Решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

  После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

  Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

  В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

  Разбор

  Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

  Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½ , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными! Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

  Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .

  Еще более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и еще одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½ . Гораздо большая вероятность его нахождения, а именно 0.999, будет иметь место при смене решения и выборе двери отобранной из 999. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения ниже, а именно 2 ⁄ 3 .

  Другой способ рассуждения - замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

  Другое поведение ведущего

  Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

  Возможное поведение ведущего
  Поведение ведущего	Результат
  «Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная .	Смена всегда даст козу.
  «Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная .	Смена всегда даст автомобиль.
  «Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля .	Смена даёт выигрыш в ½ случаев. Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» - правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.
  Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.	Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
  Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q =1−p .	Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью 1 1 + p {\displaystyle {\frac {1}{1+p}}} . Если правую - 1 1 + q {\displaystyle {\frac {1}{1+q}}} . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь - независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью 1 + q 3 {\displaystyle {\frac {1+q}{3}}} .
  То же самое, p =q = ½ (классический случай).	Смена даёт выигрыш с вероятностью 2 ⁄ 3 .
  То же самое, p =1, q =0 («бессильный Монти» - усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе).	Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую - вероятность ½ .
  Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае.	Смена даёт выигрыш с вероятностью ½ .
  Общий случай: игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.	Равновесие Нэша : ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2 ⁄ 3 ). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓ ; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
  То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще.	Равновесие Нэша : ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓ .

  См. также

  Примечания

  1. Tierney, John (July 21, 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times , . Проверено 18 января 2008.

  Парадокс Монти Холла - одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Задача формулируется как описание гипотетической игры, основанной на американском телешоу «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространенная формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор? Хотя данная формулировка задачи является наиболее известной, она несколько проблематична, поскольку оставляет некоторые важные условия задачи неопределенными. Ниже приводится более полная формулировка.
  При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.
  
  Словесное решение
  Правильным ответом к этой задаче является следующее: да, шансы выиграть автомобиль увеличиваются в 2 раза, если игрок будет следовать совету ведущего и изменит свой первоначальный выбор.
  Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.
  Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.
  Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие - принятие решения игроком о смене двери, второе событие - открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).
  Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.
  Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей - автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие - сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
  Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный - если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.
  Ключи к пониманию
  Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки - вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.
  Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим. Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя - открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.
  Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии «изменить выбор». Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии «не менять выбор», то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.
  Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.
  Другая частая причина трудного понимания решения этой задачи состоит в том, что нередко люди представляют себе немного другую игру - когда заранее неизвестно, будет ли ведущий открывать дверь с козой и предлагать игроку изменить свой выбор. В этом случае игрок не знает тактики ведущего (то есть, по существу, не знает всех правил игры) и не может сделать оптимальный выбор. Например, если ведущий будет предлагать смену варианта лишь в случае, когда игрок изначально выбрал дверь с автомобилем, то, очевидно, игрок должен всегда оставлять первоначальное решение без изменения. Именно поэтому важно иметь в виду точную формулировку задачи Монти Холла. (при таком варианте ведущий с разными стратегиями может добиться любой вероятности между дверями, в общем(среднем) случае будет 1/2 на 1/2).
  Увеличение количества дверей
  Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 - козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы - они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.
  При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей - 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.
  Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними - 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 0.01 %.
  Дерево принятия решений
  
  
  Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода
  Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений.
  В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.
  Суммарная вероятность того, что изменение выбора приведёт к выигрышу, эквивалентна сумме вероятностей первых двух исходов, то есть
  
  Соответственно, вероятность того, что отказ от изменения выбора приведёт к выигрышу, равна
  
