu'il s'agisse de la théorie de la relativité, de la mécanique quantique, de la génétique, de la cybernétique, de la recherche sociologique, de la psychanalyse, etc., le mécanisme de la censure idéologique s'enclenche immédiatement, qui vise à expulser de la nature comme de la société toute référence à la liberté. Hélas, l'héritage inerte domine encore l'esprit de beaucoup de nos compatriotes et contemporains comme une ombre sombre. En témoigne la recherche douloureuse initiée par les autorités d'une nouvelle « idéologie nationale » qui pourrait prendre la place laissée vacante par la mort de la doctrine communiste.

Alors Kurt Gödel et ses grands contemporains nous ont obligés à porter un nouveau regard sur "le ciel étoilé au-dessus de nos têtes, et sur la loi morale en nous", et sur la société dans laquelle nous vivons.

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