Definicija antiderivacije i neodređenog integrala. Antiderivacija i neodređeni integral, svojstva

Definicija antiderivacijske funkcije

Funkcija y=F(x) naziva se antiderivacija funkcije y=f(x) u zadanom intervalu X, ako za svakoga x ∈x jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

f izvod funkcije F
F antiderivacija funkcije f

Svojstvo antiderivata

Ako F(x)- antiderivacija funkcije f(x) na zadanom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivacija, a sve te antiderivacije možemo napisati u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

Grafovi svih antiderivacija zadane funkcije f(x) dobivaju se iz grafa bilo koje antiderivacije paralelnim translacijama duž O osi na.

Pravila za izračunavanje antiderivacija

Antiderivacija zbroja jednaka je zbroju antiderivacija. Ako F(x)- antiderivat za f(x), a G(x) je antiderivacija za g(x), To F(x) + G(x)- antiderivat za f(x) + g(x).
Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije. Ako F(x)- antiderivat za f(x), I k- konstantno, dakle k·F(x)- antiderivat za k f(x).
Ako F(x)- antiderivat za f(x), I k, b- konstantno, i k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- antiderivat za f(kx + b).

Zapamtiti!

Bilo koja funkcija F(x) = x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivacija za funkciju f(x) = 2x.

Na primjer:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Odnos između grafova funkcije i njezine antiderivacije:

Ako graf funkcije f(x)>0 na intervalu, zatim graf njegove antiderivacije F(x) povećava u ovom intervalu.
Ako graf funkcije f(x) na intervalu, zatim graf njegove antiderivacije F(x) smanjuje u ovom intervalu.
Ako f(x)=0, zatim graf njegove antiderivacije F(x) u ovoj točki mijenja se od povećanja do pada (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivacije koristi se znak neodređenog integrala, odnosno integrala bez naznake granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivacija zadane funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- zove se funkcija integranda;
f(x) dx- naziva se integrand;
x- naziva se varijabla integracije;
F(x)- jedna od antiderivacija funkcije f(x);
S- proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Konstantni faktor integranda može se uzeti iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Integral zbroja (razlike) funkcija jednak je zbroju (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Ako k, b su konstante, a k ≠ 0, tada \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tablica antiderivacija i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	Antiderivacija F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac (1) (x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac (a^x) (l na) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \ cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac (1) (\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac (1) (\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (x))	F(x) =2\sqrt (x) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x) (a) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac (1) (1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju F njegov proizvoljni antiderivat.

\int_ (a) ^ (b) f(x) dx =F(x)|_ (a) ^ (b)= F(b) - F(a)

Gdje F(x)- antiderivat za f(x)

Odnosno, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivacija u točkama b I a.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivolinijski trapez je lik omeđen grafom funkcije koja je nenegativna i kontinuirana na intervalu f, Ox os i ravne linije x = a I x = b.

Površina zakrivljenog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_ (a) ^ (b) f(x) dx

Glavni zadatak diferencijalnog računa je pronaći diferencijal zadane funkcije ili njezine derivacije. Integralni račun rješava inverzni problem: zadan je diferencijal i, prema tome, derivacija nepoznate funkcije F(x), morate definirati ovu funkciju. Drugim riječima, imati izraz

odnosno prema tome

Gdje f(x)– poznata funkcija, potrebno je pronaći funkciju F(x). Potrebna funkcija F(x) to se zove antiderivativna funkcija u odnosu na funkciju f(x). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da jednakost (1) vrijedi na nekom konačnom ili beskonačnom intervalu.

Definicija: Antiderivativna funkcija za zadanu funkciju f(x) na zadanom intervalu poziva se takva funkcija F(x),čija je derivacija jednaka f(x) ili čiji je diferencijal jednak f(x)dx na intervalu koji se razmatra.

Na primjer, jedna od antiderivacijskih funkcija za funkciju bit će, jer . Antiderivativna funkcija nije jedinstvena, jer itd., a prema tome i funkcije i tako dalje. također su antiderivati za funkciju. Posljedično, ova funkcija ima beskonačan broj antiderivacija.