  Проведение похожего эксперимента
  Существует простой способ убедиться в том, что изменение первоначального выбора приводит к выигрышу в двух случаях из трёх в среднем. Для этого можно сымитировать игру, описанную в задаче Монти Холла, с помощью игральных карт. Один человек (раздающий карты) при этом играет роль ведущего Монти Холла, а второй - роль игрока. Для игры берутся три карты, из которых одна изображает дверь с автомобилем (например, туз пик), а две других, одинаковых (например, две красные двойки) - двери с козами.
  Ведущий выкладывает три карты рубашкой вверх, предлагая игроку взять одну из карт. После того, как игрок выберет карту, ведущий смотрит в две оставшиеся карты и открывает красную двойку. После этого открываются карты, оставшиеся у игрока и у ведущего, и если выбранная игроком карта - туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок не меняет свой выбор, а если у игрока оказывается красная двойка, а у ведущего остаётся туз пик, то записывается очко в пользу варианта, когда игрок меняет свой выбор. Если провести множество таких раундов игры, то соотношение между очками в пользу двух вариантов достаточно хорошо отразит соотношение вероятностей этих вариантов. При этом оказывается, что число очков в пользу смены первоначального выбора примерно в два раза больше.
  Такой эксперимент позволяет не только убедиться в том, что вероятность выигрыша при изменении выбора в два раза больше, но и хорошо иллюстрирует, почему так происходит. В тот момент, когда игрок выбрал себе карту, уже определено, находится ли в его руке туз пик или нет. Дальнейшее открытие ведущим одной из своих карт не меняет ситуации - игрок уже держит карту в руке, и она остаётся там независимо от действий ведущего. Вероятность же для игрока выбрать туз пик из трёх карт равна, очевидно, 1/3, и, таким образом, вероятность его не выбрать (и тогда игрок выиграет, если изменит первоначальный выбор) равна 2/3.
  Упоминание
  В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачку: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь, чтобы выиграть автомобиль. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
  В романе Сергея Лукьяненко «Недотепа» главные герои при помощи такого приема выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
  В телесериале «4исла» (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.

  Всем нам знакома ситуация, когда мы вместо трезвого расчета полагались на свою интуицию. Ведь нужно признать, что далеко не всегда можно все просчитать прежде чем сделать выбор. И как бы не лукавили люди, которые привыкли делать свой выбор только после тщательного анализа, им ни один раз это приходилось делать по принципу «наверное так». Одной из причин подобного действия может быть банальное отсутствие необходимого времени для оценки ситуации.

  При этом выбор ждет сложившаяся ситуация прямо сейчас, и не позволяет уйти от ответа или действия. Но еще более каверзные ситуации для нас, которые в буквальном смысле вызывает судорогу мозга, - это разрушение уверенности в правильности выбора или в его вероятном превосходстве над иными вариантами, основанных на логических умозаключениях. На этом основаны все существующие парадоксы.

  Парадокс в игре телешоу «Let’s Make a Deal»

  Один из парадоксов, который вызывает жаркие споры среди любителей головоломок, называется парадоксом Монти Холла. Назван он в честь ведущего телешоу в США под названием «Let’s Make a Deal». На телешоу ведущий предлагает открыть одну из трех дверей, где в качестве приза находится автомобиль, в то время когда за другими двумя находятся по одной козе.

  Участник игры делает свой выбор, но ведущий, зная где находится авто, открывает при этом не ту дверь, которую указал игрок, а другую, в которой находится коза и предлагает сменить первоначальный выбор игрока. Для дальнейшего разбора мы принимаем именно этот вариант поведения ведущего, хотя на самом деле он может периодически меняться. Другие варианты сценария развития мы просто перечислим ниже в статье.

  В чем суть парадокса?

  Еще раз по пунктам обозначим условия и изменим объекты игры для разнообразия на свои.

  Участник игры находитесь в помещении с тремя банковскими ячейками. В одной из трех ячеек золотой слиток золота, в других двух по одной монете номиналом в 1 копейку СССР.

  Итак, участник перед выбором и условия игры следующие:

  1. Участник может выбрать лишь одну из трех ячеек.
  2. Банкир знает изначально расположение слитка.
  3. Банкир всегда открывает ячейку с монетой, отличную от выбора игрока, и предлагает поменять выбор игроку.
  4. Игрок может в свою очередь поменять свой выбор или оставить первоначальный.

  Что говорит интуиция?

  Парадокс состоит в том, что для большинства людей, которые привыкли мыслить логически, шансы на выигрыш в случае смены своего первоначального выбора 50 на 50. Ведь, после того, как банкир открывает другую ячейку с монеткой, отличную от первоначального выбора игрока, остаются 2 ячейки, в одной из которых слиток золота, а в другой монетка. Игрок выигрывает слиток, если принимает предложение банкира сменить ячейку при условии, если в первоначально выбранной игроком ячейке не было слитка. И наоборот при данном условии - проигрывает, в случае если он откажется принять предложение.

  

  Как подсказываем здравый смысл вероятность выбора слитка и выигрыша в таком случае 1/2. Но на самом деле ситуация иная! «Но как же так, здесь же все очевидно?» - спросите вы. Допустим вы выбрали ячейку № 1. Интуитивно да, неважно какой был у вас выбор первоначально, в конечном итоге у вас по факту перед выбором монета и слиток. И если изначально у вас была вероятность получения приза 1/3 , то в конечном итоге при открытии одной ячейки банкиром вы получаете вероятность 1/2. Казалось, вероятность увеличилась с 1/3 до 1/2. При внимательном разборе игры выясняется, что при смене решения вероятность увеличивается до 2/3 вместо интуитивных 1/2. Давайте рассмотрим за счет чего это происходит.