U našem primjeru svaka dva antiderivata međusobno su se razlikovala određenim konstantnim članom. Pokažimo da će se to dogoditi iu općem slučaju.

Teorema: Dvije različite antiderivacije iste funkcije definirane na određenom intervalu razlikuju se jedna od druge na tom intervalu konstantnim članom.

Dokaz: Zapravo, neka f(x)– neka funkcija definirana na intervalu , I F 1 (x), F 2 (x)– njegove primitive, tj.

I .

Odavde .

y=F 1 (x)

y=F 2 (x)

F 1 (x)

F2(x)

M 2

M 1

Riža. 1.

Ali ako dvije funkcije imaju iste derivacije, tada se te funkcije međusobno razlikuju po konstantnom članu. Stoga,

F 1 (x) - F 2 (x) = C,

Gdje S– konstantna vrijednost. Teorem je dokazan.

Razmotrimo geometrijsku ilustraciju. Ako y = F 1 (x) i Y = F 2 (x)

Antiderivati iste funkcije f(x), zatim tangente na njihove grafove u točkama sa zajedničkom apscisom x međusobno paralelne (slika 1):

tgα = = f(x).

U ovom slučaju, udaljenost između ovih krivulja duž osi OU ostaje konstantan: F 2 (x) – F 1 (x) = C, oni. ove krivulje su u određenom smislu "paralelne" jedna s drugom.

Posljedica: Dodavanje bilo kojoj antiderivativnoj funkciji f(x), definiran na intervalu , sve moguće konstante S, dobit ćemo sve antiderivacije za funkciju f(x).

Zapravo, ako F(x) postoji antiderivativna funkcija za f(x), zatim funkcija F(x)+C, Gdje S- svaka konstanta će također biti antiderivacija funkcije f(x), jer .

S druge strane, dokazali smo da svaka antiderivacija funkcije f(x) može se dobiti iz funkcije F(x) dodavanjem pravilno odabranog stalnog člana S.

Stoga se izraz F(x) + C, Gdje , (2)

Gdje F(x)– bilo koja antiderivacija za funkciju f(x), iscrpljuje cijeli skup antiderivacija za datu funkciju f(x).

U nastavku ćemo pretpostaviti, osim ako nije drugačije izričito navedeno, da funkcija koja se razmatra f(x) definirana i kontinuirana na nekom konačnom ili beskonačnom intervalu .

Uvedimo sada osnovni koncept integralnog računa - koncept neodređenog integrala.

Definicija: Opći izraz za sve antiderivacije dane kontinuirane funkcije f(x) nazivamo neodređenim integralom funkcije f(x) ili iz diferencijalnog izraza f(x)dx a označen je simbolom .

U ovom slučaju funkcija f(x) naziva se integrand, a izraz f(x)dx naziva se integrand.

Prema definiciji neodređenog integrala možemo pisati

, (3)

C 4

C 3

C 2

C 1

Riža. 2.

Gdje

, konstantno S može uzeti bilo koju vrijednost i stoga se naziva proizvoljna konstanta.

Primjer. Kao što smo vidjeli, za funkciju je jedna od antiderivacija funkcija. Zato .

Geometrijski neodređeni integral y=F(x)+C predstavlja obitelj "paralelnih" krivulja (slika 2).

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je inverzna radnja diferencijacije, naime vraćanje funkcije iz poznate derivacije te funkcije. Funkcija je tako obnovljena F(x) Zove se antiderivativan za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) na nekom intervalu x, ako je za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), odnosno ovu funkciju f(x) je derivacija antiderivacijske funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat funkcije f(x) = cos x na cijelom brojevnom pravcu, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju koristi se notacija

∫

f(x)dx

gdje je znak ∫ naziva integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – izraz integranda.

Dakle, ako F(x) – neki antiderivat za f(x) , To

∫

f(x)dx = F(x) +C

Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Za razumijevanje značenja skupa antiderivacija funkcije kao neodređenog integrala prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova je funkcija "biti vrata". Od čega su napravljena vrata? Napravljeno od drveta. To znači da je skup antiderivacija integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata izrađena od drva pomoću nekih alata, derivat funkcije je "napravljen" od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili proučavajući izvod .