  В отличие от интуитивного уровня, где наше сознание рассматривает событие после смены ячейки как нечто отдельное и забывает о первоначальном выборе, математика не разрывает эти два события, а наоборот сохраняет цепочку событий от начала до конца. Итак, как мы ранее и говорили, шансы на выигрыш при попадании сходу на слиток у нас 1/3, а вероятность, что мы выберем ячейку с монетой 2/3 (поскольку у нас есть один слиток и две монеты).

  1. Выбираем изначально банковскую ячейку со слитком - вероятность 1/3.
     • Если игрок изменяет свой выбор, принимая предложение банкира, - он проигрывает.
     • Если игрок не изменяет выбор, не принимая предложение банкира, - он выигрывает.
  2. Выбираем с первого раза банковскую ячейку с в монеткой - вероятность 2/3.
     • Если игрок поменяет свой выбор - выиграл.
     • Если игрок не изменяет выбор - проиграл.

  Итак, для того, чтобы игрок ушел из банка со слитком золота в кармане, он должен выбрать изгначально проигрышную позицию с монеткой (вероятность 1/3), и после этого принять предложение банкира сменить ячейку.

  Для того, чтобы понять данный парадокс и вырваться из оков шаблона первоначального выбора и оставшихся ячеек, давайте представим поведение игрока ровным счетом наоборот. Перед тем как банкир предложит ячейку для выбора, игрок мысленно точно определяется с тем, что он меняет свой выбор, и только после этого для него следует событие открытия лишней двери. Почему нет? Ведь открытая дверь не дает для него большей информации в такой логической последовательности. На первом этапе времени игрок разделяет ячейки на две разные области: первая - область с одной ячейкой с его первоначальным выбором, вторая с двумя оставшимися ячейками. Далее игроку предстоит сделать выбор между двумя областями. Вероятность достать из ячейки золотой слиток из первой области 1/3, из второй 2/3. Выбор следует за второй областью, в которой он может открыть две ячейки, первую откроет банкир, вторую он сам.

  Существует еще более понятное объяснение парадокса Монти Холла. Для этого необходимо поменять формулировку задания. Банкир дает понять, что в одной из трех банковских ячеек находится золотой слиток. В первом случае он предлагает открыть одну из трех ячеек, а во втором - одновременно две. Что выберет игрок? Ну конечно сразу две, за счет повышения вероятности в два раза. И тот момент, когда банкир открыл ячейку с монеткой, это игроку на самом деле никак не помогает и не препятствует выбору, ведь банкир в любом случае покажет эту ячейку с монеткой, поэтому игрок может попросту игнорировать это действие. Со стороны игрока можно лишь только поблагодарить банкира за то, что он ему облегчил жизнь, и вместо двух ему пришлось открыть одну ячейку. Ну и окончательно можно избавится от синдрома парадокса если поставить себя на место банкира, который изначально знает, что игрок в двух из трех случаев указывает на неправильную дверь. Для банкира парадокс отсутствует как таковой, ведь он точно в такой инверсии событий уверен, что в случае смены событий игрок забирает золотой слиточек.

  

  Парадокс Монти Холла явно не позволяет быть в выигрыше консерваторам, которые железобетонно стоят на своем первоначальном выборе и теряют свой шанс роста вероятности. Для консерваторов он так и останется 1/3. Для бдительных и рассудительных людей он вырастает до вышеуказанных 2/3.

  Все приведенные утверждения актуальны лишь в соблюдении изначально оговоренных условий.

  Что если увеличить количество ячеек?

  Что если увеличить количество ячеек? Допустим вместо трех их будет 50. Золотой слиток будет лежать лишь только в одной ячейке, а в остальных 49 - монеты. Соответственно в отличии от классического случая вероятность попадания с ходу в цель 1/50 или 2% вместо 1/3, в то время как вероятность выбора ячейки с монетой составляет 98%. Далее ситуация развивается, как и в прежнем случае. Банкир предлагает открыть любую из 50 ячеек, участник выбирает. Допустим, игрок открывает ячейку под порядковым номеров 49. Банкир в свою очередь, как и в классическом варианте, не спешит выполнять желание игрока и открывает другие 48 ячеек с монетами и предлагает поменять свой выбор на оставшуюся под номером 50.