Zatim je tablica funkcija uobičajenih predmeta i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti žlica" - "biti metal", itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti navedeni u nastavku. U tablici neodređenih integrala navedene su uobičajene funkcije s naznakom antiderivacija od kojih su te funkcije “napravljene”. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dani su integranti koji se mogu integrirati izravno bez većeg napora, odnosno pomoću tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati kako bi se mogli koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Kada obnavljamo funkciju kao antiderivaciju, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a kako ne biste pisali popis antiderivacija s raznim konstantama od 1 do beskonačno, trebate napisati skup antiderivacija s proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivacije, budući da antiderivacija može biti funkcija, npr. 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.

Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).

Primjer 1. Pronađite skup antiderivacija funkcije

Riješenje. Za ovu funkciju antiderivacija je funkcija

Funkcija F(x) naziva se antiderivacija za funkciju f(x), ako je derivat F(x) jednako je f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Dakle, funkcija je antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije

Gdje S– proizvoljna konstanta. To se može provjeriti diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedna antiderivacija za funkciju, tada za nju postoji beskonačan broj antiderivacija koje se razlikuju po konstantnom članu. Sve antiderivacije za funkciju napisane su u gornjem obliku. To slijedi iz sljedećeg teorema.

Teorem (formalna izjava činjenice 2). Ako F(x) – antiderivacija za funkciju f(x) na nekom intervalu x, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu mogu se prikazati u obliku F(x) + C, Gdje S– proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala koja će biti dana u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije čitanja cijele tablice kako bi bila jasna suština navedenog. A nakon tablice i svojstava, koristit ćemo ih u cijelosti tijekom integracije.

Primjer 2. Pronađite skupove antiderivacijskih funkcija:

Riješenje. Pronalazimo skupove antiderivacijskih funkcija od kojih su te funkcije “napravljene”. Kad spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo malo dalje proučiti.

1) Primjenom formule (7) iz tablice integrala za n= 3, dobivamo

2) Koristeći formulu (10) iz tablice integrala za n= 1/3, imamo

3) Budući da

tada prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo

Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija. f, a njegov umnožak s diferencijalom dx. Ovo je prvenstveno učinjeno kako bi se pokazalo po kojoj se varijabli traži antiderivacija. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali se njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima pokazuju različitima. U prvom slučaju ova se funkcija smatra funkcijom varijable x, au drugom - kao funkcija z .

Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integriranje te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Pretpostavimo da trebamo pronaći krivulju y=F(x) a već znamo da je tangens tangentnog kuta u svakoj njegovoj točki zadana funkcija f(x) apscisa ove točke.

Prema geometrijskom značenju izvoda, tangens kuta nagiba tangente u danoj točki krivulje y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uvjete problema ne zadovoljava jedna krivulja, već porodica krivulja. y=F(x)- jedna od tih krivulja, a iz nje se paralelnom translacijom duž osi može dobiti bilo koja druga krivulja Joj.

Nazovimo graf antiderivacijske funkcije od f(x) integralna krivulja. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna krivulja.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen skupom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krivulje od ishodišta koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorem 1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu, a njegov diferencijal jednak je integrandu.

Činjenica 5. Teorem 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednaka je funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoremi 1 i 2 pokazuju da su diferenciranje i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorem 3. Konstantni faktor u integrandu može se skinuti s predznaka neodređenog integrala , tj.

Prikazan je pregled metoda za izračunavanje neodređenih integrala. Razmatraju se glavne metode integracije koje uključuju integraciju zbroja i razlike, stavljanje konstante izvan predznaka integrala, zamjenu varijable i integraciju po dijelovima. Također se raspravlja o posebnim metodama i tehnikama integriranja razlomaka, korijena, trigonometrijskih i eksponencijalnih funkcija.

Sadržaj

Pravilo za integriranje zbroja (razlike)

Pomicanje konstante izvan predznaka integrala

Neka je c konstanta neovisna o x. Tada se može izvaditi iz predznaka integrala:

Zamjena varijable

Neka je x funkcija varijable t, x = φ(t), tada
.
Ili obrnuto, t = φ(x) ,
.