  Здесь важно понимать, что банкир открывает именно 48 ячеек, а не 30, и оставляет при этом 2, включая выбранную игроком. Именно такой выбор позволяет парадоксу идти в разрез с интуицией. Как и в случае с классическим вариантом, открытие банкиром 48 ячеек оставляет только один единственный альтернативный вариант для выбора. Случай варианта меньшего открытия ячеек не позволяет поставить в один ряд задачу с классикой и ощутить парадокс.

  Но раз уж мы и коснулись такого варианта, то давайте предположим, что банкир оставляет не одну, кроме выбранной игроком, а несколько ячеек. Представлено, как и прежде, 50 ячеек. Банкир после выбора игрока открывает только одну ячейку, оставляя при этом закрытыми 48 ячеек, включая выбранную игроком. Вероятность выбора слитка с первого раза 1/50. В сумме вероятность нахождения слитка в остальных ячейках 49/50, которая в свою очередь раскидывается не на 49, а на 48 ячеек. Не сложно посчитать, что вероятность нахождения слитка в таком варианте равна (49/50)/48=49/2900 . Вероятность пусть не на много, но все равно выше, чем 1/50 приблизительно на 1%.

  Как мы и упоминали в самом начале ведущий Монти Холл в классическом сценарии игры с дверьми, козами и призовым авто может изменять условия игры и вместе с нем и вероятность выигрыша.

  

  Математика парадокса

  Могут ли математические формулы доказать увеличение вероятности при смене выбора?
  Представим цепочку событий в виде множества, разделенного на две части, первую часть примем за X – это выбор на первом этапе ячейки сейфа игроком; и второе множество Y - оставшиеся две остальных ячейки. Вероятность (В) выигрыша для ячеек 2 и 3 можно выразить с помощью формул.

  В(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
  В(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

  Где 1/2 это вероятность, с которой банкир откроет ячейку 2 и 3 при условии, если игрок изначально выбрал ячейку без слитка.
  Далее условная вероятность 1/2 при открытии банкиром ячейки с монетой изменяется на 1 и 0. Тогда формулы приобретают следующий вид:

  В(2) = 0 * 2/3 = 0
  B(3) = 1 * 2/3 = 1

  Здесь мы наглядно видим, что вероятность выбора слитка в ячейке 3 - 2/3, а это чуть более 60 процентов.
  Программист самого начального уровня может без труда проверить данный парадокс, написав программу, которая считает вероятность при смене выбора или наоборот и сверить результаты.

  Объяснение парадокса в фильме 21 (Двадцать одно)

  Наглядное разъяснение парадокса Монти Пола приводится в фильме «21» (Двадцать одно) , режиссера Роберта Лукетича. Профессор Микки Роса на лекции приводит пример из шоу Let’s Make a Deal и задает вопрос о распределении вероятности у студента Бена Кэмпбелла (актер и певец Джеймс Энтони), который дает правильный расклад и тем самым удивляет преподавателя.

  Самостоятельное изучение парадокса

  Для людей, которые хотят проверить результат самостоятельно на деле, но не имеющих математического базиса, мы предлагаем самостоятельно смоделировать игру, в которой вы будете ведущим, а кто-то будет игроком. Можете задействовать в этой игре детей, которые будут выбирать конфеты или фантики от них в заранее приготовленных картонных коробочках. При каждом выборе обязательно фиксируйте результат для дальнейшего подсчета.

  Формулировка

  Наиболее популярной является задача с дополнительным условием № 6 из таблицы - участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещен за любой из 3 дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой и предложить игроку изменить выбор, но только не дверь, которую выбрал игрок;
  • если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

  В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

  Разбор

  При решении этой задачи обычно рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны 1/2, вне зависимости от первоначального выбора.

  Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C . Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3.

  Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так:

  P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

  P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

  Где 1/2 - условная вероятность нахождения автомобиля именно за данной дверью при условии, что автомобиль не за дверью, выбранной игроком.

  Ведущий, открывая одну из оставшихся дверей, всегда проигрышную, сообщает тем самым игроку ровно 1 бит информации и меняет условные вероятности для B и C соответственно на "1" и "0".

  В результате выражения принимают вид:

  P(B) = 2/3*1 = 2/3

  Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3.

  Одним из простейших объяснений является следующее: если вы меняете дверь после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь (тогда ведущий откроет вторую проигрышную и вам останется поменять свой выбор чтобы победить). А изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами (вероятность 2/3), т.е. если вы меняете дверь, вы выигрываете с вероятностью 2/3.

  Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей , поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла , т.е. парадоксом в бытовом смысле.

  А интуитивное восприятие таково: открывая дверь с козой, ведущий ставит перед игроком новую задачу, никак не связанную с предыдущим выбором - ведь коза за открытой дверью окажется независимо от того, выбрал игрок перед этим козу или автомобиль. После того, как третья дверь открыта, игроку предстоит сделать выбор заново - и выбрать либо ту же дверь, которую он выбрал раньше, либо другую. То есть, при этом он не меняет свой предыдущий выбор, а делает новый. Математическое же решение рассматривает две последовательные задачи ведущего, как связанные друг с другом.

  Однако следует брать во внимание тот фактор из условия, что ведущий откроет дверь с козой именно из двух оставшихся, а не дверь, выбранную игроком. Следовательно, оставшаяся дверь имеет больше шансов на автомобиль, так как она не была выбрана ведущим. Если рассмотреть тот случай, когда ведущий, зная, что за выбранной игроком дверью находится коза, все же откроет эту дверь, этим самым он нарочно уменьшит шансы игрока выбрать правильную дверь, т.к. вероятность правильного выбора будет уже 1/2. Но подобного рода игра будет уже по другим правилам.

  Дадим еще одно объяснение. Предположим, что вы играете по описанной выше системе, т.е. из двух оставшихся дверей вы всегда выбираете дверь, отличную от вашего первоначального выбора. В каком случае вы проиграете? Проигрыш наступит тогда, и только тогда, когда с самого начала вы выбрали дверь, за которой находится автомобиль, ибо впоследствии вы неизбежно перемените свое решение в пользу двери с козой, во всех остальных случаях вы выиграете, т.е., если с самого начала ошиблись с выбором двери. Но вероятность с самого начала выбрать дверь с козой 2/3, вот и получается, что для победы нужна ошибка, вероятность которой в два раза больше правильного выбора.

  Упоминания

  • В фильме Двадцать одно преподаватель, Мики Роса, предлагает главному герою, Бену, решить задачу: за тремя дверьми два самоката и один автомобиль, необходимо угадать дверь с автомобилем. После первого выбора Мики предлагает изменить выбор. Бен соглашается и математически аргументирует свое решение. Так он непроизвольно проходит тест в команду Мики.
  • В романе Сергея Лукьяненко «Недотёпа » главные герои при помощи такого приёма выигрывают карету и возможность продолжить своё путешествие.
  • В телесериале «4исла » (13 эпизод 1 сезона «Man Hunt») один из главных героев, Чарли Эппс, на популярной лекции по математике объясняет парадокс Монти Холла, наглядно иллюстрируя его с помощью маркерных досок, на обратных сторонах которых нарисованы козы и автомобиль. Чарли действительно находит автомобиль, изменив выбор. Однако следует отметить, что он проводит всего один эксперимент, в то время как преимущество стратегии смены выбора является статистическим, и для корректной иллюстрации следует проводить серию экспериментов.
  • Парадокс Монти Холла обсуждается в дневнике героя повести Марка Хэддона «Загадочное ночное убийство собаки».
  • Парадокс Монти Холла проверялся Разрушителями Легенд

  См. также

  • Парадокс Бертрана (англ.)

  Ссылки

  	Парадокс Монти Холла в Викиучебнике
  	Парадокс Монти Холла на Викискладе

  • Интерактивный прототип: для тех, кто хочет надурить (генерация происходит после первого выбора)
  • Интерактивный прототип: реальный прототип игры (генерация карточек происходит до выбора, работа прототипа прозрачна)
  • Объясняющий видеоролик на сайте Smart Videos .ru
  • Weisstein, Eric W. Парадокс Монти Холла (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • Парадокс Монти Холла на сайте телешоу Let’s Make a deal
  • Отрывок из книги С.Лукьяненко , в котором используется парадокс Монти Холла
  • Ещё одно решение по Байесу Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета

  Литература

  • Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, - М .: Высшее образование. 2005
  • Gnedin, Sasha "The Mondee Gills Game." журнал The Mathematical Intelligencer , 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
  • Parade Magazine от 17 февраля .
  • vos Savant, Marilyn. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля .
  • Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist , 1992, № 2.
  • Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life . Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

  Примечания

  
  

  Wikimedia Foundation . 2010 .

  Смотреть что такое "Парадокс Монти Холла" в других словарях:

  В поисках автомобиля, игрок выбирает дверь 1. Тогда ведущий открывает 3 ю дверь, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свой выбор на дверь 2. Стоит ли ему это делать? Парадокс Монти Холла одна из известных задач теории… … Википедия

  - (Парадокс галстуков) известный парадокс, похожий на задачу о двух конвертах, также демонстрирующий особенности субъективного восприятия теории вероятностей. Суть парадокса: двое мужчин дарят друг другу на Рождество галстуки, купленные их… … Википедия