Koristeći promjenu varijable, ne samo da možete izračunati jednostavne integrale, već i pojednostaviti izračun složenijih.

Pravilo integracije po dijelovima

Integracija razlomaka (racionalne funkcije)

Uvedimo notaciju. Neka P k (x), Q m (x), R n (x) označavaju polinome stupnjeva k, m, n, redom, s obzirom na varijablu x.

Razmotrimo integral koji se sastoji od razlomka polinoma (tzv. racionalna funkcija):

Ako je k ≥ n, tada prvo trebate odabrati cijeli dio razlomka:
.
Integral polinoma S k-n (x) izračunava se pomoću tablice integrala.

Integral ostaje:
, gdje je m< n .
Da bi se izračunao, integrand se mora rastaviti na jednostavne razlomke.

Da biste to učinili, morate pronaći korijene jednadžbe:
Q n (x) = 0 .
Koristeći dobivene korijene, trebate predstaviti nazivnik kao proizvod faktora:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Ovdje je s koeficijent za x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Nakon toga rastavite razlomak u njegov najjednostavniji oblik:

Integriranjem dobivamo izraz koji se sastoji od jednostavnijih integrala.
Integrali oblika

svode se na tabelarnu supstituciju t = x - a.

Razmotrimo integral:

Transformirajmo brojnik:
.
Zamjenom u integrand dobivamo izraz koji uključuje dva integrala:
,
.
Prvi se supstitucijom t = x 2 + ex + f svodi na tablični.
Drugo, prema formuli redukcije:

svodi se na integral

Svedimo njegov nazivnik na zbroj kvadrata:
.
Zatim supstitucijom, integral

je također tabelarno prikazan.

Integracija iracionalnih funkcija

Uvedimo notaciju. Neka R(u 1, u 2, ..., u n) znači racionalnu funkciju varijabli u 1, u 2, ..., u n. To je
,
gdje su P, Q polinomi u varijablama u 1, u 2, ..., u n.

Frakcijska linearna iracionalnost

Razmotrimo integrale oblika:
,
gdje su racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi.
Neka je n zajednički nazivnik brojeva r 1, ..., r s.
Tada se integral supstitucijom reducira na integral racionalnih funkcija:
.

Integrali iz diferencijalnih binoma

Razmotrimo integral:
,
gdje su m, n, p racionalni brojevi, a, b realni brojevi.
Takvi se integrali svode na integrale racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) Ako je p cijeli broj. Supstitucija x = t N, gdje je N zajednički nazivnik razlomaka m i n.
2) Ako - cijeli broj. Zamjena a x n + b = t M, gdje je M nazivnik broja p.
3) Ako - cijeli broj. Zamjena a + b x - n = t M, gdje je M nazivnik broja p.

Ako niti jedan od tri broja nije cijeli broj, tada se, prema Čebiševljevom teoremu, integrali ovog tipa ne mogu izraziti konačnom kombinacijom elementarnih funkcija.

U nekim slučajevima, prvo je korisno reducirati integral na prikladnije vrijednosti m i p. To se može učiniti pomoću formula redukcije:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnog trinoma

Ovdje razmatramo integrale oblika:
,

Eulerove zamjene

Takvi se integrali mogu svesti na integrale racionalnih funkcija jedne od tri Eulerove supstitucije:
, za a > 0;
, za c > 0 ;
, gdje je x 1 korijen jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Ako ova jednadžba ima realne korijene.

Trigonometrijske i hiperboličke supstitucije

Izravne metode

U većini slučajeva Eulerove supstitucije rezultiraju dužim izračunima od izravnih metoda. Koristeći izravne metode, integral se svodi na jedan od dolje navedenih oblika.

Tip I

Integral oblika:
,
gdje je P n (x) polinom stupnja n.

Takvi se integrali nalaze metodom neodređenih koeficijenata pomoću identiteta:

Diferenciranjem ove jednadžbe i izjednačavanjem lijeve i desne strane nalazimo koeficijente A i.

Vrsta II

Integral oblika:
,
gdje je P m (x) polinom m stupnja.

Zamjena t = (x - α) -1 ovaj integral se svodi na prethodni tip. Ako je m ≥ n, tada razlomak treba imati cjelobrojni dio.

III vrsta

Treći i najsloženiji tip:
.

Ovdje morate izvršiti zamjenu:
.
Nakon čega će integral poprimiti oblik:
.
Zatim, konstante α, β moraju biti odabrane tako da koeficijenti za t postanu nula:
B = 0, B 1 = 0.
Tada se integral rastavlja u zbir integrala dva tipa:
;
,
koji su integrirani, redom, supstitucijama:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Opći slučaj

Integracija transcendentalnih (trigonometrijskih i eksponencijalnih) funkcija

Napomenimo unaprijed da su metode koje su primjenjive za trigonometrijske funkcije primjenjive i za hiperboličke funkcije. Iz tog razloga nećemo zasebno razmatrati integraciju hiperboličkih funkcija.

Integracija racionalnih trigonometrijskih funkcija cos x i sin x

Razmotrimo integrale trigonometrijskih funkcija oblika:
,
gdje je R racionalna funkcija. Ovo također može uključivati tangente i kotangense, koje treba pretvoriti pomoću sinusa i kosinusa.

Kada integrirate takve funkcije, korisno je imati na umu tri pravila:
1) ako je R( cos x, sin x) pomnoženo s -1 od promjene predznaka ispred jedne od veličina cos x ili grijeh x, onda je korisno drugu od njih označiti s t.
2) ako je R( cos x, sin x) ne mijenja zbog promjene predznaka u isto vrijeme prije cos x I grijeh x, onda je korisno staviti tg x = t ili krevetić x = t.
3) supstitucija u svim slučajevima dovodi do integrala racionalnog razlomka. Nažalost, ova zamjena rezultira dužim izračunima od prethodnih, ako je primjenjivo.

Umnožak funkcija potencije cos x i sin x

Razmotrimo integrale oblika:

Ako su m i n racionalni brojevi, tada je jedna od zamjena t = grijeh x ili t = cos x integral se svodi na integral diferencijalnog binoma.

Ako su m i n cijeli brojevi, tada se integrali računaju integracijom po dijelovima. Ovo proizvodi sljedeće formule redukcije:

;
;
;
.

Integracija po dijelovima

Primjena Eulerove formule

Ako je integrand linearan u odnosu na jednu od funkcija
cos sjekira ili sinaks, tada je zgodno primijeniti Eulerovu formulu:
e iax = cos sjekira + isin sjekira(gdje je i 2 = - 1 ),
zamjenjujući ovu funkciju sa e iax i isticanje pravog (prilikom zamjene cos sjekira) ili zamišljenog dijela (prilikom zamjene sinaks) iz dobivenog rezultata.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka iz više matematike, “Lan”, 2003.

Vidi također:

IKTIB ITA SFU

PREDAVANJE IZ MATEMATIKE

Poglavlje 5 Integralni račun
funkcije jedne varijable

Predavanje 21 Antiderivacija, neodređeni integral

Sažetak predavanja

Antiderivacija i neodređeni integral. Svojstva neodređenog integrala. Integracija tablice. Svojstvo invarijantnosti integracijskih formula. Podnošenje predznaka razlike. Promjena varijable u neodređenom integralu. Integracija po dijelovima. Rastavljanje polinoma na faktore. Rastavljanje pravih racionalnih razlomaka na njihove najjednostavnije razlomke. Integriranje jednostavnih i racionalnih razlomaka. Integracija trigonometrijskih funkcija i neki iracionalni izrazi.

Pojam antiderivacije i neodređenog integrala

Što je integral? Je li istina da je integracija suprotna diferencijaciji? Odgovorimo na ova i druga pitanja.

Definicija 1 . Antiderivacija funkcije je funkcija takva da je .

Dakle, antiderivacija je funkcija čija je derivacija jednaka zadanoj funkciji. Imajte na umu da antiderivacija za danu funkciju nije jednoznačno određena. Na primjer, derivacija funkcije jednaka je funkciji. Dakle, funkcija je antiderivat funkcije. Ali derivacija funkcije također je jednaka funkciji. Prema tome, funkcija je također antiderivacija funkcije, kao i funkcija, gdje je proizvoljna konstanta.

Teorem 1 . (Opći oblik antiderivacija za zadanu funkciju) Neka je funkcija antiderivacija za funkciju . Tada se svaka antiderivacija funkcije prikazuje u obliku , gdje je proizvoljna konstanta. I obrnuto, jer je svaka funkcija antiderivacija funkcije .

Dokaz . Drugi dio teorema je očit, jer očito . Sada je dovoljno dokazati da ako su derivacije dviju funkcija jednake, onda se te funkcije razlikuju za konstantu. Naime, dovoljno je dokazati da ako je derivacija funkcije (razlika spomenutih funkcija) jednaka 0, onda je to derivacija konstante. Ali ovo je istina. Uzmimo bilo koje dvije točke. Razlika između vrijednosti funkcije u tim točkama prema Lagrangeovoj formuli konačnog prirasta jednaka je derivaciji u nekoj međutočki pomnoženoj s razlikom u argumentima ( ). Ali derivacija je svugdje jednaka 0, stoga je prirast funkcije uvijek jednak 0, tj. funkcija je jednaka konstanti. Teorem je dokazan.

Definicija 2 . Skup svih antiderivacija za funkciju naziva se neodređeni integral funkcije i označava se simbolom .

Dakle, doista, računanje neodređenog integrala znači raditi suprotno od izračuna derivacije. Uz to, uzimajući u obzir teorem 1, vrijedi formula za izračunavanje neodređenog integrala , (1) gdje je jedna od antiderivacija za funkciju, koja se naziva sub s integralna funkcija.

Već znamo da izvod funkcije ima brojne primjene. U primjenama je, naravno, riječ o značenju izvedenica u pojedinim točkama, odnosno o brojevima. Imajte na umu da je neodređeni integral skup funkcija. Stoga je izravna primjena neodređenog integrala vrlo ograničena. U primjenama postoje i druge vrste integrala, gdje je rezultat broj, a tehnički se izračun svodi na pronalaženje antiderivacijske funkcije. Stoga je vrlo važno naučiti izračunati neodređeni integral.

1. Iz kojih se funkcija može izračunati
neodređeni integral

Znamo da derivaciju bilo koje elementarne funkcije možemo izračunati pomoću tablice derivacija osnovnih elementarnih funkcija i pravila za izračunavanje derivacija (derivacije zbroja, razlike, umnoška, kvocijenta, složene funkcije).

Odavde možete napisati tablicu antiderivata čitajući tablicu derivata s desna na lijevo. Također je moguće formulirati pravila koja odgovaraju pravilima za izračunavanje derivata. Kod zbroja, razlike i oduzimanja numeričkog skupa pravila diferenciranja i integracije su identična. No s umnoškom, kvocijentom i izračunom derivacije složene funkcije situacija je kompliciranija. Uostalom, derivat, recimo, proizvoda nije jednak "proizvodu derivata". Stoga tablica antiderivacija i pravila za izračunavanje antiderivacija ne dopuštaju pronaći antiderivaciju bilo koje elementarne funkcije. Postoje takozvani integrali koji se ne mogu uzeti od elementarnih funkcija. Na primjer, čini se da se jednostavni integral ne može izračunati u našem razumijevanju, budući da među elementarnim funkcijama ne postoji funkcija čija je derivacija jednaka . Antiderivacija za kontinuiranu funkciju uvijek postoji, ali u ovom slučaju nije među elementarnim. Takve se funkcije nazivaju posebnima. Mnogi od njih su potrebni u primjenama i posebno se proučavaju.

Dakle, za razliku od izračuna derivacije funkcije, od nas se ne zahtijeva da možemo izračunati neodređeni integral bilo koje elementarne funkcije. Proučavat ćemo određene vrste elementarnih funkcija iz kojih moramo naučiti izračunavati neodređene integrale.

Tablica najjednostavnijih neodređenih integrala

Prisjetimo se tablice derivacija osnovnih elementarnih funkcija:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Na mnoge načine generira tablicu najjednostavnijih neodređenih integrala. Ovdje postoje i drugi integrali. Svi se oni mogu lako provjeriti izračunavanjem derivacije desnih strana.